Математическое моделирование звуковых и внутренних волн в океане методом параболического уравнения

1.3.2. Параболическое уравнение.48.

1.3.3. Приведенное уравнение Гельмгольца.50.

1.3.4. Условия на границе раздела.51.

1.3.5. Асимптотики пограничного слоя и условия на границе раздела в случае п < п+.53.

1.3.6. Численные примеры.59.

1.3.7.

Заключение

64.

Глава 2. Модовые параболические уравнения 68 2.1. Стационарные модовые акустические параболические уравнения.70.

2.1.1.

Введение

70.

2.1.2. Вывод уравнений в простейшем случае.72.

2.1.3. Сравнение с методом формальной факторизации 79.

2.1.4. Сохранение потока энергии.82.

2.1.5. Рассмотрение общего случая.'85.

2.1.6. Формулы при наличии границ разделов: элементы альтернативного подхода.102.

2.1.7. Начально-краевые задачи для параболических уравнений.105.

2.1.8. Численные примеры.107.

2.1.9.

Заключение

120.

2.1.10. Приложение: Б орновское приближение для меж-модового рассеяние на компактных неоднород-ностях морского дна.121.

2.2. Узкоугольное модовое акустическое параболическое уравнение с зависимостью от времени .128.

2.2.1.

Введение

128.

2.2.2. Вывод параболического уравнения.129.

2.2.3.

Заключение

134.

2.3. Модовое параболическое уравнение для внутренних волн 135.

2.3.1.

Введение

135.

2.3.2. Основные уравнения и шкалы.136.

2.3.3. Параболическое уравнение.139.

2.3.4. Начально-краевые задачи для параболических уравнений.146.

2.3.5. Численные эксперименты.147.

2.3.6.

Заключение

155.

2.3.7. Приложение: Вывод формулы (2.155).156.

Глава 3. Граничные условия прозрачности 163.

3.1. Условия абсорбирующей границы для параболического уравнения.165.

3.1.1.

Введение

165.

3.1.2. Вывод абсорбирующих граничных условий.. 165.

3.1.3. Численные эксперименты.171.

3.1.4.

Заключение

175.

3.1.5. Приложение: Условия абсорбирующей границы Баскакова-Попова.176.

3.2. Приближенные условия абсорбирующей границы для волнового уравнения .183.

3.2.1.

Введение

183.

3.2.2. Вывод приближенных граничных условий. .. 184.

3.2.3. Численные эксперименты.188.

3.2.4.

Заключение

191.

3.3. Нестационарная форма параболического уравнения.

Тапперта (range refraction parabolic equation) и его использование как условия абсорбирующей границы для волнового уравнения в волноводе.196.

3.3.1.

Введение

196.

3.3.2. Вывод нестационарной формы range refraction параболического уравнения Тапперта.199.

3.3.3. Уравнение (3.49) как условие абсорбирующей границы.202.

3.3.4.

Заключение

204.

Глава 4. Теория возмущений для мод на течении 206 4.1. О вычислении акустических нормальных мод в слоистой среде с низкоскоростным горизонтальным течением 209.

4.1.1.

Введение

209.

4.1.2. Акустические нормальные моды на горизонтальном течении.210.

4.1.3. Приближенное решение задачи об акустических модах для низкоскоростного течения.213.

4.1.4. Пример.217.

4.1.5.

Заключение

223.

4.2. О вычислении нормальных мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом.225.

4.2.1.

Введение

225 1.

4.2.2. Спектральная задача Тейлора-Гольдштейна.. 227.

4.2.3. Приближенное решение задачи Тейлора-Гольдштейна для течения со слабым сдвигом.231.

4.2.4. Примеры.235.

4.2.5.

Заключение

245.

4.2.6. Приложение: результаты для задачи Тейлора-Гольдштейна с частотой в качестве входного параметра .248.

Заключение

249.

Литература

252.

Предисловие.

Математическое моделирование распространения звуковых и внутренних волн в океане важно не только для более глубокого понимания этих процессов, но и для решения различных прикладных задач. В последнее время интересные для практики задачи относятся в основном к океанскому шельфу, мелким морям и заливам, что приводит к необходимости разработки математических моделей, учитывающих особенности таких акваторий.

Типичные задачи подводной акустики состоят в определении звукового поля в некоторой области пространства по данным, измеренным в отдельной точке или на кривой (трассе). Таким образом, соответствующие математические модели должны допускать постановку начально-краевых задач, эволюционных по выделенной пространственной переменной. Такие задачи для типичных волновых уравнений (уравнение Гельмгольца, классическое волновое уравнение) являются, как правило, некорректными. Поэтому на практике большое распространение получили модели однонаправленного распространения, которые получаются лучевым методом (методом ВКБ), а также методом параболического уравнения.

Метод параболического уравнения, широко применяющийся также для решения задач распространения электромагнитных и поверхностных волн, появился в работах М. А. Леонтовича и В. А. Фока при рассмотрении задач приземного распространения радиоволн, далее развивался трудами многочисленных отечественных и зарубежных исследователей, в (далеко не полный) список которых входят Г. В. Малюжинец (электромагнитные волны), F. D. Tappert, Н. Е. Мальцев, К. В. Авилов, О. А. Годин, М. D. Collins, S. Т. McDaniel,.

B. J. Orchard, P. Joly, J. A. Kriegsmann, L. Fishman и W. L. Sieg-mann (подводная акустика и сейсмика), J. Т. Kirby, R. A. Dalrymple,.

C. C. Mei, P. L. Liu (поверхностные волны). Количество работ, свя занных с этим методом, достаточно велико.

Наиболее распространенным методом получения параболических моделей является метод факторизации с последующей рациональной аппроксимацией операторного квадратного корня. Следует отметить, что в этом методе коммутатор операторного квадратного корня с оператором дифференцирования по эволюционной переменной считается пренебрежимо малым и тем самым предполагается лишь слабая зависимость коэффициентов исходного волнового уравнения от эволюционной переменной. Поэтому такой подход применим при рассмотрении только достаточно крупномасштабных задач, в случаях, когда допустимо усреднение по вариациям параметров среды более мелких масштабов.

При рассмотрении мезомасштабных и мелкомасштабных задач подводной акустики необходим тщательный учет переменности свойств среды, как водной, так и морского дна. В таких задачах большое значение имеет горизонтальная рефракция звука, а также рефракция и рассеяние звука на внутренних волнах (см., например, [39, 143, 153]). Для учета этих факторов вывод параболических моделей следует производить с использованием асимптотических методов, из которых наиболее подходящим представляется метод многих масштабов [64]. Известные ранее примеры применения этого метода [144] содержат неточности и в целом не достигают указанной цели.

Классический метод параболического уравнения применим только для сред с бесконечно малым изменением показателя преломления по поперечным переменным. Этот вопрос подробно разобран в третьем разделе первой главы диссертации. Поскольку при включении в рассмотрение морского дна вертикальные изменения скорости звука и плотности не могут считаться бесконечно малыми, большое значение для подводной акустики среднего и малого масштабов имеет разработка моделей, использующих модовое представление волнового поля по вертикали и параболических по горизонтальным переменным. Впервые такое уравнение (adiabatic mode parabolic equation) получил Collins [112] методом факторизации и применил к некоторым крупномасштабным задачам [113]. Проблема получения таких моделей (как стационарных, так и нестационарных), пригодных для расчета звуковых полей в мелком море, является актуальной, причем более бедный модовый состав поля на мелких акваториях усиливает значимость такого подхода. В настоящей работе методом многих масштабов получены узкоугольные и широкоугольные модовые параболические уравнения, систематически учитывающие взаимодействие звука с неоднородностями морского дна.

Для таких уравнений следует ставить условия прозрачности (абсорбирующие условия) на искусственных границах, ограничивающих расчетную область. Граничные условия такого типа рассматривались в многочисленных работах, но задача их получения остается весьма актуальной. К задаче получения таких граничных условий нами предложен новый подход, также основанный на методе многомасштабных разложений.

Задача разработки простых моделей распространения внутренних волн в непрерывно стратифицированном океане с переменной топографией дна важна как сама по себе, так и в связи с существенным влиянием этих волн па звуковое поле. Развитие для этих волн метода параболического уравнения, который, как известно, хорошо работает в задачах распространения поверхностных волн, является актуальной задачей. В настоящей работе получено линейное узкоугольное модовое параболическое уравнения для внутренних волн, распространяющихся в непрерывно стратифицированном море с переменной топографией дна. Следует отметить, что несмотря на значимость нелинейныех эффектов при распространении внутренних волн, переменность коэффициентов превалирует над нелинейностью на сравнительно коротких дистанциях распространения.

Наш интерес к описанным выше задачам возник при выполнении работ [15, 17, 46], где моделирование рефракции звука на внутренних волнах в мелком море производилось в связи с интерпретацией данных натурных экспериментов, и полученные результаты показали необходимость развития соответствующего технического аппарата.

На наш взгляд и работы недавних лет (см. [39, 143] и цитированные там работы) показывают, что имеющиеся возможности моделирования недостаточны для рассмотрения многих задач акустики мелкого моря.

Мы завершим предисловие кратким описанием содержания работы по главам.

В первой главе расположены результаты, относящиеся к параболическим уравнениям, не использующим модовое представление. В разделе 2 этой главы из приведенных в разделе 1 волновых уравнений, описывающих распространение звука в нестационарных средах с течениями, выведено семейство нестационарных параболических уравнений для двумерных и трехмерных волноводов и рассмотрены основные начально-краевые задачи для этих уравнений. В разделе 3 проанализировано, как метод параболического уравнения должен применяться к среде с конечным изменением параметров по вертикальной координате (классический метод параболического уравнения предполагает бесконечно малое изменение).

Вторая глава, основная в работе, содержит вывод модовых параболических уравнений для звуковых и внутренних волн. Обсуждаются также вопросы единственности решения соответствующих начально-краевых задач и приводятся примеры модельных расчетов.

В третьей главе выведены некоторые новые неотражающие граничные условия, важные для применения модовых параболических уравнений. Эти условия учитывают угол падения волны на границу и при дальнейшем развитии могут быть очень полезны на практике. Та же методика применена в этой главе к волновому уравнению, для которого также выведено так называемое нестационарное параболическое уравнение Тапперта, использование которого в качестве граничного условия для решения задач для волнового уравнения в открытых волноводах весьма перспективно.

В четвертой главе проведена предварительная работа для вывода модовых параболических уравнений с учетом течений: построена регулярная теория возмущения для вычисления звуковых и внутри-волновых нормальных мод на течениях.

Я благодарен своим основным соавторам: аспиранту П. С. Петрову, к.ф.-м.н. А. Д. Захаренко, к.ф.-м.н. С. Б. Козицкому, к.т.н. Р. А. Коротченко и д.ф.-м.н. А. Н. Рутенко за плодотворное многолетнее сотрудничество и руководству Тихоокеанского океанологического института ДВО РАН за поддержку исследований.

Ценность метода параболического уравнения (наряду с близким лучевым методом) для математического моделирования звуковых и других волновых полей в океане состоит не только в том, что он дает подход к решению вычислительно сложных задач, но также и в том, что он позволяет решать некорректные задачи, которые, как правило, и возникают на практике.

В самом деле, линейные уравнения (только такие мы и рассматриваем в этой работе), описывающие волны различных типов в океане, для стационарных волн имеют обычно эллиптический тип, а для нестационарных — гиперболический, причем эволюционной переменной в последнем случае является время. Корректные задачи для уравнений эллиптического типа требуют задания граничных условий на всей границе какой-либо области, а начально-краевые задачи для уравнений гиперболического типа, кроме того, еще и задания начальных условий на всей области. Такие данные, необременительные для большинства технических приложений, в геофизических задачах обычно просто недоступны. Чаще всего встречается ситуация, когда волновое поле наблюдается на многообразиях меньшей размерности, то есть на отрезке незамкнутой кривой для двумерных задач и аналогичной части поверхности для трехмерных. Краевые и начальнокраевые задачи с такими данными, как правило, некорректны и требуют особого подхода. Теория некорректных задач [51, 75] показывает, что наиболее успешно они решаются при использовании априорной информации о решении. Такой информацией может выражаться в постулировании формы решения (анзаца), в наложении на искомое решение каких-либо связей в форме равенств, неравенств или просто принадлежности компактному подмножеству некоторого функционального пространства, и т. д.

Применительно к рассматриваемым в нашей работе задачам существует один замечательный метод регуляризации, требующий, как представляется, наименьшего произвола — он состоит просто в указании пространственно-временных масштабов изучаемых явлений. В литературе этот метод носит название метода обобщенных многих масштабов [64]. Поскольку метод является весьма наглядным и элементарным, его историю трудно проследить — кажется, что им пользовались уже гидромеханики в начале XX века. Мы изложим его достаточно подробно на простом примере двумерного уравнения Гельмгольца uxx + uyy + k%n2u = 0, (1) где ко — опорное волновое число, п — показатель преломления.

Предположим, что рассматриваемые волны таковы, что их свойства медленно изменяются в нашем двумерном пространстве, то есть становятся наглядными при «взгляде издалека». Под свойствами здесь понимаются такие, например, характеристики, как амплитуда или интенсивность, сама волна может осциллировать достаточно быстро. «Взгляд издалека» означает, что картину изменений свойств удобно наблюдать, перейдя к координатам.

X — ex, Y = 5у, где ей 5 — малые параметры, то есть переменные количества, стремящиеся к нулю. В новых координатах уравнение (1) запишется так: е Vyx + 52Uyy + kln2u = 0, (2) то есть в форме сингулярно возмущенного уравнения, не имеющего вид дифференциального уравнения при 6 = 5 = 0.

Для удобства (и по существу) эти два малых параметра как-то связываются между собой, для начала мы предположим, что е = S.

Поскольку уравнение (2) всё-таки должно описывать волны, а осцилляции теперь происходят «внутри точки» нового пространства, то необходимо ввести для «внутриточечной» геометрии новые координаты — быстрые переменные — 77, ., которые будут связаны с координатами растянутого пространства некоторыми соотношениями ту = У), ? =, для простоты мы рассмотрим сначала случай одной быстрой переменной г] = е~19(Х, У). Использование для описания внутреннего пространства одной переменной вполне достаточно для многих случаев, оно означает, что внутреннее пространство достаточно однородно (или, вернее, нам безразлична его неоднородность).

Введенная выше конструкция напоминает то, что известно под названием расслоения (fiber bundle), координаты X, Y описывают базу расслоения, а координата rj — слой. Эти координаты теперь рассматриваются как независимые, постулированное выше соотношение задает лишь закон изменения базиса слоя. Разумеется, приведенные аналогии строгими не являются. Такие же понятия для метода усреднения введены в книге В. И. Анольда [9]. Во всяком случае, поле и теперь есть функция от rj, X, Y как независимых переменных. Дифференцировать такую функцию следует с учетом изменения базиса, то есть производные ди/дХ, ди/дУ следует заменить на продолженные производные по схеме ди ди. .. «ди ди ди. ., «ди.

Продолженная производная вполне аналогична так называемой ко-вариантной производной на введенном расслоении (см., например, [70, 72]).

Итак, подставим в уравнение (2) продолженные производные, поле и, разложенное по степеням малого параметра и аналогично разложенный квадрат показателя преломления и = uq + eui +. , п2 = Пц + v +. , и будем выделять в отдельные уравнения члены при одинаковых степенях е. При этом будем считать, что показатель преломления от быстрой переменной не зависит (только в этом случае упомянутые выше характеристики поля будут меняться медленно).

При б° мы получаем уравнение вх? + (0у)2) щт + к20п20щ = 0. (3).

Поскольку в и п2 не зависят от ту, это уравнение можно решать как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно г/ с постоянными коэффициентами. В качестве (типичного) частного решения можно взять u = А (Х, Y) eKv, где.

X / ~копо вх? + {ву? '.

А — постоянная интегрирования, но она может зависеть от X, Y. При б1 мы получаем уравнение.

6х)2 + (0у)2) Щгт + fcjngui d ^.

ОхЩг,) + OXUQXT, + (ОуЩг,) + ОуЩгг, + klvuQ dXv л ' л ' dY.

4).

Опуская вычисления, укажем, что подстановка щ в уравнение (4) дает независимость К от X, Y, так как в противном случае щ будет алгебраически зависеть от ту и наше асимптотическое разложение не будет равномерным (область изменения ту не ограничена). Тогда К = const и константа может быть равна чему угодно, так как изменение этой константы изменяет компенсирующим образом ту через связь в (калибровочная инвариантность). Мы примем К — i и тогда uq = Aexp (iry), а также вх)2 + (ву)2 = klnl. (5).

Уравнение (5) называется уравнением Гамильтона-Якоби или уравнением эйконала.

Теперь, с учетом полученного выражения для uq правая часть уравнения (4) есть д.. ". д. ".. .,.

ОхА) + ехАх + ^ [ОуА) + 9yAy + к20иА iel7? дХ v — / - - dY.

Поскольку, при выполнении уравнения (5) ir] есть решение (3), уравнение (4) будет иметь решения в виде квазиполиномов от ту с нетривиальной алгебраической частью (см. [73]), что нарушит равномерность асимптотического разложения, и потому должно быть г о ay (ОхА) + ОхАх + ду (0УА) + вуАу + klvA = 0. (6).

Это уравнение называется уравнением переноса и в совокупности уравнения (5) и (6) составляют нулевое приближение метода ВКБ или лучевого метода [10], поскольку характеристики нелинейного уравнения первого порядка (5) в данном контексте называются лучами. Уравнения (5) и (6) — первого порядка, и для них можно ставить задачи, упомянутые в начале Введения. Вопрос о том, в каком смысле решения этих задач приближают решения каких-то задач для уравнения Гельмгольца, очень сложен и его удовлетворительное решение требует, вероятно, радикально нового подхода. Это связано, в частности, с тем, что решения уравнений разных типов естественно принадлежат функциональным пространствам, весьма различным по своей природе, так что их трудно сравнивать. Большая часть известных работ посвящена получению формальных асимптотик.

Известно что системы лучей могут иметь особенности (например, каустики), в окрестности которых описанные формальные разложения теряют силу. Эквивалентно, уравнение (5) имеет многозначные решения.

Имеются многочисленные работы, предлагающие как новые методы построения решений уравнений переноса при наличии особенностей — метод эталонных уравнений [10], метод канонического оператора Маслова [57], так и методы построения многозначных решений уравнения Гамильтона-Якоби (5) [101, 139].

Вместе с тем имеется и другой подход к разрешению упомянутых трудностей. Он связан с упрощением картины лучей, но одновременно усложняется уравнение переноса. Этот метод имеет название метода параболического уравнения, и его развитию в основном и посвящена настоящая работа.

На основе изложенного выше материала мы имеем возможность совсем кратко и понятно показать, как получаются основные уравнения этого метода. Возьмём в уравнении (2) такое соотношение малых параметров: 5 = е1//2, то есть мы рассмотрим уравнение euYY + kln2u = 0. (7).

Вводя точно так же фазу в и продолженные производные и так же разлагая параметры и поле, мы найдем при е-1 ву)2 = 0 .

Так как щ не должна алгебраически зависеть от г], поскольку это нарушит равномерность разложения, остается положить 0у = 0, то есть в не зависит от Y. Теперь при е° мы найдем уравнение эйконала в виде.

Oxf = klnl.

8) из которого следует, что лучи суть прямые, параллельные оси X. Таким образом, никаких особенностей у системы лучей нет. Рассмотрение условия разрешимости уравнения при е1 дает следующее уравнение для амплитуды.

Это уравнение и называется параболическим уравнением, хотя оно имеет свойства, совершенно отличные от привычных в математической физике параболических уравнений. Уравнения такого типа появляются в квантовой механике и называются там нестационарными уравнениями Шредингера. Известно, что такие уравнения при простых граничных условиях определяют унитарную динамику в пространстве квадратично суммируемых функций от переменной Y. Таким образом, сравнивать решения таких уравнений с решениями уравнения Гельмгольца, где естественным является соболевское пространство Н1, также затруднительно.

Физически уравнение (9) описывает дифракцию волн, распространяющихся под малыми углами к оси X. Какой именно угол считать малым зависит от заданной точности аппроксимации волнового поля. Как показано в литературе, см. также и настоящую работу, рассмотрение последующих приближений по степеням е дает широкоугольные поправки к (9), то есть при заданной точности угол распространения увеличивается. При этом у нас уравнение для амплитуды последующего порядка имеет такой же вид, как (9), но с правой.

2iехЛх + iОххА + Ауу + kvA = 0 .

9).

частью, зависящей от предыдущих приближений. Такая форма широкоугольных уравнений удобна как при рассмотрении некоторых теоретических вопросов, так и для организации численного счета.

Многочисленные эвристические выводы уравнений типа (9) обычно «проходят мимо» уравнения Гамильтона-Якоби (8), которое в рассмотренном случае тривиально, но в более сложных случаях имеет существенное значение. Впрочем, даже в рассмотренном случае оно позволяет правильно определить фазу в, а тем самым и амплитуду, и избежать вопроса о «правильном выборе опорного волнового числа», которому посвящена многочисленная литература и который возник из-за определения фазы соотношением в (Х) = коХ (см. [74] и недавнюю работу [151]).

Возможно обобщение метода параболического уравнения до метода лучевого параболического уравнения, когда используются шкалы переменных такие же, как в лучевом методе, но вводится дополнительная быстрая переменная? = e~l/2ip (X, Y). Тогда, действуя как выше, мы получим полное уравнение эйконала (5), а в качестве уравнения переноса — уравнения типа (9), в котором роль дифракционной переменной У будет играть новая переменная? (см., например, [41, 68, 96]). Такие уравнения очень интересны, но в нашу работу они не вошли, и мы ограничимся этим кратким упоминанием.

Строгое обоснование асимптотических методов исключительно сложно и здесь имеются лишь изолированные результаты, следует упомянуть классическую работу [13], относящуюся к обыкновенным дифференциальным уравнениям и более современные работы.

55, 122], содержащие некоторые результаты о моделях с частными производными.

Таким образом, выбор подходящего параболического шкалирования и введение соответствующих медленных и быстрых переменных уже без дополнительных предположений приводит к нужным уравнениям. Этот подход мы попытаемся последовательно проводить в основных частях работы.

Заключение

.

Перечислим основные результаты, полученные в работе:

1. Методом многомасштабных разложений получены параболические приближения произвольного порядка для задач распространения звука в нестационарных волноводах, в том числе при наличии течений. Рассмотрены постановки начально-краевых задач, получены условия устойчивости и единственности решений.

2. Произведен анализ особенностей применения метода параболического уравнения для волноводов, имеющих границы раздела, на которых индекс рефракции терпит разрыв первого рода с конечным скачком. Теоретически показана неправомерность использования в такой задаче метода параболического уравнения с обычно применяемыми условиями на границе раздела. Численными экспериментами подтверждены теоретические выводы.

3. Методом многомасштабных разложений в первом порядке малого параметра получено параболическое уравнение для амплитуды акустической нормальной моды в общности, достаточной для применения этого уравнения в трехмерных задачах акустики океана. В следующем порядке получено параболическое уравнение для широкоугольной поправки к этой амплитуде. Показано, что эти два уравнения вместе могут рассматриваться как широкоугольное модовое параболическое уравнение. Рассмотрены постановки начально-краевых задач для полученных уравнений, получены условия устойчивости и единственности решений. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

4. Методом многомасштабных разложений выведено нестационарное параболическое уравнение для амплитуды акустической нормальной моды, распространяющейся в неоднородной и нестационарной среде. Получены уравнения характеристик и условия на характеристиках для этого уравнения.

5. Методом многомасштабпых разложений выведено линейное параболическое уравнение для амплитуд нормальных мод внутренних волн, распространяющихся в непрерывно стратифицированной среде над неровным дном. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

6. Получены новые приближенные абсорбирующие граничные условия для уравнений типа нестационарного уравнения Шре-дингера, основанные на факторизации уравнения Гамильтона-Якоби вместо факторизации оператора уравнения. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

7. Получены новые приближенные абсорбирующие граничные условия для волнового уравнения, основанные на построении однонаправленных приближений к этому уравнению методом многомасштабных разложений. Проведен анализ тестовых вычислительных экспериментов.

8. Построена регулярная теория возмущений низших порядков для получения приближенного решения спектральной задачи для акустических мод на слабом течении. Проведено сравнения с другими приближенными методами.

9. Построена регулярная теория возмущений низших порядков для приближенного решения спектральной задачи Тейлора-Голдштейна для мод внутренних волн на течении со слабым сдвигом. На простых примерах подтверждена эффективность полученных формул.