Об одном классе дифференциально-инвариантных решений

Актуальность темы

Теория групповых свойств дифференциальных уравнений, возникшая в конце XIX века в работах норвежского математика Софуса Ли и его учеников, переживает в настоящее время второе рождение. Она широко применяется при изучении нелинейных дифференциальных уравнений и их систем, при решении которых часто возникают определенные трудности.

Для таких систем получили распространение методы, основанные на знании классов частных решений, а групповой анализ дифференциальных уравнений и дает нам алгоритмы нахождения некоторых классов частных решений, таких, например, как инвариантные и частично инвариантные решения. Причем их отыскание основано на использовании конечных инвариантов основной группы Ли преобразований, допускаемой данной системой дифференциальных уравнений. Наряду с решениями, которые можно найти при помощи конечных инвариантов допускаемой группы, естественно поставить вопрос и об отыскании решений с использованием дифференциальных инвариантов. Такие решения называются дифференциально-инвариантными. На актуальность их изучения указывается в новой монографии Л. В. Овсянникова [29], где впервые и определяется это понятие.

Цель работы заключается в изучении некоторых классов дифференциально-инвариантных решений, которые можно построить с помощью дифференциальных' инвариантов первого порядка основной группы Ли преобразований, допускаемой данной системой дифференциальных уравнений, в выяснении связей дифференциально-инвариантных решений с инвариантными решениями исходной системы /теоремы о редукции/ и в применении этих результатов ко многим практически важным системам дифференциальных уравнений /в основном различным модификациям уравнений пограничного слоя/.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации вводятся новые понятия дифференказываются теоремы существования и теоремы о редукции к инвариантным решениям. Указывается на тесную связь этих классов дифференциально-инвариантных решений с групповым расслоением, что позволяет сформулировать алгоритм понижения порядка обыкновенного дифференциального уравнения /это дает возможность излагать методы понижения порядка с единой групповой точки зрения/ и алгоритм понижения «размерности» системы дифференциальных уравнений в частных производных, для которых известна нетривиальная допускаемая группа Ли преобразований. Приведено большое количество примеров эффективного применения этих алгоритмов к различным системам уравнений, возникающим в гидродинамике. В частности, результаты, полученные при применении алгоритма понижения «размерности» к системе уравнений стационарного трехмерного пограничного слоя, позволили редуцировать вопрос о ее решении к вопросу о решении системы двух ультрапараболических уравнений, для которой естественным образом переформулируется краевая задача, аналогичная корректной краевой задаче, возникающей в двумерном случае.

Проведена групповая классификация системы уравнений стационарного пограничного слоя на поверхности любого числа измерений, что позволило свести воедино разрозненные результаты нахождения основной группы Ли преобразований, допускаемой системами уравнений двумерного и трехмерного пограничного слоя. Изучены обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу размерности, близкой к максимальной, что является одним из первых результатов групповой классификации обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка. циально-инвариантных решений класса.

Результаты, полученные в диссертации, имеют не только теоретическое, но и практическое значение, т.к. могут быть применены для понижения порядка обыкновенных дифференциальных уравнений и для эквивалентного преобразования /понижения «размерности» / систем дифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в различных областях физики и механики, для которых известна нетривиальная допускаемая группа Ли преобразований.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседании семинара Института Гидродинамики G0AH СССР, на заседаниях семинара «Групповой анализ дифференциальных уравнений» под руководством Л. В. Овсянникова /Новосибирский государственный университет/, на итоговых научных конференциях /Омский государственный педагогический институт им. А.М.Горького/, на семинаре кафедры математического анализа /Омский государственный университет/.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах[20] -[2з] .

О б ь е м работы. Диссертационная работа состоит из введения и пяти глав, разбитых на 28 параграфов.

Список литературы

включает 69 наименований.

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. -Ы.: Мир, 1969, — 132 с.

2. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.-304 с.

3. Березовский А. А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики. 4.2. Точные методы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. -Киев: Ин-т мат. АН УССР, 1974. 288 с.

4. Бучнев А. А. Группа Ли, допускаемая уравнениями движения идеальной несжимаемой жидкости. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.7, Новосибирск, 1971, с.212−214.

5. Бытев В. О. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса.-В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Т.8, 1,25, Новосибирск, 1972, с.13−17.

6. Верещагина Л. И. Групповое расслоение уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя. Вестн. ЛГУ, сер. матем.-мех.-астр., 1973, ИЗ, вып. З, с.82−86.

7. Верещагина Л. И. Групповые свойства уравнений пространственного нестационарного пограничного слоя. В кн.: Теоретико-групповые методы в механике: Тез.докл. Международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с.80−95.

8. Елкин В. И., Павловский I0Ji., Черноплеков А. Н., Яковенко Г. Н. Задачи факторизации управляемых динамических систем и некоторые их приложения. В кн.: Теоретико-групповые методы в механике: Тез.докл. Международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с. I08-II7.

9. Ибрагимов Н. Х. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1967. — 59 с.

10. Ибрагимов Н. Х. Группы Ли в некоторые вопросах математи-чемкой физики. Новосибирск: НГУ, 1972. — 160 с. 1.Ибрагимов Н. Х. К групповой классификации дифференциальных уравнений второго порядка. Докл. АН СССР, 1968, т.183, И£, с.274−277.

11. Ибрагимов Н. Х. Об инвариантности уравнений Дирака. -Докл. АН СССР, 1969, т.185, 126, с.1226−1128.

12. Ибрагимов Н. Х. Принцип Гюйгенса. В кн.: Некоторые проблемы математики и механики. Л.: Наука, 1970, с.159−170.

13. Ибрагимов Н. Х. Принцип Гюйгенса с групповой точки зрения. К кн.: Теоретико-групповые методы в механике: Тез.докл. международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с.145−146.

14. Ибрагимов Н. Х., Андерсон Р. Л. Группы касательных преобразований Ли-Беклунда. Докл. АН СССР, 1976, т.227, 1йЗ, с.539−542.

15. Камке Э, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. — 576 с.

16. Каплан B.C. Условия существования инвариантных решений уравнений трехмерного ламинарного пограничного слоя на развертывающихся поверхностях. Учен. записки ЦАГИ, 1972, т. З, ЙЗ, с.36−44.

17. Катков В. Л., Костюкова Н. И.,' Процессор КИНО. В кн.: Динамика сплошной среды, Вып.1, Новосибирск, 1969, с.48−60.

18. Катков В. Л., Попов М. Д. Использование ЭВМ БЭСМ—6 для вычисления группы, допускаемой системой дифференциальных уравнений. В кн.: Теоретико-групповые методы в механике: Тез.докл. Международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с.147−154.

19. Ланкерович И. Я. Групповая классификация уравнений трехмерного пограничного слоя на произвольной поверхности. -Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа, 1971, ГЗ, с. 196.

20. Ланкерович М. Я. Групповые свойства уравнений трехмерного пограничного слоя на произвольной поверхности. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.7, Новосибирск, 1971, с.12−24.

21. Ланкерович М. Я. Об одном классе дифференциально-инвариантных решений. ВИНИТИ, № 732−79. Деп.

22. Ланкерович М. Я. Обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие группу максимальной размерности. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып. 37, Новосибирск, 1978, с.133−138.

23. Меньшиков В. М. О непрерывном сопряжении инвариантных решений. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.10, Новосибирск, 1972, с.70−84.

24. Меньшиков В. М. О продолжении инвариантных решений уравнений газовой динамики через ударную волну. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.4, Новосибирск, 1970, с.163−169.

25. Нгуен Ван Дьен. Об уравнениях пограничного слоя с мо-ментными напряжениями. ПММ, 1968, т.32, № 4, с.748−753.

26. Овсянников Л. В. Аналитические группы. Новосибирск: НГУ, 1972. — 237 с.

27. Овсянников Л. В. Групповое расслоение уравнений пограничного слоя. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.1, Новосибирск, 1969, с.24−35.

28. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. — 399 с.

29. Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: СО АН СССР, 1962, — 239 с.

30. Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнений механики. В кн.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972, с.381−393.

31. Овсянников JI.B. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности. Докл. АН СССР, 1959, т.125, № 3,с.492−495.

32. Овсянников Л. Б. Групповые свойства уравнений С. А. Чаплыгина. ПМТФ, I960, № 3, с.126−145.

33. Овсянников Л. В. Группы и инвариантно-групповые решения дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1958, т. 118, N23, с.439−442.

34. Овсянников JI.JB. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1966. — 132 с.

35. Овсянников Л. В. Об отыскании группы линейного дифференциального уравнения второго порядка. Докл. АН СССР, I960, т.132, № 1, с.44−47.

36. Овсянников Л. В. О канонической структуре бесконечных групп ЛИ. В кн.: Теретико-групповые методы в механике: Тез. докл. Международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с.188−201.

37. Овсянников Л. В., Ибрагимов Н. Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики. В кн: Общая механика. 2. /Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР/, М., 1975, с.5−52.

38. Олейник О. А. Математические задачи теории пограничного слоя. Успехи мат. наук, 1968, т.23, йЗ, с.3−65.

39. Павловский Ю. Н. Групповые свойства управляемых динамических систем и фазовые организационные структуры. ВМ1АФ, 1974, и.14, 1,24, с.862−872 и № 5, с.1093−1103.

40. Павловский Ю. Н. Исследование некоторых инвариантно-групповых решений уравнений пограничного слоя. ВММФ, 1961, т.1, с.280−294.

41. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. ш.: Наука, 1970. — 279 с.

42. Помаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы ЛИ. М.: Мир, 1983. — 398 с.

43. Пухначев В. Б. Аналог преобразования Крокко для уравнений трехмерного пограничного слоя. Изв. АН СССР, i.iex. жидкости и газа, 1970,^6, с. 150.

44. Пухначев В. В. Групповые свойства уравнений Навье-Стокса в плоском случае. 1ШТФ, I960, ЬЯ, с.83−90.

45. Пухначев В. В. Инвариантные решения уравнений Навье-Стокса, описывающие движения со свободной границей. докл. АН СССР, 1972, т.202, с.302−305.

46. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. -М.: Наука, 1967. 674 с.

47. Садыков И. Х. О группе преобразований Ли, допускаемой одним классом дифференциальных уравнений. Тр. КАИ, 1975, т.169, с.68−72.

48. Сегеда Ю. Н. Об инвариантных решениях нелинейного волнового уравнения. В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. Киев, 1981, с.54−58.

49. Субоч 10.Ф. Критерий инвариантности решения задачи Коши относительно группы преобразований Ли-Беклунда. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.34, Новосибирск, 1978, с.80−91.

50. Субоч Ю. Ф. Об одном групповом свойстве систем дифференциальных уравнений. В кн.: Динамика сплошной среды. Аыв.6, Новосибирск, 1971, с.201−207^.

51. Сухарев М. Г. Инвариантные решения уравнений, описывающие движения жидкости и газа в длинных трубопроводах. Докл. АН СССР, т.175, Ё4, с.781−784.

52. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнении. М.: ГИТТЛ, 1953. — 468 с.

53. Таранов В. Б. Групповые свойства системы уравнений Власова-Максвелла для продольных движений бесстолкновительной плазмы. В кн.: Теоретико-групповые методы в механике: Тез. докл. Международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с.277−284.

54. Таранов В. Б. О симметрии одномерных высококачественных движений бесстолкновительной плазмы. ЕТФ, 1976, т.46, с.1271−1277.

55. Чеботарев Н. Г. Теория групп Ли. М.: ГИТТЛ, 1940. -396 с.

56. Чиркунов Ю. А. Групповое свойство уравнений Ламе. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.14, Новосибирск, 1973, с.138−140.

57. Чиркунов Ю. А. Групповой анализ уравнений Ламе. В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.23, Новосибирск, 1975, с.219−225.

58. Чиркунов Ю. А. О групповых свойствах уравнений Дарбу. -В кн.: Динамика сплошной среды. Вып.27, Новосибирск, 1976, с.101−115.

59. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. М.: ИЛ, 1948. -316 с.

60. R.L.Anderson, U.K.Ibragimov. Bianchi Lie, Backlund and Lie-Backlund transformations. В кн.: Теоретико-групповые методы в механике: Тез.докл. Международного симпозиума. Новосибирск, 1978, с.34−46.

61. G. V/.Bluraan, J.D.Cole. Similarity methods for differential equations.- New York: Springer, 1974. 332 P*.

62. L.E.Dickson. Differential equations from the group standpoint. -Ann. Math., 1924, V.25, p.287−378.

63. IT.H. Ibragimov, R.L.Anderson. Lie-Backlung tangent transformations. -J.Mathom. Analysis & Appl., 1977, v. 59, IT 1, p. 145−162.

64. S. Lie, F.Engel. Theorie der Transformations gruppen.-Leipzig: Teubner, Bd.1, 1838- Bd.2, 189oBd.3, 1393.

65. Кухарчик П. Групповые свойства уравнений коротких волн в газовой динамике. Bull. Acad. pol. sci. ser. sci.techn., 1969, v. 13, IT 5, p.469−477.

66. Michael. Matrix and tensor calculus. ITev/ YorkSpringer, 1955. -236 p.

67. C.Truesdell. The physical components of vectors and tensors. Z.angew.Uath. und I, lech., 1953, v. 33, H 10/11, p.1−87−206.

68. E.Vessiot. Sur L" integration des sistems differentiels qui admettent des groupes continus de transformations. Acta math., 1904, v.28, p.307−349.