При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Эта непредсказуемость вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Многие физические, химические, биологические и другие процессы, возникающие на практике, подвержены случайному воздействию. Математическими моделями таких процессов являются дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными процессами, или стохастические дифференциальные уравнения. При этом решения таких уравнений также являются случайными процессами.
Строго говоря, в природе не существует совершенно не случайных, в точности детерминированных процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют так слабо, что при изучении явления ими можно пренебречь. Тогда рассматривают детерминированные задачи, в которых случайные коэффициенты заменены своими средними значениями.
Однако существуют и такие процессы, где случайность играет основную роль.
По мере углубления и уточнения наших знаний об окружающем мире, по мере усложнения технических устройств все большее число процессов приходится рассматривать как случайные, учитывая не только их поведение «в среднем», но и случайные отклонения от этого среднего [14].
Таким образом, оценка влияния случайных воздействий является актуальной задачей. С этой целью изучают статистические характеристики случайных процессов, являющихся решениями стохастических задач.
В настоящее время изучению схожих проблем посвящены работы За-дорожнего В.Г. [26, 27, 33], Кляцкина В. И. [36, 37], Фурсикова A.B. [51 -53], Смагиной Т. И. [34], Строевой Л. Н. [30, 31, 46].
Целью данной работы является исследование статистических характеристик решения задачи Коши для двумерного неоднородного уравнения теплопроводности, коэффициенты которого являются случайными процессами, а также получение оценок погрешности, возникающей при замене случайных процессов, входящих в дифференциальное уравнение, их математическими ожиданиями.
Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:
1. Сведение исходной задачи, коэффициенты которой являются случайными процессами, к вспомогательным детерминированным задачам.
2. Решение начальной задачи для дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными.
3. Нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными.
4. Решение вспомогательных детерминированных задач.
5. Вычисление моментных функций решения исходной задачи.
6. Оценка погрешности, обусловленной заменой в дифференциальном уравнении случайных коэффициентов их средними значениями.
Первая глава диссертации носит вспомогательный характер и содержит обзор основных понятий, используемых в работе. Приведены определения и свойства преобразования Фурье, вариационной производной, случайного процесса и его характеристик. Рассмотрено решение начальной задачи для двумерного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.
Во второй главе рассмотрена задача Коши для двумерного неоднородного уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами д д2 д2 u (t, х, у) = е1 (t)-^u (t, ж, у) +e2(t)-^u (t, X, у) +e3(i)u (i, х, y)+f (t, ж, у), (1) u (to = g (x, y), (2) где t (Е [t0, ti]=Tвремя, ж е R, у € К,: Т Ж, е2: Т R, ?3: Т К, /: Т х R2 —t Ж — случайные процессы, д: К2 —> М — независящий от ?2(t), и f (t, x, y) случайный процесс, и: Txl2 —М — решение задачи (1). (2).
Предполагается, что ?]. (?) > 0, е2{&euro-) > 0 при? 6 Т, реализации случайных процессов ?]. (?), ?2(?), принадлежат пространству Ь^Т), реализации процесса f{t, x, y) принадлежат пространству Ь^Т х М2), случайные процессы ?1(?), ?2(^)5з (^)? 2/) заданы характеристическим функционалом ф (уъ у2: т) = М (к{уъ ги)), (3) где М — знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов ?]. (?), £2ж, 2/) и г"2, = ехр (г J [?1(5)^1(5) + е2(з)у2(з) + (4).
7 т Ум2.
1Л 6 ¿-1(Т), € ¿-1(Т), г-3 6 ¿-1(Т), ад € ¿-ЦТ х М2).
В этой главе получены формулы для математического ожидания, второй моментной и дисперсионной функций решения задачи (1), (2) в общем случае и в случае независимости случайного процесса /(-?, х, у) от процессов £2(Ъ), £зС0? а также рекуррентные соотношения для нахождения моментных функций любого порядка.
В параграфе 2.2 второй главы получены явные формулы для решений начальных задач с частными и вариационными производными первого и третьего порядков.
Рассмотрена начальная задача для линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными д 3 и (иь г"2, г) = «з, *)+ (5) б б и (у1,у2,у3,г0) = и0(у1:у2:у3), (6) где г е 1а (Т), у2 е Ьг{Т), <и3 € Ьх (Т), аг. Т С, а2: т €, а3: Т -«¦ С — непрерывны на отрезке Т, С/»: Ьг (Т) х ^(Т) хВДхГ-^С — искомое отображение, С/о: -¿-аСП х? х (Т') х Ь{Т) —С — задано.
Обозначим через х (а> Ь, -) функцию, определяемую по следующему правилу: х (а, 6, я) = sign (s — а) при в, принадлежащем отрезку с концами, а и 6, и х (а, в) = 0 в противном случае.
Теорема 1. Пусть уг в Ьг (Т), у2 е Ьг (Т), у3 е Ьг{Т), ох: Т Саг: Т —> Саз: Т —> С — непрерывны на Т и в некоторой окрестности точки О" О'^з+^зХ^о?^ •)) существуют непрерывные по VI, VI, вариационные производные о1 + 02 + ¦)> из + «зХ (*о, •))"0 = Ъ 2> 3> при ^? Т, тогда и (их, г-2,з, 0 =оК + агХЙь •)> и2 + •)> + «зХ^о, •)) (7) имеет частную производнуюз, причем 01 М^(^^о1 + 0» + О. г* + •))+.
Д2(<) + ахХ^о, •)"2 + а2х (*о, •)" из + азх (?о, •))+ ог’з^г;
Теорема 2. 5 условиях теоремы 1 отображение (7) является решением задачи (5), (6).
Найдено решение начальной задачи для линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными д 8 ах (г) из, ?)+ (8).
6 5.
У3' + а3®- ?Уз (Ь)и ^ ^ + ^0(^1,^2,^3), (9) где t G T, V! G Ьг (Т), г-2 € ?i (T), v3 G Li (T),: T С, a2: T C, <23: T —> С — непрерывные па отрезке T функции, С/: L{T) X -?q (T) X Li (T) x T С — искомое отображение, С/0: Мт) х Li (T) х L (T) С и В: L (T) х Ь{Т) х L (Т) хТ-уС — заданы.
Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 1 и в некоторой окрестности точки (v± + i, •), г"2 + a2x (s, t, •) >з + азх (5- ')? s) существуют непрерывные no v, V2, v3 вариационные производные.
5v-(t)B (Vl + t'')' + t, •), V3 + a3x (s, i, •), s), i = 1, 2, 3, npw seT, teT, тогда иОь V2, t) = U0(v 1 + aix (io, i, •)> + i, ¦)>3 + •))+ f B (v1^-a1x{s, tr), v2—a2x (s, t,'), v3—a3x (s, t1-), s) ds (10) Jto является решением задачи (8), (9).
Рассмотрена задача Коши для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными.
J^fab v2, V3, t, X, у) = dx2z (Vl> V2> 1' i11).
V2, io> Ж, у) = 2Г0(^1, V2, v3, X, у), (12) где t G Т, ж G R, У € R, VI G Li (T), v2 G Zq (T), G Li (T), г: Li (T) x Li{T) x Li (T) x T x M2 С — искомое отображение, Zi (T) x h (T) x ЭДхТхКЧСиго: Li (T) x Lx (T) x Lx (T) xl4C — заданные функции.
Обозначим через Fxy[f](?, rj) преобразование Фурье по переменным (ж, у), через F^[f](x, y) обратное преобразование Фурье по переменным (?, 77), знак * обозначает свертку функций по переменным (х, у).
В формулировке следующей теоремы отображение и его производные вычисляются в точках (v + ??2x (itb «)> v2 + t, ¦)>з — г’х (^О) ?5 *), х, 2/), а отображение 6 и его производные вычисляются в точках.
1 + ??2х (т, •), + мгМт, ■-)>т> Й.
Теорема 4. Пусть существует окрестность У (г) нуля радиуса г в Ь (Т) х Ь{Т) х Ь{Т) такая, что при всех (г>1,г^, г>з) Е ^(г) в окрестности точки + + существуют непрерывные по у, г>2-з вариационные производные при? Е Т, в окрестности точки (г>1 + г?2х (г> ^ «)>2 4- Щ2х (Т> ')>з — ?х (г> ')> т> ^ у) существуют непрерывные по у, у^, уз вариационные производные г?2х (т, ?, -), у2 + гг]2х (т, -), у3- г’х (т, •), г, ж, у),.?' = 1, 2,3, 7гри Ь т <ЕТ, и функц ии.
I М), I I ¦ [ | г.
МО'' 1 ^М*)1 ^^"гМ <56. ,. 6Ь.. г <56, , г <56 Ч| при Ь 6 Т, г Е Т ограничены суммируемыми на М2 функциями. Тогда решение задачи (11), (12) находится по формуле г (у1,у2,уз1*, х, у) = ^[^/Ы*-!+ г?2х (?оЛ •)> (13).
Щ + гг]2х (го, г, -), У3- гх^о, •), ?/)](?> 2/)+ Г Р^хуМъ + ^хЫг), о гг!2х{т, t, гх (т, •), г, ж, ?/)](?, 77)](ж, ?/)б/т.
В параграфе 2.3 второй главы задача (1), (2) сводится к вспомогательной детерминированной задаче, которая представляет собой дифференциальное уравнение с частными и вариационными производными, рассмотренное в параграфе 2.2.
Для этого вводится вспомогательное отображение.
У (щ, у2, ги, ж, у) = М (и (г, х, у) Н (уь у2, т-3, гу)), (14) гд^еТ^е^уеШтУге ЬХ (Т), € ьг (Т), -Уз е ¿-1(Т), ад е Ьх (ТхК2), М — знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов е (&euro-), £2СО, и f (t, x, y), и^, х, у) — решение задачи (1), (2), Ь,(у1,У2,Уз, 1и) определяется формулой (4).
Умножив уравнение (1) и начальное условие (2) на Н (у, У2, уз^) и усреднив по функции распределения процессов ?1^), ?2(?)5 £зОО> /(^ х-> ?/)> в терминах функционала у (у, у2, уз, ж, у) получим детерминированную задачу.
У (VI, у2, Уз, ы, t, х, у) = дх2У (г)1> У2> Уз> 5 д2. (5. г2(г) У ~ ^ х'.
-«т—тг-Т^^ь «2,з, ад), д1у (г, х, у).
У (VI, У2, Уз, V), ¿-о, х, у) = М (д (х, у))ф (У1, у2, у3, ии). (16).
Причем, если известно У (г>1, у2, г>з> У)> то математическое ожидание М (и (Ь, х, у)) решения задачи (1), (2) вычисляется по формуле.
М (и (г, X, у)) = у (о, о, 0, 0,®, у). (17).
Определение 1. Пусть У (у1,у2,уз, и}, 1, х, у) является решением задачи (15), (16) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле), тогда У (О, О, О, О, ж, у) называется математическим ожиданием решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле).
Так как М (и (Ь, х, у)) = У (О, О, О, О, х, у), то важно найти решение задачи (15), (16) в малой окрестности точки (0,0,0,0) переменных ги).
Теорема 5. Пусть функция М (д (х, у)) суммируема на К2- при малых ии 6Е ^(ТхЕ2) выполнены условия теоремы 4, в окрестности точки (vl + г$l2x (to, t,'), V2—i1]2x ('to, t,•), vз-ix (tQ, t, -),-ш) существуют непрерывные по VI, и<2, Уз вариационные производные.
-), У2 + гг]2х (*о, •)>з — •), 3 = 1, 2, 3, при? 6Е Т, в окрестности точки (у + г^2х (т, t, ¦), г?2 + ??]2х (г, •), г>з — ?х (т,-), ш) существуют непрерывные по У, У2, вариационные производные 2 г мх (-тФ (ъ1+1?, 2х (т, t, -), У2+1Т]2х (т, t, -), у3-гх (т, = 1, 2, 3, оу^)оги{т, Х1у) при? е Т, г еТ, тогда.
У{уъ У2ч УЗ, ги, ж, ?/) = у))* (18) ?Л^о, •)>з — ¦)> 2/).
Сг 5 является обобщенным решением задачи (15), (16).
Из решения вспомогательной задачи (15), (16) получено выражение для математического ожидания решения задачи (1), (2). Теорема 6. При выполнении условий теоремы 5.
М{и&х, у)) = М{д{х, у))* (19).
— г [ ^^/[" Г^-Жг?2х (т, Ь-), ъг}2х (т, Ь-),.
Ло <�ш (т, X, у).
— гх (т, Ь •),())](?, т1)](х, у)(1т является обобщенным математическим ожиданием решения задачи (1), («)¦
Когда случайные процессы ?1(2), £з (0 не зависят от случайного процесса /(?, х, у) и заданы характеристическим функционалом.
2, ^з) = М (ехр (г / [?1(в)г-1(в) + ?2(5)^2(5) + езМ^зОО]^)), (20).
Зт справедлива следующая теорема.
Теорема 7. Если случайный процесс г/) ие зависит от случайных процессов € 2^)} £з (0> функция М (/(1,х, у)) суммируема на.
ТхМ?, в окрестности точки (г^•), г>2+^2х (г) ^")> ^з-?х (г> ^")) характеристический функционал случайных процессов ?]. (?)> зОО имеет непрерывные по г>2, г>з вариационные производные.
ЛЩ^Ы +2х (г, г, -), у2 + гг)2х (т, t, -), у3- %х{т, г, •)), 3 = 1, 2, 3, при ^ 6 Т, г 6 Т, м выполнены условия теоремы 5, то обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (2) имеет вид.
М{и{Ъх, у)) = М (д{х, у))* (21) [ *, •), М72х (т, *, ¦), -гх (г, •))](*, 2/) * М (/(г, я, у))<*т.
-/¿-О.
Отметим, что в случае независимости случайного процесса /(1-, х, у) от процессов ?1^), ?2(0, £з (0 для нахождения математического ожидания М (и,(?, ж, ?/)) решения задачи (1), (2) достаточно знать математическое ожидание М (д (х, у)) случайного процесса д (х, у), математическое ожидание М (/(£, ж, ?/)) случайного процесса /(?,&•,?/) и характеристический функционал </?(г>1,г>2,ш) случайных процессов ?1(0,.
Параграф 2.4 посвящен нахождению второй моментной функции решения задачи (1), (2).
Вводится отображение z (v 1, v2, v3, w, t, s, X, X, у, y) = M (u (t, X, y) u (s, ж, y) h (vь w)), (22) где i 6 T, s G Г, ж? I, j/? I, ж G IJ G 1,?2 €.
G Li (T), «- G Li (T x R2), M — знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов? i (t), ?2 СО? е3(¿-), f (t, x, y), h (vi, v2, v3,w) имеет вид (4).
Отметим, что Z (vi, v2, vs, w, t, s, x, x, y, y) симметрично по переменным (t, x, y) и (s, x, y).
Умножив обе части уравнения (1) и начального условия (2) на u (s, ж, y) h (vi, V2,з, w) и усреднив по функции распределения процессов? i (t), ?2(t), e3(t), f (t, x, y), получим следующую детерминированную задачу относительно функционала Z{yi, г>2, w, t, s, ж, x, у, у) д.
V2, V3, w, t, s, x, x, у, у) = (23).
• а <э2 дх1 Vb V3'w' s'.
• 6 7f f ' -I го, t, s, ж, ж, 7/, '</)dy2 6 г.
Sv3(t).
Z (vi, v2>з, гу, i, s, ж, ж, 2/, 2?)¦
-(ш, «з, з, х, у), з, х, х, у, у) = М (д (х, у) и (з, х, уЩу1,у2,Уз, т)). (24).
Причем,.
М (и& ж, у) и (з, X, у)) = г (0,0, 0, 0, г, ж, ж, у, у). (25).
Найдено решение вспомогательной задачи (23), (24), позволяющее получить формулы для второй моментной функции решения задачи (1), (2).
Обозначим через i^afy [/](?, <7) преобразование Фурье по переменным (.х, у), черезF11 [/](?, у) обратное преобразование Фурье по переменным л.
СV): через * свертку по переменным (х, у).
Теорема 8. Пусть vi G LX (T), у2 Е ЬХ (Т), уъ G L (T), w G LX (T x M2) — характеристический функционал ift (vi, v2, vs, w) имеет непрерывные по v, v2, уз вариационные производные.
5 (52.
— 7-гф (уъ v2, v3, w), -v2, Уз, w), ovj{t) dVj{t)ow (t, x, y).
53Ф (УъУ2,уз, Ы) ' = 123.
5vj (t)8w (T, Xiy)8w (oLiX, y)' ' ' ' при a G T, t G T, t G T, M (g (x, y)) и M (g (x, y) g (x, y)) суммируемы на R2 и R2 x R2- соответственно, тогда.
Z (v 1, у2, уз, w, t, s, х, х, у, у) = (26) М (д (х, у) д (х, у)) *' 1 + г|2Х (*0, 5, ¦) + О".
V2 + ir)2x (toi s, •) + ir]2x (tо, 03- ix (to, s, ¦) — ix (t0, t, •)> уЖх> у)~ -i j M (g (x, i,)) * ^^[^[¿-цД fl^i + s, •) + i^xito, t, •), v2 + s, 0 + «Ух (*о, t, •),.
V3~ix (r, s, •) — O"^)]^" У)^—.
— г jf + s' •) + •)' iffxfo, s, •) + •)> з — гх (*о, 5, ¦) — ix (r, t,•), w)](x, y)](?, T])](x, y) dr.
— f f F^[Fxy[Fjl[F?y[j~(-fx f, +.
Jt0Jt0 «tv ow{T, x, y)5w (a, x, y) i, ¦), + s, •) + iri2x (r, t, •), является симметричным, по переменным (t, x, y) w (s, x, y) решением задачи (23), (24) в обобщенном смысле.
Определение 2. Пусть ,-ш, ж, ж, ?/) является симметричным по переменным и (в, х, у) решением задачи (23),.
24) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле), тогда 2 Г (0,0, О, О, я, ж, х, у, у) называется второй моментпой функцией решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функции (в классическом смысле).
Теорема 9. Пусть выполняются условия теоремы 8. Тогда обобщенная вторая моментная функция решения задачи (1), (2) находится по формуле.
М (и^х, у) и (з, х, у)) = (27) М (д (х, у) д (х, у)) *' ^[^[^(?^Х^о, в, 0 + *, 0.
5, ¦) + г?72х (*о, '), ~гх (*о> «) ~ Ъ •), 0)](ж, ?/)](ж, у) м (д (х, у)) * •) •),.
-¿-хО^, •) ~ М (д (х, у))Щу) Ф (*Ы* о, •) + /е2х (г,^ ¦),.
5, •) + •)> •) — ?х (т> •), 0)](ж, у)}(£, г1)](х, у) йт.
— [ Г ^" Л^^Л^Г-ГТ-и Г — •) + ?е2х (г, ¦),.
Ло Ло ч/ «5т (т, х, у)6'ш (а, х, у).
— гх (а, в, •) — гх (т,*, •), 0)](|, Щж, ?)](?, г-)](ж, ?/)с/Ыт.
В случае, когда процесс ж,?/) не зависит от случайных процессов Доказана следующая теорема.
Теорема 10. Если случайный процесс ж, ?/) не зависит от случайных процессов е2(£), функции ж, ?/)) гг.
М (/(£, х, у)/(в, х, у)) суммируемы наТ х!2 и Т х Т х I2 х К2, соответственно, характеристический функционал <£>(г>1, г>2, г>з) случайных процессов ?1 имеет непрерывные по у, У2, г>з вариационные производные 1,2,3, при? Е Т, и выполнены условия теоремы 8, то м{и&х, у) и{8,х, у))= (28) М (д (х, у) д (х, у)) *' •) + ^(¿-о, •)>
•) + ¦), -х (*о, •) — •))]Й12/)+.
1о.
•) — ¿-хОоЛ О)]^" 2/)](ж, (/(-г, ж, + Г М (д (х, Ю^Р^Ч^М^Х^о, ¦) + Щ2х (т, в, •)+ ¿-о.
Щ2х (т, Ь, ¦) — гх (т, Ь, •))](?, г?)](ж, у) * М (Цт, х, у))с1т+ е/ ¿-о ^ ?0.
— гх (о-, 5, •) — гх (т, •))](?, $] У) *' м (/(т> 2/)/К $))<1а<1т является второй моментной функцией решения задачи (1), (2) в обобщенном смысле.
В параграфе 2.5 главы 2 получены выражения для дисперсионной функции решения задачи (1), (2) в общем случае и в случае независимости процесса /(1-, х, у) от процессов ?2^), £з (^).
Теорема 11. Пусть выполнены условия теоремы 8, тогда обобщенная дисперсионная функция решения задачи (1), (2) имеет вид ж, у)) = М (и2(1, х, у)) — (М («(*, ?/)))2 = (29) [М{д{х, у) д{х, у)) *' ^» ^М^хС*), 0 + ??2х (*о, ¦)" 5, ¦) + «Ух^о, •)> 0 ~ «х (*о, •)> ?)]0> 2/)~.
М (д (х, у)) * О +2хСМ, О,.
О + «Ух (*оЛ ¦)> -«х (г> О — «х (*о, ¦)> 2/)](1> ЙР- -г ^' М (<�у (?,•) + ?е2х (г,*, •).
Jt0 Jt0 «^ 5"7(г, я-, 2/)(5ги (а, ж,2/) г/)) * ¦), М72х (*0,•), -*х (*о, •)> 0)](гс, ?/))2+.
2 г (М (д (Ж, ?/)) * ^[Ж'х^о, О, «72х (*о, О» -*Х (*0, •), 0)](®, й) х.
Теорема 12. Пусть выполнены условия теоремы 10, тогда я, й) = (30).
Ж*, у)) *' ^[^[У^Х^о, •) + ??2х (*о, О, Г М (р (а-, у)) * •) + г?2х (*0, •),.
Л ?0 ц Г М (д (х, т^ьР&ЬЬЫк, •) + ?е2х (г, *, •), 0.
72х (*о, 5, •) + гг]2х (г, •), -г'х^о, •) — гх (т, •))](?, у)](ж, ?/)*.
О-ЧхСтЛ -))](?> у)*'ми (.т, у)1(а1 X, у))йайт]3=1,х=х, у=у—(М (д (х, у)) * Р?[<�р{#2Х{Ьо, •), м?2х (*(Ь О, -*х (*о, ¦))](*> У -2{М (д (х, у)) * ^Иг^оЛ О.^Х^оЛ 0, 0)](*>у))х о является, обобщенной дисперсионной функцией, решения задачи (1), (2).
Вариационным дифференцированием решения детерминированной задачи (15), (16), рассмотренной в параграфе 2.3, найдены формулы для смешанных моментных функций x, y)?j (s)), j — 1, 2, 3.
Теорема 13. Пусть случайные процессы £{Ь), ?2^), £з (0 не зависят от процесса /(?, х, у), характеристический функционал ^(^ь^г^з) процессов ?(?) — ?2^),з (^) имеет непрерывные по у2, уз вариационные производные до второго порядка включительно, М (д (х, у)) суммируемо на К2, М (/(£, суммируемо наТ х Ж2. Тогда.
М (и (г, х, у)ф))= (31) —гМ (д (х, у)) * р^-щ^ф^х^о,^ О^Л^оЛ •)> 2/) — является второй смешанной моментной функцией j =.
1,2,3, (в смысле обобщенных функций) решения задачи (1), (2).
В параграфе 2.7 получена рекуррентная последовательность детерминированных задач для нахождения моментных функций любого порядка.
Введем отображения р (у1,у2,у3:1и, г) =ехр (г J [?1(5)^1(5) + егМ^гМ + г / / [/(й, п, т2) ги (в, п, т2) + ть г2)2г (в, ть т2)](1т1(1т2(1,з) 7 Г «/Е2 и где 6 1а (Т), е 1а (Т), г-3 6 ЬХ{Т), <ш е ЬХ (Т х М2), г б Ьг (Т х М2), М — знак математического ожидания по функции распределения процессов зМ, и (^х, у).
Умножив обе части уравнения (1) и начального условия (2) на р (у1,У2,Уз, 1и, г) п переходя к средним значениям, получим д 5Я =, 6 д2 5д, 6 д2 5Я дх2 х, у) 5у2^) ду2 6г^, х, у), 5 б<2 5Я г)., ,.. ",. -^ ^—|<=*о = гМ{д{х, у) р (у1} у2, уз, *))• (33).
Получили детерминированную задачу относительно (¿-(у 1, г-2, уз, чи, причем коэффициенты уравнения (32) не зависят от статистических характеристик процессов 61^), ?2(?), /(?,, 2/), 9(Х, У).
Если известно <5(^1, г>з, ги, г), то легко находятся моментные функции решения задачи (1), (2) и даже корреляционные функции процессов ?2^), ез (*), f (t, x, y), и (^х, у). Например,.
Л/ГГ NN 1 г>2, г>з, -ш, г).
М{и{г, Х, у)) = —-1″! =0,"2=0,"3=0,го=0,г=0, лп и г \ ^{уъ .
М№, х, у)е&)) = - 8х^у)ща) к=ол=ол=о,"=о^о, 3 = 1,2,3.
Решение задачи (32), (33) ищется в виде степенного ряда.
Я = <20(^1,^2,^3,^)+.
ОО к р У • • • у Фа^ь2, т, ., вй, хь ., хк, у1,., ук) х.
Х2г (в1, ЖЬ г/1)2г (в2, ж2, 2/2) •¦ ¦ ^(вл, Жй, 3/А:)Йв1 • • • ?<8к (1×1. .. (1хк (1у1. .. йук, где интегралы по переменным ях,.,^ вычисляются по промежутку Т, по переменным х,., хк — по М и по переменным у,., ук — по М, отображения симметричны по тройкам переменных (й/, Х{, у{), г = 1, 2,., к.
Подставив разложение для у2, г>з, т, г) в уравнение (32) и приравняв степени по переменной г, получим.
— Т^ЯкЫ, У-2, У3, IV, t, S2,., X, х2,., Хк, у, У2, ¦ ¦ ¦, Ук) = (34).
• Я д2 ", • • •, ¿-к, х, х2,., Хк, у, у 2, • • •, г/*).
• ^ д2 " ,.
Ш, у3) и-, t, S2,., Як, х, х2,., Хк, у, У2, • • •, ЗЛь) ду2 ?
— К {4ЛЯк{? Ь Чъ гу, t, S2,., вк, X, х2,., Жь г/, 2/2, • • ¦, 2/Ат)~ дг-з (г- ?
X у)®-*-11' Уъ '''' Ж2) • • •' 2/2,., ы> при А- = 1, 2,.
Вычислив вариационную производную (к — 1) -го порядка по г от равенства (33) в точке (их, г?2, ии, 0, ?0,., ?0, х, х2,., хк, у, г/2,., Ук), находим.
Як (у 1,2, г73, -Ш, ?0, • • •- ¿-о, х, х2,., Хк, у, у2,., Ук) = М (д (х, у) д{х2, у2) • ¦ ¦ д (хк, ук))ф{у 1, г-2, г73> ги), (35).
Л- = 1,2,.
Таким образом, получена рекуррентная последовательность детерминированных задач (34), (35) для нахождения коэффициентов Як.
Определение 3. Пусть Qk (v ь v2, v3, w, s1:., sk, хг,., xk, yu ., yk) является симметричным по переменным (i = 1,2, решением в смысле обобщенных функций (в классическом смысле) задачи (34), (35). Тогда Qk{Q, 0, 0, 0, si,., sk,., хк, у1:. ., ук) называется моментной функцией k-го порядка решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле).
В третьей главе рассмотрены частные случаи законов распределения случайных коэффициентов уравнения (1) в предположении, что случайные процессы ?(i), ?2(^)5 £з (t) не зависят от случайного процесса f (t, x, y).
В параграфе 3.1 получена формула для математического ожидания решения задачи (1), (2) в случае равномерно распределенных случайных коэффициентов и оценена погрешность, возникающая при замене случайных процессов их средними значениями.
Предполагается, что случайные процессы Е (t), ?2 (t), независимы и распределены по равномерному закону распределения с характеристическими функционалами. sin L aj (s)v (s)ds, Z1, r/, u, ,, ,, N ?,(sHs)L IWMH’MJ = 1,2,3, (36) где v G Li (T), a, j G Loo (T), M (ej) G L^T), M (sj (t)) — математическое ожидание случайного процесса? j (t) (j = 1, 2, 3).
Вводятся следующие обозначения.
Aj (t0,t)= i a, j (s)ds, Mj (to, t) = i M (?j (s))dsJ = 1,2, J to j? O.
37) sil Г a5(s)ds Г1 D (t0,t)= Jtt0 J exP (/ M (?3(s))ds). Jto a3Is) ds Jto.
Теорема 14. Пусть выполнены условия теоремы 7, случайные процессы ?2^), независимы и распределены по равномерному закону распределения с характеристическими функционалами (36). Тогда мм, х, у)) = ЕЕ (38) к=0 ш=О /о? ? (2^ + 1)!(2т + 1)! дх4кду4т йт.
4ттл/М1(Т^)М2(Т, ?) является обобщенным математическим ожиданием решения задачи (1), (2).
Теорема 15. Пусть случайные процессы ?{1), ?2^), распределены по равномерному за, кону распределения, выполнены условия теоремы 1, функции М (д (х, у)) и М (/(£, х, ?/)) имеют частные производные любого порядка по переменным х и у, существуют неотрицательные постоянные с, д и неотрицательная на отрезке Т функция (?), при которых выполняются неравенства дхАкдуАт к+т).
М (д (х, у)) С1(2/г + 1)!(2т + 1) дк+Тп, дх4кду4т с2(г)(2к + Щ2т+1)д к+т.
ЧА]{1<1,^ = 1,2.
Тогда (38) определяетматематическое ожидание решения задачи (1), (2) и справедлива оценка.
Заменив в задаче (1), (2) случайные процессы е^), ?2 $), £з&-), ж, у), д (х, у) их средними значениями, получим детерминированную задачу д д2 д2 х, у) = М^ВД)—х, у) + М (е2{Ь))^и{1, ж, </)+.
М (?зх, у) + М (/(*, ж, у)), (40) и{Ц, х, у) = М{д{х, у)). (41).
Ее решение, с учетом обозначений (37), имеет вид ехр (Г/ МЫз (в)Ш и&х, у) = М (д (х, у))*Е (Ы, х, у) / - + (42), чх / ч ехр (Г*М (ез (з))<1з) 7.
Л, ^ ^ '^47ГЛ/М1(т,^)М2(т^).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 16. Пусть выполнены условия теоремы 15, функция ж,?/) — решение детерминированной задачи (40), (41)> М{и{Ъ->х->у)) ~ математическое ожидание решения задачи (1), (2), определяемое формулой (38), тогда справедлива следующая оценка.
М (и (1,х, у))-и (1,х, у) < (43) С1 ехр (/ - 1) +.
1″ /1оа3(в)(1? Гф) ехр (/" МЫ, — 1) ат+ + «(т) Л (г,.
Заметим, что при а, = 0, .7 = 1,2,3, процессы ?]. (?), £ъ (1) являются детерминированными и равными М (е 1^)), М{?2(Ь)), М (ез (Ь)). Из формулы (43) видно, если a, j стремятся к нулю, то математическое ожидание (38) решения задачи (1), (2) стремится к решению детерминированной задачи (40), (41), полученной при замене случайных процессов математическими ожиданиями.
В параграфе 3.2 рассмотрен случай нормального распределения случайных коэффициентов уравнения (1). Найдены математическое ожидание, вторые моментные и дисперсионная функции решения задачи (1), (2). Оценена разность между математическим ожиданием решения задачи со случайными коэффициентами и решением детерминированной задачи, в которой коэффициенты заменены их средними значениями.
Теорема 17. Пусть выполнены условия теоремы 7, случайные процессы ?{t), ?2(t), ?3(t) распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом p (vi, v2, v3) = exp (z^[M (ei (s))i-i (s) + М (e2(s))v2(s) + M (?3(s))v3(s)]dsl (sb S2K (SlW (s2) + &2(sb 52)^2(51)^2(^2)+ (44) где vi € Li (T), v2 <= h (T), v3 e Li (T), M{e5) <= L^T), bj e Loq (T X T), M (sj (t)) — математическое оэюидание случайного процесса? j (f)> bj (si, S2) = M (ej (si)?j (s2)) — M (?j (si))M (?j (s2)) — ковариационная функция случайного процесса? j (t) (j = 1,2,3,). Тогда обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (2) имеет вид.
MHt, х, v)) = tt ««* <45).
0 771 = 0 E (t0, t, x, y) N (tp, t) | 47 Г у/Ml (to, t) M2 (to, t).
2^)km да&ду4тМтт'Х'У)) lo k=0 m=0 * E (r, t, x, y) N (r, t) л.
-. —clt,.
47rA/M1(r, i) M2(r, i) 24 где в5Ом) = ?1 //о ^-(51, 52)^12, = Лф^"))^, 3 = 1, 2,.
2 2 г, х-3/) = екр (-—^ - ВД^) — (46).
ЛГ (*о,<) = ехр (/ [ [ Ь3(а1,з2)<1в1<}з2). о ¿-о ^ «?0 «.
Теорема 18. Пусть выполнены условия теоремы 10, случайные процессией), е2(£) — £зОО распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом (44) — Тогда.
М (и (1,х, у) и (з, х, у)) = (47).
4тг)2л/ЛГ1(*0, *)М2(*0, ^Мх^о, в) М2(<0> ^ ' ^.
СЮ оо /1 А, 2(й+™)А-!т! дх^ду4™ Що' *>Х>У)Х к=0 т=О у к=0 т=О и к (4тг)'умх^о, *)М2(*0, в) М2(г, 5) к.
2(к+тп)кт дх^дг/1 г=0 ш=0 ' ' У.
А-=0 т=0.
Л, (4тг)2л/^1^о, «)М2(40, ®)М!(г, <)М2(т,.
0 ш=0 у оо оо.
—п тэт—П «» «о к—О ТП=О /-в Г Гх к Л0 (47Г)2л/М (т, *)М2(т, <)М1(СК, в) М2(а, в) к=0 ш=0 у.
0 т=0 у.
М (/(г, ж, 2/)/(а, ж, £))сЫт является обобщенной второй моментной функцией решения задачи (1),.
Теорема 19. Пусть выполнены условия теоремы 13, случайные процессы ??2^),з (^) распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом (44) — Тогда вторая смешанная моментная функция решения задачи (1), (2) (в смысле обобщенных функций) имеет вид.
М (и (^х, у) е1(з)) = —-=ф^===(М (е1(з))Е (г0Х^у)+ (48) к=0 т=0 ' ' У Г л /дЛ^дг. ж, 2/) + С (т, Ж, 2/))*.
ОО 00.
21к+г" 'кт дха’дуЛт {1/'У,> ' к=0 т=О у где гЬ.
Мо.
Теорема 20. Пусть выполнены условия теоремы 12, случайные процессы ?]. (?), ^2(?).> £з (£) распределены по нормальному закону распределения. Тогда.
-(4 ^ х у))* (ЕЕ «, «¦+ т=0 у ко (4тг)о, *)М1(г, *)М2(т, *) сь^Д^о,*) д4(А:+?п) 2^+т)&!т! дхАкдуАт? ? я! Г'1,М (/(г, х, &bdquo-))Цг+ х 4,!/)*?? ^¿-ш! У))) X г=0 т—0.
ОО ОО.
2(л+тШт! дх4кду4 к=0 т=0 * л/1, , х и к (4тг)2^М1 (г, *)М2(т, €)Мх (а, *)М2(а, *).
0 ?П=0 оо оо &bdquo-д.
2№+™)/Ь!т! с).г" «''с1у4» '.
0 ш=0.
М (/(т, ж, г/)/(а, ж, у))йас1т-47Гл/ МХ^О, ?)М2(?О, ¿-¿-о 2<*+" 0*Ы.
14тт^М1(*о,*)М2(*о,*) ' ¿-¿-о 2(*±)й!т! да&ду4>"М{9{1>У)))Х х7 аж^гЛ" ^ г° /с = 0 771=0 ^.
4тг>/М1(Г,*)М2(Г,*) Т- ½2^ дя&ду-ь" «^' >У)) к=0 т=О у.
4тгл/М1(г^)М2(гД) тявляется дисперсионной функцией решения задачи (1), (2) (в смысле обобщенных функций).
Теорема 21. Пусть случайные процессы ег^), распределены по нормальному закону распределения, выполнены, условия теоремы 7, функции М (д (х, у)) гл х, у)) имеют частные производные любого порядка по переменным х и у, существуют неотрицательные постоянные с, д и неотрицательная на отрезке Т функция с2(£), при которых выполняются неравенства к+т) дх4кду4т д4(к+т).
М (д (х, у)) С1ктдк+т, С2^)ктд.
1 т.1 пк+т дхАкду4т'.
Тогда (45) определяет математическое ожидание решения задачи (1), (2) и справедлива оценка.
МИ*. *,"))! < (2 дв1(^Ж2'-9 В,(«о,»))+ (50).
4 Г*<*№('•*)?Т.
Теорема 22. Пусть выполнены условия теоремы 21, и (Ь, х, у) — решение детерминированной задачи (40), (41)> М (и (1-, х, у)) — математическое ожидание решения задачи (1), (2), определяемое формулой (45), тогда справедлива следующая оценка м{и (г, х, у))-и{г, х, у) < (51).
С1вхр (/ М (е$(в))(1з)(е!хр^- I I Ь3(з1,зг)с1з1(1з2) — 1)+ / с2(т) ехр ([ М (е3(з))с1з)(ехр (^ [ Ь3(з1, 31) с1з1с1з2) — 1) с1ас1/3(1т;
При ^ = 0, j = 1,2,3, процессы ?]. (?), ?2^),з (^) являются детерминированными и равными М (£2(£)), М (ез (^)), соответственно.
Если в (51) устремить bj к нулю, то математическое ожидание (45) решения задачи (1), (2) будет стремиться к решению детерминированной задачи (40), (41), полученной при замене случайных процессов их средними значениями.
В параграфе 3.3 вычислено математическое ожидание решения задачи (1), (2) в случае пуассоновского закона распределения случайных коэффициентов.
Пусть случайные процессы? i (t), S2(t), £з (^) заданы характеристическими функционалами ft г poo pti p? j (v) = exp (i/j- / (/ p (qj)ex.p (iqj v (s)lj (s — r1) ds)dqj — l) drx), (52).
J to J — oo J T j = 1,2,3, где p (qj) — плотность распределения случайной величины qj, функция lj (t) описывает форму импульса и является детерминированной (lj (t) = 0 при t < 0), Vj — параметр (j = 1, 2, 3).
Теорема 23. Пусть выполнены условия теоремы 7, случайные процессы ?{t), ?2(t), ??>{t) независимы и распределены по пуассоновскому закону распределения с характеристическими функционалами (52). Тогда обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (2) имеет вид.
M (u (t, х, у)) = (53) ехр (г/3 //- М (ехр (д3 fLxfafr} h (s — r^ds^dn) exp (i/i (ii — t0)) exp (i/2(ii — t0)) exp (i/3(ii — t0)) ft.
M (g (x, y))* i1[exp (z/i f M (exp (-e2gi [ h (s — n) ds))dri)x exp (i/2 f М (ехр (-ту2д2 f h (s — Ti) ds))dTi)](x, y)+.
J in J maxiri .in") ехр (г/3 //- M (exp (g3 /1^1ах{гьг} Z3(s — n)^))dn) ^ J.
Jt0.
F^[exp (i/i [ M (exp (-e2gi [ h{s — n) ds))dn)x io J max{ri, r} rio exp (i/i (ii — i0)) exp (i/2(ii — to)) exp (i/3(ii — i0)).
-, — 1 г / / X.
X exp (z2 f M (exp (-r}2q2 i l2{s — r^ds^dr^x, y)*.
J to Jmax{n, r}.
M (f (r, x, y))dT. В заключении перечислены основные результаты диссертации.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Выделим основные новые результаты, полученные в диссертации:
1. Получена явная формула для решения начальной задачи для дифференциального уравнения с частными и вариационными производными первого порядка.
2. Найдено решение задачи Коши для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными.
3. Получены формулы для нахождения математического ожидания, вторых моментных функций, дисперсионной функции решения уравнения теплопроводности в общем случае и в случае независимости случайных коэффициентов от случайного внешнего воздействия.
4. Построены рекуррентные соотношения для вычисления последовательных моментных функций.
5. Получены выражения для математического ожидания, второй мо-ментной функции, дисперсионной функции решения для частных законов распределения случайных коэффициентов.
6. В случае нормального и равномерного распределения случайных коэффициентов оценена погрешность, обусловленная заменой случайных процессов, входящих в уравнение, их математическими ожиданиями.
7. Доказано, что формула для математического ожидания решения является обобщением известной формулы Пуассона для решения уравнения теплопроводности.
