Теоремы единственности решения задачи Коши для эволюционных уравнений и систем с растущими коэффициентами

В работе исследуются два вопроса. Первый из них — это единственность решения характеристической задачи Коши для общих систем линейных уравнений в частных производных с переменными растущими коэффициентами, второй — классы неединственности, тесно примыкающие к классам единственности решения задачи Коши для общих линейных уравнений в частных производных с переменными растущими коэффициентами.

Сначала остановимся на истории изучения этих вопросов.

Вопрос о единственности решения задачи Коши (р.з.К.) является традиционным в теории уравнений в частных производных. Еще в 1924 г. Е. Хольмгрен в работе [1] для уравнения теплопроводности указал класс быстро растущих (при |ж| —>• оо) функций: и (ж,?)| < сехр{с2Х21п{1 + |ж|)}.

С1 > 0, с2 > 0, (я, 6ПТ = {(М): X е Я, 0 < Ь < Т}), в котором имеет место единственность решения задачи Коши.

В 1935 г. А. Н. Тихонов [2] показал, что результат Е. Хольмгрена не может быть существенно улучшен: класс функций, для которых выполнено и (х^) < с1вхр{с2ха}, {х,£) е Пу, является классом единственности р.з.К. для уравнения теплопроводности тогда и только тогда, когда, а < 2.

Исчерпывающее решение вопроса о единственности р.з.К. для уравнения теплопроводности и даже для несколько более общих уравнений вида дал С. Тэклинд в 1936 г. С. Тэклинд в работе [3] показал, что класс функций с > 0, € Пт, 1>,{г) (г >0) — возрастающая функция) является классом единственности р.з.К. для уравнения (0.1) тогда и только тогда, когда.

Далее, естественно, возник вопрос о единственности р.з.К. для более широкого круга уравнений. В работе [4] И. Г. Петровский доказал, что теоремы существования и единственности р.з.К. для гиперболических уравнений и систем имеют место в классах функций с любым ростом на бесконечности.

В 1946 г. И. Г. Петровским [5] была поставлена задача исследовать вопрос о единственности р.з.К. для введенных им параболических уравнений и систем в классах неограниченных функций (в классах ограниченных функций эта проблема решена самим И. Г. Петровским [6]) и обобщить для них теоремы единственности Тихонова-Тэклинда.

Одной из первых в этом направлении была работа [7] O.A. Ладыженской, где для любого параболического по И. Г. Петровскому.

Dtu{x, t) = (-1)n~lDfu{x, t).

0.1) u (x, t) < cexp{xh (x)} уравнения с постоянными коэффициентами вида.

2п-1.

Dtu{x, t) = (-1)n~lD^u{Xl t) + ]Г akDkxu{x, t) (0.2) fc=о был получен следующий результат: класс функций, удовлетворяющих оценке u (x, t) < ciexp{c2xf}, (x, t) G Пу, является классом единственности р.з.К. для уравнения (0.2) тогда и только тогда, когда (3 < ^zp.

Этот результат был обобщен С. Д. Эйдельманом [8] на произвольные параболические по И. Г. Петровскому системы с постоянными коэффициентами, а затем Я. И. Житомирским [9]—[10] на параболические системы с растущими коэффициентами.

Обобщение теоремы С. Тэклинда на случай параболических по И. Г. Петровскому систем с зависящими от пространственной переменной и ограниченными коэффициентами было сделано Г. Н. Золотаревым в [11]. Позднее B.C. Рыжий [12] распространил этот результат Г. Н. Золотарева на параболические уравнения с растущими коэффициентами.

Далее отметим, что ряд авторов изучал вопрос о единственности р.з.К. для различного рода уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, а именно: для равномерно параболических уравнений [13]-[14], вырождающихся параболических уравнений [15]-[17], неравномерно параболических уравнений [18], уравнений с неотрицательной характеристической формой [19]-[21].

Для общих параболических систем этот вопрос изучен O.A. Олейник в работах [22]-[25]. Результаты, полученные в только что указанных статьях, несколько развиты в работах [26]-[31].

Во всех вышеназванных работах методы исследования существенно использовали свойства параболических уравнений и систем. Однако, в 1953 г. в работе И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [32] было установлено, что классы единственности р.з.К., во всяком случае, для систем линейных уравнений с коэффициентами, зависящими только от времени, не связаны с алгебраической структурой уравнения (системы). А именно, в этой работе (см. также [33]) установлено, что для произвольных систем уравнений х = (х1,., хп), и (х,?) = (щ (х, 1),., ит (х, г)), Р{г, £>ж) — (т х т) -— матрицы с элементами — линейными дифференциальными выражениями, коэффициенты которых зависят от ?) получены классы единственности, описываемые неравенством.

6 О <? < Т, ^ + 4- =, где ро — приведенный порядок системы (0.3), который можно вычислить по формуле В. М. Борок [34]: Ро = тах тг, рк — степень коэффициента Рк (в), как многочлена от.

1<�к<�т.

1,., вп в разложении:

DtU (Xjt)^P{t, Dx) U (x, t).

0.3) и (х, t)|| < сехр det (P{is) — ХЕ) = (—l)mAm + Pi (s)Am1 +. + Pm{s).

Заметим, что для одного уравнения типа (0.3) число ро совпадает с порядком этого уравнения.

Позднее результат И. М. Гельфанда — Г. Е. Шилова был несколько усилен, независимо, К. И. Бабенко [35] и Б. Л. Гуревичем [36].

В работах [37]-[38] H.H. Чауса для систем вида (0.3) с постоянными коэффициентами получены теоремы единственности тэклиндовского типа. Наконец, отметим результат Г. П. Сердюка [39], где для уравнений (0.3) с постоянными коэффициентами описаны классы единственности р.з.К., состоящие из функций, не обязательно одинакового допустимого порядка роста по каждому из пространственных аргументов.

При доказательстве теорем единственности р.з.К. применялись следующие методы: а) метод Хольмгрена (см. [1], [3]), связанный с рассмотрением решений сопряженного уравнения и опирающийся на теорему Данжуа-Карлемана о квазианалитичности некоторых классов бесконечно дифференцируемых функцийб) метод оценки фундаментальных решений параболических систем (см. [7], [8], [11]-[12]) — в) метод барьерных функций (см. [15]-[16], [19]-[21]) — г) вероятностные методы (см. [17]) — д) метод введения параметра ([22]-[25]) — е) теория обобщенных функций ([32]-[33], [35]-[39]).

В 1953 г. Е. Хилл в работе [40] заметил, что преобразование.

Лапласа (по сводит вопрос о классах единственности р.з.К. для уравнения вида = Ли (А — оператор в банаховом пространстве) к вопросу о существовании нетривиального решения уравнения Ау = у, голоморфного в некоторой правой полуплоскости и ограниченного в ней по соответствующей норме.

Применяя эту идею Е. Хилла, Г. Н. Золотарев в работах [41]-[42] для уравнений с постоянными коэффициентами вида доказал, что класс функций, удовлетворяющих оценке и (х^) < сехр{Ф (х)} с > 0, Ф (ж) >0 — четная возрастающая при х > 0 функция, Е.

П = {(х,£): х € Л, 0 < Ь < оо}), является классом единственности р.з.К. для уравнения (0.4) тогда и только тогда, когда где Г (х) — двойственная по Юнгу к Ф (х) функция, аро — приведенный порядок уравнения (0.4).

Тем же методом В. М. Борок в работе [43] получено исчерпывающее решение вопроса о единственности решения для общих линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

В дальнейшем, существенно дополнив метод Е. Хилла, Я.И.

0.4) йх = оо,.

Житомирский в работах [44]-[45] для уравнения п-1 г) = а?>>(х, ?) + як (х)В*и (х, ?) (0.5) 0 с «достаточно медленно» растущими комплекснозначными коэффициентами нашел точные классы единственности р.з.К. тэклиндовского типа, зависящие только от порядка уравнения. Позднее Н. С. Максимовская [46] перенесла результат Я. И. Житомирского на системы, аналогичные уравнениям (0.5).

Исследования, содержащиеся в работах [41]-[46], проводились в предположении нормальности типа решений и (х^) по ?, что означает, что само решение и все его производные, входящие в уравнение, растут по Ь при? —>• оо не быстрее функции еаг.

В работе [47] В. Г. Палюткин получил для уравнений вида (0.5) результат типа Тихонова по единственности р.з.К. без предположения нормальности типа решений по Ь (этот результат относится к уравнениям, рассматриваемым в любой полосе Пу, в отличие от предшествующих, где рассмотрения велись в полуплоскости П).

К настоящему времени установлено большое количество разных классов единственности решений начально-краевых задач и задачи Коши для параболических уравнений и систем в классах растущих функций.

Л.М. Кожевниковой в [48] в цилиндрической области Пт = (0, Т) х О, где П — неограниченная область в В, п+1 рассматривалось уравнение щ = Ьи, правая часть которого — квазиэллиптический оператор со старшими производными порядка 2/с, 2тп,., 2тп, по переменным уо, у,., уп соответственно. Для смешанной задачи с условием Дирихле на боковой границе области DT установлен класс единственности тэклиндовского типа.

Для сужающихся на бесконечности областей П выделен другой класс единственности — геометрического типа, более широкий, чем класс тэклиндовского типа.

JI.M. Кожевниковой показано (см. [49]), что для областей с нерегулярным поведением границы этот класс шире, чем класс, установленный для параболического уравнения второго порядка в работе O.A. Олейник и Г. А. Иосифьяна [50].

А.Г. Гагнидзе методом введения параметра для некоторых классов параболических уравнений и систем с растущими коэффициентами были получены теоремы единственности [30], [51].

Для линейного параболического уравнения второго порядка без младших членов А. К. Гущиным [52] в случае второй краевой задачи, Ф. Х. Мукминовым [53] — первой краевой задачи выделен класс единственности, близкий к классу С. Тэклинда. Сформулируем этот результат. Рассматривается уравнение ut = div (A{t, x) Vu), (0.6) где A (t, х) — симметрическая матрица размера п х п, элементы которой C4j (t, x), i, j — l, n — измеримые функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности ci|y|2 < a%j (t, x) yiyj < с2у2 9 для любого вектора у = (ух,., уп) Е Яп и почти всех х)? И = {? > 0} х.

Если решение (0.6) при начальных нулевых условиях — 0 со вторым нулевым краевым условием (или первым) удовлетворяет условию: существует такая монотонная неубывающая на полуоси [1,оо) положительная функция /¿-(г), что выполняется условие то оно тождественно равно нулю.

Настоящая работа посвящена:

1. исследованию вопроса о единственности р.з.К. для общих систем линейных уравнений с переменными растущими коэффициентами в полуплоскости и полосе;

2. исследованию вопроса о неединственности р.з.К. для общих линейных уравнений с переменными растущими коэффициентами в полуплоскости.

Методика работы основана на получении асимптотик и оценок решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, зависящих от параметра, а также привлечения результатов теории аналитических функций (типа критериев Карлемана и теоремы Фрагмена-Линделефа).

Результаты работы состоят в следующем: и для всех г > 1 о Jnг [ и2{г, х) йх<�И < егк{г Пг = Ор|{|ж| < г}.

1. Найдены тэклиндовекие классы единственности р.з.К. для системы уравнений вида.

0 fc=0 где t > 0, —оо < х < оо, 11(х, 1) — (щ (х, ?),., и3(х, ?)) — неизвестная вектор-функция, (?^ (ж) — квадратные матрицы порядка в с комплекснозначными элементами — непрерывно дифференцируемыми по х функциями при начальных условиях 0- = МП) (0.8) в полуплоскости П = {(ж,£): —оо СжСоо, 0.

2. Найдены тихоновские классы единственности р.з.К. для системы уравнений вида д1т ^ Л ' дх у др 3=0 £/(ж,£) — неизвестная 5X5 матрица, Р^ (ж, -Ц) = ]С2=о 0 = 0, т -1), элементы матриц Рд (ж) — комплекснозначные функции) с начальными условиями ад, а = о^т) (о.ю) в полосе Пу — {(ж, ?): —оо < х < оо, 0 < Т}.

3. Найдены классы неединственности, примыкающие к тэклиндовским классам единственности р.з.К. для уравнений вида.

7=0 /г=0 где ') — комплекснозначные непрерывные функции при начальном условии Ш 0″ = МГ=Т) (0.12) в полуплоскости П в случае, когда решения имеют нормальный тип по.

Перейдем к краткому изложению диссертации. Работа состоит из двух глав и шести параграфов. Некоторые параграфы разбиты на пункты. В § 1 найдена асимптотика фундаментальной системы решений систем, двойственных к (0.7) и (0.9), имеющая ключевое значение при доказательстве теорем единственности р.з.К. в § 3 и § 4.

Прежде, чем сформулировать основной результат § 1, введем некоторые обозначения.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, двойственную к (0.7) тп-1 Щ к п тк, ку.

Е Е -" -ЕЕ ^ма^ = о, (о.1з) о к=0 к=0 ?=0 где п — шах п?-, Л^ (х) — квадратные матрицы порядка 5 с комплекснозначными элементами а^(х), (х € Я), У (х. А) = (ух (ж, А),., у8(х, А))г — искомая вектор-функция, А € А С С;

Шк (к — 0, п) — целые неотрицательные числа.

Системе уравнений (0.13) соответствует характеристическое уравнение йеЬ Акз{х)Хшк =0.

0.14).

Обозначим п ТПк к—О з= 0 многочлен относительно Л и ас матричными коэффициентами.

Под диаграммой Ньютона многочлена Д будем понимать диаграмму такого же многочлена со скалярными коэффициентами. В лемме 1.1 § 1 устанавливается, что диаграммы Ньютона многочленов ¿-еЬА и, А подобны с коэффициентом подобия й.

Далее приведем (см. [54]) построение диаграммы Ньютона многочлена А. На числовую плоскость наносятся точки с координатами (к,-]), где 0 < к < п, 0<^'< гпкВыпуклая оболочка этого множества точек называется диаграммой Ньютона (многоугольником Ньютона) многочлена А.

Предположим, что диаграмма Ньютона многочлена, А имеет один и тот же вид при любом х (—оо < х < оо).

Введем ряд обозначений, характеризующих диаграмму Ньютона многочлена А. Для этого определим числа 71 и к следующим образом т0 — тк и, далее, если 71, 72,., 7/ и к, к2,., к[ определены, то.

7г+1 =, ПИП к+1<�к<�п тк1 — тк к 11 Г.

Получим две возрастающие цепочки чисел.

71 < 72 < • • • < 1ы и.

О = ко < к < <. < кн — п.

Отметим, что пары чисел {к^т^) при I — О, N есть координаты на плоскости узловых точек диаграммы Ньютона многочлена А. Известно [54], что для многочлена, А со скалярными коэффициентами ак] числа 7/ (/ = 1, Л/-) — показатели степеней Л разложений в ряды Пюизе корней и уравнения, А = 0 в окрестности точки, А = оо.

Будем предполагать, что-то > тк (к = 1, п) и (а^- тац) {-} = 1, / = 1, ЛГ, Щд, = к[) — точки, соответствующие некоторым мономам многочлена, А и лежащие на 1—ои звене диаграммы Ньютона этого многочлена, причем к^ 1 — а^ < ац <. < щЧ1 — к[. Обозначим к = + + 1 (к^ 1 <�к<�к1,1 = 1,.

Из определения чисел 7-, к^ (¿-к следует, что тк <<1к (к = 1, п), причем равенство достигается в том и только том случае, когда точка (к, тк) принадлежит звену диаграммы Ньютона многочлена А.

Пусть.

Г'(0 — {к: Ь-! <�к<�ь, тл = 4}, и^Г'О) = Г', Г" = {0,1,., п} Г'.

Мы будем рассматривать только такие системы дифференциальных уравнений вида (0.13), у которых характеристическое уравнение (0.14) удовлетворяет условиям:

I = 1, Л/") не имеют кратных корней и матрицы А^тк[ не вырождены.

Из условий 1) и 2) следует, что коэффициенты уравнения (0.14), соответствующие точкам, лежащим на диаграмме Ньютона, являются постоянными и диаграмма Ньютона уравнения (0.14) одна и та же при любых х? Я.

Пусть Н (х) > 0, Ь,(х) > 0 — четные, возрастающие при х > 0 функции, удовлетворяющие условию.

1) матричные функции Аитк{х) при к € Г' есть матрицы с постоянными элементами, то есть А^тк (х) = АуьШк:

2) уравнения.

0.15).

Определим функцию д{х) соотношением.

Н{д{х)) = х {х> 0).

Асимптотическое поведение решений системы уравнений (0.13) будем изучать в области.

С = {(х, Л): |я| < <�К|А|), А е Л} при, А —> оо.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть в уравнении (0.13) элементы а^ матриц А/у непрерывно дифференцируемые функции и удовлетворяют оценкам, а вир акрЦх) < /^'(г), х<�г.

1х < ы1к~-'(г) = 0, гпк — 1 при к € Г', ] = 0, гпь при к € Г", 1 < р, д < з), а корни.

Зу (I — 1, ТУ, ] — 0, вэд, дI = к1 — к^) уравнений (0.15) и множество Л таковы, что для некоторого с > 0: соз{агдРц + 71 • агдХ) >? со8(агд (/Зц — /Зк) + 7 г • агд) >? (г ф 3).

I = 1, ТУ, г, ^ =.

Тогда уравнение (0.13) имеет вп линейно независимых решений.

А) (/ = 1, ТУ", = 1, всц). элементы которых имеют асимптотику ^ (№(*> А))и) = А) ехр|?о-у (г, А)^} (0.16) = 1, ТУ, 7 = к = 0, п — 1, = 1, й), о (1) — функции переменных х и А, стремящиеся к нулю при Л оо, |ж| < <7(|Л|), А) — функции, имеющие не более, чем степенной рост по, А в области G.

В § 3 и § 4 асимптотические формулы (0.16) применяются в случаях, когда Л — одна из вертикальных полуосей: А = <то + гг (oq — const > 0, г > 0 или г < 0) и Л — луч: агдХ — (р.

Отметим, что впервые вопрос об асимптотике, аналогичный рассмотренному выше, был изучен Я. И. Житомирским в [44]-[45] для уравнений с «медленно» растущими коэффициентами, двойственных к (0.5). Н. С. Максимовская [46] обобщила результат Я. И. Житомирского на системы уравнений.

Однако, уравнения и системы уравнений, рассматриваемые, соответственно, в [44]-[46], обладали одной особенностью: корни соответствующего им характеристического уравнения имели одинаковый степенной порядок роста по, А при, А оо.

Н. Г. Косарев [55] рассмотрел уравнения, характеристические уравнения которых имеют корни, вообще говоря, различного степенного роста по, А при, А —>¦ оо. Эти уравнения, как частный случай, включают в себя уравнения, изученные в [44]-[45].

В § 1 и § 3 работы автор обобщает результат [55] на системы уравнений. Отметим также, что эти системы уравнений, как частный случай, включают в себя системы уравнений, изученные в [46]. При этом возникают трудности принципиального характера, которых не было в работах [44]-[46].

Далее сформулируем основной результат § 2, для чего введем некоторые обозначения.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение.

0.17) к=0 з= 0 где п = тах п-,-, у = у (ж, Л)—искомая функция, Л € А С С, т&- (/с = .7=0,то-1.

0, п) — целые неотрицательные числа. Уравнению (0.17) сопоставим характеристическое уравнение п тк.

2(х, А) = = 0. (0.18) г=0 7=0.

Предположим, что диаграмма Ньютона (см. [54]) многочлена <3(ж, А) при любом ж (—со < ж < сю) имеет одни и те же узловые точки (А^га^) = 0, И, ко = 0), определяющие N ее звеньев и (ау, т^.) (/ = ® = /с| - = У = 1,®) — точки, соответствующие некоторым мономам многочлена <5(ж, Л) и лежащие на ¿—ом звене диаграммы Ньютона этого многочлена.

Как и ранее определим числа 7?(1 — 1, /V) и с4 при каждом фиксированном /с: < к < Ц (I — 1, ТУ) и множества Г'(/), Г', Г" .

Далее будем рассматривать только такие дифференциальные уравнения вида (0.17), у которых характеристическое уравнение (0.18) удовлетворяет условиям:

3) актк (х) = а>ктк при к? Г', а^-(ж) = а^ при 0 < шп;

4) уравнения акПк^к1−1 = о (г = МГ) кеТ (1) не имеют кратных корней и (ikimk[ ф О {I — 1, N);

5) коэффициенты уравнения (0.18) удовлетворяют оценкам sup akj (x) < hPo{dk~j)®, |ж|<�г где h® > 0 (г > 0) — непрерывная монотонно возрастающая функция,.

3 = 0, тк при к Е Г, з = 0, тк — 1 при к Е Г, р0 =.

Заметим, что из условий 3) и 4) следует, что диаграмма Ньютона многочлена ф (ж, Л) при любом х (х Е Я) имеет одни и те же узловые точки.

Основной результат § 2 содержится в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть коэффициенты уравнения (0.17) удовлетворяют условиям 3)-5). Тогда уравнение (0.17) имеет решение у (ж, Л), удовлетворяющее оценке.

Iуи)(х, А)| < съ{К%{х) + [Х^Уе¹ = 0, п—1, —оо < х < оо, ЯеХ > а > 0, сз, С4— некоторые положительные постоянные, не зависящие ни от ж, ни от Л.

Введем обозначения, необходимые для формулировки основного результата § 3.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (0.13), двойственную к (0.7). Системе уравнений (0.13) соответствует характеристическое уравнение (0.14).

Пусть Н{х) > 0, #2(ж) > 0 — непрерывные четные возрастающие при ж > 0 функции, удовлетворяющие условию.

Г Нп.

11П1 —г- = 0.

1(ж).

Ниже мы будем предполагать, что коэффициенты уравнения (0.14) удовлетворяют условиям 1)-2). Поэтому можно определить числа Ь, &trade->кп л (1 = 1)^0 и = 0, п), а также множества Г'(/) (/ =.

1, ./V), Г', Г", характеризующие диаграмму Ньютона многочлена А.

Обозначим ро — Число ро есть приведенный порядок [33] системы уравнений (0.7).

Имеет место следующая теорема, определяющая классы единственности решений задачи Коши для системы (0.7) с начальными условиями (0.8).

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть приведенный порядок системы (0.7) больше единицы (ро > 1). Если элементы а^'(ж) матриц Л^(х) уравнения (0.14) удовлетворяют условиям 1)-2) и оценкам I < Н2{йкЧ)ро{г).

0.19) 0, гпк — 1 при к € Г', ] — 0, т, к при к € Г", 1 < р, д < з), а корни уравнений (0.15) таковы, что одновременно для всех /, г.] ,.

I = j — 0, йф, д1 — кг — к^х) выполнено со8{агд[31^'-) ф 0,.

7 Г соз (агд (,% - /?")-й 70 Ф 0 («Ф з).

0.20) (0.20) у л-«/-2 то всякое решение 11(х,{) системы (0.7) с начальным условием (0.8) при ^(х) = 0 {] = 0, т — 1), удовлетворяющее при каком-либо, а > 0 оценке аки (х./Л / с ехр I осЬ + Нх{в)вв Л к = 0, п — 1, х 6 И, Ь > 0), равно тождественно нулю при условии,.

Заметим, что результат теоремы 2.1 обобщает результаты, полученные Г. Н. Золотаревым [42] для уравнений с постоянными коэффициентами и Н. Г. Косаревым [55] для уравнений с переменными коэффициентами, а также для систем, рассмотренных Н. С. Максимовской [46]. Оценки (0.19) указывают на то, как могут расти коэффициенты системы уравнений (0.7), чтобы при этом классы единственности р.з.К. этой системы уравнений определялись лишь ее приведенным порядком.

Если условие (0.20) не выполняется, то результат теоремы 2.1 остается справедливым с заменой в условии (0.21) показателя 1—ро на 1— — любое).

В случае, когда приведенный порядок ро системы уравнений (0.7) меньше либо равен единице, условие (0.21) выполнено при любой растущей функции Н (х) и потому р.з.К. (0.7)-(0.8) единственно в классе решений нормального типа по при этом на рост коэффициентов уравнения не накладывается никаких ограничений.

Если в § 3 предполагалось, что решения системы уравнений (0.7) имеют нормальный тип по то в § 4 мы отказываемся от этого предположения. Однако, в этом случае получаем лишь классы единственности типа Тихонова.

Прежде, чем сформулировать основной результат § 4, введем что.

0.21) некоторые обозначения.

Рассмотрим систему (0.9). Пусть Л* (ж, = ЕЛо р? к (х)щя (')~ сопряженное по Лагранжу к Р^ (ж, дифференциальное выражение. Обозначим то-Т Щ п Шк.

А (*, А, о-) = Е Е — = Е Е (*).

7=0 Ь=0 &=0 7=0 п = шах т, к (к — 0, п)—целые неотрицательные числа) —.

7=0,т-1 многочлен относительно Аишс матричными коэффициентами А^(х).

Считая Ащ (х) скалярными функциями, определим числа к^ ткп ц{1 — 1,-АГ) и ¿-¿-(А- — 0, п), а также множества Г'(/) (/ = 1, АГ), Г', Г", характеризующие диаграмму Ньютона многочлена А (ж, А, о-).

Пусть ро — приведенный порядок системы (0.9). Так как характеристический многочлен системы (0.9) и многочлен (1е1{А (х, А, си)} имеют одинаковые диаграммы Ньютона, а многочлены с1е1{А (х, А, о-)} и А (х, Х, ш) (со скалярными коэффициентами) имеют подобные диаграммы Ньютона с коэффициентом подобия з, то, как следует из [33], Ро =.

Обозначим Ро такое число, что — + 4- = 1.

Ро р0.

Сформулируем теорему единственности решения задачи Коши (0.9)-(0.10) в полосе Пт.

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть элементы матриц Р^{х){к = 0, п, ] —.

0, гак) системы (0.9) (к + 1)-раз непрерывно дифференцируемые функции при — оо < х < сю, а элементы матриц А^(х) многочлена, А (ж, А, со>) удовлетворяют условиям 1)-2). а) Пусть приведенный порядок системы (0.9) ро > 1 и элементы г) матриц Р, к{х) уравнения (0.9) удовлетворяют оценкам.

П1Р^(х)<�с1-ехр{а1(х + 1) р'о} к = 0, п — 1, ] = 0, т — 1, д, г — 1, в, г = 0, п — 1, а > 0, с > 0), а элементы а^(х) матриц А^(х) — оценкам к = 0, п — 1, ] = 0, га^ — 1 при к 6 Г, у = 0, тп^ при к? Г, д, г.

1, в, —оо < ж < со, о (1) 0 при X -> оо.

Тогда решение задачи Коши (0.9)-(0.10) единственно в классе функций, удовлетворяющих оценкам дк+Щ{х, г) дхкдР с2ехр{а2|ж|Ро} х, ?) 6 Пт, ] = 0, ш-1, /с = 0,77,-1, а2 > 0, с2 > 0). б) Если ро < 1, то решение задачи Коши (0.9)-(0.10) единственно в классе функций любого роста по х на бесконечности.

В § 5 найдены классы неединственности, примыкающие к тэклиндовским классам единственности р.з.К. для уравнений (0.11) в полуплоскости П = {(х, ?): —оо < оо, 0 <? < оо}.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (0.17), двойственное (0.11).

Уравнению (0.17) сопоставим характеристическое уравнение (0.18).

Далее мы будем рассматривать регулярные (т.е. обладающие непрерывными производными всех порядков, входящих в уравнение) решения и (х, Ь) уравнения (0.11), имеющие по? нормальный тип, т. е. удовлетворяющие при каком-либо, а > 0 оценке: < с (х) ехр{а?} при (х, ?) € П.

В [55] показано, что класс функций {и (х^)}, удовлетворяющих оценке.

РХ.

Окхи (х^)<�сехр{сЛ+ Н{в)Щ} (0.22) ио, а > 0, с > 0, к — 0, п — 1,—оо < оо, > О, Н (9)—четная непрерывная возрастающая при 9 > 0 функция), является классом единственности р.з.К. (0.11)-(0.12) при условии, что интеграл оо.

Н{в)]1~рЧв (0.23) расходится.

Далее сформулируем основной результат § 5 — теорему неединственности решения задачи Коши (0.11)-(0.12).

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть уравнение (0.11) таково, что все коэффициенты двойственного к нему уравнения (0.17) а^(х) удовлетворяют условиям 3)-5). Пусть введенные ранее функции Н (х) и к{х) связаны соотношением.

И) = о (1) ГН (0^(х> 0), Jo о (1) —> 0 при х —> оо. Если.

Н{х)}1~рЧх < оо, то существует нетривиальное решение и (х^) уравнения (0.11), удовлетворяющее нулевым начальным условиям (0.12) (/¿-(ж) = 0, ] = 0, т — 1) и оценкам (0.22).

Отметим, что для уравнений (0.11) с характеристическим уравнением (0.18), имеющим однозвенную диаграмму Ньютона, сходимость интеграла (0.23) приводит [44] к тому, что класс функций, удовлетворяющих (0.22), становится классом неединственности р.з.К.

0.11)-(0.12). В случае многозвенной диаграммы Ньютона у уравнения.

0.18) неединственность р.з.К. (0.11)-(0.12) была доказана [56] лишь при условии сходимости интеграла [Н (в)}1″ 9^]^. где до — шах < рочто означало образование «зазора» между классами 1 <1<1 единственности и неединственности р.з.К. (0.11)-(0.12).

В теореме 2.5 ликвидируется этот «зазор». Напомним, что такой же результат имеет место для систем уравнений вида (0.11) с постоянными коэффициентами (см. [41]).

В § 6 рассмотрены примеры, иллюстрирующие теоремы, доказанные в предыдущих параграфах.

Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре по дифференциальным уравнениям Воронежского государственного университета (2010), на заседаниях Ивановского математического общества (2008;2011), на четырех международных математических конференциях по дифференциальным уравнениям (Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008 и 2010), Современные методы теории краевых задач (Воронеж, 2008), Современные методы теории функций и смежные проблемы (Воронеж, 2010)).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [60] -[67].

1. Holmgren Е. Sur les solutions quasianalytiques d’P equations de la chaleur // Ark. for Matem. — 1924. — Bd 18. — P. 64−95.

2. Тихонов A.H. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Мат. сб. 1935. — Т. 42. — № 2. — С. 199−216.

3. Tacklind S. Sur les clases quasianalytiques, des solutions des Г equations aux derive’es partielles du type parabolique / / Nova Acta Re-gial Societatis Schientiarum, Uppsaliensis. 1936. Ser. 4. — T. 10. — № 3. P. 3−55.

4. Петровский И. Г. О проблеме Коши для систем дифференциальных уравнений в частных производных // Мат.сб. -1937. Т. 2(44). № 5. — С. 868−870.

5. Петровский И. Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными // Успехи мат. наук. 1946. Т. 1. Вып. 3−4. С. 44−70.

6. Петровский И. Г. О проблеме Cauchy для системы линейных дифференциальных уравнений с частными производными в области неаналитических функций // Бюлл. МГУ. Секц. А. 1938. Т. 1. № 7. С. 1−72.

7. Ладыженская О. А. О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения // Мат. сб. 1950. — Т. 27(69).- № 2. С. 175−184.

8. Эйдельман С. Д. О задаче Коши для параболических систем // ДАН СССР. -1954. Т. 98. — № 6. — С. 913−915.

9. Житомирский Я. И. О задаче Коши для параболического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами // ДАН СССР. 1957. — Т. 116. — № 6. — С. 913−916.

10. Житомирский Я. И. Задача Коши для параболических систем линейных уравнений в частных производных с растущими коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 1959. — № 1. С. 55−74.

11. Золотарев Г. Н. О единственности решения задачи Коши для систем, параболических в смысле И. Г. Петровского // Изв. вызов. Математика. 1958. № 2. С. 118−135.

12. Рыжий B.C. О единственности решения задачи Коши для параболических по И. Г. Петровскому систем с растущими коэффициентами // Уч. зап. мех.-матем. фак. ХГУ и Харьковского матем. об-ва. 1963. — Т. 29. — С. 16−22.

13. Kriyianski M. Sur les solutions des e’quations du type parabolique determine’es dans une region illimitee // Bull. Amer. Math. Soc. 1941. — V. 47. P. 911−915.

14. Hayne R.M. Uniqueness in Cauchy problem for parabolic equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1978. V. 241. — P. 373−399.

15. Смирнова Г. Н. О классах единственности решений задачи Коши для параболических уравнений // ДАН СССР. -1963. Т. 153. — № 6. С. 1269−1272.

16. Смирнова Г. Н. Задача Коши для параболических уравнений, вырождающихся на бесконечности // Мат. сб. 1966. — Т. 70. — № 4. -С. 591−604.

17. Сонин И. М. О классах единственности для вырождающихся параболических уравнений // Мат. сб. 1971. — Т. 85. — № 4. — С. 459−473.

18. Цораев Я. М. О классах единственности решения первой краевой задачи в неограниченных областях и задачи Коши для неравномерно параболических уравнений // Вестник МГУ, сер. 1, мат., мех. 1970. — № 3. — С. 38−44.

19. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. О единственности решения задачи Коши для параболического уравнения 2-го порядка с неотрицательной характеристической формой // ДАН СССР. 1979. -Т. 248. — № 2. — С. 290−293.

20. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. О классах единственности Тихонова-Тэклинда для вырождающихся параболических уравнений 2-го порядка // ДАН СССР. 1980. — Т. 252. — № 4. — С. 784−788.

21. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. О проблеме Тихонова-Петровского для параболического уравнения 2-го порядка // СМЖ.- 1981. Т. 22. — № 5. — С. 78−109.

22. Олейник O.A. О единственности решений задачи Коши для общих параболических систем в классах быстрорастущих функций // Успехи мат. наук. 1974. — Т. 29. — № 5. С. 229−230.

23. Олейник O.A. О единственности решений краевых задач и задачи Коши для общих параболических систем // ДАН СССР. 1975. — Т. 220. — № 6. — С. 34−37.

24. Олейник O.A. О поведении решений линейных параболических систем дифференциальных уравнений в неограниченных областях // Успехи мат. наук. 1975. — Т. 30. — № 2. — С. 219−220.

25. Олейник O.A., Радкевич Е. В. Метод введения параметра для исследования эволюционных уравнений // Успехи мат. наук. 1978. -Т. 33. — № 5. — С. 7−76.

26. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. Об одном подходе к проблеме единственности для параболических уравнений второго порядка // СМЖ. 1983. Т. 24. — № 5. С. 59−70.

27. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. Об анизотропных классах единственности решения задачи Коши для параболического уравнения второго порядка // ДУ. 1985. — № 5. — С. 832−841. — № 8. — С. 1399−1407.

28. Камынин Л. И., Химченко Б. Н. Об изотропной теореме единственности решения задачи Коши для параболического уравнениявторого порядка // ДУ. 1988. — Т. 24. — № 1. — С. 73−85.

29. Бойматов К. Х., Костюченко А. Г. О единственности решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка с растущими коэффициентами // Вестник МГУ, сер. 1, мат., мех. -1988. № 4. — С. 25−32.

30. Гагнидзе А. Г. О единственности решения задачи Коши для параболического уравнения с растущими коэффициентами // Сообщ. АН ГССР. 1988. — Т. 131. — № 2. — С. 241−243.

31. Чайковская Н. Э. Теорема единственности решения задачи Коши для вырождающихся параболических уравнений с разрывными коэффициентами // Вестник МГУ, сер. 1, мат., мех. 1988. — № 6. -С. 20−25.

32. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Преобразование Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши // Успехи мат. наук. 1953. — Т. 8. — № 6. — С. 3−54.

33. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции, вып. 3. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физматлит, 1958. — 274 С.

34. Борок В. М. Приведение линейной системы уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами к системе нормального типа // ДАН СССР. 1957. — Т. 115. — № 1. — С. 13−16.

35. Бабенко К. И. Об одной новой проблеме квазианалитичности и преобразовании Фурье целых функций // Труды Моск. мат. об-ва. -1956. № 5. — С. 523−542.

36. Гуревич Б. Л. Новые типы пространств основных и обобщенных функций и проблема Коши для операторных уравнений / / Автореф. дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Харьков. — 1957. -б с.

37. Чаус Н. Н. О единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами // УМЖ. 1964. — Т. 16. — № 3. С. 417−421.

38. Чаус Н. Н. О единственности решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений в частных производных // УМЖ. -1965. Т. 17. — № 1. — С. 126−130.

39. Сердюк Г. П. О единственности решений линейных дифференциальных уравнений // Автореф. дисс. на соиск. уч. степ, канд. физ.-мат. наук. Харьков. — 1983. — 24 с.

40. Hill Е. The abstract Cauchy problem and Cauchy problem for parabolic differential equations //J. Analys Math. 1953;1954. — V. 3. -P. 81−196.

41. Золотарев Г. Н. Нетривиальные решения задачи Коши с нулевыми начальными условиями // Уч. зап. Ивановск. гос. пед. ин-та. 1963. — Т. 31. — С. 29−36.

42. Золотарев Г. Н. Максимальные классы единственности задачи Коши для дифференциальных уравнений с частными производными // Уч. зап. Ивановск. гос. пед. ин-та. 1963. — Вып. 33. — С. 34−45.

43. Борок В. М. О задаче Коши для общих линейных уравнений // ДАН СССР. 1967. — Т. 177. — № 4. — С. 759−762.

44. Житомирский Я. И. Классы единственности решения задачи Коши // ДАН СССР. 1967. — Т. 172. — № 6. — С. 1258−1261.

45. Житомирский Я. И. Классы единственности решения задачи Коши для линейных уравнений с растущими коэффициентами // Изв. АН СССР, сер. мат. 1967. — Т. 31. — Вып 4. — С. 763 — 782.

46. Максимовская Н. С. Классы единственности решения задачи Коши для систем линейных уравнений с растущими коэффициентами // Уч. зап. Ивановск. гос. пед. ин-та. 1973. — Т. 123. — С. 25−56.

47. Палюткин В. Г. Классы единственности решения задачи Коши уравнений с переменными коэффициентами // Мат. заметки. 1979. -т. 26. — Вып. 6. — с. 835−844.

48. Кожевникова Л. М. Классы единственности решений первой смешанной задачи для уравнения щ = Ли с квазиэллиптическим оператором, А в неограниченных областях // Матем. сб. 2007. -Т. 198. — Вып 1. — С. 59−102.

49. Кожевникова Л. М. О классах единственности решенияпервой смешанной задачи для квазилинейной параболической системы второго порядка в неограниченной области // Изв. РАН. Сер. матем. 2001. — Т. 65. — № 3. — С. 51−66.

50. Олейник O.A., Иосифьян Г. А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений // УМН. 1976. — Т. 31. — № 6. — С. 142−166.

51. Гагнидзе А. Г. О единственности решения задачи Коши для параболических уравнений высокого порядка с неограниченными коэффициентами // Сообщ. АН ГССР. 1989. — Т. 134. — № 3. — С. 469−471.

52. Гущин А. К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. -1982. Т. 119 (161). — С. 451−508.

53. Мукминов Ф. Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. -1990. Т. 181. — № 11. — С. 1486−1509.

54. Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций. М.: Гостехиздат, 1948. — 396 С.

55. Косарев Н. Г. О единственности решения задачи Коши для линейных уравнений с переменными коэффициентами / / Качественные и приближенные методы исследования операторныхуравнений. Ярославль. — 1977. — Вып.2. — С. 141 — 158.

56. Косарев Н. Г. О задаче Коши для линейных уравнений с переменными коэффициентами // Научные труды ИвГУ. Математика.- Вып. 2. Иваново. — 1999. С. 86−92.

57. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. — 334 С.

58. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 С.

59. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИЛ, 1955. 268 с.

60. Туртин Д. В. Асимптотика решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром // Математика и ее приложения. Журнал Ивановского математического общества. 2006. Вып. 1(3). С. 67−80.

61. Туртин Д. В. О единственности решения задачи Коши для линейных систем с переменными коэффициентами // Вестн. Ив. гос. ун-та. 2006. — Вып. 3. — С. 147−153.

62. Туртин Д. В. О максимальных классах неединственности решения задачи Коши для линейных уравнений // Известия вузов. Математика. 2010. — № 9. — С. 90−93.

63. Туртин Д. В. Максимальные классы неединственности решения задачи Коши для линейных уравнений // Вестн. Ив. гос. ун-та. -2011. Вып. 2. — С. 165−175.