Анализ деятельности предприятия ООО «Квант» на основе комплекснозначной производственной функции

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ Высшего профессионального образования

Северо-Кавказский государственный технический университет

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА № ______

Студентки Костенко Анны Владимировны

Специальности 230 401 «Прикладная математика»

Защищен

Тема Анализ деятельности предприятия ООО «Квант» на основе комплекснозначной производственной функции

Приказ о закреплении темы от «27 «января 2011 г. №

Чертежи листов Пояснительная записка 76 листов Подпись лица, принявшего документы на кафедру

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ Высшего профессионального образования

Северо-Кавказский государственный технический университет

Факультет информационных_технологий_и_телекоммуникаций

Кафедра Прикладная математика и компьютерные технологии

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой В. В. Захаров

подпись, инициалы, фамилия

" «2011 г.

ЗАДАНИЕ НА ДИПЛОМНУЮ РАБОТУ

утверждена приказом по СевКавГТУ № 235/с от «27» _января_2011 года.

2. Срок представления работы к защите «15 «июня 2011г.

3. Исходные данные для научного исследования

1) материалы отчета по преддипломной практике; 2) материалы, представленные бухгалтером экономистом предприятия ООО «Квант» села Дивного Ставропольского края.

4. Содержание дипломной работы:

Руководитель работы А.С. Адамчук

подпись, дата, инициалы, фамилия

Консультанты по разделам:

«Информационные технологии и программирование» Ляхов В.Ф.

Задание к исполнению принял «21 «января 2011 г.

подпись

• ВВЕДЕНИЕ
• 1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
• 1.1 Основы теории производственных функций
• 1.2 Показатели эффективности использования ресурсов
• 1.3 Аддитивные и мультипликативные производственные функции
• 1.4 Степенные производственные функции
• 2. КОМПЛЕКСНОЗНАЧНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ООО «КВАНТ»
• 2.1 Линейная действительная производственная функция комплексного аргумента
• 2.2 Линейная комплексная производственная функция комплексных переменных
• 3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВА ПРЕДПРИЯТИЯ ООО «КВАНТ» С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
• 3.1 Прогнозирование и анализ деятельности предприятия ООО «Квант» с помощью действительных производственных функций
• 3.2 Прогнозирование и анализ деятельности предприятия ООО «Квант» с помощью комплекснозначных производственных функций
• 3.3 Итоги проведенных исследований
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
• ПРИЛОЖЕНИЕ А
• ВВЕДЕНИЕ

Анализ в наше время востребован практически во всех организациях, стремящихся сделать свою работу эффективной. Методическим обеспечением экономического анализа в большинстве случаев выступают экономико-математические методы, которые стали активно развиваться в XX веке. Однако инструментарий экономико-математических методов в последнее время развивается, в основном, в направлении совершенствования существующих моделей или разработки новых на старой инструментальной базе. Принципиально новых моделей, расширяющих арсенал экономико-математического моделирования, появляется мало. Это вызвано не столько отсутствием потребности в новых математических моделях, сколько использованием в экономике привычного математического аппарата. Поэтому успешное применение в экономико-математическом моделировании новых разделов современной математики может значительно расширить инструментальную базу экономики, позволяя решать задачи, которые на современном инструментальном уровне представляются крайне сложными. Одним из таких аппаратов выступает теория функций комплексных переменных, применение которой в экономико-математическом моделировании открывает новые возможности, поскольку существенно расширяет не только совокупность экономико-математических моделей, но и вводит в научный оборот новые экономико-математические методы. Поэтому задача разработки концептуальных подходов, методов и методик, позволяющих использовать элементы теории функции комплексных переменных в экономико-математическом моделировании, представляется важной и актуальной.

Из многочисленных разделов экономико-математического моделирования в работе исследован вопрос использования комплексных переменных в экономике применительно к теории производственных функций. В качестве основы выступают положения экономической теории, теорий экономического анализа, производственных функций комплексных переменных, в том числе работы ведущих зарубежных и отечественных ученых в исследуемой области.

Объектом исследования является производственная система экономики отдельного предприятия.

Предметом дипломного исследования выступают математические методы и подходы математического моделирования производственных процессов с помощью элементов теории функции комплексных переменных.

Целью работы является использование элементов теории функций комплексных переменных в экономико-математическом моделировании на примере производственных функций.

1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1.1 Основы теории производственных функций

Существует много определений производственных функций (ПФ) [19, 5; 20, 104], но все они сводятся к одному — это математическое описание зависимости между какими-либо результатами и факторами производства.

Исследователи по разным критериям выделяют несколько типов производственных функций:

l По наличию условия оптимальности:

Ѓ Мажоритарные (те, которые описывают оптимальный производственный процесс при данных затратах факторов производства). Иногда ещё эти ПФ называют «детерминистскими» или «идеальными» [21, 16];

Ѓ Дескриптивные (те, которые описывают существующий производственный процесс). В некоторых источниках они называются «эконометрическими» или «реальными» [21, 16];

l По учёту неопределённости:

Ѓ Стохастические (учитывают условие неопределённости);

Ѓ Детерминированные (не учитывают условие неопределённости);

[22, 65].

Дескриптивные производственные функции строятся путём обработки статистических данных о соотношении затрат производства и выпуска товара. В таких функциях существует предположение о том, что сложившиеся процессы производства оптимальны и модель в таком случае строится, в основном, для прогнозирования. Мажоритарные производственные функции являются своеобразными оптимизационными задачами без заданных в явном виде условий оптимизации. Вид и параметры таких функций определяются путём обобщения решений оптимизационных задач при меняющихся параметрах. Например, производственная функция отрасли получается в результате решения серии задач оптимального развития отрасли при меняющихся объёмах ресурсов. Такие функции чаще строятся для анализа производственных процессов.

Мажоритарные производственные функции выводятся следующим образом.

Пусть обозначает вектор затрат ресурсов,,; - вектор объёмов производства,,. Совокупность технологических условий может быть формально записана как множество Z пар (X, Y), в неотрицательном ортанте пространства R^n+m. Экономичный метод производства будет характеризоваться парой множеств (X^*,Y^*), такой, что, если X<X^*, а Y>Y^*, то (X, Y) = (X^*,Y^*). То есть, не существует такой технологии, которая позволяла бы производить большее количество товара с меньшим или таким же количеством затрат ресурсов. Множество всех эффективных технологий производства обозначим Z^*.

Кроме того, существует два вида ресурсов: воспроизводимые предприятием, M₁, и не воспроизводимые, M₂. Соответственно, X₁ — объёмы воспроизводимых ресурсов, X₂ — объёмы не воспроизводимых ресурсов.

В итоге общая модель производственного планирования формулируется как задача векторной оптимизации:

(1.1)

Множество Z^* можно описать с помощью многозначного отображения F(X) — общей производственной функции, характеризующей максимально возможные объёмы производства продуктов при определённых затратах ресурсов.

По данным о входных переменных X мажоритарная производственная функция позволяет определять эффективный выход Y.

В прикладных исследованиях основное внимание уделяется частным видам общей производственной функции, так как построение и анализ общей производственной функции представляет собой исключительно трудную задачу.

Производственная функция

, (1.2)

характеризует максимально возможный объём выпуска продукта j в зависимости от затрат всех m ресурсов. Каждой точке соответствует единственный максимальный выпуск. Если бы не существовало сложных, комплексных процессов производства, позволяющих выпускать сразу несколько видов продукции, то множество производственных возможностей можно было бы представить в виде:

(1.3)

Наличие технологических процессов, выпускающих комплексно несколько видов товаров, не позволяет использовать (1.3), но при этом не препятствует использованию (1.2) для технологических процессов, с производством одного вида товара.

В качестве критерия классификации производственных функций, кроме уже указанных, надо упомянуть ещё и о критериях «по типу ресурсов»:

1. Производственные функции со взаимозаменяемыми ресурсами;

2. Производственные функции со взаимодополняемыми ресурсами.

Предположение о взаимозаменяемости ресурсов в производственной функции означает, что один и тот же объём выпуска продукции может быть достигнут при разных комбинациях использования ресурсов, отличающихся величиной затрат одних ресурсов от других.

Далее будем опускать индекс j, когда речь идёт о функциях производства одного продукта.

Существует два свойства производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами [23, 170]:

1. Если X=0, то и y=0;

2. Если, то, причём, если, то; из этого, в частности, следует, что при. В том случае, когда увеличение производственных затрат какого-либо ресурса s сверх величины приводит к уменьшению объёма производства, надо непосредственно использовать, а излишек оставить в резерв. Если x_s=0 и y=0 при положительных затратах многих ресурсов, то ресурс s абсолютно необходим для производства хотя бы в малых количествах (например, труд, электроэнергия и т. п.).

Множество точек, удовлетворяющих условию постоянства объёма выпуска, называется изоквантой.

В общем случае изокванты — это поверхности в m-мерном пространстве ресурсов. Поскольку, то все изокванты находятся в неотрицательной четверти системы координат.

Для наглядности построим линейную производственную функцию по данным нашего предприятия.

Входными параметрами являются ресурсы, а выходными — результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции.

В качестве ресурсов (факторов производства) наиболее часто рассматриваются величины затрат живого труда, предметов и средств труда, используемых в процессе производства: накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) L труд. В качестве результата рассматривается объемы выпуска Q.

Выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (капитала и труда). Моделью производственной функции является:

Q= F(K, L),

где Q — выход;

K — капитал;

L — трудовые ресурсы.

Производственная функция должна удовлетворять следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации:

1) F(K, L) — непрерывная дважды дифференцируемая функция в области K>0;

2) , — с ростом ресурсов выпуск растет;

3) , — с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;

Темпы прироста часто убывают при увеличении какого-либо фактора, особенно, если производство ведется по какой-либо неизменной технологии. Убывание темпов роста при увеличении масштабов производства часто связано с вынужденным использованием более дорогих или менее качественных ресурсов. При этом при достижении определенного уровня инвестиций в производство какого-нибудь отдельного фактора рост производства прекращается полностью, несмотря на увеличение рассматриваемого фактора.

4) F(K, L) = F(K, L) — гипотеза однородности

5) F(0, L) = F(K, 0) = 0 — при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;

6) — для F(K, L, t) — функция возрастает по времени, скорость возрастает зависит от объемов затраченных ресурсов.

Линейная модель производственной функции (функция с взаимозамещением ресурсов), задается уравнением:

= ,

где b₁, c₁ >0 — частные эффективности ресурсов (предельный физический продукт затрат) Для линейной модели функция невязок имеет форму по а₀, b₁, c₁. Производные по коэффициентам вычисляются из приравниваем к нулю Подставив данные из таблицы 2 приложения Б в систему, получим:

.

Решим систему уравнений методом Жордана-Гаусса. Получим систему:

это и будет единственное решение заданной системы.

Следовательно, теперь мы можем построить производственную функцию:

=*K+*L.

Проверим адекватность производственной функции подставляя данные и вычисляя. Сравним полученные значения с существующими.

Таблица 1 — Существующие и вычисленные значения выручки по линейной производственной функции.

Рисунок 1 — Изокванты и изоклинали производственной функции.

Линейная производственная функция является приемлемой моделью производственной функции для предприятия ООО «Квант», поскольку этой модели соответствует незначительная ошибка и не большая сумма квадратов отклонений.

На рисунке 1 изображены изокванты — кривые в пространстве двух ресурсов труда и капитала. Эти изокванты соответствуют объёмам выпуска Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ исследуемого предприятия.

1.2 Показатели эффективности использования ресурсов

Эффективность использования ресурсов характеризуется двумя показателями:

1. Средняя эффективность ресурса — функция .

2. Предельная эффективность ресурса — частная производная производственной функции .

Вычислим по данным нашего предприятия и построенной выше линейной производственной функции среднюю эффективность и предельную эффективность для ресурсов K (капитала) и L (живого труда) взятых из таблицы 2 приложения А.

Таблица 2 — Средние эффективности ресурсов по годам.

характеризует производительность труда, показывает степень результативности использования трудовых ресурсов и вычисляется по формуле .

показывает фондоотдачу (капиталоотдача), характеризует уровень плодотворности применения основного капитала (основных фондов) и вычисляется по формуле .

По полученным в таблице 2 видно что производительность труда и фондоотдача растет.

Предельная эффективность ресурса показывает на сколько увеличится выпуск продукции, при изменении затрат ресурса i на единицу.

Таблица 3- Предельные эффективности ресурсов по годам.

Из таблицы 3, где показаны, вычисленные по данным предприятия, эффективности, средние значения равны -0,44 322 445, 1,168 512. Из свойства предельной эффективности ресурса производственных функций следует, как правило,. Но у нас, то это означает, что эффективность использования ресурса К падает. Данное условие называют «законом убывающей предельной эффективности ресурсов». Стоит, однако, учитывать, что уменьшение предельной эффективности ресурса перестаёт быть законом, как только начинает учитываться научно-технический прогресс. Тогда средняя и предельная эффективность определённого (i-го) ресурса при увеличении других ресурсов изменяется иначе и, как правило, выполняются отношения:

, (1.4)

, (1.5)

Это объясняется тем, что увеличение затрат ресурса k улучшает условия применения ресурса i. Например, производительность труда зависит не только от качества самого труда, но и от фондовооружённости. Фондовооруженность — показатель, характеризующий оснащенность работников предприятий сферы материального производства основными производственными средствами. Фондовооруженность определяется как отношение стоимости основных средств предприятия к средней годовой списочной численности работников.

Изменение выпуска продукции при небольших изменениях затрат ресурсов может быть приближённо выражено дифференциалом

.

В таком случае условие эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в точке выводится из формулы:

(1.6)

В частности, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости двух ресурсов К и L, (возьмем для нашего предприятия соответственно капитал и труд), определяется формулой:

(1.7)

Процессу эквивалентного замещения одних ресурсов другими соответствует движение вдоль кривой изокванты. Таким образом, изокванты — убывающие функции по отношению к каждой оси координат. Предельные нормы эквивалентной взаимозаменяемости — это тангенс угла между касательной к изокванте и соответствующей осью координат. На рисунке 1 — предельные нормы эквивалентной взаимозаменяемости второго ресурса по отношению к первому.

Комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены равны, образуют в пространстве ресурсов кривые, называемые изоклиналями. На рисунке 1 изображены изоклинали I и II.

При увеличении использования ресурса L его предельная эффективность падает, и поэтому дополнительные затраты этого ресурса высвобождают всё меньшее количество ресурса K. Таким образом, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости уменьшается:

(1.8)

Это означает, что в пространстве двух ресурсов изокванты представлены вогнутыми кривыми. Если эта особенность проявляется на множестве всех m ресурсов, то изокванты обладают двумя дополнительными свойствами:

1. Множества — выпуклые.

2. Изокванты имеют асимптоты, совпадающие с осями координат.

Для характеристики влияния каждого ресурса на объём выпуска используют помимо показателей эффективности использования ресурсов, и показатель эластичности выпуска от затрат различных ресурсов:

(1.9)

показывает на сколько изменится объём выпуска при изменении затрат i-го ресурса на единицу. Коэффициент эластичности, рассчитанный по формуле (1.9) называется точечным. В общем же случае коэффициент эластичности — это непрерывная функция от X⁰.

Вычислим коэффициент эластичности для К и L ресурса по данным таблицы 2 приложения:

Проанализируем показатели из таблицы 4. Показатель эластичности выпуска от затрат L ресурса был эластичен на всем изучаемом периоде, так как его значение больше единицы. Показатель эластичности выпуска от затрат К ресурса не эластичен на всем изучаемом периоде.

Таблица 4 — Коэффициенты эластичности ресурсов

Однако в экономических расчётах чаще используются средние коэффициенты эластичности, определяемые не для каждой точки X⁰, а для некоторых интервалов изменения компонент вектора X⁰. Такие коэффициенты называются дуговыми коэффициентами эластичности и рассчитываются по формуле:

(1.10)

Наряду с понятием эластичности выпуска продукции от затрат ресурсов применяется понятие эластичности взаимозаменяемости ресурсов. Коэффициент эластичности взаимозаменяемости ресурсов _KL характеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсов K и L к относительному изменению предельной нормы эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов:

(1.11)

Величина представляет собой характеристику относительного изменения коэффициента взаимной замены ресурсов при изменении соотношения между ними. Если отношение взаимозаменяемых ресурсов изменится на процентов, то коэффициент взаимной замены изменится на 1 процент. В случае линейной производственной функции коэффициент взаимной замены остается неизменным при любом соотношении используемых ресурсов и поэтому можно считать, что эластичность. Соответственно большие значения свидетельствуют о том, что возможна большая свобода в замене производственных факторов вдоль изокванты и при этом основные характеристики производственной функции (продуктивности, коэффициент взаимозамены) будут меняться очень слабо. Чем выше эластичность взаимозаменяемости ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной эластичности ресурсы абсолютно взаимозаменяемы. При эластичности равной нулю, возможность замены отсутствует. В этом случае ресурсы дополняют друг друга и обязательно должны использоваться в определённом комплекте.

На рисунке 2 изображены изокванты с различными коэффициентами эластичности взаимозаменяемости ресурсов в интервале. «Прямоугольная ломанная ABC — изокванта с эластичностью означает, что сокращением одного ресурса нельзя увеличить использование второго, то есть ресурсы абсолютно не взаимозаменяемые (у₁<�у₂<�у₃). Прямая АС представляет собой изокванту с бесконечной эластичностью. Она выражается формулой, где a₁ и a₂ — положительные числа» [24, 269].

Рисунок 2 — Эластичность взаимозаменяемости ресурсов Предельная норма замены ресурсов на этой изокванте постоянна и равна:

(1.12)

1.3 Аддитивные и мультипликативные производственные функции

В экономическом моделировании используются аддитивные и мультипликативные производственные функции.

Аддитивные производственные функции имеют вид:

(1.13)

Линейные производственные функции являются аддитивными. Стоит отметить, что все члены в правой части равенства (1.13) должны иметь одинаковую размерность, совпадающую с размерностью функции y, иначе их нельзя складывать. Постоянная a₀ при этом соответствует той части выпуска, которая может быть приписана действию условно-постоянных затрат, т. е. затрат, не зависящих от интенсивности выпуска. Это относится ко всем аддитивным производственным функциям [23, 113].

Пример аддитивной функции был приведен и рассмотрен в первом и втором пункте этой главы на примере линейной производственной функции.

Процессу, для которого выбрана функция (1.13) должна быть присуща постоянная отдача на единицу масштаба и постоянная предельная эффективность факторов производства.

При i=2 изоквантами функции являются прямые. Следовательно, предельные нормы замещения ресурсов постоянны, т. е. предполагается, что определённый уровень выпуска может быть достигнут также при соответствующих затратах только одного какого-либо фактора. Этим свойством любая аддитивная функция отличается от мультипликативной.

Основной недостаток аддитивной функции заключается в том, что производственный результат будет положительным даже в том случае, когда один из ресурсов не используется вовсе, то есть, когда. Это означает следующее: например, не привлекая к производству ни одного человека, будет получаться какой-то производственный результат. Очевидно, что это противоречит здравому смыслу.

Именно поэтому чаще всего в экономических исследованиях используют мультипликативные производственные функции, в частности однородные производственные функции, так как они удобны для содержательной интерпретации и вычислений. Функция называется однородной n-й степени, если выполняется следующее соотношение [23, 182]:

(1.14)

Это означает, что с ростом затрат производства в л раз результат производства вырастет в лⁿ раз. Показатель степени однородности n характеризует изменение эффективности производства с ростом производственных затрат.

Теоретически возможны три случая:

1) Эффективность остаётся постоянной (n=1);

2) Эффективность падает (n<1);

3) Эффективность растёт (n>1).

Как это ни парадоксально, снижение эффективности производства при увеличении его объёма есть следствие рационального ведения хозяйства. Это объясняется тем, что по мере увеличения производства приходится использовать всё менее эффективные ресурсы и технологические процессы [23, 102].

Если однородные функции f₁ и f₂ удовлетворяют соотношению, то они имеют одно и то же семейство изоквант, но для функций с большим показателем степени n изокванты сдвинуты ближе к началу координат.

Для однородных функций справедливо уравнение Эйлера:

(1.15)

Разделив обе части уравнения (1.15) на y, получим:

(1.16)

В соответствии с (1.9), выражение — это коэффициент эластичности д_i. Поэтому n равно сумме коэффициентов эластичности выпуска по затратам ресурсов.

При n=1 формула (1.16) приобретает следующий экономический смысл:

. Так как — предельная эффективность единицы ресурса i, то можно интерпретировать как объём продукции, произведённой за счёт ресурса i. Весь объём производства y таким образом как бы складывается из частей, произведённых за счёт использования каждого ресурса по отдельности.

Однако изложенная экономическая интерпретация выражения имеет сугубо условный характер, так как нельзя забывать, что на самом деле продукция не может создаваться только путём сочетания ресурсов. Если какой-либо ресурс s абсолютно необходим для производства, то никакие затраты других ресурсов не могут привести к созданию продукции. Конструктивное значение показателей предельной эффективности заключается не в том, что он определяют роль каждого ресурса, а позволяют оценить степень влияния каждого из них на изменение объёмов выпуска.

1.4 Степенные производственные функции

Широкое применение в теоретических и прикладных исследованиях получили степенные производственные функции вида:

(1.17)

Такие функции обладают рядом достоинств: они включают небольшое число параметров, имеющих явный экономический смысл, имеют производные высших порядков, в большинстве случаев удовлетворительно выравнивают эмпирические данные и удобны при оценке параметров. Кроме того, эти функции включают безусловно необходимые ресурсы. Если какой либо из них x_s=0, то и объём выпуска y=0.

Параметр б интерпретируется как показатель общей эффективности ресурсов.

Применительно к рассматриваемой производственной функции имеем:

— средняя эффективность ресурса s.

— предельная эффективность ресурса s.

— предельная норма эквивалентной замены ресурсов.

— коэффициент эластичности производства по ресурсу i.

— коэффициент эластичности замены ресурсов.

Частным случаем функции (1.17) является однородная функция первой степени, в которой и. Коэффициенты эластичности такой функции определяют условное разложение объёма производства на части, создаваемые за счёт использования каждого ресурса в отдельности.

В экономических исследованиях такая функция была впервые применена К. Коббом и П. Дугласом.

В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США. Общий вид функции где А — технологический коэффициент;

б — коэффициент эластичности по труду;

в — коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени (б + в) равна единице, то функция Кобба — Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, — убывающую.

Изокванта, соответствующая функции Кобба — Дугласа, будет выпуклой и «гладкой»

Для модели КоббаДугласа прологарифмируем функцию

lnQ = lnA + lnK + lnL.

Тогда функция невязок будет выглядеть:

H= = min по A, ,

Частные производные по коэффициентам:

приравниваем нулю Рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа применительно к предприятию ООО «Квант», построим систему по данным таблицы 2 приложения.

Решение производится методом Жордана-Гаусса. Заданная система уравнений имеет единственное решение:

Из решения системы получаем lnA=0.1 763,,. Из чего производственная функция Кобба — Дугласа запишется

Q=1,1 764 *K^{-0.5 890 206 547 531}L^{1.5 950 238 648 312}

Функция отражает зависимость суммарного выпуска промышленности от общего объема использования труда и капитала [28; 29, 85]. Эта производственная функция имеет постоянную отдачу от масштаба, а доли факторов производства в продукте зависят от коэффициента б. Проверим адекватность производственной функции подставляя данные и вычисляя. Сравним полученные значения с существующими в таблице 5.

Производственная функция Кобба — Дугласа является приемлемой моделью производственной функции для предприятия ООО «Квант», поскольку этой модели соответствует незначительная ошибка и не большая сумма квадратов отклонений.

Таблица 5 — Существующие и вычисленные значения выручки по производственной функции Кобба — Дугласа.

(1.18)

При этом обязательным условием существования функции является:

0<б<1 (1.19)

У полученной производственной функция Кобба — Дугласа коэффициент отрицателен это означает, что с увеличением объема трудовых затрат объемы выпуска продукции абсолютно снижаются — это абсурдно, такое значение коэффициента вообще не имеет смысла в экономической теории. Нереально и допущение, что равен или больше единицы, что означает увеличение только трудовых ресурсов, например, в два раза при неизменном количестве остальных производственных ресурсов обеспечивает прирост выпуска продукции в два раза (если) или даже более чем в два раза (если).

Для функции Кобба-Дугласа уравнение изокванты имеет следующий вид:

.

Соответственно, предельная норма замещения будет:

а коэффициенты эластичности: E_L = б; E_K = 1 — б.

На рисунке 3 показана кривая замещения (изокванта) при фиксированном значении объёма Q.

Подобный вид изокванты логичен и легко объясним с экономической точки зрения — при неизменном объёме выпуска продукции увеличение объёма основных производственных фондов c K₁ до K₂ приводит к сокращению трудовых ресурсов от L₁ до L₂, причём При увеличении объёма производственных фондов, возможности замены живого труда овеществлённым уменьшаются.

На рисунке 3 показаны изоклинали для производственной функции Кобба-Дугласа. Они показывают, какими будут объёмы производства при сохранении пропорций в производстве, то есть, когда .

Рисунок 3 — Изокванты и изоклинали производственной функции Кобба-Дугласа Во многих исследованиях помимо упомянутых производственных функций линейной и степенной форм, в экономических исследованиях используется производственная функция с постоянной эластичностью замены (ПЭЗ). Её общий вид:

(1.20)

Функция (1.20) является однородной производственной функцией степени n и получается путём решения дифференциального уравнения (1.11) при у=const. В функции ПЭЗ все эластичности замены ресурсов равны между собой, то есть:. При этом или .

Если, то, если же, то. При функция ПЭЗ преобразуется в степенную функцию (1.17) [30, 169].

Как уже отмечалось ранее, у определяет форму изоквант. Если, то и форма изоквант приближается к линейной. Если же, то и форма изоквант приближается к прямоугольной.

В экономико-математическом моделировании в наше время часто используются мультипликативные степенные производственные функции (чаще — функция Кобба-Дугласа)[ 31; 37; 32; 33;] либо функция ПЭЗ, и практически не появляются какие-либо новые виды производственных функций. Всё, что происходит в этом направлении на данный момент (начиная с 70-х годов) — это внесение модификаций в уже существующие модели. Так, например, в своё время появилась производственная функция с учётом научно-технического прогресса (НТП), которая в самом простом виде может быть записана следующим образом:

(1.21)

где j — параметр НТП;

t — время.

Существует несколько видов функций, учитывающих НТП, но все они строятся, на основе производственной функции Кобба-Дугласа.

Производится это оценивание чаще всего методом наименьших квадратов после линеаризации первоначальной функции (именно такой метод использовали Кобб и Дуглас во время выведения своей производственной функции [35, 217]). То есть оценивается не само уравнение (1.18), а следующее:

(1.22)

Основным методом, с помощью которого оцениваются параметры этой модели, является метод наименьших квадратов. Очевидно, что оценки модели (1.22) будут несмещёнными, состоятельными и эффективными [34, 576].

Если с помощью оценок модели (1.22), полученных МНК, описывать реальный процесс, то равенство будет выполняться при условии:

(1.23)

где е — случайная составляющая, имеющая нулевое математическое ожидание и минимальную дисперсию (так как модель оценена с помощью МНК).

Пропотенцировать левую и правую части равенства (1.23), получим:

(1.24)

Сравнивая (1.21) и (1.24), получим, что .

То есть ошибка аппроксимации е, которую Р. Солоу приписал НТП, и является причиной смещения [17, 79].

Итак, в настоящее время производственные функции используются в основном как инструмент для расчётов конкретных показателей, хотя их аппарат значительно богаче и недооценён экономистами, и при этом в моделировании в подавляющем большинстве случаев используются лишь производственная функция Кобба-Дугласа и функция ПЭЗ, а также их различные модификации, которые ещё далеки от совершенства.

2. КОМПЛЕКСНОЗНАЧНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ООО «КВАНТ»

2.1 Линейная действительная производственная функция комплексного аргумента

Обычно в теории производственных функций переменными выступают объём производства Q, затраты труда L и затраты капитала K, как наиболее существенные факторы и результат производства. Из множества производственных ресурсов выбираются эти два — труд и капитал, поскольку до определённой степени они являются взаимозаменяемыми — один и тот же объём производства Q может быть достигнут при разных соотношениях K и L и неизменном количестве прочих производственных ресурсов. Представим производственные ресурсы K и L в виде комплексной переменной. Тогда производственная функция в общем виде будет выглядеть так:

Здесь K, L, и Q — положительные действительные числа. Отнесение K в действительную часть, а L — в мнимую условна и не играет принципиального значения. В такой функции комплексному числу сопоставляется действительное число Q.

В простейшем случае связать затраты труда L и капитала K с результатами производства Q можно следующим образом [18, 4]:

. (2.1)

Здесь a₀ и a₁ — действительные числа. Первый сомножитель, представляющий собой комплексное число, помогает связать в одной модели производственные затраты и результаты, но требует самостоятельного научного исследования.

Осуществляя перемножение сомножителей в правой части равенства (2.1) и группируя вещественную и мнимую части, получим:

. (2.2)

В результате имеем комплексное число, вещественная часть которого равна Q_t, а мнимая часть должна быть равна нулю в силу того, что в левой части равенства мнимой части нет, то есть она представлена произведением i0. Следовательно, производственная функция (2.1) представляет собой аддитивную модель вида:

(2.3)

где коэффициенты а₀ и а₁ представляют собой части одного комплексного числа.

Именно последнее обстоятельство предопределяет особенность свойств предложенной модели производственной функции комплексного аргумента. Использовать просто модель (2.3) в данном случае нельзя, поскольку должно выполняться ещё и условие

. (2.4)

Решение системы уравнений (2.3) и (2.4) позволяет найти искомые значения коэффициентов а₀ и а₁.

Для того чтобы показать применимость предлагаемого метода построения производственной функции комплексного аргумента воспользуемся конкретными экономическими данными таблицы 2 приложения. Исследуем производственную деятельность предприятия ООО «Квант».

Подставляя данные из таблицы 2 приложения в систему уравнений:[19]

(2.5)

Получаем таблицу 6 коэффициентов а₀ и а₁ по годам. Система уравнений считалась методом Гаусса в математическом пакете Maple. Мемтод Гамусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Таблица 6 — Коэффициентов а₀ и а₁ по годам полученная из системы уравнений (2.5).

Но тот же самый результат можно получить и используя непосредственно модель (2.1). Для этого определим комплексное число коэффициентов через объёмы и ресурсы, сделав несколько элементарных преобразований:

(2.6)

Полученное равенство, как это следует из свойств комплексных чисел, выполняется только в том случае, когда равны друг другу вещественные и мнимые части комплексных чисел в его левой и правой частях. Это свойство позволяет легко получить формулы для расчёта коэффициентов. Действительно, раскрывая скобки и группируя отдельно вещественную и мнимую части, получаем формулы для вычисления каждого из коэффициентов:

и. (2.7)

Подставим в уравнение (2.7) данные таблицы 2 приложения, найдем а₀ и а₁. Численные значения, вычисленные по уравнениям (2.7) абсолютно идентичны значениям, вычисленным по системе уравнений (2.5).

Эти формулы позволяют не только найти численные значения коэффициентов по известным значениям затрат и результатов, но и дать экономическую интерпретацию значений каждого из коэффициентов а₀ и а₁.

Если все исходные переменные равны единице, то в этом случае коэффициент а₀ и коэффициент а₁ равны друг другу и принимают значение равное 0,5. То есть, если с течением времени экономическая система не развивается во времени, затраты ресурсов и результаты остаются неизменными, то и коэффициенты остаются неизменными и равными 0,5. Естественно, этот случай следует признать чрезвычайно редким.

Равенство между коэффициентами, как это легко увидеть из (2.6), возможно только в том случае, когда равны друг другу значения ресурсов: L_t=K_t. Во всех остальных случаях будет наблюдаться неравенство между коэффициентами. Когда L_t>K_t, то а₁ > а₀, а когда L_t<K_t то а₁ < а₀. Из таблицы 6 мы наглядно видим подтверждение этих условий на примере предприятия ООО «Квант».

Как следует из (2.7) коэффициент а₁ отражает изменение интенсивности использования трудовых ресурсов, а коэффициент а₀ отражает изменение интенсивности использования капитальных ресурсов. Поэтому данные коэффициенты можно назвать — коэффициенты использования ресурсов.

Из (2.7) следует ещё одно очевидное свойство коэффициентов, а именно:

. (2.8)

Проверим это свойство на данных нашего предприятия в таблице 7.

Рассмотрим возможные пределы изменения этих коэффициентов в зависимости от изменения того ресурса, поведение которого он отражает, то есть:

и .

Таблица 7 — Значения условия (2.8)

Как следует из (2.7), каждый из коэффициентов при стремлении одного из параметров к нулю сам стремится к нулю, а при стремлении одного из параметров к бесконечности, вновь устремляется к нулю. Поэтому очевидно, что рассматриваемые функции имеют экстремум, который и следует найти.

С учётом симметричности коэффициентов, достаточно изучить только один из них, тогда поведение другого коэффициента также будет известно.

Рассмотрим для определённости коэффициент использования трудовых ресурсов а₁.

Что касается зависимости коэффициента а₁ от другого ресурса, а именно, капитальных затрат К_t при фиксированном значении L_t, то формула (2.7) показывает, что при К_t=0 коэффициент принимает своё максимальное значение. С ростом капитальных затрат и постоянстве трудовых затрат значения коэффициента а₁ начинают убывать по гиперболе и стремятся к нулю при стремлении капитальных затрат к бесконечности.

Аналогично ведёт себя и коэффициент а₀ при фиксированном значении К_t и изменении трудовых затрат L_t от нуля до бесконечности.

Зависимость значений коэффициентов от Q_t ещё более простая — с ростом Q_t значения каждого коэффициента использования ресурсов линейно возрастают.

Для уточнения характера изменения коэффициента а₁ от L_t который представляет собой в соответствии с (2.7) функцию от нескольких переменных, найдём частную производную коэффициента использования трудовых ресурсов по труду. Она будет равна:

(2.9)

Для нахождения экстремума функции приравняем нулю эту производную:

(2.10)

откуда легко найти условие, при котором коэффициент а₀ принимает максимальное значение, а именно:

. (2.11)

С учётом не отрицательности переменных, получаем, что и коэффициенты а₀, и а₁ принимают свои максимальные значения только в том случае, когда относительное значение затрат труда равно относительному значению затрат капитала, то есть:

. (2.12)

Учитывая (2.12) из формулы для вычисления коэффициентов (2.8), легко найти максимальные значения коэффициентов:

. (2.13)

Итак, можно сделать вывод о том, как меняются значения коэффициентов использования ресурсов.

Коэффициент а₁ при фиксированном положительном значении ресурса К_t равен нулю при равенстве нулю ресурса L_t; коэффициент а₀ при этом больше нуля. При возрастании трудовых затрат L_t от нуля до значения, определяемого равенством (2.12) коэффициент а₁ возрастает. При значениях ресурса L_t, равного ресурсу К_t, коэффициент а₀ достигает своего максимального значения (2.13). При этом его значения равны коэффициенту а₁. С дальнейшим ростом значений трудовых ресурсов коэффициент а₀ уменьшается и стремится к нулю при стремлении значений L_t к бесконечности. На этом участке коэффициент а₀, в силу (2.8), всегда больше коэффициента а₁, который также уменьшается с ростом L_t .

Таким же образом в зависимости от капитальных ресурсов К_t ведёт себя и другой коэффициент — коэффициент использования капитальных ресурсов.

Любая производственная единица, будь то отдельно взятое предприятие или хозяйство всей страны, развивается во времени. При этом меняются технологии производства, вызывая изменения производительности труда и производительности оборудования. Эти изменения отражаются в производственной функции изменением коэффициентов использования ресурсов.

С этих позиций коэффициенты a₀ и а₁ можно рассмотреть как некоторые функции от времени: а₁=f₁(t), а₀=f₀(t). Но так как указанные коэффициенты являются частями одного комплексного числа, то эти зависимости следует рассмотреть в комплексе. То есть, рассматривая коэффициенты в динамике, следует найти зависимость

. (2.14)

Рассмотрим эту задачу с помощью графического метода, поскольку данное комплексное число может быть отображено на плоскости (а₀; а₁), где коэффициенты использования ресурсов выступают в качестве осей координат данной плоскости.

Динамика изменения комплексного числа во времени может иметь самый различный вид, но если эта динамика может быть описана в виде зависимости

(2.15)

то она представляет особый интерес.

С учётом того, что в теории производственных функций за точку отсчёта принимаются начальные значения динамических рядов, их относительные значения будут равны единице, а это означает, что в начальной точке коэффициенты а₀ и а₁ будут равны друг другу и равны 0,5 (как это следует из (2.7)).

В теории производственных функций принята именно эта точка отсчёта, поэтому в дальнейшем будем считать, что все исходные переменные приведены к начальным значениям. Иные случаи будут оговорены отдельно.

Так как значения коэффициентов использования ресурсов лежат в пределах от нуля до бесконечности, возможны четыре варианта динамики коэффициентов из начальной точки (0,5; 0,5), а именно:

1) когда оба коэффициента возрастают и их значения превышают начальную величину 0,5;

2) когда оба коэффициента уменьшаются и становятся меньше 0,5;

3) когда значения коэффициента а₁ возрастают и превышают 0,5, а значения коэффициента а₀ уменьшаются;

4) когда значения коэффициента а₁ уменьшаются, а значения коэффициента а₀ возрастают и остаются больше 0,5 [18, 13].

Коэффициенты, полученные по данным из таблицы 1 описывают, четвертый вариант динамика коэффициентов.

Эти четыре варианта динамики представлены на рисунке 2.2. Впрочем, возможны и более сложные варианты динамики, представляющие собой комбинацию четырёх исходных.

Рисунок 4 — Варианты динамики коэффициентов.

На рисунке 4 изображена плоскость возможных значений изменения коэффициентов использования ресурсов а₀ и а₁. На плоскость нанесены две перпендикулярные прямые, показанные пунктирными линиями, проходящие через отрезки на осях, равные 0,5. Пересечением этих двух прямых является точка, в которой каждый из коэффициентов равен 0,5. Именно эта точка и является начальной. Эти две прямые также делят плоскость значений коэффициентов на четыре области, которые на рисунке пронумерованы так, чтобы каждая область соответствовала указанным выше четырём вариантам динамики коэффициентов.

Рисунок 5 — Динамика коэффициентов по отношению друг к другу по данным ООО «Квант»