Задача Коши для вырождающегося уравнения гиперболического типа в гильбертовом пространстве

В диссертации рассматриваются уравнения двух типов в гильбертовом пространстве Н.

Л'+яМАфи + в (6) и>+ С (+) и +Е (-Ь) -и -¿-(Ф) (I).

Ар)"-(-ЬеС0,11). О).

Предполагается, что, А (?) при всех? ?[О^З — положительно определенный самосопряженный оператор с независящей от областью определения,) Е~ линейные ограниченные операторы — функция ¿-я 1У непрерывна на 10)13 = Р, О при ± > О .

Будем называть уравнения (1) уравнениями первого типа, а вида (2) — второго типа.

Для уравнения С^)' и&tradeставится задача Коши с начальными данными в точке вырождения.

— и'^о)-^^. (з).

Решением (гладким) уравнения () или (2) назовем функцию ФС, определенную на CO. il со значениями в Х^С^У «удовлетворяющую (I) или (2), и такую, что функции и^А3-^. непрерывны на £й) 1], А^ы*у Анепрерывны на (о}7],.

Невырждающееся уравнение («когда = ^) изучено .

Соболевским П.Е. и Погореленко В. А. [IJ .

Уравнение (I) при си&г^^р^о), АСФА) В (+) = Ш=0 с помощью бесселевых функций от оператора изучалось Вайнерма-ном Л.И. [2 ].

Уравнения первого типа изучалось также Каролем Р. В. и Шовальтером Р. Э. В [3] рассматривалось уравнение где, А — положительно определенный самосопряженный оператор, оС} > О } 3 (•?) ^ & - линейные ограниченные операторы, &&)> 0} ^ О. Предполагалось, что все операторы коммутируют, и ставился вопрос о существовании дважды непрерывно дифференцируемого решения, удовлетворяющего начальным данными* (О) — -и'?О) — О .

Была получена однозначная разрешимость в классе функций, достаточно быстро стремящихся к нулю при ~Ь —^ О, при правой части, достаточно быстро стремящихся к нулю при ~Ь О .

Заметим, что коммутируемость операторных коэффициентов в приложениях к уравнениям в частных производных означает, что коэффициенты-уравнения не-зависят от пространственной переменной. Оставался также открытым вопрос о разрешимости задачи Коши при правой части, не стремящейся к нулю.

Уравнения второго типа изучалось Егоровым И. Е. В [4J рассматривалась задача Коши где.

АС*) и.

— самосопряженные ограниченные операторы.

Предполагалось, что — $ или &- % АЪ $^ сГ > О Эти условия не позволяют & С^) вырождаться, поэтому за такими уравнениями утвердилось название гиперболо-параболических.

В качестве приложений абстрактных уравнений (I) или (2~) могут служить вырождающиеся уравнения в частных производных гиперболического типа.

Приведем сначала работы по уравнениям в частных производных первого типа. Рассматривается уравнение ¿-с*,*)"* + ф + Сf и.. 4.

GRJ в полупространстве тт > О (^по повторяющимся индексам подразумевается суммирование^. Будем называть уравнение (4^) вырождающимся гиперболическим, если при любых X? R, -? О квадратичная форма C^j ij неотрицательна.

Карапетян К.И. [o] впервые рассмотрел задачу Коши для уравнения (а), выровдающегося только на гиперплоскости ~Ь — О, с начальными данными. фс (О) (ъ).

Был исследован случай не слишком быстрого вырождения: если л ijC*J = ¿-С*) * *Л ' б где квадратичная форма tf хij равномерно положительно определена, то это соответствует случаю, когда О-(-?г) стремится к нулю не быстрее ~Ь.

Ошейник О. А [б] рассмотрела задачу при условииt (c % fi Aa?$t + a-hh CA) d>o) fy.

— - - ¦ •.. • -. >1.

Это условие не позволяет квадратичной форме вырождаться на множестве произвольного вида, например, лишь в одной внутренней точке.. f.

Если рассматривать условие (7) как ограничение на рост CL приЬ —> + О, то оно согласуется с требованиями, накладываемыми в случае одного пространственного переменного и вырождения только при -~Ь -=-О (^обширная библиография таких работ представлена в монографиях Смирнова М. М. [ч] и Бицадзе A.B.

М).

Нерсесян А.Б. в [э] получил условия на похожие на (7).

Им рассматривалось уравнение (к), вырождающееся только на гиперплоскости ~Ь — О, с коэффициентами, зависящими только от Ь. • «.

В частном случае, когда квадратичная форма ^ не.

• О отрицательна, эти условия означают, что) — величина порядка О*) «гДе, А -/¿-г'^!-, тогда как в [бJ порядка .В случае произвольного порядка вырождения условие Нерсесяна А. Б. менее ограничительно.

Отметим также работу Агабабяна Л. Ш. [IoJ, в которой обобщаются результаты [б ] на случай уравнения (где — оо <г ос * < й., Здесь допускается вырождение разного типа по разным направлениям.

Перейдем к рассмотрению уравнений в частных производных второго типа. Начнем с плоского случая се) в полуплоскости ~Ь О при. О ^ и*- < 2,. Линия параболического вырождения ~Ь ~ О является характеристикой уравнения. Поведение решения (8) существенно зависит от коэффициента и показателя. Для уравнения (8) кроме обычной задачи.

Коши, которая может оказаться неразрешимой, естественно исследовать задачу Коши с видоизмененными начальными данными где мъ *>') — О , — О. -ь -*от у .* -ь-^о т > .

Исследованию этой задачи посвящены работы Терсенова С. А. [н], Сунь Хе-шена [12] и других авторов. Было показано, что при.

О ^ Ж- ¦¦< «й. задача 6*8) с обычными начальными условиями поставлена корректно.

В [у^ было показано, что при условии существования пРичем ± при ж. ^ задача Коши для уравнения СЮ с начальными данными и.?к, О) = •?>(*) Л" поставлена корректно.

Многомерный аналог уравнения (ъ).

1-й— ли+а?ки .-^а'-и I при 0 и*- < 2., 1< ^ т — й с видоизмененными начальными данными рассматривался Терсеновым С. А. [1з]. Вид начальных условий подбирался путем построения общего решения уравнения ¿-.1Л ~ О и изучения поведения этого' общего решения при.

Барановский Ф.Т. [14] показал корректность задачи Коши для уравнения Ы-Л% .*. + ¿-С*+ с Ъ)^ = С-Ь >о) (Э) с начальными данными (Ъ) при к^'Рс) — ¡-¿-(~{г) в случае медленного вырождения — при некоторых ълё ^ ?т^х > О кМ ^ и'*.

К работам, касающимся такой задачи, следует отнести также уже упоминавшуюся работу Агабабяна Л.Ш.

Задача Коши для уравнения (9) в цилиндрической области б ~[в£>2 с — ограниченная связная область с гладкой границей У, с начальными и краевыми условиями и! = 0 44. I =0 -и I ~ О в случае гиперболо-параболического вырождения рассматривалась Брюхановым В. А. [lo], Враговым В. Н. [lб], Каратопраклиевым Г. Д.

Ограничений на скорость стремления к к нулю при ~Ь —> О не накладывается, но имеется условие гиперболо-параболического вырождения.

2 ??i, к С^) * S > О. СЩ.

Следует особо отметить работы Попиванова Н. И f18,19J, который рассматривал уравнение (э), когда может вырождаться как к, так и квадратичная форма? j ft-? l^j в произвольной ограниченной или неограниченной области с кусочно гладкой границей. Рассматривался случай гиперболопараболического вырождения — для некоторых констант р и С > О кь — 2? + рк ^ С .

В случае вырождения квадратичной формы (Я ^C^j ^ накладывалось условие, аналогичное (l).

Калашников A.C. [2о] рассмотрел задачу без начальных услоh. вий для уравнения (д) в [0}Т] х R при условии о * С* кС?}х) Й Сс*А.

При некоторых ограничениях на допустимое поведение решения при х оо и приЬ -ь D были получены теоремы существования и единственности.

Отметим, что вырождающееся уравнение (Х~) относится к уравнениям с кратными характеристиками. Такие уравнения изучались Иврием В. Я. и Петковым В. М. [21J .

Для уравнения второго типа оставался открытым вопрос о разрешимости-задачи Коши в случае быстрого вырождения, когда коэффициент при первой производной по стремится к нулю достаточно быстро (или вообще равен нулю). Вторая глава данной диссертации посвящена выяснению этого вопроса.

Первая глава диссертация посвящена уравнениям вида (I), а вторая — вида (2). В первой главе 5 параграфов, во второй — 3.

В § 1 рассматривается задача Коши для простейшего уравнения первого типа с постоянным оператором, А при $ > О .На примере продемонстрирован применяемый в диссертации метод исследования, который заключается в следующем.

На первом этапе доказывается однозначная разрешимость задачи Коши при нулевых начальных данных и правой части, достаточно быстро стремящейся к нулю при ~Ь + О, в классе решений, достаточно быстро стремящихся к нулю. Для этого с помощью замены независимой переменной уравнение сводится к интегральному уравнению, с последующим применением принципа сжимающих отображений.

На втором этапе показывается, что в случае принадлежности начальных данных) и достаточной гладкости вблизи нуля функции, А задачу можно свести к предыдущему случаю.

В § 2 проводится первый этап для уравнения СУ* Предполагая, что решение со своей первой производной с достаточной скоростью стремится к нулю при ~Ь —? + О, приходим к системе интегральных уравнений относительно пары функций ~. /у2″^. л /.

Показывается, что в классе решений, удовлетворяющих условию р А2^^) О со скоростью (X) Р > ^ к этой системе применим принцип сжимающих отображений, если операторные коэффициенты удовлетворяют некоторым ограничениям на рост при '~Ь О :

— b.

Ct) лр+1№ lltCir) llb^o.

При этих условиях получаем однозначную разрешимость системы интегральных уравнений при функции jf-, стремящейся к нулю со скоростью Ci’Ci^Oer) • Дяя того, чтобы решение системы интегральных уравнений было решением уравнения^ (I,), приходится дополнительно предположить, что функция, А^{fстремится} к нулю со скоростью Я1afft) ъ my^rni. si h.

При этих условиях получим существование такого решения уравнения (i), что функции и А^л. стремятся к нулю со скоростью (?) s.

В § 3 рассматривается общая задача (l)f (s). Показывается, что заменой неизвестной функции вида.

— U ^ Zh ^ где — новая неизвестная функция, а функция определяется данными задачи, можно свести задачу к случаю, рассмотренному в § 1, если наложить на данные задачи дополнительные условия гладкости. Требуется, чтобы при некотором DL>rr t/-0??1)(Afij)^ функция, А (0)jбыла непрерывна, ограничена, оператор-функции.

X ос 4. Р (— ОС оС-1 -ос.

А Ф) втр), № А А (о)Е№(0% А (о)АШ (о) были сильно непрерывны, равномерно ограничены по норме.

Если' ic0~ О, для некоторого? ^fO.^f) функция аа I jiA f непрерывна, ограничена, то можно от операторных коэффициентов дополнительно требовать только, чтобы были сильно не-2. -Л ^ Л з 2. прерывны, А *С°)&ША А (О)С&)А Щ AYeJEfflAty),.

Ал (о)АС*)Ао), з.

Функция % для замены неизвестной функции подбирается как решение задачи Коши для некоторым образом «регуляризованно-га» уравнения, в котором фигурируют только ограниченные операторные коэффициенты.

В случае произвольного порядка вырождения для доказательства единственности решения задачи (l), (з), хотя бы классическогокогдаttUу АА И непрерывны на [Оу 1 ], приходится вводить несколько большие ограничения на рост операторных коэффициентов: sup ±rjcA*)U< 00, ь am 1 о ь A (sJ.

В § 4 рассматривается задача (1),(з), когда функция, а (~Ь) д стремится к нулю не быстрее ?3 > 0, Точнее, при условии.

В этом случае могут быть установлены более точные результаты, чем в § 3. Доказана единственность классического решения без дополнительных ограничений на рост 11д>(^)11 и Ц С, А •.

Получена теорема существования решения задачи (1),(з). в пред.

— 5 4+ 1Ы положении непрерывности и ограниченности функции f, А JL при некоторых /?С^Р'^^р] при ^.

В § 5 даются приложения результатов § 3 к уравнениям в частных производных, когда Н — (к, а операторы С (Ь), Е (-к) — дифференциальные. Выписаны теоремы существования и единственности решения задачи.

В § 6 для уравнения (2) проводятся рассуждения, аналогичные тем, что были проведены для уравнения (I) в § 2. Доказана един. / —О ^ ственность такого решения (2), что функции (X и у А^^с при некотором р > ограничены, если.

— Ь^о ^ и От) -ь^о.

Если дополнительно оператор-функции е> и са* сильу!. / но непрерывно дифференцируемы, —, В ^/(СА^) равномерно ограничены, при некотором р •> 1 функции / ^ .-.. X Ос у непрерывны, ограничены, то доказано^существование такого решения (2), что функции (X у аРА1Л. ограничены.

В § 7 рассматривается задача Коши (2) ,(з) в классе таких функций, что /¡-К непрерывны вплоть до нуля, а п при ~Ь —> О растет не слишком быстро — не быстрее (&), при некотором р 6 ^ 2 ^ ,.

При такой постановке возникают необходимые условия существования решения и, при —^—> О «условие.

С '0Ч.+С (о)ч1+А (о)<�Ло +А (#)и1 =.

Таким образом, на начальные данные имеются алгебраические ограничения, причем при медленном вырождении одно, а при быстром — два. Поэтому термин «задача Коши» имеет в данном случае некоторую условность. Если существует [А (О)+ С&diamsто элемент однозначно определяется по ^ иР1о, а если вырождение быстрое, то оба элемента и «о однозначно определяются по У «и мы можем говороить только об одном уравнения (2).решении.

Показано, что задача (2),(з) при достаточной гладкости данных может быть сведена к случаю, рассмотренному в § 6.

Доказаны две теоремы существования решения в пРеД~ положении непрерывной дифференцируемоети правой части и сильной непрерывной дифференцируемоети операторных кэффициентов .

Первая теорема относится к случаю не слишком быстрого вы- ¦. а рождения — когда? Я-С~Ь) стремится к нулю не быстрее ~к ^ При этом от производных правой части и операторных коэффициентов требуется, чтобы при медленном вырождении, когда р> р ^ Л. они росли не быстрее а! О? «а ПРИ РР ^ ^ стремились к своевду значению в нуле со скоростью %.

Вторая теорема относится к случаю, когда функция 1 ограничена. От правой части операторных коэффициентов требуется существование третьих производных, причем первые производные непрерывны ('соответственно сильно непрерывны^) вплоть до нуля, вторые растут не быстрее О? 2, а третьи растут не быстрее.

Установлена единственность решения задачи (2), (з) в случае, когда <�Х (гстремится к нулю не быстрее I.

В случае, когда функция ?2 ограничена, единственность установлена при дополнительных ограничениях на рост операторных.

Основные результаты диссертации опубликованы в ?32, ЗЗJ. В совместной с П. Е. Соболевским работе научному, руководителю принадлежит постановка задачи, а доказательства теорем при над-лежат автору диссертации.

Автор диосертации выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. Соболевскому П. Е. за постоянное внимание к работе.

1. Соболевский П. Е., Погореленко В. А. Гиперболические уравнения в гильбертовом пространстве. — Сиб. матем. журн., 1967, т.8, ЖЕ, с. 123−145.

2. Вайнерман Л. И. Гиперболическое уравнение с вырождением в гильбертовом пространстве. Сиб. матем. журн., 1977, т.18, М, с. 736−746.

3. Carroll R. W, 7 Showalter R.E. Singular and degenerate СаисЦ problems-N.Y.: Acad «Press, 1976.

4. Егоров И. Е. 0 задаче Коши для вырождающегося операторного уравнения второго порядка. Gh6. матем. журн., 1979, т.20, Jfo, с.1015−1021.

5. Карапетян К. И. О задаче Коши для уравнения гиперболического типа, вырождающегося на начальной плоскости. ДАН СССР, 1956, т. 106, Х6, с.963−966.

6. Олейник O.A. Задача Коши и краевая задача для гиперболических уравнений второго порядка, вырождающихся в области и на ее границе.- ДАН СССР, 1966, т.169, Jfo, с.525−528.

7. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения.-Минск: Вышейш. школа, 1977,-159с.

8. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных произ-водных.-М.: Наука, 1981,-448 с.

9. Нерсесян А.Б.О задаче Коши для гиперболического уравнения второго порядка, вырождающегося на начальной гиперплоскости. -ДАН СССР, т. 181, М, с. 798−801.

10. Агабабян Л. Ш. О задаче Коши для вырждающегося гиперболического уравнения второго порядка.- Изв. АН Арм. ССР, математика, 1970, т.5, Ж, с. 61−65.

11. Терсенов С. А. К теории гиперболических уравнений с данными на линии выроздения типа. Сиб. матем. журн., 1961, т.2, J?6, с.913−935.

12. Сунь Хе-шен. О единственности решения вырождающихся уравнений и жесткости поверхности. ДАН СССР, 1958, т.122, Ж5, с. 770−773.

13. Терсенов С. А.

Введение

в теорию уравнений, вырождающихся на границе .-Новосибирск: НГУ, 1973,-144 с.

14. Барановский Ф. Т. Задача Коши для линейного гиперболического уравнения второго порядка, вырождающегося на начальной плоскости. Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та, 1958, $ 166, с. 227−254.

15. Брюханов В. А. Диф. уравнения, 1972, т. 8, № 1, с.3−6.

16. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики .-Новосибирск: НГУ, 1983?-84 с.

17. Каратопраклиев Г. Д. Об одном классе уравнений смешанного типа в многомерных областях. ДАН СССР, 1976, т. 230, № 4, с. 769−772.

18. Попиванов Н.й. Некоторые краевые задачи для гиперболо-параболических уравнений в многомерных областях. ДАН СССР, 1978, т. 243, т, с. 584−587.

19. Попиванов Н. И. Краевые задачи для гиперболо-параболических уравнений в многомерных областях. Български математически студии, т. З, 1981, с. 88−119.

20. Калашников A.C. Задача без начальных условий для линейных вырождающихся гиперболических уравнений второго порядка с бесконечной областью зависимости. Матем. сб., 1972, т. 88, М, с. 609−622.

21. Иврий В. Я., Петков В. М. Необходимые условия корректности задачи Коши для нестрого гиперболических уравнений. УМН, 1974, т. 29, Jfo, с. 3−70.

22. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве.М.- Наука, 1971,-464 с.

23. Красносельский М. А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.-М.- Наука, 1966,-500 с.

24. Heinz ?. Beitrage гиг StOrlngsibeorle der Spektralzerlegung*. Math. Ann., 195i, и. 123, Н4, p. 415−438.

25. Далецкий Ю. Л. О дробных степенях самосопряженных операторов. Тр. семинара по функциональному анализу, Воронеж, 1958, вып. 6, с. 44- 48.

26. K&toT. Integration of ihe equation of evolution inaBanack space-3, Maib. Socapan, 195*3, v. Sy n2−9 p>208~23?±.

27. Соболевский П. Е. Об одном типе дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве. Уч. записки Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. и хим. наук, 1962, J63, с. 87−206.

28. Рисс Ф., Секафальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.-М.- Мир, 1979,-587 с.

29. Хартман Ф, Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.- Мир, 1970,-720 с.

30. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.-М.- Наука, 1973,-223 с.

31. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптический и гиперболические уравнения.-М.- Наука, 1966,-292 с.

32. Соболевский П. Е., Семенов С. М. О некотором подходе к исследованию вырождающихся гиперболических уравнений. ДАН СССР, 1983, т. 270, №, с. 555- 558.

33. Семенов С. М. Вырождающиеся гиперболическое уравнение в гильбертовом пространстве. В сб. Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений: Межвузовский темат. сб., Ярославль, 1984, с. 51−56.