Проблемы релятивистской кинетической теории плазмы

Статистическая теория систем движущихся зарядов, в том числе и наиболее распространенной и практически важной из них — плазмы, представляет собой бурно развивающуюся область теоретической физики как с точки зрения расчета известных и предсказания новых физических эффектов и явлений, так и с точки зрения основ теории. И тот и другой круг, взаимно дополняющих друг друга теоретических и математических проблем составляет основу настоящей диссертации.

Динамика системы движущихся зарядов, как динамика заряженных частиц и электромагнитного поля, может быть основана только на единых принципах симметрии, и следовательно, должна быть лоренц-инвариантной или релятивистской. Термин «релятивистский» традиционно используется также по отношению к скоростям частиц, не малым по сравнению со скоростью света в вакууме, температуре, не малой по сравнению с массой покоя зарядов, функции распределения, обращающейся в нуль при скоростях больших скорости света.

Количественные расхождения с кинетической теорией, основанной на ньютоновых уравнениях движения, начинаются при температурах -4 2 порядка 10 тс, определяющих область применимости выражения для мнимой части продольной диэлектрической проницаемости нерелятивистской плазмы. Качественные расхождения при релятивистском и нерелятивистском подходе начинаются при еще более низких температурах. Действительно, без привлечения релятивистской динамики невозможно объяснить отсутствие резонансного взаимодействия электромагнитных волн с частицами, предсказываемого нерелятивистской теорией. Для плазменных волн, распространяющихся в направлении, перпендикулярном направлению внешнего магнитного поля, нерелятивистская теория предсказывает, наоборот, отсутствие затухания Ландау. Спектр продольных волн только в рамках релятивистской теории делится на досветовые волны, энергия которых поглощается частицами за счет обратного эффекта Черенкова, и сверхсветовые волны, для которых такое поглощение отсутствует.

А о.

Если учесть, что энергии 10 ТПС соответствует темперак п тура в градусах Кельвина 2,6.10 К, становится ясным, что физические процессы по крайней мере в высокотемпературной плазме (плазме в установках для получения реакций термоядерного синтеза, звездной плазме, плазме магнитосфер пульсаров и т. п.) корректно рассматривать лишь в рамках релятивистской статистической теории. Если в системе, состоящей из большого числа заряженных частиц пренебречь запаздыванием электромагнитных взаимодействий, мы приходим к классической модели системы кулоновских частиц, эволюция во времени которой описывается уравнением Лиувилля. В уравнение Лиувилля статистика вводится неопределенностью начального динамического состояния при детерминированном законе движения [1]. Это уравнение остается замкнутым до тех пор, пока уравнения движения частиц являются дифференциальными. Сокращенное описание системы дает «проекция» уравнения Лиувилля на некоторое подпространство, размерности кратной шести, фазового пространства. Такие уравнения не являются замкнутыми, а их множество образуют цепочку уравнений Боголюбова.

Физическая ясность и математическая простота аппарата статистической механики систем кулоновских частиц обязана бесконечной скорости распространения взаимодействий. При переходе от модели кулоновских взаимодействий к запаздывающим взаимодействиям, которые можно характеризовать запаздывающей функцией Грина [2], перестает существовать функция Гамильтона одних только зарядов, а уравнения движения частиц принимают вид дифференциально-разностных уравнений. Это свидетельствует о том, что уравнение эволюции системы движущихся зарядов может быть только уравнением для частиц и для поля одновременно и связывать динамические состояния системы, отстоящие в общем случае на конечные интервалы времени.

В представлении механики, когда каждой частице соответствует мировая линия, такое уравнение движения частиц в собственном электромагнитном поле в его классическом понимании действительно существует и было получено в ковариантной форме Климонтовичем [з] с. 135. Из факта существования уравнения Климонтовича, как единого микроскопического уравнения для частиц и электромагнитного поля, следует, что и при переходе к вероятностным представлениям должно существовать единое уравнение эволюции системы в терминах конечного набора переменных материальных частиц. Однако цепочка уравнений Боголюбова для систем с запаздывающим взаимодействием не может быть получена путем непосредственного статистического усреднения микроскопических уравнений Климонтовича, как это имеет место для кулоновских систем. Суть обычной процедуры статистического усреднения состоит во введении неопределенности одного выделенного динамического состояния, в то время как в микроскопических уравнениях при конечной скорости распространения взаимодействий закон движения частиц не содержится в бесконечно малом.

Предложено два принципиально различных подхода к построению статистической теории движущихся зарядов. При первом подходе, развитом в работах [4−12] некулоновская часть электромагнитного поля зарядов рассматривается в качестве «независимой переменной» фазового пространства наряду с координатами и импульсами частиц и, следовательно, вместо плотности фазовых точек в 6А/ - мерном фазовом пространстве должна вводится фазовая плотность в пространстве размерности континуум. В тех случаях, когда поперечная часть поля представлена дискретным набором осцилляторов поля, число переменных образует счетное множество. При такой модификации процедуры статистического усреднения в принципе становится возможным переход от микроскопического уравнения к уравнениям для редуцированных функций распределения. Однако согласно микроскопическим уравнениям при обычных условиях на бесконечности заряды и токи однозначно определяют поле. Появление независимой статистики полей возможно лишь за счет случайного характера однородной части общего решения уравнений поля.

Второй подход, который может быть назван ковариантным, вначале развивался преимущественно для кинетических уравнений, в частности, в работах ¡-14−2о]. Помимо очевидных преимуществ, связанных с автоматическим учетом трансформационных свойств, ковари-антный подход позволяет изучать системы релятивистских зарядов в гравитационном поле, включать гравитационные взаимодействия. Вопросы построения ковариантной статистической механики с учетом реакции излучения были рассмотрены в работах [21−2з]. Вследствие того, что выражение для реакции излучения содержит производную от ускорения частицы, фазовое пространство в этих работах было расширено путем включения производных от ускорений в качестве независимых переменных наряду с координатами и скоростями частиц. Основные уравнения ковариантной статистической теории систем движущихся зарядов на основе фазовых пространств размерности 8Л/ (минимальная размерность для ковариантной формулировки) были сформулированы в работе [24]. В этой работе было получено также кинетическое уравнение, учитывающее радиационное торможение, и показано, что реакция излучения приводит к затуханию волн в плазме.

Во всех случаях при использовании 8N — мерных фазовых пространств вместо реальных зарядов рассматриваются точки простран— ства Минковского, принадлежащие мировым линиям зарядов. Поэтому такой подход требует дополнения в виде общего метода устранения (2А/ - ^) дополнительных степеней свободы частиц.

Принципиальные математические трудности, присущие теории систем с запаздыванием, не возникают при построении слаборелятивистской статистической теории. Как показано в работах Трубникова, развита как обобщение нерелятивистской статистической механики и метода Боголюбова.

Сделаем краткий обзор новых результатов, полученных в диссертации и выносимых на защиту, а также укажем ряд работ советских и зарубежных авторов, на которые мы в той или иной мере опирались при работе над диссертацией.

В первой главе диссертации приводится вывод статистического уравнения эволюции во времени системы движущихся зарядов в рамках обычного фазового пространства с размерностью, равной удвоенному числу степеней свободы частиц /см. также [32]/. В основу вывода полежены следующие представления. Эволюция системы с запаз дывающим взаимодействием между частицами на некотором временном интервале не определяется более единственным начальным состоянием, а зависит от множества состояний в предшествующие моменты рии системы. Поэтому статистика может вводиться лишь путём задания неопределённости каждого из множества таких состояний. Поскольку при этом теряется представление о детерминированности движения вдоль фазовых траекторий, то при выводе уравнения эволюции могут быть использованы только вероятностные представления о законах движения частиц. Это уравнение имеет вид такая теория может быть времени, или при использовании функций Грина |2 ], от предысто и отличается от уравнения Лиувилля наличием запаздьшания (G функция Грина оператора Даламбера, — функция распределения в запаздывающий момент времени) и недетерминированноетью закона движения частиц (К (t)'t/) — вероятность перехода из состояния в момент в состояние в момент). Вероятности перехода связаны интегральным уравнением типа уравнения Чепмена-Колмогоро-ва в теории стохастических процессов [зз] .

При переходе к бесконечной скорости распространения взаимодействий уравнение эволюции совпадает с уравнением Лиувилля, а в пределе когда функция распределения стягивается в <5* - функцию в фазовом пространстве это уравнение эквивалентно микроскопическому уравнению Климонтовича.

Любое менее детальное описание получается путем интегрирования уравнения эволюции по части независимых переменных и сопровождается появлением двухвременных редуцированных функций распределения наряду с одновременными, обычными для теории систем без запаздывания [1] .

Уравнения для редуцированных функций распределения становятся зацепляющимися и образуют цепочку уравнений Боголюбова в том и только в том случае, если под системой ансамбля Гиббса понимается? — упорядоченный набор частиц, в котором координаты произвольной частицы, конфигурационное пространство которой совпадает с физическим пространством, связаны с координатами всех остальных частиц условиями запаздывания -" ??^-б-ЧЕ-Ъ^/С .

При выборе любого б£ - мерного подпространства для сокращенного описания среднее коллективное силовое поле действующее на каждую из с частиц со стороны зарядов, может быть отделено от нерегулярных взаимодействий или «столкновений», как поле, не имеющее источников в импульсном пространстве этого подпространства. Уравнение для? — частичной функции распределения оказывается таким образом самосогласованным с «макроскопическими» уравнениями Максвелла, в которых источниками поля служат (N-2.) частицобразующих непрерывное распределение заряда поточечных зарядов. Нерегулярные взаимодействия 2 частиц с (Л/-£) частицами и соответствующей частью излучения объедим няются в «интеграл столкновений». Конкретное значение числа 2 всегда может быть продиктовано условиями физической задачи. Поэтому «интеграл столкновений» может быть опущен и мы получаем замкнутое самосогласованное уравнение для Ечастичной функции распределения, совпадающее при ^ = ¦/ с уравнением Власова. Это уравнение имеет вид, А = - % [ I 8 (? -1V ^];

1 т-1 при? —, р = ра, (а= 1,2,. а также -«¦ (О I ->¦(?) I.

Рт = индекс (i) относится к ионам, а уравнения поля записаны для кратности через потенциалы.

Впервые кинетическое уравнение для t — частичной функции распределения рассматривалось Леонтовичем [34] для разреженного больцмановского газа.

При? = 2 в приведенном уравнении учитываются коллективные и парные взаимодействия. В кинетическом уравнении () без коллективных полей это соответствует учету интеграла столкновений Беляева-Будкера Ы. Поляризационные эффекты появляются либо при L > 2, либо при t — 2 и отличной от нуля правой части соответствующего уравнения. Интегральное уравнение, учитывающее эти эффекты для случая кулоновской плазмы, было выведено Боголюбовым [i], а кинетическое уравнение — Балеску, Ленардом и Гернси ¡-35−3в]. Релятивистский интеграл столкновений, учитывающий наряду с кулоновскими взаимодействиями взаимодействие, переносимое полем, получен Силиным ¡-39,4о]. Частная форма релятивистского интеграла столкновений ранее была получена Климонто-вичем И.

Как и микроскопическое уравнение, уравнения для редуцированных функций распределения имеют сингулярные слагаемые, которые наряду с обычными кулоновскими расходимостями содержат реакцию излучения. На кинетическом уровне средних коллективная часть реакции излучения может быть выделена методом Дирака (42,2], ку-лоновские расходимости опущены, как не влияющие на взаимодействия различных частиц, и мы приходим к уравнению Власова, в котором содержатся слагаемые, учитывающие торможение излучением. В ковариантной форме это уравнение имеет вид [24] и является необратимым. Как указано в ¡-1з], с. 384, другим источником необратимости для уравнения Власова служат граничные условия.

Тормозное излучение ¡-4з] и реакция этого излучения могут быть учтены лишь в уравнении для двухчастичной функции распределения, где они содержатся в слагаемых типа потенциалов ЛиенараВихерта.

Внешнее электромагнитное поле в приведенном выше уравнении входит через тензор поля. Нередко в астрофизических приложениях релятивистская плазма рассматривается в гравитационном поле (см., например, [44]). В этом случае уравнение Власова приобретает дополнительное слагаемое Г^ и^и^д^/др* ?19]. Для самогра-витиругощих систем через коэффициенты связности уравнение должно быть «самосогласовано» с уравнениями гравитационного поля ?18]. К уравнению Власова — Пуассона эта часть взаимодействий между частицами сводится при переходе к нерелятивистскому пределу лишь для вполне определенной метрики пространства событий ¡-45,4б] .

Уравнение Власова является основой кинетического описания процессов в плазме, близкой к равновесию. Эффекты, связанные со столкновениями и потерями энергии частиц на излучение при движении в коллективном поле, в линейном приближении как правило входят аддитивно и рассмотрены отдельно, в основном в шестой главе. С этой точки зрения шестая глава может рассматриваться как часть второй главы.

Во второй главе бесстолкновительное уравнение в его традиционной форме использовано для исследования дисперсии и колебаний релятивистской плазмы.

Ленгмюровские волны в релятивистской плазме рассматривали Силин [47], Силин и Рухадзе ?48], Клеммов и Вильсон [49.. Силиным были найдены незатухающие ленгмюровские волны с фазовой скоростью, превышающей скорость света, в релятивистской плазме с максвелловским распределением частиц. Само максвелловское распределение подробно проанализировано в работе. Волны с фазовой скоростью меньшей скорости света и их затухание вследствие черепковского взаимодействия с частицами были исследованы Цытови-чем [51]. Ряд полезных апроксимаций и уточнений получили Гершман [52], Имре [бз], Бути [54,55] .

Интерес к продольным волнам в релятивистской плазме значительно возрос после открытия пульсаров. Цытович и Каплан.

5б] теперь уже для одномерных степенных распределений показали возможность черенковской генерации затухающих досветовых волн. Однако этот вывод был поставлен под сомнение в работе [57] Суворова и Чугуно-ва. В работах (24, 5в] было вычислено затухание Ландау для длинноволновой части спектра досветовых волн и проведено ?24] сравнение этого затухания с радиационным затуханием волн в плазме с максвелловским распределением по скоростям. Для общего вида равновесных распределений частиц по импульсам вопросы затухания Ландау и пучковой неустойчивости были исследованы Ломинадзе и Михайловским.

Ы. Результаты этих работ находились в согласии с выводами Цытовича и Каплана.

Проблеме, получения новых разложений и асимптотических формул для диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы, выражений для дисперсии и декрементов затухания досветовых ленгмюров-ских волн были посвящены работы [59, 60]. Одновременно в серии из трех работ [61−6з] было предложено несколько новых представлений дисперсионного соотношения для продольных волн, исследована начальная задача для релятивистской плазмы, проведена сравнительная оценка вкладов всех полюсов Ландау и линий разреза на плоскости комплексной частоты, приведено и проанализировано большое число графиков, полученных в результате численных расчетов. Численный расчет тензора диэлектрической проницаемости бесстол-кновительной слаборелятивистской плазмы проделан в работе |б4] .

К числу фундаментальных работ о колебаниях и волнах в равновесной релятивистской плазме относится также работа ?65 ] Михайловского, в которой объединены результаты более чем двадцатилетних исследований этой проблемы различными авторами. На основе анализа диэлектрической проницаемости при помощи нескольких безразмерных параметров были вычислены физические характеристики колебаний слаборелятивистской и ультрарелятивистской плазмы в различных диапазонах фазовых скоростей. В этой работе были уточнены также области применимости результатов Силина для сверхсветовых волн и формул для дисперсии и декремента затухания волн с фазовой скоростью, близкой к скорости света. Эти формулы в работе Михайловского были впервые написаны правильно, если не считать, как показано в работе [бб], имеющейся неточности в выражении для декремента. В 1982 году вопрос о затухании досветовых ленгмюровских волн был рассмотрен Силиным и Урсовым [б7]. Они показали, что декремент затухания таких волн ограничен сверху и наши соответствующие оценки.

Помимо задач, связанных с изучением физических свойств релятивистской плазмы и возможными приложениями, такой большой интерес к колебаниям свободной бесстолкновительной плазмы можно объяснить также потребностями дальнейшего развития теории релятивистской плазмы. Для изучения магнитоактивной плазмы, нелинейных явлений, турбулентной плазмы необходимо иметь надежные результаты для свободной плазмы.

В связи с этим в работах [66,68,69] и на основе этих работ во второй главе диссертации предпринята попытка провести строгое исследование диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы на основе единого математического подхода. В рамках развитого метода в этой главе получено новое интегральное представление для диэлектрической проницаемости, даны вывод, обоснование и уточнение дисперсии и декремента затухания околосветовых волн, а также получена асимптотическая формула душ диэлектрической проницаемости ультрарелятивистской плазмы, пригодная во всем диапазоне фазовых скоростей, где затухание Ландау отсутствует или является экспоненциально малым. Продольная диэлектрическая проницаемость имеет вид где.

2 = со/кс гр=сОр/кс ¦ р=02-<1) *^о*=тс2/т о (0) = 2 2(Ы иМ) -С-д (<*$)->71(2−1) Ип^ + + [(г ч) Ы (г -1) + (ги) — 2] Ояыр,.

С — постоянная Эйлера. Через ff^ обозначена производная G" o ^ по оС, ^ (¦*) — известная специальная функция Ы с. 59.,.

— [(z-м) bi (г-i) Cosdp].

Эта формула содержит в качестве предельных случаев выражения для продольной диэлектрической проницаемости, найденные Силиным (с* (Ъ "), а также Цытовичем и Михайловским (р>" 4).

В результате численных расчетов, представленных графически, удалось установить, что указанный общий результат дает высокую точность уже при температурах, на порядок превышающих массу покоя электрона, а известная формула Силина имеет более широкую область применимости, чем предполагалось при ее выводе.

Результаты кинетической теории позволили оценить, [Vi], ограниченность описания волн на основе релятивистской гидродинамики и указать явно ошибочные подходы в этом направлении. В частности, гидродинамика приводит в ультрарелятивистской области к правильной дисперсии лишь для волновых векторов близких к нулю. Основные гидродинамические уравнения могут быть представлены в форме равенства нулю дивергенции тензора энергии — импульса. Если использовать для изучения колебаний в плазме, как это, например, делается явно в работе ?72] или неявно в работе ¡-7з], хорошо известное выражение для тензора энергии — импульса сплошной среды феноменологической теории Эккарта,.

Ьз]. о. 118, то уравнения приводят к ошибочным результатам. Причина состоит в том, что эта частная форма тензора энергии — импульса справедлива для среды, находящейся локально в равновесном состоянии.

Примером систем с анизотропным распределением по скоростям может служить пучково-плазменная система. Возможность возбуждения высокочастотных колебаний в системе плазма-пучок была рассмотрена Ахиезером и Файнбергом [74−7б], Бомом и Гроссом [77, Эти системы достаточно полно изучены [58, 79 — 83]. Некоторые вопросы, связанные с пучковой неустойчивостью таких систем, рассматриваются в шестой главе.

С релятивистской точки зрения представляет интерес найти дисперсию ленгмюровских волн при отличной от нуля температуре релятивистского пучка. Этот результат получен во второй главе и в с общетеоретических позиций, как зависящий от закона преобразования температуры пучка при переходе к лабораторной системе отсчета. Трансформационные свойства температуры уже" давно обсуждаются в литературе ¡-85−9о]. При этом центральным является вопрос, пре-бразовывать ли температуру по формуле, предложенной Планком и Лауэ, по формуле Отта-Меллера, считать инвариантом или компонентой тензора. Если использовать определение температуры, как средней кинетической энергии, и закон преобразования 4 — вектора скорости, то путем непосредственного вычисления температуры в движущейся системе отсчета можно показать¡-91], что температура при переходе в лабораторную (нештрихованную) систему отсчета преобразуется по закону Планка и Лауэ работе имеет самостоятельный интерес. Однако он важен и.

С учетом этой формулы зависимость частоты волн от фазовой скорооти имеет вид резонансной кривой 2 р к2 к2 (Уф-У) /?. ?

V2.

Максимальное значение «резонансного» пика равно К2 оь Чь и не зависит от энергии Е трансляции пучка, в то время как при использовании формулы преобразования Отта-Меллера мы получили бы квадратичную зависимость этой величины от энергии. Экспериментальная проверка этого результата могла бы послужить одновременно и доказательством закона преобразования температуры.

При включении магнитного поля качественно меняется спектр колебаний плазмы. Характерным физическим явлением при переходе изотропная — анизотропная плазма является процесс образования электростатических волн Бернстейна ¡-92,9з]. Нерелятивистские уравнения Власова, предсказывающие полное отсутствие затухания волн в направлении перпендикулярном магнитному полю (?94] с. 102,¿-б] с. 77) и, следовательно, факт выключения резонансного взаимодействия волна-частица магнитным полем, как уже отмечалось выше, не могут служить надежной основой при изучении мод Бернстейна. Здесь мы встречаемся с физическим явлением, имеющим место и при нерелятивистских температурах, для описания которого необходимы релятивистские уравнения.

Проблемы магнитоактивной плазмы составляют содержание третьей главы. В этой главе рассмотрено распространение волн в релятивистской магнитоактивной плазме в предельных случаях слабого и сильного магнитного поля, причем в первом случае только в направлении перпендикулярном полю, как проблему имеющую математически своеобразный характер, [эб], с. 276, а потому менее изученную.

Предел слабого магнитного поля в нерелятивистской плазме рассматривался в работе [92]. Математическое своеобразие перехода к пределу слабого поля в этой работе обусловлено непоследовательностью нерелятивистского уравнения Власова.

Свойства слабоанизотропной релятивистской плазмы исследовались Трубниковым[97] в связи с вычислением коэффициентов поглощения электромагнитных волн. Им получено интегральное представление тензора диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы, которое легло в основу многих исследований, в том числе и исследования изложенного ниже.

Что касается плазмы в сильном магнитном поле, то роль релятивистских эффектов в ней изучена весьма полно. В работах?52−5б] а также ¡-98-Юо] исследованы релятивистские эффекты в пределах слаборелятивистских и ультрарелятивистских температур. Дисперсионные и диссипативные свойства плазмы вблизи гармоник циклотронной частоты изучались в работах {1OI-IO5]. Анализ электронно-циклотронного поглощения обыкновенных и необыкновенных мод в слаборелятивистской плазме на основании уравнений энергетического баланса проводился в работах [l06-I09]. Бесстолкновительное поглощение обыкновенной волны, распространяющейся поперек магнитного поля, обусловленное релятивистскими эффектами движения электронов оценено в работе с. 134, см. также [iIO, III].

Диэлектрическая проницаемость релятивистской плазмы при распространении волн вдоль произвольного внешнего магнитного поля детально изучена в работе [112]. В работах [lI3,II4] подробно аналитически и численно была исследована дисперсия циклотронных волн в нерелятивистской плазме. Значительное внимание теории релятивистской магнитоактивной плазмы уделено в монографиях ?4? с. 147 и.

Ы с. 219, а также в работах [пб-пв].

В третьей главе дано общее решение задачи об отыскании асимптотического выражения для тензора диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы в слабом магнитном поле [lI9,I22]. Для решения этой задачи использован многомерный метод стационарной фазы [120,121], как наиболее эффективный математический аппарат при исследовании различных переходных процессов.

Асимптотическая формула для тензора диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы в слабом магнитном поле может быть представлена в виде суммы тензора диэлектрической проницаемости г (Oj свободной изотропной плазмы С^^, вклада «граничной области» h9o) p (du Fp UgUxfr Up,.

Ишкгсг JIUoi-uri)2 (, ootp> U0Z-iiFt.

X, e и вклада «внутренних критических точек» и^, Ч т п m (*) — кс, Р г где.

2, / * Й.

-^f if^iuil I Hj. n, 1^ 2 ^.2-/ эепх.

X — циклотронная частота, — единичный антисимметричный по всем индексам тензор, НаСЭ£) — максимальный номер интервала (2)Тт, § т) ' Где сУЩеотв5по'г решения уравнения.

— ъе^СгЗД/и?', 2"СО/Л;

Для сверхсветовых волн, распространяющихся в направлении перпендикулярном магнитному полю вклад внутренних критических точек отсутствует. Дисперсия обыкновенной волны совпадает в первом приближении по полю с дисперсией поперечной волны в незамагниченной плазме. Дисперсия сверхсветовых необыкновенных волн вне узкой области волновых векторов, зависящей от температуры и пропорциональной {2, также не отличается в этом приближении от изотропного случая, а внутри области имеет вид.

Г" злг* А где Л, А, ^ известные функции температуры, имеющие нерелятивистскую и ультрарелятивистскую асимптотики, равные соответственно 1, 3 /ы., 1 и о</з, о</5 и2/6. Спектр колебаний сверхсветовых волн не содержит циклотронных мод.

Максимальное значение вклада внутренних критических точек в продольную диэлектрическую проницаемость для быстрых слабозатухающих досветовых необыкновенных волн в направлении перпендикулярном полю достигается на частотах, кратных циклотронной. В этой части спектра на дисперсионной кривой появляются характерные «резонансные всплески», которые при нерелятивистских температурах и слабом магнитном поле имеют величину д к.

Мнимая часть продольной диэлектрической проницаемости определяет бесстолкновительную диссипацию энергии таких волн. Декремент затухания оказывается отличным от нуля и равным =*А (<-2и?Т (со/2)/с01Гт2), где Уд — затухание Ландау, х) — пилообразная функция с периодом равным единице. Декремент как функция частоты графически представляет собой спадающую, как и Функцию, промоделированную ступенчатой функцией.

В том случае, когда магнитное поле не является слабым, нельзя пренебречь реакцией излучения зарядов в таком поле. Вследствие торможения излучением происходит «высвечивание» поперечных степеней свободы частиц и их распределение становится анизотропным, в пределе одномерным. Одномерные распределения широко используются при описании электрон-позитронной плазмы магнитосфер пульсаров ?56, 123, 124]. На основании уравнения Власова, учитывающего торможение излучением показано, что релятивистское распределение Максвелла в сильном магнитном поле принимает вид причем поперечная температура Т^ = Т0 вХр

С-1/г) убывает с характерным временем 7 Г ~ 3 £ц/4 ^ В тем меньшим, чем больше плотность энергии магнитного поля.

Проблема распространения и возбуждения волн в одномерной плазме в связи с астрофизическими приложениями рассматривалась в работах ?116,125,57]. Одной из центральных проблем, связанной с механизмом турбулентности является проблема выявления и иерархии неустойчивостей [125]. Это проблема приобретает особый интерес в связи с тем, что циклотронная раскачка альвеновских волн в электрон-позитронной плазме невозможна [12б]. В диссертации и работе [12б] показано, что циклотронная раскачка волн в электрон-позитронной плазме существует, но на более высокой релятивистской циклотронной частоте еВс/Т. В частности поперечные волны с правой круговой поляризацией усиливаются при распространении вдоль магнитного поля с инкрементом у = (Зли^/2<*22)-(о, 88)2ехр (-о, 88) со о о для значений плотности магнитосферы 10 см, магнитного поля ВЮ'^Гс, температур ТЧ0тс^ частота усиливающихся волн о, п ^ лежит в радио диапазоне, 60 О с" * «40 С, что соответствует наблюдаемым частотам для большинства радиопульсаров ¡-12з] .

Геликоидальные моды, существующие только при различных температурах электронов и позитронов, а также альвеновские волны являются затухающими. В диссертации приведены соответствующие декременты и дисперсии.

Для волн с продольной поляризацией, с поляризацией перпендикулярной волновому вектору и магнитному полю, для волн с поляризацией вдоль магнитного поля и направлением распространения, перпендикулярном полю, дисперсионные уравнения можно выразить только через одну специальную функцию, что позволяет проанализировать их достаточно полно. Анализ дисперсионных уравнений показывает, что на релятивистской циклотронной частоте оказываются неустойчивыми электромагнитные волны и при поперечном распространении. Неустойчивыми оказываются также электромагнитные волны с поляризацией, перпендикулярной магнитному полю и направлению распространения, на частотах, значительно меньших циклотронной:

У = - Ззго^оОр Ы (<*9/оо)/2со > о.

Что касается ленгмюровских волн, то они оказываются неустойчивыми на частотах.

В диссертации также приведены дисперсионные формулы устойчивых мод.

Характерным нелинейным эффектом, возникающим при распространении в плазме длинных ленгмюровских волн, является модуляционная неустойчивость [127]. Под воздействием высокочастотного поля ленгмюровской волны возможна модуляция плотности ионов, которая в свою очередь вызывает захват продольных колебаний в каверны с пониженной плотностью. Охлопывание этих каверн сопровождается уменьшением длины волны ленгмюровских колебаний.

В 1972 году Захаровым [128] в рамках гидродинамики была предложена простая система уравнений для описания модуляционной неустойчивости, на основании которых это явление было детально исследовано¡-129]. В рамках кинетической теории электронно-ионной плазмы в заданном однородном осциллирующем поле возникновение неустойчивости подробно проанализировано в монографии Силина [1з0]. Это явление на языке резонансного взаимодействия волн рассмотрено в обзоре Галеева и Сагдеева &-З1]. Весьма эффективным аппаратом для исследования нелинейного взаимодействия волн в плазме является аппарат многоиндексных тензоров диэлектрической проницаемости [.132−1 зз]. Различные аспекты модуляционной неустойчивости рассматриваются также в работах [134−139] .

Существует два условия, при которых ленгмюровская волна конечной амплитуды изменяет дисперсионные свойства однородной электронной плазмы. Это — наличие ионов и нелинейная зависимость скорости электрона от ее начального значения. Скорость частицы в однородном осциллирующем поле зависит от начальной скорости как от аддитивной постоянной. Поэтому в таком поле возможна лишь «двух-компонентная» модуляционная неустойчивость. Нелинейная зависимость скорости электрона от начальной скорости появляется, если длина волны конечной амплитуды не равна бесконечности, а также в том случае, если электрон релятивистский. При выполнении критерия Лайтхилла [14о] в этом случае возможна «однокомпонентная» модуляционная неустойчивость. Применение критерия Лайтхилла для плазменных волн будет корректным, если под нелинейным сдвигом частоты понимать относительный сдвиг частоты возмущений по отношению к дисперсионной кривой, описывающей волну конечной амплитуды.

Возможность параметрической раскачки колебаний в холодной релятивистской плазме однородным осциллирующем полем впервые была указана Цинцадзе [141]. В работе [142] было отмечено, что учет нелинейного сдвига частоты самосогласованного поля накачки приводит в холодной плазме к расстройке резонанса, сильному ослаблению параметрического инкремента. Значение инкремента неустойчивости и сдвиг частоты в пределе низких температур получены в работах [143−145]. Последовательное рассмотрение этого эффекта в рамках релятивистской кинетической теории проведено в работе [14б]. В работе [147] решена задача на устойчивость в поле ленгмюровской самосогласованной стационарной волны, впервые исследованной Ахие-зером и Половиным[148]. Дальнейшее развитие это направление получило в работах [149−15о], где получена слаборелятивистская по амплитуде поля нелинейная добавка к уравнениям Захарова. Это позволило учесть влияние релятивизма на электрон-ионную модуляционную неустойчивость при больших длинах волн.

Исследованию различных типов волн в плазме, когда существенна нелинейная зависимость релятивистского импульса электрона от скорости, посвящены также работы [151- 15б]. Ряд простых нелинейных эффектов и теория возмущений для описания распространения в холодной плазме плоских волн с фиксированным профилем рассмотрены в работах [157, 158] .

В четвертой главе, см. также [159], рассмотрена модуляционная и параметрическая неустойчивость в релятивистской плазме. Число захваченных частиц предполагается малым. Для сверхсветовых волн это число равно нулю. Фазовые скорости досветовых волн должны быть большими по сравнению с тепловой скоростью электронов. Ограничение на число захваченных частиц не относится к биениям, которые могут иметь малые фазовые скорости и взаимодействовать с частицами посредством механизма нелинейного затухания Ландау.

Нелинейность стационарной ленгмюровской волны типа БГК [16о]) ?161] за счет колебаний захваченных частиц в потенциальных ямах волны рассмотрена, в частности, в работах [162, 163]. Взаимодействие волны с незахваченными, движущимися с тепловыми скоростями, частицами учитывается в этих работах лишь в линейном приближении. Неустойчивость, связанная с захватом частиц в волну, затухание волны с учетом вклада всех электронов, влияние захвата частиц на индуцированное рассеяние рассмотрены соответственно в работах [164], [165−166, 167] .

В § I четвертой главы получено решение релятивистского уравнения Власова для бесстолкновительной плазмы в виде нелинейных стационарных волн конечной амплитуды. Это решение получено при помощи метода Боголюбова [168], содержит, наряду с основной гар-t.

Ео ^ моникои, также высшие гармоники с амплитудами имеющими порядок п-1 где п. — номер гармоники, а) =е Е0/ц)о<�р0> - малый параметр, и имеет вид.

Е = В0 Sm (io0-t — k0I + Ч>0) +? ? o Sin 2(u.4: -K.t + 4>0).

— A (^ - I < S/n — +.

Частота основной гармоники оказывается сдвинутой относительно частоты, определяемой дисперсионным уравнением линейной теории, 2 на слагаемое порядка V.

Здесь.

2Жеъ[(Ь Э^и/ap 2A/3mc) 1-K0V?/oj.

NI.

Ыр О.

А з 3 Ь2р0(р4- к"ср./ив)/2р"х.

Вычислив асимптотику М и М как функций температуры в нерелятивистском и ультрарелятивистском пределах мы нашли нелинейный сдвиг частоты в этих предельных случаях. При оС".

2 2 0) Л=Сл>А 3/eEQ Г jg /еЕоКрТк 8 Vmccxw 2. тсод2 / тс.

2. П • о и сдвиг частоты определяется как нелинейной зависимостью импульса электрона от скорости, так и четырехволновым взаимодействием плазменных волн. В ультрарелятивистском пределе этот результат имеет вид.

Г, ¿-(Но ^ (.^о V тссод/ 1?5Ч шсод2 с*' и нелинейный сдвиг целиком зависит от температуры. Подобная задача рассматривалась в работе 5-бэ]. Отброшенные автором этой работы нелинейные слагаемые в разложении по полю волны содержат тот же порядок величин, что и учтенная первая нелинейная поправка. Поэтому результаты работы ?169] нельзя признать удовлетворительными.

Далее в диссертации рассмотрено взаимодействие волны конечной амплитуды с линейными волнами возмущений, результатом которого является возникновение высших гармоник, нелинейного сдвига частот возмущений, нелинейного инкремента или декремента. Показано, что при резонансном взаимодействии волн в релятивистской плазме, когда расстройки частот и волновых векторов имеют порядок, не превышающий р г= (е Е" 0 /П1 С00о)^" дисперсионным уравнением служит уравнение.

Ш+Ш01К + К0)-Р+] [е ((0-шв-, к-к,)-Р]-СиС1= О, в котором р+ со ±2а>о-, К±2"а) Г^Цр «?V,*) <

А±-1 Д±-2. 1″).

1 Д±-<1 До Д ±2.

ГгВЛМр

ДоД.

Л -1.

Кроме того, использованы обозначения.

А< = А-гпсМВ/зе ^ А2= А+тсМВ/е = 4яе2с (* - К0V*/со®) Э-^м /Эр2 ;

Д и =Г 00 + ИСОо — (к + ИКо)^ .

Это уравнение исследовано в пределах нерелятивистских и ультрарелятивистских температур. В первом случае мы приходим к выводу, что в релятивистской электронной плазме в поле волны конечной амплитуды наиболее интенсивно возбуждаются моды с волновыми векторами и частотами, равными.

А — 8С2Ут КО .

Максимальное значение инкремента нарастания таких мод определяется формулой щах «I ^ I — Уд, а пороговое значение амплитуды нелинейной волны, при котором начинает развиваться неустойчивость, равно.

Р 2. 1 6 /тса)р2^А ° 5 V в) сор

При к©- = О эти формулы описывают параметрическую неустойчивость во внешнем однородном осциллирующем поле. Кроме того, из этих формул видно, что резонансное взаимодействие волн в электронной плазме имеет место лишь при отличных от нуля температурах.

В случае ультрарелятивистских температур вклады за счет релятивистской нелинейной зависимости импульса от скорости и за счет четырехволнового взаимодействия входят с одинаковыми знаками. Максимальное значение инкремента — сор/ гъ ^ ич КоСг так-р^ 8 775 Со0* У достигается на частотах.

СО =С0о + КоС2(К-Ко)/С0р СОр =(л)ро1/3 С I 3 1 120 350 СОо2-/ .

Эти формулы описывают нарастание модуляционной неустойчивости в сверхсветовой части спектра ультрарелятивистской плазмы с ростом К о «а при К0—о описывают параметрическую неустойчивость.

Нерезонансное взаимодействие волн в плазме с нерелятивистской температурой приводит, с точностью до квадратов отношений тепловой скорости частиц к фазовым скоростям волн, только к нелинейному сдвигу частот: ы =<^д — -т^рР".

При ультрарелятивистских температурах такое взаимодействие волн сопровождается также нелинейным затуханием сверхсветовых волн: л= ^(К^С-^П (К-Ко).

Последняя формула является также количественным выражением для случая ультрарелятивистских температур процесса перекачки энергии ленгмюровских волн в длинноволновую область.

В четвертой главе рассмотрена также роль ионной компоненты в нелинейных процессах в релятивистской плазме. Все расчеты проводятся в длинноволновом приближении, когда можно не различать продольную и поперечную волны большой амплитуды. Для этого случая найдено дисперсионное уравнение. При нерелятивистских температурах оно приводит к результатам, полученным в монографии ¡-13о] Силина. В ультрарелятивистской плазме неустойчивость «апериодического» типа развивается с инкрементом, максимальное значение которого определяется универсальной формулой с численным коэффициентом X равным: 0,05 при КС"СОрер>Ы2 — О, 096 при р>ы2 КС «.

Зрер><*2с/У<- - 0,138 цри <2рер>(*2″ К, где — скорость ионного звука. Учет движения ионов привел в процессах «апериодического» типа к изменению примерно на одну треть численного коэффициента Л.

В ультрарелятивистской неизотермической двухкомпонентной плазме становится возможной неустойчивость «распадного» типа, при которой происходит одновременное возбуждение ленгмюровских и ионно звуковых волн. Этот процесс характеризуется инкрементом при Сл)0=и (К)+С05 .

В пятой главе рассмотрено нелинейное рассеяние волн в релятивистской слаботурбулентной плазме. Предполагается, что в такой плазме одновременно возбуждено много волн, и фазовые соотношения между взаимодействующими волнами случайны. Метод расчета процессов в такой плазме в рамках кинетической теории был развит в работах Кадомцева и Петвиашвили [17о], Драмонда и Пайнса [171], Галеева и Карпмана [172,17з], Силина [174] и лег в основу многочисленных исследований в этом направлении (см., например, [175−181], [1З1]).

В релятивистской максвелловской плазме ленгнюровская турбулентность рассматривалась в работах [182,18з]. Детальное исследование одномерного случая проведено Ломинадзе, Михайловским, Сагдеевым [184]. Слабая турбулентность релятивистской плазмы со степенным невозмущенным распределением изучалась Цытовичем, Кап-ланом. Николаевым ¡-185,18б] .

В диссертации дан вывод общей формулы для декремента затухания, обусловленного нелинейным взаимодействием волн с частицами в релятивистской плазме. От аналогичного нерелятивистского выражения эта формула отличается учетом нелинейной зависимости импульса электрона от его скорости и в слаборелятивистском приближении имеет вид итш* ЗТ*" I к" - к- • ч21 [кхк,]2 уТ* 1 8 с* 2 1).

Случаю наиболее эффективной перекачки энергии ленгмюровских волн в часть спектра с фазовыми скоростями, большими скорости света, соответствует деодемент р' Итгт с где У/е — плотность энергии колебаний.

Интенсивность нелинейной перекачки турбулентного ленгмюров-ского спектра с ростом температуры уменьшается. Этот факт имеет место также и в случае одномерной ультрарелятивистской плазмы ?184]. При температурах порядка 10~2 ГПС^ релятивистские поправки становятся преобладающими.

В пятой главе получена также формула для нелинейного декремента при произвольных релятивистских температурах в длинноволновом приближении. Величина нелинейного декремента для релятивистских температур оказывается пропорциональной первой степени К /со, а не третьей, как это имеет место для нерелятивистских температур. При температурах, значительно превышающих массу покоя электрона, у 27 0 (у уЛ к2- + згоит С 9 Кг +.

В нерелятивистской плазме процессы индуцированного рассеяния волн на частицах в направлении перпендикулярном К не дают вклада в (к). В релятивистской плазме такие процессы перестают быть запрещенными.

В шестой главе рассмотрено радиационное и столкновительное затухание волн в релятивистской плазме. Механизм резонансного поглощения энергии волн частицами, рассмотренный во второй главе, изучается одновременно с коллективной частью торможения излучением и столкновениями. В соответствии с результатами первой главы радиационное затухание может быть рассмотрено на основании релятивистского кинетического уравнения Власова, учитывающего реакцию излучения. Так как среднее за единицу времени значение квадратичной по полю части реакции излучения равно изменению за это время среднего импульса частицы при рассеянии на ней волны [45], с. 281, то учет торможения излучением в уравнении Власова связан с учетом потерь энергии — импульса при рассеянии волн на зарядах плазмы [187] .

Для оценки столкновительного затухания в диссертации использован интеграл столкновений Беляева — Будкера. Такой выбор диктуется преимущественно возможностью получить результаты в аналитической форме. При этом плазма предполагается достаточно разрешенной, так что частицы редко сближаются на малые расстояния. Более точная количественная оценка условий применимости приближения парных столкновений в плазме приведена в книге ?13] Климонтовича. Учет коллективных взаимодействий приводит к функциональной зависимости интеграла столкновений от тензора диэлектрической проницаемости.

Так как этот тензор сам определяется функцией распределения, то и интеграл столкновений Балеску-Ленарда |35,-37, 188], и полностью сходящийся интеграл Силина и Рухадзе [эб], с. 225, и интеграл Климонтовича [189], учитывающий взаимодействия частиц на малых расстояниях (см. также [190−193]) оказываются значительно усложненными. Различные сходящиеся интегралы столкновений, как показано в работах ?194,195] могут приводить к одинаковым коэффициентам переноса. Наряду с методом корреляционных функций.

I, 196−198] и методом теории флуктуаций и уравнения Фоккера — Планка [з, 13, 198−203] для расчета релаксационных процессов в плазме используются модельный интеграл столкновений Багнагара-Гросса-Крука ?204, 205], уравнение диффузии ¡-20б]. Проблема установления и поддержания максвелловского распределения цри учете комптоновского рассеяния, образования электрон-позитронных пар, тормозного излучения и поглощения синхротронного излучения [207] рассматривалась в работах ?208−211]. Выяснению роли коллективных эффектов в тормозном излучении в плазме с немаксвелловским распределением посвящена работа [212] Цытовича. Попытка рассмотреть торможение излучением в кинетической теории была предпринята Власовым [213], с. 162, а также в работах ¡-21−2з], обобщающих на ковариантный случай схему Власова, в работах ?24, 71, 73,214−21б] и др. В рамках тетрадного формализма эта проблема рассмотрена в работе [217]. Уравнения динамики излучающего электрона рассматривались в частности в работах [2,42,187,218−222].

В диссертации на основании релятивистского кинетического уравнения Власова с торможением излучением и интегралом столкновений Беляева-Будкера найдены дисперсионные уравнения для продольных и поперечных волн в релятивистской плазме. Основной качественный вывод, вытекающий из анализа дисперсионных уравнений и результатов второй главы относительно бесстолкновительной части диссипации энергии волн в релятивистской плазме, состоит в том, что во всей области спектра продольных и поперечных волн, где бесстолкно-вительное резонансное поглощение энергии волн частицами отсутствует, имеет место бесстолкновительное радиационное затухание. Это затухание является единственным для продольных волн с фазовыми скоростями большими скорости света, а также душ поперечных волн во всех областях спектра (см. также работы [223, 224]).

Для слаб о затухающих по формуле Ландау [225] волн с фазовыми скоростями меньшими скорости света и, по крайней мере, на порядок превышающих тепловую скорость электронов, радиационное затухание определяется декрементом.

2. 9,. оч и превышает затухание Ландау. Для волн с фазовыми скоростями близкими к скорости света где Т) — - функции температуры. Для сильно релятивистской плазмы последняя формула приобретает вид.

18 тс 1 ' л.

Вместе с результатами главы 2 эти формулы полностью описывают бесстолкновительное затухание в досветовой части спектра. В сверхсветовой части спектра ленгмюровских волн с фазовыми скоростями близкими к скорости света Л йг ъ о^оД г2- / 1 и, в частности, при Т"1тпс2' вг 18 Ч г2- /.

Если фазовая скорость не слишком близка к С е2 тс!

Частота и волновой вектор связаны дисперсионной формулой Силина.

В пределе нерелятивистских температур и фазовых скоростей, значительно превышающих тепловую скорость частиц, декременты стол-кновительного затухания совпадают с результатами Гинзбурга и Ру-хадзе ¡-22б]. Радиационное затухание поперечных волн определяется декрементом = ~ е^сОр/згпс^, а ленгмюровских-формулой (*). В этом пределе столкновительное затухание ленгмюровских волн превосходит полное бесстолкновительное затухание. Однако радиационные затухания электромагнитных волн оказывается большим столкновительного при условии.

4: Ы3/2 < 4 < Ш где Л — кулоновский логарифм. В диссертации приведены также выражения для декрементов затухания в области с<|2>"4, р>" 4.

Ленгмюровские волны в этой области характеризуются формулами Л.

5с 8~ ехр 2.

Для поперечных волн в этой области.

1Гг=г.<4/зс > и радиационное затухание электромагнитных волн снова превосходит столкновительное затухание. Декремент затухания ленгмюровских волн за счет столкновений в этой области может быть как больше, так и меньше декремента радиационного затухания.

Другой асимптотический предел для сильно релятивистской плазмы соответствует с* р> «Л .В этом пределе радиационное затухание электромагнитных волн, значительно превосходит столкновительное. Для ленгмюровских волн, наоборот, столкновительное затухание превосходит радиационное. В длинноволновой области спектра в первом приближении по 1ГТ / дисперсия и декременты затухания продольных и поперечных волн совпадают и равны оо.

0>а=а&*1С2С"*) К^(х)/хг — о С и сы г г 00.

ЬЙ т •.

Радиационное затухание длинных волн слабо зависит от температуры. Декремент столкновительного затухания убывает с ростом температуры в нерелятивистской области, в ультрареляти —2 2, вистской плазме ~ Г .В частности при Т «ГП С и >^с • Соотношения между затуханием Ландау, столкнови-тельным и радиационным затуханием иллюстрируются графически.

Величина радиационного декремента затухания не превосходит своего значения, характерного для нерелятивистских температур.

В диссертации и в работах ?227,228] рассмотрено также распространение волн в холодной магнитоактивной плазме на основе гидродинамических уравнений, полученных из уравнения Власова учитывающего торможение излучением. Качественно отличные результаты получены для случая сильных магнитных полей, когда циклотронная частота значительно превосходит плазменную частоту. В этом случае декремент радиационного затухания электромагнитных волн с левой круговой поляризацией близок к нулю, а радиационное затухание электромагнитных волн с правой круговой поляризацией, плазменных колебаний вблизи циклотронной и гибридной частот описываются одной и той же формулой.

К- 2ъ0 22/3 с = -1,4″ 10 8 Ь2 с" !

В отличие от случая изотропной плазмы этот результат не содержит зависимости от плотности числа частиц.

Далее, в шестой главе рассмотрена пучковая неустойчивость в слаборелятивистской плазме. Показано, что при наличии релятивистского пучка без теплового разброса скоростей, ленгмюровские волны с фазовыми скоростями меньшими скорости пучка затухают за счет торможения излучением сильнее, а волны с фазовыми скоростями большими скорости пучка затухают радиационно слабее, чем волны в плазме без пучка. Инкремент пучковой неустойчивости в присутствии холодного релятивистского пучка определяется формулой.

СО.

РЬ о JS Г л, Wkv.

K*vz/ U 1 K2V2.

1-^о (к).

Качественное отличие этой формулы от аналогичного нерелятивистского выражения проявляется в том, что пучковая неустойчивость при K^V > Clip существует и в холодной плазме. При конечных температурах плазмы и пучка и для фазовых скоростей волн много больших тепловой скорости пучка наибольшее значение инкремента неустойчивости равно ~ у +1* Е ш. о к2 Ть тс2- к2 Ть.

При Уф/УТ~ Ю2, «Е ~тс2 радиационное затухание препятствует развитию пучковой неустойчивости.

Л 5 Г —я начиная с плотностей плазмы Л ~ Ъ- 10 см.

Влияние радиационных эффектов на пучковую неустойчивость рассматривалось также в работах ?229, 23о].

Ряд интересных радиационных эффектов проявляется в рамках квазилинейной теории ¡-231−23б]. В частности, эффект увлечения электронов поперечной волновой связан с^аличием в силе Лоренца-Дирака слагаемого, пропорционального Г Е * В1, отличного от нуля в среднем за период и приводящего к захвату частиц поперечной волной. Движение электрона в поле волны в механике рассматривалось, например, в работах [2,237−239] .

Из квазилинейного уравнения диффузии для релятивистской плазмы, полученного в работах ?240−241}, в диссертации, следует результат где 11 — плотность электромагнитной энергии волны. При этом увеличение импульса частиц плазмы в точности равно уменьшению импульса волны.

Потери энергии электронов на излучение сказываются также на изменении плотности энергии плазмы. При распространении ленгмюровских волн эта величина изменяется в квазилинейном приближении,.

— 42 -• в то время, как плотность импульса остается неизменной. Этот результат можно также получить путем непосредственного подсчета энергии излучения электронов единицы объема плазмы. В диссертации подробно рассмотрена квазилинейная релаксация функции распределения Максвелла и приведены формулы учитывающие уменьшение температуры плазмы вследствие потерь энергии частиц на излучение.

— 276 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Мы рассмотрели ряд связанных между собой проблем статистической теории высокотемпературной плазмы, имеющих большую или меньшую общность. Остановимся кратко на возможности дальнейшего использования и развития полученных результатов и выводов.

В первой главе мы показали, что статистическая теория систем движущихся зарядов не может быть включена в общепринятую схему статистической механики, и предложили более общую схему, основанную не только на недетерминированности динамических состояний, но и на не-дерминированности закона движения частиц. В такую схему укладывается и статистическая теория систем с запаздыванием, включая классические системы с дальнодействующими силами, и теория систем с детерминированными динамическими состояниями и законами движения, которые могут быть описаны при помощи уравнений Климонтовича. Мы получили цепочку уравнений Боголюбова для систем с запаздыванием взаимодействий и показали, что для любого 2 — частичного уровня усреднения существует самосогласованное замкнутое уравнение, совпадающее при 1 с уравнением Власова. Такое уравнение при подходящем выборе (I, зависящем от характера физических процессов, может рассматриваться в качестве исходного для систем движущихся зарядов. По идее такие уравнения близки к уравнениям Леонтовича для многочастичных функций распределения больцмановского газа. Вопросы об условиях существования равновесных состояний систем движущихся зарядов и полей в рамках предложенного подхода, о релаксации систем к равновесию могут составить предмет дальнейших исследований.

Далее, предложенная схема статистического описания может быть легко обобщена на случай систем и физических явлений, в которых могут оказаться важными эффекты рождения и уничтожения частиц.

Остается также открытым традиционный подход, связанный с решением в общем виде уравнений для двухчастичных функций распределения и получением на этой основе интегралов столкновений кинетических уравнений. Эта задача, привлекательная математически, может оказаться не имеющей дальнейших приложений из-за чрезвычайной сложности результатов.

Все уравнения для? — частичных функций распределения движущихся зарядов содержат сингулярности, обусловленные самодействием частиц. Вычитая из сингулярных слагаемых чисто кулоновские расходимости, мы получаем, согласно Дираку, реакцию излучения. В диссертации эта программа реализована для кинетического уравнения, и, следовательно, для коллективной части торможения излучением.

Нам представляется целесообразным вычисление реакции тормозного излучения в замкнутом самосогласованном уравнении власовско-го типа для двухчастичной функции распределения и рассмотрения на основе этого уравнения электромагнитных процессов в плазме.

Мы рассмотрели некоторые проблемы физики релятивистской плазмы, представляющие интерес также и с точки зрения математической и теоретической физики. В частности, мы нашли аналитическое выражение для продольной диэлектрической проницаемости, содержащее в качестве предельных случаев известные результаты Силина и Цытови-ча-Михайловского.

Используя интегральное представление Трубникова тензора диэлектрической проницаемости магнитоактивной плазмы и четырехмерный метод стационарной фазы, мы получили тензор диэлектрической проницаемости релятивистской плазмы в слабом магнитном поле и смогли проследить за возбуждением и поглощением мод Бернстейна.

Эти результаты могут совершенствоваться по пути их дальнейшего упрощения и использоваться, в частности, при изучении переходного процесса изотропная — магнитоактивная плазма. Интересной представляется также разработка теории «магнитоплазменных каустик» — областей с аномальными изменениями тензора диэлектрической проницаемости.

По отношению к возмущениям плазма является нелинейной средой. Как было показано Цинцадзе, в такой среде нельзя не учитывать релятивистской зависимости импульса электрона от его скорости, приводящей к параметрической неустойчивости ленгмюровских волн, невозможной в нерелятивистской теории. Вместе с тем в нерелятивистской теории Силиным предложен метод изучения параметрических процессов, справедливый и для сильных возмущающих полей, когда импульс, приобретаемый электроном в поле волны накачки, не мал по сравнению со своим средним тепловым значением. Мы развили этот метод далее, для случая релятивистской плазмы и конечной длины волны и на его основе рассмотрели модуляционную и параметрическую неустойчивость в релятивистской плазме. Вычислены также коэффициенты индуцированного рассеяния волн на частицах в слаботурбулентной релятивистской плазме.

Результаты нелинейной теории могут найти применение при расчете различных 3-х и 4-х волновых взаимодействий в релятивистской изотропной и магнитоактивной плазме.

В диссертации сделан вывод о том, что в электрон-позитронной плазме электромагнитные волны в линейном приближении усиливаются на релятивистской циклотронной частоте, лежащей в радиодиапазоне, и найдены инкременты нарастания для таких волн. С точки зрения объяснения радиоизлучения пульсаров представляет интерес нелинейный расчет возбуждения волн в такой плазме.

Наконец важным для дальнейшего развития теории плазмы явилась бы экспериментальная проверка приведенных в диссертации декрементов затухания электростатических колебаний в магнитоактивной плазме, а также декрементов радиационного затухания электромагнитных и ленгмюровских волн.

Эксперименты по измерению дисперсии волн при наличии релятивистского пучка с тепловым разбросом скоростей, как показано в диссертации, могли бы дать однозначный ответ относительно закона преобразования температуры в релятивистской физике.

Результаты, изложенные в диссертации докладывались на семинарах кафедр теоретической физики и электроники физического факультета МГУ, в ИОФАН СССР (семинар под руков. проф. А.А.Рухадзе), на Ломоносовских чтениях физического факультета МГУ (1982) на 6-ой Всесоюзной конференции по физике вакуумного ультрафиолетового излучения и взаимодействию излучения с веществом (Москва, 1982), на 5-ой Советской гравитационной конференции (Москва, 1981), на Всесоюзной научной конференции «150 лет геометрии Лобачевского» (Казань, 1976). Кроме того, основные выводы и результаты, изложенные в диссертации использовались автором в течение трех лет при чтении общего курса лекций на физическом факультете МГУ по теоретической механике и механике сплошных сред, а также при чтении специального курса по электродинамике и кинетике систем релятивистских зарядов.