Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений

1.

Актуальность темы

Метод конечных элементов является одним из наиболее распространённых методов решения задач математической физики. Это связано с большой универсальностью метода, сочетающего в себе лучшие качества вариационных и разностных методов. К его несомненным достоинствам относятся возможность использования разнообразных сеток, сравнительная простота и единообразие способов построения схем высоких порядков точности в областях сложной формы. Метод естественным образом сохраняет основные свойства операторов исходных задач, такие как симметрия, положительная определённость и т. п. Различные аспекты современной теории МКЭ изложены в работах [4,7,10,20,21,38,43,47,48].

Классические варианты МКЭ (см., например, [48], с. 112, и обзор [10]) предполагают использование пространств элементов высокой гладкости, основанных на лагранжевой либо эрмитовой интерполяции. Возникающие на этом пути численные алгоритмы зачастую оказываются весьма трудоёмкими. Стремление использовать более простые элементы объясняет появление специального класса схем МКЭ — смешанных методов конечных элементов (СМКЭ) и близких к ним разновидностей МКЭ — смешанно-гибридных и гибридных схем (см., например, обзор в [48], с. 402 — 408). Главное преимущество таких схем состоит в возможности использования простейших конечных элементов Лагранжа. Это достигается путём снижения порядка уравнений при помощи введения вспомогательных неизвестных. Как правило, эти неизвестные связаны с производными искомых функций и имеют определённый физический смысл (например, — это поток, изгибающие моменты, и т. д.), их вычисление зачастую представляет даже больший практический интерес.

Введение

вспомогательных неизвестных часто осуществляется за счёт использования двойственной, смешанной или какой-либо иной вариационной переформулировки исходной задачи (см., например, [1,48,84−87]). Впервые абстрактный математический анализ таких методов был проведён в работах Обена, Бушара и Бабушки [44,51,52], позже в работах Кикути, Хас-лингер, Главачек [70−72,78].

П.А. Равьяр, Ж. М. Тома [98] построили различные пространства конечных элементов, используемые для аппроксимации смешанных схем, и получили соответствующие порядки сходимости. Дальнейшие результаты были получены в работах Мэнсфильда [83]. Для получения оценок ошибки Шольц [104], [105] применил метод весовых норм И. Нитше.

Ф. Бреззи, П. А. Равьяр [61] разработали общую теорию смешанных методов для задач четвёртого порядка и получили оптимальные оценки ошибки в норме || • 11о, Г2.

Смешанные методы конечных элементов для задачи о пластине, впервые предложены Германом [74] и позже развиты в работах По-цески [94], Хеллана [73], Виссера [108]. Анализ таких методов проведён в работах [75,76,81,82,84,102]. В работах Береззи [57], Бреззи и Равьяра [61], Фалка и Осборна [64] были получены оптимальные оценки погрешности этих схем, создана общая теория СМКЭ для линейных эллиптических уравнений четвёртого порядка. Различные модификации СМКЭ и их обоснование можно найти также в [15−17,24,25,28−30,33,40,41,60,63,83,85,86,93−95].

Методы конечных элементов смешанного типа используются также при аппроксимации решений задач Стокса и Навье — Стокса. Такие методы изучались Тейлором, Ходдом [106], Берковье [54], Берко-вье, Ливном [55], Жиро [68], [69], Равьяром [97], Фортином [67].

Смешанные методы также используются при решении нелинейных задач, таких, как уравнения Кармана (Миёси [85−87]), упруго-пластические пластины (Бреззи, Джонсон, Мерсье [60]), нелинейные задачи теории оболочек (М.М. Качевский, Л. Ш. Заботина [14−17]), нелинейные задачи монотонного типа (Берковье [54], Шёрер [103]).

Смешанные методы одновременно дают аппроксимацию решений основной и двойственной задач. Так как на практике решение двойственной задачи состоит в вычислении производных (градиента) от решения основной задачи, то терминология смешанный метод может быть также более широко часто используется для всякой процедуры аппроксимации, когда одновременно аппроксимируется неизвестное и некоторые из его производных независимо от того, делается ли это с помощью техники двойственности или нет. Такое определение, в частности, даётся Дж. Оденом, подробно изучившим такие методы (см. [53,88−93,99,101]).

Теория смешанных методов для линейных, а также весьма широких классов нелинейных эллиптических уравнений в пространствах Wразвита к настоящему времени достаточно полно (см., например, [65,66]). Значительно слабее изучены теоретические вопросы смешанного метода конечных элементов для эллиптических уравнений в пространствах Wp^ и уравнений в W^ допускающих вырождение по нелинейности. В то же время, многие важные практические задачи приводят именно к таким уравнениям. К ним относятся стационарные задачи фильтрации жидкости, подчиняющейся закону фильтрации с предельным градиентом сдвига.

Исследованию смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений с сильно монотонными операторами посвящены работы [65,66]. Общие подходы к построению и исследованию смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений с вырождающимися операторами изучались в работах [31,34].

2. Цель работы. Построение смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка, исследование условий разрешимости и сходимости схем, получение оценок точности, построение и исследование итерационных методов их численной реализации.

3. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, списка литературы содержащего 108 наименований.

1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга. — М.: Наука, 1978.

2. Астраханцев, Г. П. Анализ алгоритмов типа Эрроу-Гурвица / Г. П. Астраханцев // Журнал вычисл. матем. и матем физ. 2001. — Т. 41, № 1. С. 17−28.

3. Бернадинер, Г. И. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей / Г. И. Бернадинер, В. М. Ентов, В. М. Рыжик. — М.: Наука, 1975.

4. Бесселинг, И. Ф. Методы конечных элементов / И.Ф. Бессе-линг // Механика деформированных твердых тел. Направления развития. М.: Мир, 1983. — С. 22−51.

5. Вайнберг, М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов / М. М. Вайнберг. М.: Наука, 1972.

6. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грёгер, К. Захариас. М.: Мир, 1978.

7. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галла-гер. М.: Мир, 1984.

8. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Тру-дингер. — М.: Наука, 1989.

9. Глушенков, В. Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации / В. Д. Глушенков // Прикл. матем. в технико-экономических задачах. Казань: Изд-во Казанского университета, 1976. — С. 12−21.

10. Дьяконов, Е. Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач / Е. Г. Дьяконов. М.: Наука, 1989.

11. Дьяконов, Е.Г. Optimization in Solving Elliptic Problems / Е. Г. Дьяконов. Roca Ratin, 1996.

12. Заботина, Л. Ш. Исследование смешанных схем конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек: дис. на соискание учёной степени канд. физ.-матем. наук / Л. Ш. Заботина. — Казань, 1996. 117 с.

13. Заботина, Л. Ш. Итерационные методы для смешанных схем конечных элементов решения нелинейных задач теории оболочек / Л. Ш. Заботина, М. М. Карчевский // Вычислительные технологии, 3, № 4, 1998. С. 24−35.

14. Заботина, Л.Ш. О смешанных схемах конечных элементов для нелинейных задач теории непологих оболочек / Л. Ш. Заботина, М. М. Карчевский // Вестник КГТУ им А. Н. Туполева. 1998. № 1. С. 48−54.

15. Задворнов, О. А. Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника / О. А. Задворнов // Известия вузов. Математика. — 2005. — № 1. — С. 58-G3.

16. Задворнов, О. А. Применение смешанных схем МКЭ для решения задач нелинейной теории фильтрации / О. А. Задворнов, М. М. Карчевский, А. Е. Федотов // Известия вузов. Математика. 2007. — № 8. — С. 16−26.

17. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. М.: Мир, 1975.

18. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. М.: Мир, 1981.

19. Икрамов, Х. Д. Несколько замечаний по поводу обобщенного алгоритма Холесского / Х. Д. Икрамов // Журнал вычисл. матем. и матем физ. 1992. Т. 32, № 7. — С. 1126−1130.

20. Канторович, Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. — М.: «Физмат-гиз», 1959.

21. Карчевский, М. М Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений четвертого порядка / М. М Карчевский, А. Д. Ляшко, М.Р. Тимерба-ев // Дифф. уравнения. 2000. — Т. 52, № 7. — С. 1050−1057.

22. Карчевский, М. М Исследование смешанных методов типа Германа Джонсона для нелинейных задач теории оболочек / М. М Карчевский, Л. Ш. Мовчан. Вестник Казанского технического университета им. А. Н. Туполева, 2002, № 3. — С. 30−35.

23. Карчевский, М. М Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений / М. М Карчевский, А. Е. Федотов // Ученые записки Казанского государственного университета, т. 147, кн. 3, 2005. — С. 127−140.

24. Карчевский, М.М. О смешанном методе конечных элементов в нелинейной теории тонких оболочек /М.М. Карчевский // Журнал вычисл. матем. и матем физ. 1998. — Т. 38, № 2. — С. 324−329.

25. Карчевский, М. М. Об одном классе сеточных методов для нелинейных задач теории пластин / М. М. Карчевский // Журнал вычисл. матем. и матем физ. 1999. — Т. 39, № 4. — С. 670 -680.

26. Карчевский, М. М. Смешанные схемы типа Германа-Джонсона для геометрически нелинейных задач теории оболочек /М.М. Карчевский // Современные проблемы математического моделирования. Ростов-на-Дону, 2001.

27. Карчевский, М. М Об итерационных методах численной реализации смешанных схем для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка / М. М Карчевский // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во КГУ. 2004. Вып. 25. — С. 59−69.

28. Карчевский, М. М. Исследование разностной схемы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации /М.М. Карчевский, А. В. Лапин // Исследованя по прикладной математике. -Казань: Изд-во КГУ. 1979. — Вып. 6. — С. 23−31.

29. Карчевский, М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации / М. М. Карчевский, А. Д. Ляшко // Известия вузов. Математика. 1975. — № 6. — С. 73−81.

30. Ка’рчевский, М. М. Разностные схемы для нелинейных уравнений математической физики / М. М. Карчевский, А. Д. Ляшко. Казань: изд-во КГУ, 1976.

31. Карчевский, М. М. Об одном варианте смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений / М. М. Карчевский, А. Е. Федотов // Исследования по прикладной математике. Вып. 24. — Казань: Изд-во Казанского унта. 2003. — С. 74−80.

32. Корнеев, В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности / В. Г. Корнеев. — Л.: ЛГУ, 1977.

33. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972.

34. Масловская, Л. В. Обобщенный алгоритм Холесского для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач / Л. В. Масловская // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. — 1989. Т. 29, № 1. — С. 67−74.

35. Масловская, Л. В. Об условиях применимости обобщенного алгоритма Холесского / Л. В. Масловская // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1992. — Т. 32, № 3. — С. 339−347.

36. Михлин, С. Г. Численная реализация вариационных методов / С. Г. Михлин. М.: Наука, 1966.

37. Норри, Д.

Введение

в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. Фриз. М.: Мир, 1981.

38. Обен, Ж. П. Приближенное решение эллиптических краевых задач / Ж. П. Обен. Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

39. Самарский, А.А.

Введение

в теорию разностных схем / А. А. Самарский. — М.: Наука, 1971.

40. Самарский, А. А. Численные методы для сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. — М.: Наука, 1978.

41. Стренг, Г. Теория МКЭ / Г. Стренг, Дж. Фикс. — М.: Мир, 1977.

42. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. М.: Мир, 1980.

43. Темам, Р. Уравнения Навье Стокса / Р. Темам. Теория и численный анализ. — М.: Мир, 1981.

44. Aubin, J.P. Some aspects of the method of the hypercircle applied to elliptic variational problems / J.P. Aubin, H.G. Burchard, in SYNSPADE 1970 (B. Hubbard, editor), Academic Press, New York, 1971.

45. Babuska, I. Error-bounds for finite element method / I. Babuska // Numer. Math. 16 (1971), pp. 322−333.

46. Babuska, I. Mixed-hybrid finite element approximations of second-order elliptic boundary-value problems / I. Babuska, J.T. Oden, J.K. Lee // TICOM Reports 75−7. The University of Texas at Austin, Austin, 1975.

47. Bercovier, M. Regularisation duale des problemes variationnels mixtes. Applications aux elements finis mixtes at extension a quelques problemes non lineaires / M. Bercovier // Doctoral Thesis, Universite de Rouen, 1976.

48. Bercovier, M. A 4 CST quadrilateral element for incompressible and nearly incompressible materials / M. Bercovier, E. Livne // Technical Note MB/76/3, Computation Center, Hebrew University, Jerusalem, 1976.

49. Brezzi, F. Sur une methode hybride pour l’approximation du probleme de la torsion d’une barre elastique / F. Brezzi // 1st. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend. A 108(1974), pp. 274−300.

50. Brezzi, F. On the existance, uniqueness and approximation of saddle-point problems arising from Lagrangian multipliers / F. Brezzi // Rev. Frangaise Automat. Informant. Recherche Operationnelle, Ser. Rouge Anal. Numer. R-2(1974), 129−151.

51. Brezzi, F. Sur la methode des elements finis hybridcs pour le probleme biharmonique / F. Brezzi // Nurner. Math. 24 (1975), pp. 103−131.

52. Brezzi, F. Mixed and Hybrid Finite Element Methods / F. Brezzi, M. Fortin. — Springer series in Сотр. Math., 1991.

53. Brezzi, F. Analysis of a mixed finite element method for elasto-plastic plates / F. Brezzi, C. Johnson, B. Mercier // Math. Сотр. 31 (1977), 140, pp. 809−817.

54. Brezzi, F. Mixed finite element mathods for 4th order elliptic equations / F. Brezzi, P.-A. Raviart // Rapport interne No. 9, Centre de Mathematiques Appliquees, Ecole Polytechnique, Palaiseau, 1976.

55. Ciarlet, P.G. A mixed finite element method for the biharmonic equation / P.G. Ciarlet, P.-A. Raviart //in Mathematical Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations (C. de Boor, editor), pp. 125−145, Academic Press, New York, 1974.

56. Ciarlet, P.G. A mixed finite element methods for 4th order elliptic equations / P.G. Ciarlet, P.-A. Raviart // Math. Aspects of Finite Elements in Partial Differential Equations. (C. de Boor, ed.).

57. Falk, P. S. Error estimate for mixed method / P. S. Falk, J.E. Osborn // RAIRO. Numer. Anal. 1980. — V. 14, N 3. -pp. 249−277.

58. Farhloul, M. A mixed finite element method for a nonlinear Dirichlet problem / M. Farhloul // IMA. J. Num. Analysis 18 (1998). -pp. 121−132.

59. Farhloul, M. On a mixed finite element method for the p-Laplasian / M. Farhloul, H. Manouzi // Canadian Applied Mathematics Quathrly, V. 8, N 1, Spring 2000. pp. 67−78.

60. Fortin, M. Resolution numerique des equations de Navier-Stokes par des elements finis de type mixte / M. Fortin //in Journees Elements Finis, Universite de Rennes, Rennes, 1976.

61. Girault, V. A combined finite element and Markes and Cell method for solving Navier-Stokes equations / V. Girault // Numer. Math 26 (1976). pp. 39−59.

62. Girault, V. A mixed finite element method for the stationary Stokes equations / V. Girault.

63. Haslinger, J. Curved elements in a mixed finite element method close to the equilibrium model / J. Haslinger, Hlavacek // Apl. Mat.20 (1975). pp. 233−252.

64. Haslinger, J. A mixed finite element method close to equilibrium model / J. Haslinger, Hlavacek // Numer. Math. 26 (1976). — pp. 85−97.

65. Haslinger, J. A mixed finite element method close to equilibrium model applied to plane elastostatics / J. Haslinger, Hlavacek // Apl. Mat. 21 (1976). pp. 28−42.

66. Hellan, K. Analysis of elastic plates in fiecsure by a simplified finite element method / K. Hellan // Acta Polytechn. Scandinavica. Ci 40. Frondheim, 1967. V. 46. — pp. 1−29.

67. Hermann, L. Finite element bending analysis for plates / L. Hermann // Journal of Mechanics Division, ASCE, 93 (1967), EM5.

68. Johnson, C. Convergence of another mixed finite-element method for plate bending problems / C. Johnson // Report No. 1972;27, Department of Mathematics, Chalmers Institute of Technology and the the University of Goteborg, Goteborg, 1972.

69. Johnson, C. On the convergence of a mixed finite-element method for plate bending problems / C. Johnson // Numer. Math.21 (1973). pp. 43−62.

70. Kikuchi, F. Theory and examples of partial approximation in the finite element mathod / F. Kikuchi // Internal. J. Nuiner. Methods Engrg. 10 (1976). pp. 115−122.

71. Kikuchi, F. A new variational functional for the finite element method and its application to plate and shell problems / F. Kikuchi, Y. Ando // Nuclear Engineering and Design, 21 (1972). pp. 95−113.

72. Kikuchi, F. Some finite element solutions for plate bending problems by siplified hybrid displacement method / F. Kikuchi, Y. Ando // Nuclear Engineering and Design, 23 (1972). — pp. 155 -178.

73. Kikuchi, F. Rectangular finite element for plate bending analysys based on Hellinger-Reissner's variational princilc / F. Kikuchi, Y. Ando // J. Nuclear Sci. and Tech. 9 (1972). pp. 28−35.

74. Kikuchi, F. On the convergence of a mixed finite element scheme for plate bending / F. Kikuchi, Y. Ando // Nuclear Engineering and Design, 24 (1973). pp. 357−373.

75. Mansfield, L.E. Mixed finite element methods for elliptic equations / L.E. Mansfield // Report No. 76−24. Institute for Computer Applications in Science and Engineering, NASA Langley Research Center, Hampton, Virginia, 1976.

76. Miyoshi, T. Finite element method for the solutions of fourth order partial differential equations / T. Miyoshi // Kumamoto J. Sci. (Math.) 9 (1973). pp. 87−116.

77. Miyoshi, T. A mixed finite element method for the solution of the Karman equations / T. Miyoshi // Numer. Math. 26 (1976). -pp. 255−269.

78. Oden, J.T. Some contributions to the mathematical theory of mixed finite element approximation / Oden J.T. //in Theory and Practice in Finite Element Structural Analysis, pp. 3−23, University of Tokyo Press, 1973.

79. Oden, J.T. Some observations on properties of sertain mixed finite element approximations / J.T. Oden, J.N. Reddy // Internat. J. Numer. Methods Engrg. 9 (1975). pp. 933−949.

80. Oden, J.T. An introduction to the mathematical theory of finite elements / J.T. Oden, J.N. Reddy // Wiley Interscience, New York, 1976.

81. Oden, J.T. On mixed finite element approximations / J.T. Oden, J.N. Reddy // SIAM J. Numer. Anal. 13 (1976). pp. 393−404.

82. Poceski, A. A mixed finite element method for bending of plates / A. Poceski // Internat. J. Numer. Methods Engrg. 9 (1975). — pp. 3−15.

83. Rannacher, R. On nonconforming and mixed finite element method for plate bending problems. The linear case / R. Rannacher // RAIRO. Anal. Numer. 1979. — V. 13, N. 4. — pp. 369−387.

84. Raviart, P.-A. Hybrid finite element mathods for solving 2nd order elliptic equations / P.-A. Raviart //in Topics in Numerical Analysis, II (J. J. H. Miller, editor), pp. 141−155, Academic Press, New York, 1975.

85. Raviart, P.-A. On some applications of mixed finite element methods / P.-A. Raviart //in Proceedings of the «Colloque Franco-Bresilien sur les Methodcs Numeriques de l’Ingenieur», August 1976, Rio de Janeiro.

86. Raviart, P.-A. A mixed finite element method for 2-ond order elliptic problems / P.-A. Raviart, J.M. Thomas. — Lecture Notes in Math. 606 (1977). pp. 292−315.

87. Reddy, J.N. On mixed-hybrid finite element approximations of the biharmonic equation / J.N. Reddy //in Proceedings of the Second SIAM-SIGNUM 1975 Fall meeting.

88. Reddy, J.N. Convergence of mixed finite-element approximations of a class of linear boundary-value problems / J.N. Reddy, J.T. Oden // J. Struct. Mech. 2 (1973). pp. 83−108.

89. Samuelsson, Mixed finite element methods in theory and application / Samuelsson //in Proceedings of the Finite Element Cource (Tirrenia), Instituto di elaborazione della informazione, Pisa, 1973.

90. Scheurer, B. Existence et approximation de point-selle pour certains problemes non lineaires / B. Scheurer // Rev. Frangaise Automat. Informat. Recherche Operationelle, Ser. Rouge Anal. Numer. 11 (1977), 4. pp. 369−400.

91. Scholz, R. Approximation von Sttelpunkten mit finiten Elementen / R. Scholz // Bonn. Math. Schr., 89 (1976). pp. 53−66.

92. Scholz, R. Loo-convergence of saddle-point approximations, for second order problems / R. Scholz // Rev. Frangaise Automat. Informant. R, ccherche Operationnelle, Ser. Rouge Anal. Numer. 11 (1977), 2. pp. 209−216.

93. Taylor, C. A numerical solution of the Navier-Stokes equations using the finite element technique / C. Taylor, P. Hodd // Computers and Fluids, 1 (1973). pp. 73−100.

94. Thomas, J.M. Methode des elements finis hybrides at mixtes pour les problemes elliptiques du second ordre /J.M. Thomas // Doctoral Thesis, Universite Pierre at Marie Curie, 1977.

95. Visser, W. A refined mixed type plate bending’element / W. Visser // AIAA. 1969. — V. 7.