Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами

Диссертация: О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Объектом исследования в данной работе служат кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования и кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке и коэффициентами, зависящими от уравнения границы в пограничном слое, содержащие значения функции и ее производных в направлении одной из ее координатных осей. Область интегрирования Q ограничена гладкой поверхностью конечной площади в n-мерном… Читать ещё >

О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • I. Оптимизация узлов кубатурных формул
    • 1. 1. Основные понятия
    • 1. 2. Оптимизация узлов кубатурных формул
  • II. О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами в пространстве W™{En)
    • 2. 1. Кубатурные формулы для областей с гладкими границами
    • 2. 2. Вычисление определенного интеграла с помощью эрмитовых кубатурных формул с коэффициентами, зависящими от уравнения границы

Теория квадратур рассматривает методы, позволяющие находить ъ приближенные значения интегралов ^(p[x)dx для широких классов функций, а р{х), сводящих вычисление интеграла к вычислению линейной комбинации значений подынтегральной функции.

В некоторых методах в эту линейную комбинацию включаются еще и значения производных подынтегральной функции во всех или некоторых из рассматриваемых точек.

Очень важные результаты были получены С. Л. Соболевым в вопросе о построение кубатурных формул, оптимальных на тех или иных классах функций. В работе С. Л. Соболев [69] исследование кубатурных формул ведется на основе современных функционально-аналитических методов. Основным результатом С. Л. Соболева по теории кубатурных формул является доказательство асимптотической оптимальности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем на решетке в пространстве .

Исследования С. Л. Соболева по асимптотически оптимальным формулам были продолжены его учениками в пространствах Lmp, W™, и В.И.

Половинкиным, Ц. Б. Шойнжуровым, М. Д. Рамазановым и другими.

Применение теоретико-числовых методов началось с работы Н. М. Коробова [26]. Он ввел в рассмотрение классы функций Е" © и Н" ©.

Экстремальная задача в Щ© решается с помощью варьирования узлов и показывается, что параллелепипедальные сетки обеспечивают наилучший порядок сходимости. Свое дальнейшее развитие это направление получило в работах Н. С. Бахвалова [1], Н. Н. Ченцова [79], Н. М. Коробова [26] и других.

С современным состоянием этого направления можно ознакомиться в книге Н. М. Коробова [26].

В работах И. П. Мысовских [36], В. И. Лебедева [32], Г. Н. Салихова [65], М. В. Носкова [41], Н. Н. Осипова [45] и других изучаются формулы высокой степени точности на алгебраических и тригонометрических многочленах с малым числом узлов.

В указанных работах варьируются одновременно узлы и коэффициенты кубатурных формул.

Большое число результатов получено в вопросе построения кубатурных формул интерполяционного типа, имеющих тот или иной алгебраический порядок точности. Результаты этого типа изложены в работе И. П. Мысовских.

При построении кубатурных формул интерполяционного типа одним из основных вопросов является вопрос о выборе узлов и того пространства алгебраических многочленов, на котором формула должна быть точна. Вопрос о выборе пространства тесно связана с дифференциальными свойствами класса, для которого строится формула.

Отметим, что кубатурные формулы отличаются от одномерных двумя особенностями:

• бесконечным многообразием многомерных областей интегрирования;

• быстрым ростом числа узлов формулы с увеличением размерности пространства.

При больших численных расчетах появляется необходимость оптимизировать процесс приближенного вычисления интеграла. В силу этого большое значение имеет построение асимптотически оптимальных кубатурных формул в различных функциональных пространствах.

Рассмотрим следующий кратный интеграл.

36].

1) п.

Е. где sa (х) — характеристическая функция области П, <�р (х) е W «(Ея), рт > п.

Кратный интеграл (1) приближенно выражается суммой.

Zc-d>(xJ, (2).

Ci |ar|<|S| где D°(p (xk)=(p{xk), хкузлы, Ск — коэффициенты и Nчисло узлов.

Распределение узлов хк внутри П может быть произвольным. Тем не менее, результаты работы относятся к формулам с параллелепипедальной решеткой узлов. В этом случае узлы хр нумеруются с помощью мультииндекса.

Р = (Д, /?2,. рп) с целочисленными координатами. Любой из них можно найти по формуле xp=hH/3, где Яматрица размера ггхп, det# = l, а положительный параметр h называется шагом решетки.

Формулу (2) будем называть кубатурной формулой общего вида. Погрешность кубатурной формулы общего вида (2) определяется разностью ln, cp)=(p{x)dx-± X CakDacp (xk).

Пусть В — банахово пространство, В* - его сопряженное, и пространство В вложено в пространство С непрерывных функций:

5c=C'(Q). (3).

Интегрируемые функции считаем элементами этого банахова пространства В. Функционалом погрешности кубатурной формулы общего вида (2) в пространстве В называется обобщенная функция 1п (х)е В' вида: ln (x) = sn (x)-± X C°k (-)aD°8{x-xk).

Ы |*|<|S|.

Функционал погрешности /п (х) вида lQ (x)= (p (x)dx-fjYJ^Da (p{xk) = n к= |a|<|S|.

L *=i km p (x) является линейным непрерывным функционалом в В и его норма определяется формулой.

К’п^Я н =SUf.

L и. l^(p) = d{xk, Cak, N).

I/nL-=supJ ip* о.

Пусть X = =^x[kxlk ., х^j, к = 1, 2,., ivj — узлы кубатурной формулы, Р = Ск, Л: = 1, 2,.N, а < |?|} - коэффициенты кубатурной формулы и (X, — совокупность узлов и коэффициентов кубатурной формулы общего вида.

Кубатурная формула общего вида (2) с функционалом погрешности /п (х) в виде (4) называется наилучшей в пространстве В, если inf sup.

• (х'р) <р* о inf d{xk, Cak, N) = dxk, Cak, N.

5) о о.

Ее узлы и коэффициенты обозначаются через Хк, Сак соответственно, и называются оптимальными.

Отыскание минимума (5) по Хк, Сак называют экстремальной задачей теории кубатурных формул.

Функция (р0[х)еВ, если она существует, реализующая минимум о выражения (5), называется экстремальной функцией функционала /п (х).

Функционал погрешности х, Х, Р, N зависящий от X, Р, N называется асимптотически наилучшим, если 1а х, Х, Р, N е В* и для любого функционала X, Р, N) е В* выполняется условие lim.

IЦх, Х, P,.

7 ?L ?. «.

L X, X, P, N.

1.

6).

Узлы xk и коэффициенты С ak называются асимптотически наилучшими. Пусть узлы кубатурной формулы общего вида (2) расположены на решетке Г (М/|о), d&tH = 1, xk=hHpk, к = 1,2,., N.

Функционал погрешности 1п х, Р, N с узлами на решетке, зависящии от вектора Р и N называется асимптотически оптимальным, если для любого /п (х, Р, N) е В* выполняется условие: lim.

N-><*>

7) lax, Р, N.

При, а = О формула (2) принимает вид: г N.

8) n Ы где Q — ограниченная область с гладкой границей, хк — узлы, Сккоэффициенты, к = 1, 2,., N и N — число узлов.

В формуле (8) коэффициенты Ск являются произвольными, а остальные параметры фиксированы.

Пусть h е Н = h! h -> +0, -j- - целые числаН — матрица размера пхп, det# = |#| = l, хр=кнр — узлы формулы (8), В — банахово пространство, вложенное в пространство непрерывных функций, В*- его сопряженное и область Q с С,.

Р (Х)) = ШХ) — I hnCfiS (x-hHp),.

Функционал (9) называется оптимальным при заданных xp=hH/3 по коэффициентам Ср, если существует У*= с&bdquoеа (х)~ S hnCp8(x-hHP) hH/ЗеО. d в' fh, cX (Ю) v.

Асимптотически оптимальным функционалом погрешности ([58], стр.12) называется функционал погрешности {^a (x)}hlI> удовлетворяющий условию fcMl (11).

А->0 h, Cp.

Коэффициенты Ср называются асимптотически оптимальными.

В своих исследованиях различные постановки экстремальной задачи для функций одной переменной рассматривали С. М. Никольский [38], В. И. Крылов [31], Н. П. Корнейчук [23] и другие, в том числе для вероятностных методов Н.С. Бахвалов[1], Г. Ф. Михайлов [34], И. М. Соболь [75], А. В. Войтишек [16].

В диссертационной работе основной целью является построение и исследование кубатурных формул с переменным шагом интегрирования и эрмитовых кубатурных формул, содержащих значения функции и ее производных с коэффициентами, зависящими от уравнения границы. Для достижения цели ставятся задачи:

— оптимальное распределение узлов в зависимости от поведения подынтегральной функции и ее производных;

— построение формул с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования с гладкой границей, причем функционалы погрешностей, полученных формул, должны быть асимптотически оптимальными;

— построение кубатурных формул с пограничным слоем на решетке и коэффициентами в пограничном слое, зависящими от уравнения гладкой границы области;

— построение эрмитовых кубатурных формул с коэффициентами, зависящими от уравнения границы области, причем функционалы погрешностей, построенных формул, должны быть асимптотически оптимальными.

Объектом исследования в данной работе служат кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования и кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке и коэффициентами, зависящими от уравнения границы в пограничном слое, содержащие значения функции и ее производных в направлении одной из ее координатных осей. Область интегрирования Q ограничена гладкой поверхностью конечной площади в n-мерном евклидовом пространстве Еп.

Данная диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 4 параграфа, заключения, списка литературы из 96 наименований и трех приложений. Объем работы — 138 машинописных страниц. В первой главе рассматриваются кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования. Во второй главе исследуются кубатурные формулы с пограничным слоем с коэффициентами, зависящими от уравнения границы.

Основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Ц. Б. Шойнжурову за постоянное внимание и помощь в работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Данная работа посвящена построению эрмитовых кубатурных формул для гладких областей, содержащих значения функции и ее производных с коэффициентами, зависящими от уравнения границы. Для решения данной проблемы был использован функционально-аналитический поход.

В работе получены следующие результаты: построены кубатурные формулы с переменным шагом интегрирования для произвольной области интегрирования с гладкой границей. Определено оптимальное распределение узлов в зависимости от поведения подынтегральной функции и ее производных. Построены кубатурные формулы с пограничным слоем на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы области в пограничном слое. В данной работе упрощены вычисления коэффициентов. Исследованы эрмитовы кубатурные формулы, содержащие значения функции и ее производных в направлении одной из координатных осей для области ар j = 1, 2, ., к в n-мерном пространстве с коэффициентами, зависящими от уравнения границы. Функционалы погрешностей построенных формул, учитывающих значения первой производной, асимптотически оптимальны. Результаты работы могут быть использованы для приближенного вычисления многомерных интегралов.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1973. — 631 с.
  2. И.С., Жидков Н. П. Методы вычислений. М.: Гос. изд. физмат. лит-ры, Т.1,1959. — 464 с.
  3. О.В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления -функций и теоремы вложения. -М.: Наука, 1975.—480с.
  4. Н.И., Войтишек Л. В. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем для куба // Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1970. — Вып. 38. — С. 8−15.
  5. Н.И., Войтишек Л. В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников // Тр. Семинара акад. С. Л. Соболева. 1979. — № 1. — С. 5−15.
  6. Н.А., Цыбенова З. И. Интерполяционные операторы с узлами на решетке. //Сборник научных трудов: Физико-математические науки.- Улан-Удэ, — 2000.-С.49−54.
  7. Н.А. Формулы численного дифференцирования. //Сборник научных трудов: Физико-математические науки- Улан-Удэ,-2001 -С.49−54.
  8. Н.А. Оценка нормы функционала погрешности интерполяционных формул // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. ред. М. В. Носков. Красноярск, 2003 -С.184−187.
  9. Е.Г. Квадратурные формулы с симметричным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. -Улан-Удэ, 2000.- Вып.5. С. 49−54.
  10. Ю.Васильева Е. Г. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы с пограничным слоем // Abstracts of the International Conference of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. — C. 14.
  11. П.Васильева Е. Г. Экстремальная задача теории квадратур: Методы решения и приложения к инженерным задачам: Дис. канд. физ-мат. наук (05.13.18)/Вост.-Сиб. технолог, ун-т Улан-Удэ, 2002. — 101 с.
  12. Е.Г., Инхеева Л. И., Вампилова Н. А. Квадратурные формулыс пограничным слоем при четном т в пространстве Llnp (?,) II
  13. Математика, ее приложения и математическое образование: Материалы международной конференции. 4.1. (24−28 июня 2002 г., г. Улан-Удэ), Улан-Удэ: 2002. — С. 132−138.
  14. B.JI. Кубатурные формулы в гармонических пространствах Бергмана // Кубатурные формулы и их приложения. Уфа: ИМ ВЦ УНЦ УФО РАН, 1995. — С. 241 -250.
  15. М.Васкевич B.JI. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.01) // Новосиб. гос. ун-т. -Новосибирск, 1982. 108 с.
  16. B.JI. Критерий гарантированной точности вычислений многомерных интегралов. Вычислительная технология — 2003. — Т.9. -С.44−49.
  17. А.В. Использование аппроксимационных функциональных базисов в методах Монте-Карло // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. VII семинара-совещ. /Отв. Ред. М. В. Носков. -Красноярск, 1982.- 108с.
  18. JI.B. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1969. — Т.9, № 2. — С. 417−419.
  19. B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1976.-280 с.
  20. B.C. Уравнения математической физики //- 5-е изд., доп. -М.: Наука, 1988.-512 с.
  21. Л.И., Булгатова Е. Н., Кубатурные формулы для гладких областей // Материалы VIII международного семинара-совещания -«Кубатурные формулы и их приложения», изд-во ВСГТУ, 2005.- С.82−91.
  22. К. Функциональный анализ. -М: Мир, 1967. -5−624с.
  23. Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1981.-431 с.
  24. Н.П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур // С. М. Никольский. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.-С. 127−253.
  25. Н.М. Приближенные вычисления кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957.-№ 6.-С.1062.
  26. Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. -М.: Наука, 1963.-224с.
  27. И.В. Построение формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. — Вып.1. — С. 150−152.
  28. И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 1994. -Вып.1.-С. 147−150.
  29. И.В. Оценка сверху нормы функционала погрешности с•регулярным пограничным слоем в W’p'{En) И Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. Уфа, 1996. — С. 71−78.
  30. Корытов И. В. Оценка снизу нормы функционала погрешности в
  31. Wp (En) // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинарасовещ. / Отв. ред. М. Д. Рамазанов. Уфа, 1996. — С 37−40.
  32. В.И. Приближенное вычисление интегралов. 2-е изд., доп. -М.: Наука, 1967.-500 с.
  33. В.И. О квадратурах наивысшей алгебраической степени точности ВКН // Теория кубатурных формул и приложения -функционального анализа к задачам математической физики. -Новосибирск, 1973.
  34. В.Н. Дифференциальные уравнения в частных •производных. -Москва. Российский ун-т Дружбы народов, 1997. -445с.
  35. Г. А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. -М.:Наука, 1987. -236с.
  36. И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. // -М.:Наука, 1981.-231с.
  37. С.М. Приближение функций многих переменных и •теоремы вложения. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1977. — 456 с.
  38. С.М. Квадратурные формулы. 4-е изд., доп. с добавлением Н. П. Корнейчука. — М.: Наука, 1988. — 256 с. •
  39. С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. 4-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука, 1991. -Т.2. — 544 с.
  40. М.В. О декартовых произведениях кубатурных формул. // Сб. Теория кубатурных формул и вычислительная математика. -Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1982. № 1. С.32−41.
  41. М.В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности // Методы вычислений / Под ред. И. П. Мысовских. JL, 1991.-Вып. 16.-С. 16−23.
  42. Н.Н. О минимальных кубатурных формулах- данной тригонометрической точности в 2-мерном случае //Кубатурные формулы и их приложения. Докл. III семинара-совещания.- Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 1996.-С. 451−467.
  43. Н.Н. Наилучшие по числу узлов серии решетчатых кубатурных формул, точных на тригонометрических многочленах трех переменных //Журн. вычисл. матем. и матем. физ.-2005.- Т.45.-№ 2.-С. 212−223.
  44. Н.Н. Примеры экстремальных решеток для гипероктаэдра в R5 и R6 //Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки.- 2005.-№ 1.- С. 93−96.
  45. В.И. Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул // Сиб. мат. журн. 1971. — Т. 12, № 1. — С. 177−196.
  46. В.И. О кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1972. — Т. 13, № 4. — С. 951−954.
  47. В.И. Последовательность функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн. 1974. — Т. 15, № 2. — С. 413−429.
  48. В.И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетном т // Сиб. мат. журн. 1975. — Т. 16, № 2. — С. 328−335.
  49. В.И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. Дис.докт. Физ.-мат. наук (01.01.01)/ЛГУ.-Л., 1979- 18 с.
  50. В.И. О реализации функционалов ошибок кубатурных формул в пространствах типа Lm II Краевые задачи для уравнений счастными производными. Новосибирск, 1988. — С. 125−136.
  51. В.И. Реализация линейных функционалов из Lm (Q) //
  52. Сиб. мат. журн. 1995. — Т.36, № 1. — С. 156−158.
  53. В.И., Дидур Л. И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых кубатурных формул. -Сиб.мат.журн. -1978.-Т.19, № 3.-С. 663−669.
  54. В.И., Дидур Л. И. О порядке сходимости кубатурных формул // Вопросы вычислительной и прикладной математики. -Ташкент: Изд. Ин-та кибернетики и ВЦ АН УзССР, 1975ю вып. 34. -С. 3−141. ТУХ
  55. Половинкин В.И. О реализации финитных функционалов в II
  56. Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. -Новосибирск, 1989.-С. 137−139.
  57. М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. -Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. 174 с.
  58. М.Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР. 1974. — Т. 126, № 1.-С. 44−45.
  59. М.Д. Универсальная оптимальность решетчатых кубатурных формул // Докл. РАН 1992. — Т.324, № 5. — С. 933−937.
  60. М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем // Кубатурные формулы и их «приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М. Д. Рамазанов. -Уфа, 1996.-С. 77−89.
  61. М.Д. К L теории соболевских формул // Вопросыматематического анализа: Сб. науч. ст. / Отв. ред. В. И. Половинкин. -Красноярск, 1996. С. 39−52.
  62. А.А. Введение в численные методы. -М.: Наука, 1987−287с.
  63. Г. Н. К теории групп правильных многогранников. // Докл. АН СССР, -1965 .-№ 3 .-Т. 163 .-С. 115−121.
  64. Л.И., Формулы с переменным шагом интегрирования// Материалы II Всероссийской конференции с международным участием «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и сисгемы».Ч.2, изд-во БГУ, 2006 г. С. 114−117.
  65. Л.И., Булгатова Е. Н., Кубатурные формулы для гладких и кусочно-гладких криволинейных областей// Вестник ВСГТУ.- 2005.-№ 4 С.4−5.
  66. Л.И., Булгатова Е. Н., Экстремальная функция и норма оптимального периодического функционала// Вычислительная 'технология, Т. L1, № 4, 2006.-С. 113−117.
  67. С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.-808 с.
  68. С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. — 255 с.
  69. С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Под ред. О. А Олейник. 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1988. — 336 с.
  70. С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989. — 254 с.
  71. С.Л. Уравнения математической физики / Под ред. A.M. Ильина. 5-е перераб. и доп. — М.: Наука, 1992. — 432 с.
  72. С.Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. — 484 с.
  73. И.М. Численные методы Монте-Карло. -М.:Наука, 1973.-311с.
  74. Г. Л. Оценка сверху функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в пространстве С.Л. Соболева с весом // Abstracts of the International Conferense of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001. — C. 14.
  75. Г. Л. Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовом пространстве Соболева: Дис. канд. физ-мат. наук (01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, ун-т Улан-Удэ, 2001.-99 с.
  76. Функциональный анализ / М. Ш. Бирман, Н. Я. Виленкин и др.- под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1964. — 424 с.
  77. Н.Н. О квадратурных формулах для функций бесконечно большого числа переменных // Журн. Вычислительной математики и математической физики, 1961.-Т.1.-№ 3.-С.418−424.
  78. БО.Шатохина JI.B. Минимизация однопараметрического семействаквадратурных формул типа Грегори для пространства I^a, b.
  79. Материалы VIII международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и их приложения», изд-во ВСГТУ, 2005.- С. 168−171.
  80. Шойнжуров Ц.Б. О приближенном интегрировании функций в fV^mQ)
  81. И Применение функциональных методов к краевым задачам «математической физики: Материалы III Советско-Чехословацкого совещ. Новосибирск, 1972. — С. 255−256.
  82. Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дис. докт. физ-мат. наук (01.01.01, 01.01.07) / Вост.-Сиб. технолог, инт-Улан-Удэ, 1977.-235 с.
  83. Ц.Б. Асимптотически оптимальные квадратурные и кубатурные формулы. Новосибирск, 1979. — С. 28. — (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-е. ин-т математики- № 55)
  84. Ц.Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул впространстве W™(En). Сб. Теория кубатурных формул и приложенияфункционального анализа к задачам математической физики, Новосибирск, Наука, 1980.-С.302−306.
  85. Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности интерполяционных формул в пространстве Соболева. //. Труды -математического института Стеклова, 1987.- С.152−158.
  86. Шойнжуров Ц. Б. Норма функционала погрешности в пространстве
  87. Кубатурные формулы и их приложения: Докл. IIIсеминара-совещ. / Отв. ред. М. Д. Рамазанов. Уфа, 1996. — С. 123−127.
  88. Ц.Б. Кубатурные формулы в пространстве С.Л.Соболева
  89. W т. Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2002. — 222с. Р
  90. Ц.Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах. Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005.-247с.
  91. Ц.Б., Инхеева Л. И. Норма периодического функционала погрешности квадратурной формулы в одномерном случае // Сб. научных трудов: «Физико-математические науки. — Улан-Удэ: ВСГТУ, 2004.-С. 3944.
  92. Ц.Б., Инхеева Л. И., Булгатова Е. Н. Построение квадратурных формул с помощью разложения единицы // Сб. научных трудов: Физико-математические науки. — Улан-Удэ: ВСГТУ, 2005. -С.14−21.
  93. Ц.Б., Санеева Л. И. Оптимизация узлов кубатурных формул для областей с кусочно-гладкой границей. // Материалы Уфимской ¦международной математической конференции, посвященной памяти А. Ф. Леонтьева, Т. З. Уфа: ИМВЦ, 2007. С.37−39.
  94. Ц.Б., Вампилова Н. А. Функционалы погрешности интерполяционных формул. // Сборник научных трудов: Физико-математические науки. Улан-Удэ, 2000. — Вып.5 — 2000.-С. 125−134.
  95. Ц.Б., Вампилова Н. А. Интерполяционный многочлен Соболева. // Математика в восточных регионах Сибири: Материалы международной конференции (28−30 июня 2000 г., г. Улан-Удэ), Улан-Удэ: БГУ, 2000.-С. 103−105.
  96. Ц.Б., Вампилова Н. А. Весовые кубатурные формулы. // Abstracts of the International Conference of Mathematics. Ulaanbaatar, 2001.-C.9.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!