Некоторые экстремальные многообразия линейных алгебр

Изучение многообразий линейных алгебр над некоторым полем, т. е. классов алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождественных соотношений, является традиционной задачей современной алгебры. Наиболее изученными являются многообразия ассоциативных и лиевых алгебр. Но даже в этих классах алгебр, несмотря на достаточно обширную информацию о структуре многообразий, многие вопросы до сих пор остаются открытыми. Если говорить о других классических примерах многообразий алгебр, то те оказываются еще менее исследованными. Одним из таких примеров является многообразие йордановых алгебр.

Йордановы алгебры определяются тождествами коммутативности и «йордановости»: ху = ух, (ух2) X = (ух) X2.

Они возникли в работе немецкого физика П. Йордана, посвященной аксиоматизации основ квантовой механики (см. [49]).

Среди вопросов, возникающих при изучении многообразий линейных алгебр можно выделить два основных.

Первый, — имеет ли данное многообразие конечный базис тождеств и как он устроен. Для многообразий линейных алгебр в случае ассоциативных Р1-алгебр над полем нулевой характеристики данный вопрос впервые был поставлен Шпехтом в 1950 г. (см. [54]). Для ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики конечная базируемость была доказана А. Р. Кемером в 1986 г. (см. [11],[13]). В лиевском случае над полем нулевой характеристики) конечная базируемость доказана при выполнении различных дополнительных тождественных соотношений. В случае поля положительной характеристики существуют примеры бесконечно базируемых многообразий как в лиевском, так и в ассоциативном случае (см. [34],[55]). В целом же (для неассоциативных алгебр) вопрос является очень сложным.

Второй вопрос, — как устроено многообразие, задаваемое данной системой тождественных соотношений.

Как для первого, так и для второго вопроса, обширную информацию о многообразиях дает исследование их числовых характеристик. Важнейшей числовой характеристикой многообразия является последовательность коразмерностей идеала тождественных соотношений многообразия в свободной алгебре. Для краткости, говорят просто о последовательности коразмерностей многообразия.

В зависимости от асимптотического поведения коразмерностей многообразий, выделяют многообразия экспоненциального, полиномиального, сверхэкспоненциального, промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным роста.

В случае ассоциативных алгебр в 1971 г. Регевым было доказано, что при выполнении нетривиальных тождественных соотношений рост многообразия экспоненциально ограничен (см. [53]). Позже было доказано, что не существует многообразий промежуточного роста, и вообще, последовательность коразмерностей многообразия ведет себя асимптотически, либо как экспонента с целым показателем, либо как полином с целой степенью (см. [40],[44]).

В случае алгебр Ли хорошо известен пример Воличенко (см. [3]), — многообразие алгебр Ли, порожденное тождеством (х 1X2X3) (У1У2У3) = 0, имеющее сверэкспоненциальный рост. Но также, как и для ассоциативных алгебр, было доказано С. П. Мищенко, что не существует многообразий промежуточного роста. Также им было доказано, что не существует многообразий с экспонентой роста, расположенных в интервалах (1- 2) и (2- 3), и построен пример многообразия с дробной экспонентой, расположенной в интервале (3- 4) (см. [18],[56]).

Случай йордановых алгебр исследован значительно меньше. Существуют примеры многообразий полиномиального, экспоненциального и сверхэкспоненциального роста (см. [37],[38],[39],[41]).

Особый интерес представляют многообразия с экстремальным поведением их числовых характеристик. Например, когда само многообразие имеет рост выше полиномиального, а всякое его собственное подмногообразие имеет уже полиномиально ограниченный рост. Такие многообразия называют многообразиями почти полиномиального роста. Аналогично, можно определить многообразия почти экспоненциального роста.

В классе ассоциативных алгебр существует только два многообразия почти полиномиального роста (см. [12]). Это многообразие, порожденное алгеброй Грассмана С от бесконечного числа порождающих и многообразие, порожденное алгеброй иТо, верхнетреугольных матриц порядка.

В лиевском случае известны всего пять многообразий почти полиномиального роста. Первое, — это многообразие уаг (в^), порожденное алгеброй матриц порядка 2 со следом равным нулю (см. [6],[27],[28]). Второе, — это многообразие лиевых алгебр, порожденное тождеством (Х1Х2) (Ж3Ж4) (х^хо) = 0 (см. [19]). Третье многообразие можно определить как наименьшее лиевское многообразие, в котором не выполнено ни одно стандартное тождество (см. [4],[5]). Оно порождается алгеброй.

О — нулевая алгебра.

Два других примера лиевских многообразий почти полиномиального роста построены С. П. Мищенко (см. [21],[22]).

В случае йордановых алгебр, первый пример многообразия почти.

2.

Ли где С — бесконечнопорожденная алгебра Грассмана, а полиномиального роста, — многообразие разрешимых порядка 2 йорда-новых алгебр (или по аналогии с алгебрами Ли, многообразие метабеле-вых йордановых алгебр), — был построен В. Дренски и Т. Рашковой в 1989 г. (см. [41]). Нами был повторно построен данный пример (см. [23]), и в дополнение к старым результатам найдена алгебра, порождающая многообразие. Также это многообразие исследовалось в работе [29].

Второй пример, — многообразие йордановых алгебр, порожденное алгеброй ит!^ верхнетреугольных матриц порядка 2, был построен нами и анонсирован в [52]. Заметим, что из результатов В. Дренски (см. [37]) также следует, что указанное многообразие имеет почти полиномиальный рост, но только в категории унитарных алгебр.

Предметом настоящей работы являются многообразия линейных алгебр с экстремальным поведением числовых характеристик, а также многообразия, представляющие интерес в связи с другими их свойствами. Объектом нашего исследования являются многообразия йордановых алгебр над полем характеристики 0, представляющие собой один из классических примеров многообразий неассоциативных алгебр.

Цель настоящего исследования состоит в поиске новых примеров многообразий с экстремальным поведением числовых характеристик, а также, имеющих интерес с точки зрения других свойств многообразий. С этой целью нами решаются следующие задачи: доказательство критерия полиномиальности роста многообразия в случае йордановых алгебрисследование многообразия йордановых алгебр с дополнительным тождеством степени 3. Доказательство полиномиальности роста в случае, если дополнительное тождество имеет вид ж3 = 0 (в иных случаях многообразие нильпотентно или ассоциативно). исследование многообразия йордановых алгебр, порожденного тождеством разрешимости порядка 2.

Х1Х2) (ж3ж4) = 0. доказательство почти полиномиальности роста многообразия йор-дановых алгебр, порожденного алгеброй иТ^ верхнетреугольных матриц порядка 2.

Исследования, проводимые в диссертации, основываются на следующих результатах и методах:

1. Для построения и доказательства критерия полиномиальности роста многообразия йордановых алгебр был использован критерий полиномиальности роста неассоциативного многообразия, доказанный Джам-бруно и С. П. Мищенко (см. [43]), теория представлений симметрических групп и комбинаторные методы (см. [1],[6],[16],[42]).

2. В исследовании многообразия йордановых алгебр с тождеством ж3 = О были использованы теория представлений симметрических групп, комбинаторные методы и некоторые результаты Е. Зельманова о тождествах в йордановых алгебрах (см. [2],[8],[9],[10]).

3. Описание структуры полилинейной части многообразия йордановых разрешимых порядка 2 алгебр получено с применением теории представления симметрической группы.

4. Для исследования йорданова многообразия верхнетреугольных матриц были использованы результаты об ассоциативном многообразии верхнетреугольных матриц (см. [17]), некоторые результаты по теории многообразий йордановых алгебр (см. [7]) и теория собственных тождеств алгебр (см. [33],[36]).

Работа носит теоретический характер. Представленные в диссертации результаты являются новыми, не полученными ранее:

1. Получен критерий полиномиальности роста многообразий йордановых алгебр.

2. Доказана полиномиальность роста многообразия йордановых алгебр с ниль-тождеством ж3 = 0.

3. Построена алгебра, порождающая многообразие метабелевых йордановых алгебр.

4. Доказано свойство почти полиномиальности роста йорданова многообразия, порожденного алгеброй 1/Т^ верхнетреугольных матриц порядка 2, и найдены два независимых тождества из тождеств его порождающих.

Структура работы.

1. В первой главе даны основные определения и предварительные сведения. В первом параграфе изложены основные определения из теории многообразий и тождеств в линейных алгебрах. Второй параграф посвящен йордановым алгебрам и содержит основные определения и результаты необходимые для исследования многообразий йордановых алгебр. В третьем параграфе даны основные сведения из теории представлений симметрических групп и ее применении к исследованию Т-идеалов. В четвертом параграфе изложены некоторые сведения и результаты по теории собственных тождеств в линейных алгебрах.

2. Вторая глава посвящена многообразиям йордановых алгебр полиномиального роста. В первом параграфе формулируется и доказывается критерий полиномиальности роста многообразий йордановых алгебр. Второй параграф посвящен коммутативным алгебрам лиевского типа и содержит в себе результаты по исследованию многообразия йордановых алгебр с тождеством х2 = 0.

3. Третья глава посвящена многообразиям почти полиномиального роста йордановых алгебр. В первом параграфе исследуется многообразие метабевых йордановых алгебр. Во втором параграфе представлен новый пример многообразия почти полиномиального роста, — многообразие, порожденное алгеброй иТ^ верхнетреугольных матриц порядка 2.

Результаты, представленные в диссертации, прошли апробацию в докладах на конференциях и семинарах:

1) Молодежный научный форум «Университетское образование: проблемы и перспективы «(Ульяновск, 2009 г.).

2) Летняя школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов» (Самара, 2009 г.).

3) Ith International Algebraic Conference in Ukraine (Kharkov, 2010).

4) 8th International Algebraic Conference in Ukraine (Lugansk, 2011).

5) Восьмая международная конференция, посвященная 190-летию П. Л. Чебышева и 120-летию И. М. Виноградова «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Саратов. 12−17 сентября 2011 г.

6) Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [23], [24], [25], [26], [51] и [52].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Мищенко Сергею Петровичу за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Заключение

.

В заключении представленной диссертационной работы можно отметить, что поставленная задача исследований решена в полном объеме. Основные результаты работы:

1. Описана структура полилинейной части многообразия йордановых разрешимых порядка 2 алгебр и найдена алгебра порождающая многообразие.

2. Доказано свойство почти полиномиальности роста йорданова многообразия верхнетреугольных матриц порядка 2 и найдена два тождества из тождеств, его порождающих.

3. Получен критерий полиномиальности роста многообразий йордановых алгебр.

4. Доказана полиномиальность роста многообразий йордановых алгебр с ниль-тождеством индекса 3.