Интегрирование функций

1. Задание 1

Изменить порядок интегрирования.

Решение

Сделаем чертеж:

Из чертежа видим, что предел интегрирования по у [-1; 0], покажем это:

Найдем предел интегрирования по х:

Ответ:

2. Задание 2

Вычислить:

Решение

Сделаем чертеж области D:

Расставим пределы интегрирования:

Ответ: 1

3. Задание 3

Вычислить:

Решение

Сделаем чертеж области D:

Расставим пределы интегрирования:

Ответ: 5

4. Задание 4

Вычислить:

Решение

Сделаем чертеж области D:

Расставим пределы интегрирования:

Ответ: 128

5. Задание 5

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение

Сделаем чертеж:

Найдем точку пересечения графиков и вычислим площадь фигуры АВС разбив ее на две: АВD и DBC.

Ответ:

6. Задание 6

Пластинка задана ограничивающими ее кривыми:

— поверхностная плотность

Решение

Сделаем чертеж области D:

Расставим пределы интегрирования:

Ответ: 9 ед. массы.

7. Задание 7

Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

Решение

Сделаем чертеж:

Из чертежа видим, что предел интегрирования по у:

Из чертежа видим, что предел интегрирования по z:

предел интегрирования по х:

Ответ:

8. Задание 8

Найти производную скалярного поля, в точке М (-2; 1; -1) по направлению вектора .

Решение

Так как функция дифференцируема в точке М, то в этой точке существует ее производная по любому направлению, которая определяется формулой Где Находим единичный вектор (орт) :

Вычисляем частные производные функции в точке М (-2; 1; -1):

интегрирование функция предел объем Подставим полученное значение в формулу и вычисляя скалярное произведение получим.

Ответ:

Список литературы

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ: Астрель, 2006. — 991 с.

2. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Высшая математика. Под ред. А. И. Кирилова. — 3-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 368 с.

3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ: Астрель, 2007. — 509 с.

4. Красс М. С., Чупрыков Б. П. Математика для экономистов. — СПб.: Питер 2007. — 464 с.

5. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. — М.: ИНТЕГРАЛ-ПРЕСС, 2004.