О критических свойствах при росте кластеров DLA

Большинство объектов, встречающихся в природе, имеет чрезвычайно сложную структуру, которую невозможно описать простыми геометрическими формами [3, 4]. Отличительная черта таких объектов — отсутствие минимального масштаба, после которого структура объекта начинает упрощаться. Так, длина береговой линии при ее измерении линейками различной длины окажется возрастающей величиной. Чем больше будет точность измерений, тем больше будет длина линии [26]. Объекты, обладающие такими свойствами называются фракталами, при этом их отличительным свойством является наличие самоподобия (точного пли статистического).

Распространенный метод построения фракталов заключается в использовании специальной рекурсивной процедуры. Одной из таких процедур является алгоритм, предложенный Виттеном и Сандером в 1981 году [51] и получивший название агрегации, ограниченной диффузией (Diffusion Limited Aggregation — DLA). В основе алгоритма лежит идея о том, что рост агрегата происходит путем налипания частиц, двигающихся случайным образом, друг на друга. Если плотность частиц мала, то можно считать, что за один шаг алгоритма прилипает только одна частица. Размерность фракталов меньше размерности пространства, в котором он построен и в большинстве случаев не есть целая величина. Так, для нахождения фрактальной размерности модели DLA чаще всего используется соотношение вида N ос Rd, где R — размер кластера, а N — число частиц в нем.

Объекты, построенные по алгоритму Виттена и Сандера (см. рис. 1) демонстрируют развитую ветвистую структуру и, по-видимому, являются фракталами, т.к. численно их фрактальная размерность D «1.71. Фрактальная структура возникает из-за того, что быстро растущие ветви экранируют другие части кластера, рост которых сильно замедляется.

Интерес к модели DLA связан с тем, что похожие структуры возникают в.

Рис. 1. Типичный кластер DLA. различных экспериментах — при образовании языков на границе жидкостей с разными вязкостями (viscous fingering) [27], при росте колоний бактерий [11], при электроосаждении [28] и многих других [1]. Общим для этих структур является доминирование процесса диффузии, поэтому неудивительно, что их форма оказывается похожа друг на друга. Один из важных вопросов связан с классификацией таких объектов — относятся ли они к одному классу универсальности [10. 27]. Так, в ячейке Хеле-Шоу, или в пористой среде, скорость жидкости пропорциональна градиенту давления. Если же жидкость несжимаемая, то давление в такой системе описывается уравнением Лапласа: /2р = 0. Аналогичные уравнения возникают и в модели DLA при описании ее в терминах электрического потенциала [37]. При этом давление заменяется электрическим потенциалом. Модель DBM (Dielectric Breakdown Model), являющаяся обобщением модели DLA, получается из модели DLA возведением вероятности роста в некоторую степень т/, или, в терминах электрического потенциала, Р (г) ос) S/.

Основное предположение, которое используется при построении теоретической модели, основано на допущении, что рост кластера происходит преимущественно около концов ветвей. Данная идея была впервые высказана Туркевичем и Шером в работе [50]. Предсказанные ими фрактальные размерности D — 5/3 на квадратной решетке и D = 7/4 на треугольной подтверждаются экспериментально только для случая квадратной решетки [30]. В работе Халси и Либига [17], построивших описание DLA па основе двоичной иерархии частиц, найденная фрактальная размерность составила в 2D: D = 1.66 (численно D = 1.71), в 3D D = 2.49 (численно D = 2.50), 4D в D = 3.40 (D = 3.40). В работе [40] авторы, используя метод «преобразования конечного масштаба», вычислили фрактальную размерность D = 1.66 в двумерном случае. Из приведенных данных видно, что в случае 2D совпадение аналитических и экспериментальных данных самое плохое. Как следует из теории среднего поля, фрактальная размерность связана с размерностью пространства как D = d — 1, при d —" сю, что и наблюдается в численном эксперименте.

В случае же d — 2 самым близким к экспериментальному результату можно считать результат Хастингса [19]: D = 17/10, полученный в рамках ренорм-группового подхода. Представляет также интерес и вопрос о минимально возможной фрактальной размерности в DLA на плоскости, утверждается, что D —.

3/2 [6, 25].

Флуктуации и шумы, возникающие в DLA вследствие того, что добавление частиц происходит строго по одной, приводят к тому, что не удается построить непрерывную теорию среднего поля с хорошей точностью описывающую свойства кластера и позволяющую вычислить фрактальную размерность. В большинстве таких моделей фрактальная размерность оказывается существенно занижена [44].

Другое важное направление исследований связано с наличием мультискей-линга в кластерах DLA [5, 12, 13, 38, 39, 41]. Так, в работах [5, 13, 38], фрактальная размерность, вычисленная по средней глубине проникновения отличалась, от фрактальной размерности, вичисленной по радиусу инерции Rg. Данное несоответствие было объяснено наличием логарифмических поправок к? вида f ос Rgf In N.

Кроме того, плотность частиц на расстоянии г в кластере размером R ведет себя как g (r, R) = c (x)RD^~d, х = г/R. Это означает, что для описания кластера необходимо бесконечно большое число фрактальных размерностей D{x). Однако в работах [8, 49] данный эффект был объяснен как эффект конечного размера кластера с использованием поправок к закону скейлинга и было предсказано, что уже при iV = 107 он исчезает.

В дополнение к свойствам мультискейлинга кластеры DLA обладают свойством мультифрактальности, а их структура описывается обобщенно фрактальной размерностью. Если Pi (e) вероятность прилипания частиц на поверхности кластера в области размером е, то тогда обобщенная фрактальная размерность определяется как [21] Dq = lime>o (? — I)-1 log Pi/ l°g (c) — Измерение спектра Dq при q < О оказывается очень сложной численной задачей, т.к. при q < О Dq определяется минимальными вероятностями роста, которые чрезвычайно малы вследствие сильной экранировки внутренних частей кластера [22]. Имеющиеся теоретические предсказания спектра f (a) [15, 22] требуют аккуратной экспериментальной проверки [18].

Очередной всплеск интереса к модели DLA произошел, когда Хастингс и Левитов предложили процедуру построения кластера DLA с помощью последовательности конформных отображений [14, 19, 20]. Их подход основан на решении уравнения Лапласа методом конформных отображений. При этом кластер из N частиц задается отображением w = Fjy (z) области z > 1 на внешность кластера. Вероятность роста в каждой точке поверхности кластера после обратного отображения z = F¹ будет постоянной функцие. Пользуясь инвариантностью гармонических функций относительно конформных отображений, можно найти вероятность роста вдоль всей поверхности исходного кластера. Отображение F2y вычисляется итеративно как Fm — i), гДе ВИД Функции ф2у вычисляется дополнительно на каждом шаге.

Данный подход применяется как в численных, так и в аналитических расчетах. Однако из-за сложностей метода и из-за повышенных требований к точности вычислений типичные размеры кластеров, которые удается исследовать таким методом составляют не более 50 тыс. частиц1.

Наиболее удивительна связь модели роста Хеле-Шоу с теорией струн [36] а также с теорией квантовой гравитации в 2D. Условие сохранения гармонических моментов (кроме нулевого) задает набор кривых с различными Со, но одинаковыми CkВ свою очередь эта задача связана с набором уравнений интегрируемой иерархии Тоды, возникающих в квантовой двумерной гравитации.

Большое разнообразие моделей, близких к DLA, а также различных теоретических подходов требует их сравнения между собой и с точными численными данными. Применяя более совершенные технические средства, а также разрабатывая новые методы изучения таких объектов мы рассчитываем изучить асимптотические свойства кластеров, влияние анизотропии на их рост и провести их.

1 Стандартным методом удается построить кластеры из 50 млн. частиц и более. классификацию на основе различий в их свойствах в пределе бесконечно больших размеров систем. Также в работе будут проверены предсказания Сомфая и др. [8, 49] относительно свойств мультискейлинга и наличия поправок к законам скейлинга в DLA.

Цель работы.

1. Разработка эффективного численного алгоритма, позволяющего моделировать рост кластеров, состоящих из большого числа частиц (до 50 млн.).

2. Исследование свойств мультискейлинга кластеров DLA и проверка предсказаний Е. Somfai, R.C. Ball, N.E. Bowler, L.M. Sander [8, 49] относительно этих свойств и наличия поправок к закону скейлинга.

3. Исследование флуктуаций и свойства самоусреднения фрактальной размерности.

4. Разработка методов оценки фрактальной размерности кластеров, позволяющих повысить точность измерений без существенного увеличения размеров исследуемых кластеров.

5. Исследование кластеров, построенных с применением анизотропных локальных правил, применяемых при добавлении частиц к кластеру.

Структура диссертации.

В Главе 1 описывается численный алгоритм, использующийся для генерации кластеров DLA. Данный алгоритм позволяет исследовать кластеры размеров 50 млн. частиц и более, при этом построенный алгоритм полностью эквивалентен исходной задаче и не использует методы уменьшения шума для стабилизации роста.

В Главе 2 изучается фрактальная размерность ансамбля из 100 кластеров по 50 млн. частиц с использованием различных определений длины в соотношении скейлипга. Установлено, что в пределах ошибок измерений фрактальная размерность не зависит от выбора линейной величины, описывающей кластер. Также установлено, что фрактальная размерность, вычисленная по средней глубине проникновения? совпадает с размерностью, вычисленной по другим величинам. Наблюдаемая сложность определения асимптотических свойств кластера объясняется следствием слабого самоусреднения фрактальной размерности и наличием мультискейлинга в системе. В этой же главе проверяется существование поправок к законам скейлинга в виде, предложенным Сомфаем и др. и изучается свойство мультискейлинга при увеличении размеров системы.

В Главе 3 разрабатывается метод измерения средних по гармонической мере с использованием пробных частиц переменного размера. Данный подход позволяет вычислить фрактальную размерность кластера как функцию размера кластера N и размера пробных частиц 5. В пределе бесконечно малых пробных частиц фрактальная размерность D (N) становится гладкой функцией, что позволяет найти асимптотику D (N —л оо). Улучшение точности вычислений объяснено путем нахождения скейлинговой функции, описывающей зависимость D (N. 5). Изучено влияние применения пробных частиц переменного размера на вероятность P (r, N) роста в точке г для кластера размером N. Изучено точное число частиц кластера, доступных для пробных частиц заданного размера. Рассмотрен вопрос сложности численного вычисления минимальной вероятности роста и связанных с ней величин — обобщенной фрактальной размерности и мультифрактального спектра.

В Главе 4 с помощью метода пробных частиц переменного размера изучаются свойства анизотропных кластеров. Изучаются фрактальные размерности таких кластеров, средняя плотность частиц на единицу поверхности, средняя плотность частиц по углу и ее спектр. Проводится критический анализ предположения Туркевича и Шера о независимости фрактальной размерности от внутренней структуры кластера. Кластеры с небольшим числом ветвей, выращенные с использованием метода антенн в случае Nfp = 3,4 по всем свойствам существенно отличны от кластеров с Nfp > 5. Случай Nfp — 5 оказывается переходным между ними. Обсуждается минимально возможное значение фрактальной размерности Dmin ~ 3/2.

Основные результаты.

1. Разработан эффективный численный алгоритм, позволяющий построить кластер размером до 50 млн. частиц за 3−4 часа на компьютере типа Pentium 4 3 ГГц с 2-мя Гб оперативной памяти, при этом для стабилизации роста не используются методы уменьшения шума.

2. По ансамблю из 100 кластеров, состоящих из 50 млн. частиц каждый, вычислена фрактальная размерность с использованием различных определений линейного размера R в соотношении скейлинга N ос RB. Проведено сравнение полученных результатов между собой и установлено, что в пределах ошибки измерений фрактальная размерность не зависит от выбора R. Также установлено, что квадрат ошибки определения фрактальной размерности убывает с ростом размера кластера как 1/iV0−33. Т .е. можно сказать, что для фрактальной размерности наблюдается свойство слабого самоусреднения.

3. С использованием ансамбля из 100 кластеров по 50 млн. частиц вычислен показатель мультискейлинга D{x) при разных размерах кластера и проведено сравнение полученных результатов с предсказанными в работах [8, 49]. Установлено, что поведение D{x) с ростом размера кластера не соответствует предсказанному. Также установлено, что наличие мультискейлинга нельзя объяснить поправками к закону скейлинга в виде R (N) = предложенным в работах [8, 49].

4. Предложен метод пробных частиц переменного размера для вычисления фрактальной размерности кластера D. В этом методе фрактальная размерность вычисляется по зависимости среднего радиуса прилипания частиц, вычисленного как среднее от г по гармонической мере. При этом для расчета гармонической меры используются пробные частицы размером S = 0.1 — 100, причем за единичный размер принимается радиус частиц, из которых составлен кластер. В результате фрактальная размерность оказывается величиной, зависящей от N и от S. Вычисляя предел D (N, 6 —> 0), можно найти фрактальную размерность как функцию числа частиц в кластере D (N). При этом данная зависимость оказывается гладкой функцией, что позволяет находить фрактальную размерность кластера с большей точностью и сделать предположения о его асимптотических свойствах. Найдена универсальная скейлинговая функция D (N, 6/Rdep), которая объясняет повышение точности при уменьшении размера пробных частиц. Использование пробных частиц с 6 = 0.1 равносильно использованию кластера размером в 10 раз больше по Rdep или в 4 раза больше по числу частиц.

5. С использованием метода антенн для генерации анизотропных кластеров построены ансамбли из 1000 кластеров по 50 млн. частиц каждый для числа антенн Nfp = 3,4,5,6, 7,8. Вычислена фрактальная размерность D (N) для каждого ансамбля, с использованием метода пробных частиц переменного размера. Установлено, что при Nfp = 3,4 фрактальная размерность является строго убывающей величиной. При Nfp = 6, 7, 8 фрактальная размерность кластеров близка к размерности безрешеточных ансамблей. Случай Nfp = 5 является переходным. При Nfp > 5 наблюдается критическое поведение, при этом, по-видимому, получающиеся объекты относятся к одному классу универсальности. При Nfp < 5 фрактальная размерность, по-видимому, стремится к своему предельному значению 3/2 при N —> оо. Данные выводы также подтверждаются сравнением кластеров с использованием зависимости плотности частиц от угла Р (ф) и производных от нее величин.

Дальнейшие исследования по данной теме с использованием разработанных методов и средств могу включать:

1. Разработка аналитического описания метода пробных частиц переменного размера.

2. Поиск новых объяснений наличия мультискейлинга.

3. Подробное исследование влияния методов уменьшения шума на свойства кластеров, путем изучения необходимой величины М (параметр уменьшения шума) при которой происходит изменение в свойствах.

4. Совместное использование анизотропных правил прилипания частиц и стандартных правил в разной пропорции. Изучение свойств кластеров в зависимости от ее величины.

5. Поиск средств и методов вычисления минимальной вероятности роста. Публикации автора по теме диссертации.

1. A.Yu. Mcnshutin, L.N. Shchur, Test of multiscaling in DLA model using an off-lattice killing-free algorithm, Phys. Rev. E 73 (2006) 11 407.

2. A.Yu. Menshutin, L.N. Shchur, V.M. Vinokur, Probing surface characteristics of diffusion-limited-aggregation clusters with particles of variable size, Phys. Rev. E 75 (2007) 10 401 ®.

3. A.Yu. Menshutin, L.N. Shchur, V.M. Vinokur, Finite size effect of harmonic measure estimation in a DLA model: Variable size of probe particles, Physica A, 387 (2008) 6299.

Заключение

.