Анализ выборочной совокупности по показателям деятельности банков Российской Федерации

Частное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И ЭКОНОМИКИ»

контрольная работа по дисциплине

«СТАТИСТИКА»

Челябинск 2012

• Введение
• 1. Виды и способы наблюдения зависимости прибыльности банков от сумм кредитных вкладов
• 1.1 Исходные данные
• 1.2 Построение вариационных рядов распределения
• 1.3 Анализ вариационных рядов распределения
• 1.4 Оценка параметров генеральной совокупности на основе выборочных данных
• 2. Построение однофакторной модели взаимосвязи. Определение формы корреляционного уравнения
• 2.1 Отбор факторов в регрессионную модель
• 2.2 Расчет парного коэффициента корреляции. Анализ зависимости между переменными
• 2.3 Построение уравнения однофакторной регрессии с использованием метода наименьших квадратов
• 2.4 Проверка значимости коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции
• 2.5 Построение графика зависимости признаков по теоретическим частотам
• Заключение
• Список литературы
• Приложение

В современных условиях органы государственного и муниципального управления постепенно приходят к осознанию необходимости опоры на статистическую информацию для повышения качества управленческих решений. Владение методами статистики позволяет превращать безликую, разрозненную массу числовых данных в систему показателей, с помощью которых можно не только эффективно управлять деятельностью компании, но и давать достаточно точные прогнозы деятельности компании в будущем.

Целью данной контрольной работы является с помощью инструментов и методов статистики провести качественный анализ выборочной совокупности по данным показателям деятельности банков Российской Федерации. А так же построение однофакторной модели взаимосвязи выбранных показателей.

1. Виды и способы наблюдения зависимости прибыльности банков от сумм кредитных вкладов

Статистические наблюдения можно разбить на группы:

— по охвату единиц совокупности;

— времени регистрации фактов.

По степени охвата исследуемой совокупности статистическое наблюдение подразделяется на два вида: сплошное и несплошное. При сплошном (полном) наблюдении охватываются все единицы изучаемой совокупности. Сплошное наблюдение обеспечивает полноту информации об изучаемых явлениях и процессах. Такой вид наблюдения связан с большими затратами трудовых и материальных ресурсов, так как для сбора и обработки всего объема необходимой информации требуется значительное время. Часто сплошное наблюдение вообще невозможно, например, когда обследуемая совокупность слишком велика или отсутствует возможность получения информации обо всех единицах совокупности. По этой причине проводят несплошные наблюдения.

При несплошном наблюдении охватывается только определенная часть изучаемой совокупности, при этом важно заранее определить, какая именно часть изучаемой совокупности будет подвергнута наблюдению и какой критерий будет положен в основу выборки. Преимущество проведения несплошного наблюдения заключается в том, что оно проводится в короткие сроки, связано с меньшими трудовыми и материальными затратами, полученная информация носит оперативный характер. Существует несколько видов несплошного наблюдения: выборочное, наблюдение основного массива, монографическое.

По времени регистрации фактов наблюдение может быть непрерывным и прерывным. Прерывное в свою очередь включает периодическое и единовременное. Непрерывное (текущее) наблюдение осуществляется путем непрерывной регистрации фактов по мере их возникновения. При таком наблюдении прослеживаются все изменения изучаемого процесса или явления, что позволяет следить за его динамикой. Непрерывно ведется, например, регистрация органами записи актов гражданского состояния (ЗАГСа) смертей, рождений, браков. На предприятиях ведется текущий учет производства продукции, отпуска материалов со склада и т. д.

1.1 Исходные данные

Исходными данными для выполнения контрольной работы является генеральная совокупность 200 крупнейших коммерческих банков Российской Федерации. Задание является типовым по структуре и индивидуальным по исходным показателям для каждого студента (см. приложение 1).

На данном этапе выполнения работы обосновываем, указываем и описываем способ отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную. Выборочная совокупность должна содержать 30 банков.

Так как генеральная совокупность состоит из 200 единиц выборочных, тогда сплошной вил наблюдения не приемлем в данном случае, будем использовать несплошной вид наблюдения, например первые 30 банков с наибольшим кредитными вложениями в млн. руб.

Для этого формируем генеральную совокупность по убыванию по критерию «кредитные вложения, млн. руб.» и выбираем первые 30 банков в данной выборочной совокупности.

В таблице 1 приведен пример выборочной совокупности.

прибыльность банк вариационный корреляционный

Таблица 1 — Выборочная совокупность крупнейших банков России по кредитным вложениям

В итоге получаем, что самые крупные 30 банков по кредитным вложениям, млн. руб., которые имеют средний ранг 18,6 а среднее вложение составляет 5415,63 млн руб. а прибыль данных банков в среднем составила 623,53 млн руб., что составило 11,51%

Доля прибыли = Средняя прибыль /Среднее кредитное вложение * 100%

Доля прибыли = 623,53/5415,63*100% =11,51%, что выше ставки рефинансирования, что определяет достаточность уровень прибыльности для дальнейшего развития выбранных 30 банков.

1.2 Построение вариационных рядов распределения

Проанализируем данные 30 банков по средним значениям, для этого сгруппируем данную выборку.

Для выборных единиц в количестве 30 подойдет как 5 так и 6 групп, определим математически более точно число групп.

Для определения числа групп можно воспользоваться формулой Стерджесса:

где n — число групп;

N — число единиц в совокупности.

n = 1+3.322 lg30 = 5,90 699? 6

В итоге получаем, что выборку выделяем по 6 группам

Далее определяем границы группы.

Величина интервала определяется по формуле:

где Х_max — максимальное значение признака в ряду;

X_min — минимальное значение признака в ряду.

Например, величину интервала для вариационного ряда распределения банков (см. табл.1) по объему кредитных вложений равна:

(млн. руб.)

В таблице 2 приведена группировка банков по объему кредитных вложений.

Таблица 2 — Группировка банков по кредитным вложениям.

Для наглядного изображения рядов распределения строим следующие графики: гистограмму так как имеем интервальный ряд.

Рисунок 1 — Гистограмма распределение банков по кредитным вложениям, млн. руб.

Согласно рисунку 1, можно сделать вывод, что наиболее численная группа 1 с кредитными вложениями от 1216 млн руб. до 6540 млн руб., с прибылью в среднем 6147 млн руб.

Нет группы с кредитными вложениями от 22 512 до 27 836 млн руб. В среднем все группы имеют по одному банку с интервалом 5324 млн руб.

1.3 Анализ вариационных рядов распределения

Для анализа вариационного ряда распределения в первую очередь определяют средние значения.

Определим среднее как по группам так и в общем по всей выборке.

Среднее значение в интервальном ряду распределения рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной:

Где x_i -середина интервала усредняемого показателя;

n — число единиц (объем) совокупности;

f_i — частота, которая показывает как часто встречается значение признака в статистической совокупности.

Таблица 3 -Вспомогательная таблица для расчета средней арифметической величины по объему кредитных вложений

(млн. руб.)

Таким образом, средний объем кредитных вложений среди банков, представленных в выборочной совокупности, составляет 6185 млн руб.

Для характеристики структуры вариации рассчитывают структурные средние моду и медиану.

Мода — значение признака, которое наиболее часто встречается в ряду распределения. Для интервального ряда мода определяется по наибольшей частоте. Мода находится по формуле:

где x₀ — нижняя (начальная) граница модального интервала;

k — величина интервала;

f_Mo — частота модального интервала;

f_Mo-1 — частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 — частота интервала, следующего за модальным.

Определим модальный интервал с наибольшей частотой — это первый интервал с 1216 до 6540

Мо = 1216+5324*(24−0)/[(24−0)+(24−3)] = 1216+5324*24/45=4055,5 млн руб.

Наиболее часто встречаются банки с кредитными вложениями в среднем 4055,5 млн руб.

Медиана — значение признака, которое делит совокупность на две равные части, т. е. 50% единиц совокупности имеют значение меньше медианы, а остальные — больше медианы.

Для определения медианы рассчитывается ее порядковый номер по формуле:

где n — число единиц совокупности.

N_me = (31)/2 = 15,5

Затем рассчитывается накопленные частоты. После смотрят, какая из накопленных частот впервые превышает номер медианы. В нашем случае это первый интервал с 1216 до 6540. Медиану рассчитывают по формуле:

где x₀ — нижняя граница медианного интервала;

k — величина интервала;

?f = n — число единиц совокупности;

S_Me-1 — накопленная частота (кумулятивная частота) интервала, предшествующего медианному;

f_Me — медианная частота.

Ме=1216+5324*(15−0)/24=4543,5 млн руб.

В итоге получаем, что 50% банков получают кредитные вложения до 4543,5 млн руб., а остальные 50% банков получают свыше 4543,5 млн руб. кредитных вложений.

Степень близости данных отдельных единиц совокупности к средней величине измеряется рядом абсолютных и относительных показателей вариации.

К абсолютным показателям вариации относятся:

ѕ размах вариации; среднее линейное отклонение;

ѕ дисперсия; среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака совокупности, и находится по формуле:

R =33 161−1216=31 945 млн руб.

Сумма вкладов в анализируемые банки варьируется от 1216 до 33 161 млн руб. то есть на 31 945 млн руб. Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю величину из отклонений значений признака от их средней величины, которое рассчитывается по формуле:

Таблица 4 — Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации по объему кредитных вложений.

Хсред = 6185 млн руб.

(млн.руб.)

Таким образом, средняя величина из отклонений значений объема кредитных вложений от их средней составляет 3691,27 млн руб.

Дисперсия — это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия находится по формуле:

(млн.руб.)²

Таким образом, средний квадрат отклонений индивидуальных значений объема кредитных вложений от их средней величины составляет 33 415 577,27 млн руб.²

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии, т. е. корень квадратный из среднего квадрата отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Среднее квадратическое отклонение находится по формуле:

Найдем среднее квадратическое отклонение по объему кредитных вложений:

(млн. руб.)

Относительные показатели вариации в общем виде показывают отношение абсолютных показателей вариации к их средней величине.

К относительным показателям вариации относятся:

ѕ коэффициент осцилляции;

ѕ относительное линейное отклонение;

ѕ коэффициент вариации.

Коэффициент осцилляции находится по формуле:

Коэффициент осцилляции для выборки по объему кредитных вложений равен:

%

Относительное линейное отклонение рассчитывается по формуле:

Относительное линейное отклонение для выборки по объему кредитных вложений равно:

%

Коэффициент вариации характеризует однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации меньше либо равен 33%, иначе признается неоднородной. Коэффициент вариации определяется по формуле:

Тогда, коэффициент вариации для выборки по объему кредитных вложений равен:

%

Коэффициент вариации для выборки по объему кредитных вложений больше, чем 33% (равен 93,46%), следовательно, совокупность неоднородна, а это означает, что среднее значение признака не является центром распределения.

1.4 Оценка параметров генеральной совокупности на основе выборочных данных

Расхождение между генеральной и выборочной совокупностями измеряется средней ошибкой выборки, которая рассчитывается следующим образом:

где n — число единиц в выборочной совокупности;

N — число единиц в генеральной совокупности.

Среднюю ошибку необходимо знать для того, чтобы определить возможные пределы для средней генеральной совокупности.

Суждение о том, что средняя в генеральной совокупности будет лежать в пределах можно гарантировать не с абсолютной точностью, а с некоторой вероятностью.

Для этого рассчитывают предельную ошибку выборки по формуле:

где t — коэффициент доверия, определяемый в зависимости от вероятности по таблицам.

Таким образом, показатели генеральной совокупности для генеральной средней при заданной вероятности определяются по показателям выборочной совокупности следующим образом:

Рассчитаем среднюю ошибку для выборки по объему кредитных вложений:

(млн.руб.)

Найдем предельную ошибку для выборки по кредитным вложениям, принимая вероятность равной 0,95. По таблице находим коэффициент доверия t, равный 1,96.

(млн.руб.)

Таким образом, границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя объемов кредитных вложений, принимают вид:

(млн.руб.)

(млн.руб.)

По проведенному анализу зависимости прибыльности банков от сумм вкладов получаем, что самые крупные 30 банков по кредитным вложениям имеют средний ранг 18,6 а среднее вложение составляет 5415,63 млн руб. а прибыль данных банков в среднем составила 623,53 млн руб., что составило 11,51% процента по кредиту. 11,51%, выше ставки рефинансирования, что определяет достаточность уровень прибыльности для дальнейшего развития выбранных 30 банков.

Сгруппировав 30 банков на 6 групп по суммам вклада получаем, что наиболее численная группа под номером 1 с кредитными вложениями от 1216 млн руб. до 6540 млн руб., с прибылью в среднем 6147 млн руб.

Наиболее часто встречаются банки с кредитными вложениями в среднем 4055,5 млн руб.

50% банков получают кредитные вложения до 4543,5 млн руб., а остальные 50% банков получают свыше 4543,5 млн руб. кредитных вложений.

Сумма вкладов в анализируемые банки варьируется от 1216 до 33 161 млн руб. то есть на 31 945 млн руб.

Средняя величина из отклонений значений объема кредитных вложений от их средней составляет 3691,27 млн руб.

Корень квадратный из среднего квадрата отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины 5780,62 млн руб.

Совокупность неоднородна так как коэффициент вариации больше установленного 33%, и среднее значение признака не является центром распределения.

С вероятностью 0,95 будем утверждать, что среднее значение сумм вкладов будет находиться от 4277,88 млн руб. до 8092,12 млн руб.

2. Построение однофакторной модели взаимосвязи. Определение формы корреляционного уравнения

2.1 Отбор факторов в регрессионную модель

Примем в качестве факторного признака объемы кредитных вложений, а в качестве результативного — прибыль. Данный выбор обусловлен спецификой банковской деятельности, где прибыль, в том числе, складывается и из процентов, за выданные кредиты.

2.2 Расчет парного коэффициента корреляции. Анализ зависимости между переменными

Парный коэффициент корреляции можно вычислить по следующей формуле:

где n — число единиц в выборочной совокупности;

x_i — значение факторного признака;

y_i — значение результативного признака.

Таблица 7 — Расчет парного коэффициента корреляции для выборочной совокупности.

Таким образом, парный коэффициент корреляции будет равен:

Парный коэффициент корреляции, равный 0,8622, показывает, что связь между факторным признаком, т. е. объемом кредитных вложений, и результативным, т. е. прибылью, прямая (так как коэффициент имеет положительное значение), и высокая тесная связь (что определилось по шкале количественных характеристик тесноты связи Чеддока). То есть при росте кредитных вложений растет прибыльность банков.

2.3 Построение уравнения однофакторной регрессии с использованием метода наименьших квадратов

Определим вид зависимости между объемом кредитных вложений и размером прибыли, используя графический метод.

Рисунок 2 — Зависимость прибыли банков от кредитных вложений

По графику можно предположить, что зависимость прибыли от объема кредитных вложений все больше приближается к уравнению прямой. Следовательно, сумма квадратов отклонений эмпирических точек от теоретических принимает вид:

В этом случае коэффициенты уравнения регрессии рассчитываются по формулам:

Рассчитаем данные коэффициенты:

Таким образом, уравнение регрессии принимает вид:

2.4 Проверка значимости коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции

Поскольку анализ взаимосвязей между явлениями проводят в выборочной совокупности, а данные необходимо обобщить на всю генеральную совокупность, то необходимо проверить коэффициенты уравнения регрессии на статистическую значимость.

При объеме выборки меньше или равном 30 единицам значимость коэффициентов уравнения регрессии определяют с помощью t-критерия Стьюдента, который находится по формуле (для коэффициента a):

где a — коэффициент уравнения регрессии;

n — число единиц совокупности;

— остаточное среднее квадратическое отклонение, которое отображает вариацию результативного признака (y) от всех прочих, кроме факторного признака (x), которое находится по формуле:

где y_i — эмпирические значения результативного признака;

— теоретические значения результативного признака, найденные по уравнению регрессии;

n — число единиц в совокупности.

Проверка значимости для коэффициента b осуществляется по формуле:

где b — коэффициент уравнения регрессии;

n — число единиц совокупности;

— остаточное среднее квадратическое отклонение, которое отображает вариацию результативного признака (y) от всех прочих, кроме факторного признака (x);

— среднее квадратическое отклонение факторного признака, которое находится по формуле:

где x_i — эмпирические значения факторного признака;

— среднее значение факторного признака (см. выше Хсред = 6185 млн руб.)

Проведем проверку коэффициентов уравнения регрессии (a= -510,81 и b=0,209) на статистическую значимость.

Таблица 8 — Проверка значимости коэффициентов регрессии

Рассчитаем остаточное среднее квадратическое отклонение результативного признака:

Вычислим t-критерий Стьюдента для коэффициента a уравнения регрессии:

Полученное расчетное значение сравним с табличным:

(?=28, ?=0,05) = 2,0484 < = 3,37, следовательно, параметр a статистически значим, и его можно распространять на всю совокупность.

Рассчитаем остаточное среднее квадратическое отклонение факторного признака:

Вычислим t-критерий Стьюдента для коэффициента b уравнения регрессии:

Полученное расчетное значение сравним с табличным:

(?=28, ?=0,05) = 2,0484 < = 9,05, следовательно, параметр b статистически значим, и его можно распространять на всю совокупность.

При объеме выборочной совокупности менее или равном 30 единицам проверка коэффициента корреляции на статистическую значимость осуществляется при помощи t-критерия Стьюдента, который рассчитывается по формуле:

Рассчитаем t-критерий Стьюдента для выборочной совокупности:

Полученное расчетное значение сравним с табличным:

(?=28, ?=0,05) = 2,0484 < = 9,006, следовательно, коэффициент корреляции признается статистически значимым.

Соответственно полученную однофакторную модель можно использовать как для исследования зависимости прибыли от кредитных вложений, так и для расчета и анализа прогноза прибыли для банков.

2.5 Построение графика зависимости признаков по теоретическим частотам

Сопоставим графики эмпирического распределения и теоретической регрессии в виде прямой.

Определим на сколько близко расположены значения эмпирического распределения от линии теоретических значений регрессии.

Рисунок 3 -Графическая зависимость прибыли от кредитных вложений

На основании рисунка 3 можно сделать вывод, что в большинстве случаев зависимость прибыли от кредитных вложения имеют линейную зависимость и только 3−4 банка имеют степенную зависимость, то есть при росте кредитных вложений у анализируемых 3−4 банков прибыль растет с наибольшей степенью, то есть имеют более высокий процент по выдачам кредитам.

Заключение

По проведенному анализу зависимости прибыльности банков от сумм вкладов получаем, что самые крупные 30 банков по кредитным вложениям имеют прибыльность. Сростом сумм вкладов наблюдается рост прибыли и наоборот, что доказывает зависимость прибыли от сумм вкладов.

В среднем банки имеют суммы кредитных вложений в размере 4055,5 млн руб.

Половина банков получают кредитные вложения до 4543,5 млн руб., а остальная половина банков получают свыше 4543,5 млн руб. кредитных вложений.

С вероятностью 0,95 будем утверждать, что среднее значение сумм вкладов будет находиться от 4277,88 млн руб. до 8092,12 млн руб.

В качестве факторного признака объемы кредитных вложений, а в качестве результативного — прибыль. Парный коэффициент корреляции, равный 0,8622, показывает, что связь между факторным признаком, т. е. объемом кредитных вложений, и результативным, т. е. прибылью, прямая (так как коэффициент имеет положительное значение), и высокая тесная связь (что определилось по шкале количественных характеристик тесноты связи Чеддока). То есть при росте кредитных вложений растет прибыльность банков.

По эмпирическому распределению видна зависимость прибыли от объема кредитных вложений все больше приближается к уравнению прямой вида, полученную однофакторную модель можно использовать как для исследования зависимости прибыли от кредитных вложений, так и для расчета и анализа прогноза прибыли для банков.

1. Курс социально-экономической статистики: учеб. для вузов / под ред. М. Г. Назарова. — М.: Омега-Л, 2009.

2. Практикум по социальной статистике: учеб. пособие / под ред. Р. Е. Ефимовой. — М.: Финансы и статистика, 2008.

3. Салыева, Л. С. Практикум по социально-экономической статистике: учеб.-практ. пособие / Л. С. Салыева; УрСЭИ АТиСО. — Челябинск: УрСЭИ, 2008.

4. Система национальных счетов / под ред. В. Н. Салина, С. И. Кудряшова. — М.: Финансы и статистика, 2009.

5. Статистика: учеб. пособие / под ред. В. М. Симчера. — М.: Финансы и статистика, 2008.

Приложение

Исходные данные