Математический анализ

Найдем вторую производную

.

Подставив в уравнение, получаем

.

После упрощений получим

.

Приравняем коэффициенты при 1,, и

;

;

;

.

Получаем

a1 = 2, a2 = 0, a3 = 1, a4 = 1.

Таким образом, частное решение нашего уравнения имеет вид

.

Находим общее решение нашего уравнения в виде суммы решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

.

Для облицовки бассейна объемом 1000 куб.

м. требуется закупить кафельную плитку размером 10×10 см. Найти размеры (длину, высоту и ширину) бассейна, чтобы количество плитки было наименьшим. Определить количество плиток.

Указание: ввести три переменные величины длины, ширины и высоты бассейна; исключая одну из переменных, составить функцию от двух переменных и исследовать ее на экстремум.

Введем три переменные. Пусть x — длина бассейна, y — его ширина, z — высота. Тогда объем бассейна

.

Отсюда выразим z

.

Запишем сумму площади дна и стенок бассейна

.

Подставив в нее выражение для z через x и y, получим

.

Минимальное количество плитки понадобится, если суммарная площадь стенок и дна бассейна будет минимальна. Таким образом, нам требуется найти минимум функции. Найдем экстремумы этой функции.

Найдем частные производные и приравняем их нулю:

;

.

Решим полученную систему уравнений.

Выразим x через y из первого уравнения и подставим во второе:

;

;

;

.

Поскольку уравнения частных производных симметричны относительно x и y, то если мы выразим y через x из первого уравнения и подставим во второе, то получим следующие значения:

;

.

Таким образом, имеем 2 точки экстремумов. Но их число можно сократить до одной, замечая, что отрицательные значения x или y (длины или ширины) не имеют смысла. Поэтому рассмотрим точку (12,5992; 12,5992). Найдем частные производные второго порядка:

;

;

.

Поскольку все вторые производные в данной точке больше нуля, это минимум функции, который и требовалось найти. Найдем соответствующую высоту бассейна:

.

Поделив площадь стенок и дна бассейна на площадь одной плитки, найдем количество плиток, которые потребуются:

плиток.

Ответ: длина и ширина примерно по 12,6 м, глубина около 6,3 м. Понадобится 600 тыс. плиток.