О голоморфном и плюригармоническом продолжении функций и распределений, заданных на гиперповерхности

1. Общая характеристика работы Актуальность темы. В начале XX века открыт один из самых замечательных фактов в многомерном комплексном анализе (Гартогс, 1906; Пуанкаре, 1907) функция, голоморфная на границе области со (^ связным дополнением, голоморфно продолжается внутрь этой обла, сти.С.Бохнер и Е. Севери в 1943 году независимо друг от друге нашли дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области (см. [26]). Эти условия позже получили название касательных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали CRфунщиями. Эта теорема доказана для различных классов функций. Тем не менее эта теорема не снимает вопроса о нахождении других (отличных от (0.1)) условий, которые бы гарантировали голоморфное продолжение функции f в Q. Локальные условия голоморфного продолжения также даются в терминах СЛ-функций и свойств гиперповерхности, связанных с формой Леви (см. [30], а также [21]). В работах Л. А. Айзенберга и А. М. Кытманова [2, 3] рассмотрена задача о голоморфном продолжении функций с гиперповерхности в фиксированную область. Получены условия такого продолжения в терминах продолжения интеграла Бохнера-Мартинелли и Коши-Фантаппье, В работах А. М. Кытманова, И. А. Цих [11, 12] рассмотрены вопросы одностороннего голоморфного продолжения СЛ-гиперфункций в фиксированную область. Для гладких функций аналогичные результаты получены в [10]. Гораздо меньше известно результатов о плюригармоническом продолжении функций. Дифференциальные условия (локальные и глобальные) достаточные для плюригармонического продолжения даны в работах [24, 25, 22, 23, 15], а их обобп^ения получены В. К. Велошапкой [4]. Интегральные условия плюригармонического продолжения для гладких и непрерывных функций сформулированы Г. Фикерой [27, 28, 29], а доказаны А. Перотти [32]. В работе [33] даны условия разрешимости задачи Неймана для плюригармонических функций, гладких вплоть до границы. Цель диссертации. Нахождение условий голоморфного продолжения распределений, заданых на гиперповерхностях, в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. Исследование разрешимости задачи Дирихле и Неймана для плюригармонических функций конечного порядка роста вблизи границы области. Методика исследования. Используются методы теории функций одного и многих комплексных переменных, функционального анализа, геометрии, топологии, уравнений математической физики. Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Основные результаты диссертации следующие: — даны условия на распределения, заданные на гиперповерхности, эквивалентные касательным условиям Коши-Римана, в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли. Как следствие получены условия голоморфного продолжения таких распределений с гиперповерхности в фиксированную область- - даны условия разрешимости задач Дирихле и Неймана для плюригармонических функций, конечного порядка роста вблизи границы области. Как следствие, получены условия разрешимости некоторых типов 9-задачи- - получены новые дифференциальные условия плюригармонического продолжения гладких функций с границы области. Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35]-[48], из них в соавторстве [40, 41]. Теоремы 2.1, 2.2 получены в соавторстве. Остальные утверждения, приведенные в диссертации принадлежат лично соискателю. По материалам диссертации делались доклады на международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999, 2001) — на V международном семинаресовещании «Кубатурные формулы и их приложения» (Красноярск, 1999) — на IV Сибирском конгрессе ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000) — на международной конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Уфа, 2000) — на международных научных конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2001, 2002) — на международной конференции по многомерному комплексному анализу (Красноярск, 2002) — на международной конференции по геометрическому анализу (Волгоград, 2004) — на городском научном семинаре по теории функций в Красноярском госуниверситете (1999;2004).Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и 12 параграфов.

Список литературы

содержит 48 наименований.2. Содерлсание диссертации В первой главе приведены известные определения и результаты, используемые в диссертации. Пусть / е £'(Т) — Функцию F = 2″ -Ч" (/^, М (С,^)) назовем преобразованием Бохнера-Мартинели. Функция F является гармонической в Г2 вне носителя / .Вначале ищутся производные потенциала простого слоя с помощью касательных векторных полей д д Lmk = Pk-K7 Рт^г к, т = 1… п. Для этого доказывается следующая лемма. Критерий для CR-распределений дает Теорема 2.2 Для того чтобы f? Х>'(Г) являлось CRраспределением, необходимо и дост^аточно, чтобы [dFs]^ = [dFs]Q 1⁰. Vs для всех s = 1,2,…Голоморфное продолжение распределения / означает, что существует голоморфная функция F в области Г^" *" конечного порядка роста, обобщенные граничные значения которой на Г совпадают с / .Таким образом, условия голоморфного продолжения распределений / в фиксированную область можно записать только в терминах преобразования Бохнера-Мартинелли.Следующим рассматривается вопрос о скачке (9-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли. Ответ на него дает теорема Теорема 2.6 Пусть f € Z^(5Q), р ^ 1. Скачок д-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли равен нулю, т. е. lim / dnF{z+) — dnF (z-)''da{z) = 0. Кроме того, если z G 5Q — точка Лебега функции f, то lim {dnF{z+) — d^F[z-)) = 0. Теорема обобщает на случай интегрируемых функций теорему Айзенберга-Кытманова о скачке^{-нормальной} производной для непрерывных функций. Как следствие дается условие голоморфного продолжения / с границы области в область. Следствие 2.4 Пусть f G £^(5Г2) и F{z) = О для точек z ^ Q, тогда интеграл F{z) для точек z Е Q дает голоморфное продолснсение f с границы области в саму область. В третьей главе рассматриваются условия плюригармонического продолжения функций с границы области. Вначале решается задача Дирихле для плюригармонических функций. Обобщаются результаты Перотти и Фикеры. Решение этой задачи дают следующие две теоремы. Теорема 3.1 Пусть область D — односвязна (т.е. первая группа гомологии области D тривиальна). Предположим, что U вещественная плюригармоническая функция конечного порядка роста в D, [С/^ ]о ее граничное значение. Тогда ([[/]о, 5"Я) = О, где И = A-j-iB, А, В вещественные гармонические функции на замыкании D такие, что ImdnH = О наТ. Теорема 3.1 в случае плюригармонических функций С/, гладких вплоть до Г, была доказана в Перотти. Далее решается задача Дирихле для Соболевских пространств. Теорема 3.3 Пусть D — строго псевдовыпуклая область, если {и, дпН) — О, где и G Р'(Г) и вещественное, а Н любая функция, удовлетворяющая условиям теоремы 3.1, то существует плюригармоническая функция U конечного порядка роста вблизи Г такая, что [Що = и. Введем подпространство Harmi{D) = {Н е Harm^[D): [д^Щ^ действительно на 5-D}, здесь [дпЩй означает следующее распределение: [4⁰=EgСледующий рассматриваемый вопрос это задача Неймана для плюригармонических функций. Ответ дают следующие теоремы. Теорема 3.4 Пусть H^(D, R) = О и dD е С^, (^ е ?'{dD) — действительное. Тогда существует U G Harm^{D) такая, что = (р на dD тогда и только тогда, когда о {LP, Hi + гЩ) = О, Рко dv где Hi, Н2 любые такие, что Hi, Я2 6 HarrriQ^ и Hi + гН2 — действительная. Далее мы рассмотрим 5-задачу для форм типа (0,1) на D с граничными условиями. Пусть / это^{-замкнутая} форма типа (0,1) с коэффициентами конечного порядка роста в D и пусть д это действительное распределение на dD. Мы ищем функцию и непрерывную и конечного порядка роста такую, что ди f ъ D m^Qu = д пд. dD. Предлож:ение 3.1 Пусть F G Harm^{D), [F]o — граничное значение F. Тогда [dnF]o — действительное тогда и только тогда, когда lmMF = lmF в D. Пусть N это действительный линейный оператор определенный для F? Harm^{D) таким соотношением N (F) = Re (F) + iIm (MF).Следствие 3.1 Нагт^{В) это есть мноэюество Fix (iV) = {F ^ Harm^: N{F) = F} Далее как частный случай рассматривается случай шара. Пусть В = В{0,1) — единичный шар в С" с центром в О, радиуса 1. Сфера S — 5(0,1) — его граница. Рассмотрим оператор NQ: Ps, t-^——Ps, t ^ > 0, Ps, ut = 0 nycTbFixNo = {f:Nof = f}.Теорема 3.6 Вещественное распределение [UQ G Harm^{S) имеет плюригармоническое продолж. ение в В тогда и только тогда, если оно ортогонально пространствам Vs, t в Нагт^ для любых s > О, t > 0. Дадим описание Nof в шаре. Теорема 3.7 Пусть п > 1, / — гармоническая конечного порядка роста в В, тогда. = 1 ' ^ ^ ^ где z Перейдем от интегро-дифференциальных условий описания NQ К дифференциальным. Теорема 3.8 Пусть F разлагается по гармоническим многочленам F = Y^ Pg^f F G Fix (iVo) тогда и только тогда, когда s, t s, t>0 s, t>0 Как следствие дадим условие плюригармонического продолжения распределений. Следствие 3.2 Пусть и G S'{S) вещественнозначное, U — гармоническое продолоюение в В. U — плюригармоническая функция тогда и только тогда, если [дпдпЩо = 0 на S. Приведем, также, следствие теоремы 3.5 в шаре. Теорема 3.9 Пусть F G Harm?(О,) и вещественное. F — плюригармонична в Г2 тогда и только тогда, если {pF Л ^ddF)^ = 0.

1. Айзенберг A.M., Даутов Ш. А. Дифференциальные формы, ортогональные голоморфным функциям или формам, и их свойства. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1975. — 114 с.

2. Айзенберг JI.A., Кытманов A.M. О возможности голоморфного продолжения в область функции, определенной на связном куске ее границы// Матем. сб. 1991. — Т. 182. — № 4. — С. 467−483.

3. Айзенберг JI.A., Кытманов A.M. О возможности голоморфного продолжения в область функции, определенной на связном куске ее границы, II// Матем. сб. 1993. — Т. 184. — Ж. — С. 3−14.

4. Велошапка В. К. Функции, плюригармонические на многообразии // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1978. — Т. 42, № 3. — С. 475−483.

5. Волков Е. А. О границах подобластей, весовых классах Гельдера и решений в этих классах уравнений Пуассона // Тр. МИАН. М.: Наука, 1972. — Т. 117. — С. 75−99.

6. Егоров Ю. В., Шубин М. А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики (фундаментальные направления). М.: ВИНИТИ. — 1988. — Т. 30. — 264с.

7. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992. — 240 с.

8. Шабат В. В.

Введение

в комплексный анализ. Т.2. М.: Наука, 1977.

9. Кытманов А. М., Ходос О. В. Об условиях голоморфного продолжения гладких C-R-функций в фиксированную область // Известия вузов. Математика.- 1999. № 6. — С. 37−40.

10. Кытманов А. М., Цих И. А. О голоморфном продолжении СЛ-гиперфункций в фиксированную область // Сиб. матем. журн. 1997. — Т. 38, № 6. — С. 13 191 334.

11. Кытманов А. М., Цих И. А. Об устранении особенностей СД-гиперфункций, заданных на гиперповерхности // Фундамент, прикладн. мат. 2000. — Т. 6, N 2. — С. 441−454.

12. Ландкоф И. С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. -516 с.

13. Романов А. В Спектральный анализ оператора Бохнера-Мартинелли в шаре Сп и его применения// Функц. анал. и прил. 1978. Т. 12, № 4. — С. 86−87.

14. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Сп. М.: Мир, 1984. — 455 с.

15. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. -М.: Мир, 1976.

16. Хейнман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

17. Хенкин Г. М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. — 1985. — Т. 7. — С. 23−124.

18. Чирка Е. М. Аналитическое представление CR-функций// Матем. сб. 1975. Т. 98. № 4. — С. 591−623.

19. Чирка Е. М. Потоки и некоторые их применения // Харви Р. Голоморфные цепи и их границы. М.: Мир, 1979. — С.122−158.

20. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ. 4.2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985.

21. Audibert T. Operateurs differentielles sur de С" caracterizant les restrictions des fonctions pluriharmoniques // Thesis. Univ. de Provence. 1977.

22. Audibert T. Caracterization locale par des operateurs differentielles des restrictions a la sphere de Cn des fonctions pluriharmoniques // C.R. Acad. Sci. Paris. 1977. — T. 284. — S. 1029−1031.

23. Bedford E. The Dirichlet problem for some overdetermined systems on the unit baH in Cn // Pacific J. Math. 1974. — V. 51. — P. 19−25.

24. Bedford E., Federbush P. Pluriharmonic boundary values // Tohoku Math. J. -1974. V. 26. — P. 505−511.

25. Bochner S. Analytic and meromorphic continuation by means of Green’s formula // Ann. Math. 1943. — V.44. — P. 652−673.

26. Fichera G. Boundary values of analytic functions of several complex variables. Complex Analysis and Aplications (Varna, 1981), Bulgar. Acad. Sci., Sofia. -1984. P. 167−177.

27. Fichera G. Boundary problems for pluriharmonic functions. Proceedings of the Conference held in Honor of the 80th Anniversary of the Birth of Renato Calapso (Messina-Taormina, 1981), Veschi, Rome. 1981. — P. 127−152.

28. Fichera G. Boundary value problem for pluriharmonic functions. Mathematics today (Luxembourg, 1981), Gauthier-Villars, Paris. 1982. — P. 139−151.

29. Levi H. On the local character of the solution of an atypical liner differential equation in three variables and a related theorem for regular functions of two complex variables // Ann. Math. 1956. — V. 64. — P. 514−522.

30. Nag el A. and Rudin W. Moebius-invariant function spaces on balls and spheres// Duke Math. J. 1976. — V. 43. — P. 841−865.

31. Perotti A. Dirichlet problem for pluriharmonic function of several complex variables // Commun. Part. Diff. Equat. 1999. — V. 24, № 3&4. — P. 707−717.

32. Perotti A. Some application of the trace condition for pluriharmonic functions in Cn // Publications Matematiques. 2000. — V. 44. — P. 449−456.

33. Straube E.J. Harmonic and analitic functions admitting a distribution boundary value // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa CL Sci. 1984, — V. 11. № 4. — P. 559−591.

34. Мысливец М. С. Производные преобразования Бохнсра-Мархчшсллн. //' Тезисы международной конференции «Математические модели и методы их исследования.» -Красноярск: КрасГУ, 1999. С. 155−156.

35. Мысливец М. С. О голоморфном продолжении распределений в фиксированную область // Тезисы V международного семинара-совещания «Кубатурные формулы и го: приложения». Красноярск: КрасГТУ, 1999. С. 37−38.

36. Мысливец М. С. О голоморфном продолжении гладких функций с гиперповерхности // Сборник «Комплексный алализ и дифференциальные операторы». Красноярск: КрасГУ, 2000. С. 93−96.

37. Мысливец М. С. Граничные значения шпоригармонических функций конечного порядка роста. // Тезисы IV сибирского конгресса ИНПРИМ-2000. Новосибирск: Институт математики тт. С. Л. Соболева СО РАН, 2000. С. 155−156.

38. Мысливец М. С. О плюригармоническом продолжении функций с границы области // Сборник «Вопросы математического анализа». Выпуск 4. — Красноярск: КрасГТУ, 2001. С. 85−90.

39. Кытманов A.M., Мысливец М. С. О CR—распределениях, заданных на гиперповерхности /./' Известия вузов. Математика. 2001. — № 10. — С. 47−52.

40. Мыслгюец М. С. О плюригармоническом продолжении функций с границы области // Труды международной конференции «Математические модели и методы их исследования». Красноярск: ИВМ СО РАН, 2001. — С. 110−113.

41. Мысливец М. С. Об условиях плюригармонического цродолжения распределений с границы области // Сборник «Многомерный комплексный анализ». Красноярск: КрасГУ, 2002. — С. 139−149.

42. Мысливец М. С. Условия плюригармонического продолжения гладких функций с границы области// Материалы Межд. студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. — Новосибирск: НГУ, 2003. — С. 44.

43. Мысливец М. С. О разрешимости задачи Неймана для плюригармонических функций // Тезисы межд. конференции «Многомерный комплексный анализ». Красноярск: КрасГУ, 2002. — С. 33−34.

44. Мысливец М. С. Об условиях разрешимости задачи Неймана для плюригармонических функций // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. наук. 2003. — Вып. 1. — С. 32−34.

45. Мысливец М. С. О скачке ¿-^-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли // Тезисы межд. школы-конференции «Геометрический анализ и его приложения». Волгоград, 2004. — С. 135−136.

46. Мысливец М. С. О скачке д-нормальной производной интеграла Бохнера-Мартинелли // Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. наук. 2004. — Вып. 1. -С. 129−132.