Некоторые численные методы для задач микромагнетизма

I. Исследования распределения намагниченности в ферромагнетиках всегда представляли большой теоретический интерес. Начало нового этапа в этой области теоретической физики связывают с работой А. Бобека[1] (1967 год), который показал, что подвижные цилиндрические домены (ЦМД) обладают большими потенциальными возможностями для создания на их основе систем памяти в устройствах хранения и обработки информации, в том числе и для нового поколения ЭВМ.

ЦМД представляют собой малые цилиндрические объемы в ферромагнитной пленке, в которых намагниченность направлена противоположно намагниченности в пленке (РисЛа, б). Принцип работы ЦМД-устройств заключается в том, что ЦМД можно легко продвигать в любом направлении по пленке, в которой они содержатся, с помощью управляющих магнитных полей. ЦМД представляют собой биты информации, которые можно вводить в информационные регистры, а также подводить и отводить от устройств записи и считывания информации. Таким образом ЦМД-устройства представляют собой немеханическую память, способную конкурировать со стандартными запоминающими устройствами (ЗУ). Как правило ЗУ на ЦМД не рассматриваются как конкуренты полупроводниковых устройств памяти применяемых в центральном процессоре ЭВМ, так как обладают большим временем доступа.

ЦМД-устройства обычно классифицируют по способу хранения ин-формации[2]. Одна из возможностей состоит в том, что бит информации изображается наличием или отсутствием ЦМД. В этом случае требуется, чтобы ЦМД располагались достаточно далеко друг от другаобычно на расстоянии, равном четырем радиусам домена, — чтобы исключить взаимодействие между ними. Такого рода устройства устройства на изолированных ЦМД" - дошли до стадии технического применения. Работы по их созданию стимулировали развитие исследований по физике доменных стенок, в частности по нелинейному движению доменной стенки с целью определения ограничений, налагаемых параметрами материала на быстродействие устройств. Другой способ хранения информации основан на том, что для её кодирования применяются ЦМД разного типа. Такой подход позволяет располагать ¦ домены ближе друг к другу и обеспечивает в конечном счете более высокую плотность записи и более низкую стоимость устройств. Подобные устройства называют «устройствами на решетках ЦМД» и они находятся на стадии исследований. Для кодирования информации используется также наличие сложной внутренней структуры доменной стенки ЦМД. Работа над созданием таких устройств явились стимулом для исследования структуры стенок статических ЦМД и динамических свойств, позволяющих различать ЦМД с разной структурой стенки.

С 1967 года за 10−15 лет произошло беспрецендентное наращивание усилий и капиталовложений в области разработки и создания ЦМД-устройств. Исследования начались в лабораториях многих стран, резко возросло число публикаций по этой тематике, регулярно стали проводиться конференции по физике и технологии тонких ферромагнитных пленок.

Созданием ЗУ на ЦМД занимаются в настоящее время десятки фирм в США, Японии, ФРГ, Нидерландах и других странах. Уже изготовлены образцы запоминающихся устройств на ЦМД емкостью 10 Мбит на кристалл с плотностью записи 10 Мбит/см^ и рабочей частотойболее I Мгц [3J* Ожидается, что ЦМД-устройства могут вытеснить даже саше большие дисковые системы емкостью свыше I010 бит. Несмотря на достаточно высокую стоимость этих устройств в настоящее время, в областях, где основную роль играют такие уникаль.

РисЛа. Схематическое изображение ЦМД в пленке* f.

РисЛб. Структура стенки нормального или мягкого ЦМД.

В центре пленки стенка имеет блоховскую структуру, у поверхностей • неелевекую" ные свойства ЦМД-устройств как взаимозаменяемость блоков, сохранение информации при отключенном питании, отсутствие движущихся частей, компактность, механическая прочность и надежность, а стоимостные соображения отходят на второй план — ЗУ на ЦМД — вне конкуренции* К указанным областям прежде всего относятся космическая техника, станки с программным управлением, робототехника, телефония и другие средства связи, где агрессивность внешней среды, радиация, вибрация и механические перегрузки исключают использование электромеханических и других традиционных ЗУ.

2. Для исследования доменных структур в ферромагнетиках удобную математическую модель представляет теория микромагнетизма [4]. н.

Микромагнетизм — зто классическая феноменологическая макроскопическая (несмотря на название) теория. Она не ставит своей целью объяснение природы спонтанной намагниченности, магнитной анизотропии и других эффектов, присущих магнитоупорядоченным веществам. Такое объяснение можно дать только на микроскопическом квантово-механическом уровне [5]. В теории микромагнетизма эти эффекты постулируются и учитываются соответствующим образом записанными выражениями для свободной энергии. Эта теория ставит своей задачей найти, исходя только из выражения свободной энергии и общих уравнений равновесия и движения намагниченности, действительную зависимость намагниченности от координат и времени.

Возможность такой феноменологической теории основывается на том, что в результате обменного взаимодействия направление спина при переходе из некоторого узла решетки в соседний может изменяться лишь на малый угол. Поэтому можно аппроксимировать углы, характеризующие направление спинов, непрерывными функциями координат совершенно аналогично замене индивидуальных атомных масс непрерывной плотностью массы в механике: суммы по узлам решетки заменяютон интегралами по объему. Искомой величиной в теории становится вектор намагниченности компоненты которого меняются в пространстве и времени.

Экспериментально установлено, что вдали от точки Кюри в однородном образце, при не очень сильных внешних полях, величина не зависит от пространственных координат и при данной температуре является постоянной.

Равновесное распределение намагниченности определяется из вариационного принципа: полная свободная энергия, состоящая из различных слагаемых должна быть минимальной.

В микромагнетизме как правило принимаются во внимание следующие виды энергии [4−6].

А.) Обменная энергия является следствием кулоновского взаимодействия между зарядами электронов и квантовомеханического принципа антисимметрии электронных волновых функций. В приближении микромагнетизма она может быть представлена в виде положительно определенной квадратичной формы частных производных от компонент намагниченности по пространственным переменным. В кубических кристаллах квадратичная форма обменной энергии изотропна и плотность этой энергии имеет следующий вид:

14Г"е в A I О+ [W$f.

Константа обменного взаимодействия, А, как правило имеет поряг п док величины I0~o~X0 эрг/см. В настоящее время обменные энергии измеряются не слишком точно и поэтому выражение (В.1) используется и для некубических кристаллов.

Б.) Энергия анизотропии, описывающая взаимодействие между анизотропией кристаллической решетки и намагниченностью. Экспериментально было обнаружено, что кривые намагниченности, измеренные в различных кристаллографических направлениях имеют различный вид. Магнитокристаллическая анизотропия обусловлена магнитным взаимодействием между спиновыми и орбитальными магнитными моментами электронов. Энергия анизотропии обычно раскладывается в ряды по сферическим функциям и в зависимости от симметрии кристалла члены объединяются тем или иным способом. Наиболее употребительны следующие формы записи для плотности энергии анизотропии: для кубического кристалла, а — Mv/v/ + + v/O + К, vf V? I//.

В.2) для гексагонального кристалла.

Ыа = К Л V/ 4- У/) К* (V/ f v/j ^ .

Константы К^ и Ка, являющиеся функциями температуры, в зависимости от материала изменяются в пределах 10^-10^ эрг/см^. Преимущественные направления кристалла, определяемые из (В.2-В.З), называют в ферромагнетизме осями легкого намагничивания. В этих направлениях кристалл может быть намагничен до насыщения при помощи совершения меньшей работы.

В.) Магнитоетатическая энергия, учитывающая нелокальное взаимодействие. В силу теоремы Гельмгольца [7]магнитную индукцию В т можно записать в виде.

Вт. = 4 М + HU.

Для магнитной индукции справедливо уравнение Максвелла ofWB™ = О.

Отсюда следует olw Н* = -^olw М.

Плотность энергии размагничивающего поля Ит можно записать в виде.

Поле Н&trade-. определяется в свою очередь из теории потенциала, при этом необходимо выполнить интегрирование по всему образцу. Присутствие двойного интеграла в выражении для магнитостатической энергии означает, что размагничивающее поле является дальнодейст-вующим и существенно усложняет решение задачи.

Г.) Во внешнем магнитном поле Ы0 намагниченность обладает магнитостатической энергией, плотность которой можно записать в виде — - Но • м .

В.5).

Д.) При изучении процессов, происходящих на малых расстояниях от поверхности, бывает необходимо учитывать поверхностную энергию, плотность которой в первом приближении можно записать в форме.

Ш$ * 4.

В.б) где Е — вектор внешней нормали к поверхности ЭО,, ограничивающей ферромагнитный образец О, — Kg — константа поверхностной анизотропии.

Во многих случаях необходимо также учитывать энергию связи намагниченности с механическими искажениями решетки. Эту энергию, как и энергию магнитных полей, можно разделить на две части: (Е.) Энергию магнитострикционных напряжений Vrnts • (Д.) Энергию взаимодействия намагниченности с напряжениями немагнитного происхождения.

Мы однако в дальнейшем энергии Е и Д рассматривать не будем. Если отсутствуют процессы, связанные со спиновой переориентацией, то с точки зрения микромагнетизма нет никакой разницы между ферромагнетизмом и ферримагнетизмом. Решающим фактором является существование спонтанной намагниченности, то есть вектора, который полностью описывает макроскопическое состояние материала. Кроме того, с точки зрения микроматаетизма не имеет значения, определяется ли намагниченность на атомном уровне полностью параллельными или частично антипараллельными спинами" Поэтому все дальнейшее рассмотрение одинаково хорошо применимо как к ферромагнитным материалам, так и к ферритам и другим магнитным материалам*.

Собирая все члены (B.I-B.6), получим выражение для свободной энергии.

G (M) = J (We* + +^rvt t dГ t J d$ = & Э9,.

2 ^ + «Г. — jf M’Fu — M’H^ck j (Be7) ъо, где dz — элемент объема, ol? — элемент поверхности. Вообще говоря, энергия определяется с точностью до константы, однако для экстремальных задач, которые мы будем изучать, константа не имеет значения и поэтому мы её нигде писать не будем.

Получим необходимое условие равновесия намагниченности, следуя работе [4]. Предположим, что намагниченность испытывает виртуальную вариацию <ГМ, на которую наложено ограничение Ма | а в остальном она является произвольной" Потребуем, чтобы первая вариация функционала G обратилась в нуль. Конкретно, положим vt 7 vi0 +, ^ = Чг0 + егг, — (i — v/-. v/)^ и потребуем, чтобы и vie имели такие значения, что dQ/oig обращается в нуль при Vi — V? 0, Vx — V20 «при произвольных функциях и (ос3у, г), н) ,.

Без такой точной формулировки этого принципа можно обойтись, если нас интересует только равновесие, а не условие устойчивоститогда проще разложить вариацию <�Г (т по SН, ограничившись первым членом разложения, и потребовать затем, чтобы обращалась в нуль при любой вариации <ГМ, ограниченной условием М • = 0.

Приведем один из методов наложения этого ограничения. Можно принять —.

JM = <Г0 х И где? 9 — произвольный малый вектор. Таким образом мы описываем поворот |Ч на малый угол вокруг оси, направленной вдоль. Затем в выражении для SGследует положить равными нулю коэффициенты у составляющих <Г0, перпендикулярных вектору И • Этот способ приводит к уравнению равновесия момента сил — векторному уравнению, эквивалентному двум скалярным.

При вычислении вариации члены, соответствующие объемной и поверхностной анизотропии не требуют специальных приемов. Вариация магнитного члена может быть представлена в виде, содержащем только сГМ (см. Приложение I). Вариация обменной энергии будет содержать величины вида <5V V = 7&Vчтобы избавиться от них проведем трехмерное интегрирование по частям для компонент.

-(Л,)**}* - ял! <М* эа, ?

В. 8) где i = i, Я, 3 .

Таким образом мы представим Л в виде суммы объемного и поверхностного интегралов, каждый из которых не содержит других вариаций кроме.

ГМ Hg. = Н$ (<$V3 к).

Вариация функционала полной свободной энергии будет иметь вид.

TG = f (714)f (vvi) t + <Г7 — ^(МчГНт + НтчГМ) — Ho-JM}dt «j Kg (Z-v)(fi-SV) eld .

Используя преобразование (В"8) и магнитостатическую теорему 3 (см* Приложение I) получим.

ГС = - Май Y*v «fe й».

J [^Ц + сГ7 оЫ ,.

Л (в. 9) где Н — Но + Нщполное магнитное поле, сумма полей, вызванных внешними источниками и магнитными полюсами внутри и на поверхности образца. Выражение (В.9) может быть представлено в форме.

JTG = - J р. 67 Jt — JSv ds si ш (в-«).

Далее положим <Г7 =" <Г 0 * v, где 0 — вектор малого поворота. х.

Это обеспечивает выполнение условия v — { или V-&V — 0 «.

Тогда выражение (B.I0) запишется следующим образом:

SG~?)S94z — J (vxPB)fed$t a ftS.

В равновесии должна обращаться в нуль при произвольном. Поэтому /* Р-0 в каждой точке объема Q, а Vx Р5 — 0 в каждой точке поверхности Э&- • Хотя каждое из приведенных векторных уравнений эквивалентно трем скалярным уравнениям в координатах, эти три уравнения не являются независимыми, поскольку данные векторные уравнения накладывают ограничения только на составляющие, перпендикулярные v • В развернутом виде эти уравнения запишутся в следующей форме.

7* [ZA {vv) — ||Г" + М^К] = 0 в объеме Q ,.

—, 0 на поверхности ,.

В.И) где магнитное поле записано в форме.

И* Н0 — в объеме Q.

B.I2) «Н о «» v °Р вне объема Я, а потенциалы Ф и ЯР удовлетворяют уравнениям.

ИФ — 4sr (vv) в объеме Q ,.

В.13) /.

7 ф = 0 вне объема <2, и условиям на поверхности дЯ< ф — ф' = 0, Уравнения (B.II-B.14) вместе с требованием регулярности на m' бесконечности для Я' представляют собой полную формулировку задачи о равновесии вектора намагниченности.

Проблема устойчивости является значительно более сложной. Если устойчивым называть решение, которое доставляет локальный минимум функционалу энергии, то коэффициент разложения полной ва-% риации при 6 должен быть положительным при произвольных и и V, не обращающихся везде в нуль.

Выражение $ & в общем случае не является знакоопределенным и практически задача проверки условия SZG > 0 не поддается решению.

•Качественное объяснение поведения намагниченности будет заключаться в следующем [4]. Обменные силы стремятся сориентировать соседние спины параллельно друг к другу, но они не действуют на больших расстояниях. Дополнительная энергия, обусловленная неоднородным распределением намагниченности, зависит только от малых углов между соседними спинами и не «чувствует» того, что эти малые углы, складываясь приводят к инверсии намагниченности в образце. Магнитостатические силы малы по сравнению с обменными, но они становятся существенными на больших расстоянияхследовательно эти силы не могут значительно нарушать однородности на малых расстояниях, но в достаточно большом образце приведут к установлению неоднородного распределения. На первый взгляд кажется, что существует аналогия с гидродинамическим течением без источников, однако такое поведение намагниченности может реализоваться только при равной нулю энергии анизотропии. В противном случае силы анизотропии, которые оказывают предпочтение определенным направлениям намагничивания, приведут к тому, что области, в которых намагниченность близка к этим направлениям, будут расширяться, а области, намагниченные в других направлениях, будут сокращаться. В результате действия этого механизма устанавливается некоторое равновесное распределение.

Сделать приведенные рассуждения количественными и полнымиодна из центральных проблем микромагнетизмадо сих пор эта проблема не нашла удовлетворительного решения.

Основными математическими трудностями, возникающими при решении этой задачи, являются нелинейность ограничения =¦ const, а также наличие нелокального самосогласованного размагничивающего поля.

3. Начало микромагнитного подхода к теории ферромагнетизма положила работа Ландау-Лифшица [8], в которой впервые был сформулирован принцип минимизации свободной энергии как путь отыскания равновесного распределения намагниченности. Важные вклады в эту область теории, которая впоследствии получила название микромагнетизма, были внесены Киттелем [9], который учел влияние формы образца и магнитной анизотропии на магнитный резонанс, Кондорским [10-И], разработавшим теорию однодоменных частиц, Херрингом и.

Киттелем [12], создавшим макроскопическую теорию спиновых волн, Уокером [I3], который создал теорию неоднородных колебаний намагниченности, а также Брауном [ 4], [l4-I6], который сформулировал общие принципы и записал основные уравнения в статическом случае.

В настоящей работе предлагаются и исследуются численные методы, которые можно применять для расчета распределений намагниченности в любых магнитоупорядоченных средах. Однако возможности используемых в настоящее время ЭВМ (быстродействие и память) делают наиболее подходящими для расчетов структурами двумерные доменные стенки в ферромагнетиках. В связи с этим в кратком обзоре мы остановимся лишь на работах, посвященных исследованию распределений намагниченности в доменных стенках.

Идея, заключающаяся в том, что магнитные явления существенным образом зависит от свойств переходного слоя между соседними доменами, и что этот слой обладает, подобно границе между двумя жидкостями, определенной энергией, принадлежит Лангмюру t.17]* Первые исследования доменной стенки были проведены Блохом [18]. В этой стенке вращение намагниченности происходит поперек стенки в плоскости, перпендикулярной нормали к доменной стенке (см. рис. 2а). В дальнейшем, такая стенка получила название стенки Блоха. Неель [19] первый указал, что при определенных условиях может реализовываться другая структура стенки, когда вектор намагниченности поворачивается в плоскости, перпендикулярной направлению стенки. Такая стенка получила название стенки Нееля. (см.рис*26).

Большинство современных работ по расчету доменных стенок основано на вышеупомянутой работе Ландау-Лифшица, которая является по существу строгим решением трехмерной задачи об изолированной доменной границе в бесконечнопротяженном ферромагнитном образце. Эти расчеты обобщил Широбоков [20]. Он наложил граничные условия.

Рис.2а. Елоховская стенка. Вращение вектора намагниченности происходит в плоскости ZOy ,.

Рис. 26. Неелевская стенка. Вращение вектора намагниченности происходит в плоскости Х02 • на конечных расстояниях, а не на бесконечности. Им были получены решения, которые выразились через эллиптические функции. Учет членов более высокого порядка в энергии анизотропии для одноосных кристаллов исследовался в работах Лифшица [21], Нееля [22]. Влияние внешнего поля рассматривалось в работе [2з]" Доменные стенки в кубических кристаллах изучались в работе Лилли [24].

Если сделать один из размеров кристалла порядка условной длины (S =r (А / то получим кристалл, называемый тонкой ферромагнитной пленкой. Понятие тонкой ферромагнитной пленки зависит от материалав то время как кристалл кобальта и железа толщиной 1 мкм в микромагнетизме можно рассматривать как массивный образец, слой пермаллоя (80% А/I, 20% Fe) такой же толщвны считается тонкой пленкой. В дальнейшем нас будут интересовать тонкие ферромагнитные пленки с одноосной анизотропией, перпендикулярной плоскости пленки, а также когда ось легкого намагничивания лежит в плоскости пленки.

При расчете структуры доменных стенок в тонких пленках нельзя пренебрегать магнитостатической энергией, так как поля рассеяния играют существенную роль в формировании доменной структуры и структуры стенок. Однако точное аналитическое решение двумерной, а тем более трехмерной задачи представляется делом крайне сложным и обычно используется следующий метод. Исходя из физических соображений указывается качественный вид функций, описывающих стенку — модель стенки. Образовав из подходящих функций линейную или нелинейную комбинацию с параметрами — обобщенными координатами М [J-iAx^. ^-п), подставляют её в функционал свободной энергии и получают задачу минимизации функции п, переменных. Подозрительными на минимум точками являются решения системы.

Этот метод в физической литературе называется методом Ритца, хотя классический метод Ритца, приводимый в математической литературе 125−27], существенно отличается от вышеописанной процедуры. Метод Ритца обычно связывают с решением экстремальных задач в аппроксимирующих конечномерных пространствах. При построении же моделей вопросы базисности используемых функций и сходимости решений не рассматриваются и в результате довольно трудно судить о «правдоподобности» той или иной модели.

Одну из первых моделей для расчета полей рассеяния предложил Неель 119]. Он считал, что поля рассеяния создаются эллиптическим цилиндром (поля которого легко рассчитать) с размерами равными толщине стенки и толщине пленки соответственно. Другие одномерные модели стенок Блоха и Нееля, для которых можно вычислить размагничивающее поле предложили Дитце и Томас [28]• Фельдкеллер и Фукс [29], основываясь на экспериментальных данных, предложили модель неелевской стенки, состоящей из центрального ядра и протяженного ответвления :. Однако одномерные модели не могли дать удовлетворительного описания поведения вектора намагниченности в доменных стенках".

Для блоховских стенок в слабоанизотропных ферромагнитных пленках было выдвинуто предположение, что достижение минимальных энергий связано с ассиметричной вихревой структурой стенки. Одну из первых моделей такого типа предложил Аарони [30]. В 1969 году Ла Бонте [31] и Хуберт [32] независимо друг от друга и почти одновременно получили вихревую несимметричную структуру. Хубертом была построена модель стенки, в которой постулировалось отсутствие магнитостатической энергии. Ла Бонте применял итерационный численный метод, который более подробно описан в гл.З. Оба расчета дали близкие значения полной энергии стенки. Во многих экспериментальных работах были получены косвенные данные, подтверждающие модель Ла Бонте и Хуберта [33−37]. В дальнейшем с помощью моделей зависимость этой структуры от параметров пленки и внешних полей изучалась в работах Аарони [38−40], Якубовича [41−42], Семенова |4з~44] •.

Открытие и практическое использование ЦМД стимулировали многочисленные теоретические исследования доменных границ в материалах с анизотропией, перпендикулярной плоскости пленки.

Влияние размагничивающих полей соседних доменой на структуру стенки исследовалось в работах [45−52]" Было получено модельное дифференциальное уравнение, которое описывает поведение вектора намагниченности в центре доменной стенки. Наиболее точные расчеты скрученности доменных границ в рамках этого приближения были проведены Хубертом [52]. Прямое экспериментальное подтверждение существования скрученной доменной границы было получено недавно с помощью высоковольтной просвечивающей лоренцевой микроскопии [53].

При переходе от одномерной модели структуры стенки к двух-или трех-мерным число возможных структур значительно увеличивается. Для объяснения сложного динамического поведения ЦМД были предложены структуры стенок, содержащие вертикальные и горизонтальные линии Блоха и блоховские точки. При этом классификация ЦМД стала напоминать классификацию элементарных частиц [2]".

Вертикальные блоховские линии соединяют два участка стенки Блоха с различными полярностями. Считают, что скопления большого числа вертикальных блоховских линий ответственны за аномальные свойства «жестких» ЦМД. Горизонтальные линии Блоха представляют собой переходные области между различными типами скрученности доменной границы. Точки Блоха разделяют два участка линии Блоха с противоположной полярностью. При этом топология соседних областей и условие (Ml в с01>ь?к требуют наличия особенности. Определяющим свойством точки Блоха является то, что на сфере бесконечно малого радиуса с центром в точке Блоха можно найти все возможные направления вектора намагниченности [54−55]. Считают, что блоховские точки являются посредниками при переходах между различными структурами доменных стенок в ЦМД-материалах.

Обширная литература посвящена динамике ЦМД. Однако, в связи с тем, что настоящая работа посвящена статической микромагнитной задаче (см. Гл.1, § 1), мы эти работы рассматривать не будем.

4-. До настоящего времени было предпринято немного попыток численного решения микромагнитной задачи с учетом магнитостати-ческого взаимодействия. В работе Браун и Ла Бонте моделировали нелокальное размагничивающее поле одномерной блоховской стенки с помощью плоскопараллельных слоев с однородной намагниченностью. Даже для одномерного случая учет магнитостатической энергии привел к новым результатам. В работе 1966 года [57](см. в [6]стр# 166) Ла Бонте моделировал непрерывное двумерное распределение с помощью кусочно-постоянных функций на квадратных призмах, однако налагал на структуру стенки условие симметрии. В работе [58], отказавшись от условия симметрии, Ла Бонте получил вихревое асимметричное распределение намагниченности в доменной стенке для пермал-лоевых пленок.

Интересно отметить, что впервые моделировал нелокальное взаимодействие в ферромагнетиках Ж. Эвинг ((1855−1935) в книге[5]). Он размещал крошечные магнитики в правильном геометрическом порядке так, чтобы они могли свободно вращаться и составлял разнообразные магнитные конфигурации.

Если с помощью пружин или других связей моделировать обменное взаимодействие и анизотропию среды, то развивая идею Эвинга, можно построить аналоговое устройство для решения микромагнитных задач*.

В дальнейшем аппроксимация с помощью кусочно-постоянных функций применяется в работах Шира [59−62]¦ Для нахождения стационарного распределения применяется уравнение движения намагниченности — уравнение Ландау-Лифшица-Гильберта.

J* - ir. fi" *- й (Мй-н)), где у о — гиромагнитное отношение, Л- - коэффициент затухания, Н — эффективное поле, которое имеет вид.

И =2Av*v — Ы* + + И.

Э- • • И* 4 1 «о .

V/.

В работах [59−61]Шир исследовал влияние на двумерную структуру скрученной стенки доменной в ЦМД-материалах имплантированного поверхностного слоя, а также влияние внешнего магнитного поля, приложенного в плоскости пленки.

Делла Торре и Блэйк [63]применяли данный метод для исследования коллапса ЦМД типа $ = i. Стенка ЦМД разбивалась на цилиндрические кольца, в которых намагниченность ведет себя инвариантно относительно поворота вокруг оси, проходящей через центр домена: M (r^,-2) = TU)-HU, 0, Z) = ?U)'Me, const ?

Т (Л «.

COS d — St-Vb Si-rt Л COS о о r, Л., 2 — цилиндрические координаты. Оказывается, что для ЦМД типа? — 1 трехмерную задачу можно свести к двумерной и оптимизировать процесс вычисления Н^ с помощью размагничивающих матриц. 65].

Реализация методов, описанных в работах [57-бб], тесно связана с задачей оптимизации ресурсов ЭВМ. Основной проблемой является вычисление размагничивающего поля: оно занимает 90% времени центрального процессора и квадратично зависит от параметров двумерной сетки (teг — 0 (югг* п2)),.

5. Диссертация посвящена разработке и обоснованию эффектив- ' ных проекционно-разностных методов для уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта, позволяющих учитывать магнитостатическое взаимодействие, а также численному исследованию структуры доменных стенок в тонких ферромагнитных пленках. Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе исследуются вопросы существования решения для статической микромагнитной задачи, а также предлагаются численные методы для нахождения приближенных решений.

В параграфе 2 доказана теорема существования обобщенного решения для статической задачи микромагнетизма в случае одноосной анизотропии. Показано, что функционал свободной энергии порождает гильбертово пространство и билинейную форму, которая является скалярным произведением в этом пространстве. Доказано, что энергетическое пространство эквивалентно пространству K4Q).

В параграфе 2 изучается вопрос об аппроксимации решений микромагнитной задачи в конечномерных пространствах с помощью метода Ритца. Доказано, что последовательность Ритца существует и является минимизирующей для статической задачи микромагнетизма.

Для нахождения конечномерных решений вариационной задачи используется метод установления, основанный на численном интегрировании уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта.

В параграфе 4 предлагаются алгоритмы для нахождения приближенных решений задач микромагнетизма. В методах I и Ш используется сеточная аппроксимация искомого решения. Метод П основан на аппроксимации решения лагранжевыми конечными элементами второго порядка с исключенным внутренним узлом. Тестовые расчеты показали, что лучшими вычислительными свойствами обладает метод Ш (0(тг*ъ))$ использующий марш-алгоритм для нахождения потенциала размагничивающего поля.

В параграфе 5 к уравнению Ландау-Лифшица-Гильберта применяется метод Галеркина. Предложена проекционно-разностная схема, в основе которой лежит уравнение движения намагниченности в слабой форме. Эта схема имеет следующие преимущества по сравнению с ранее описанными методами: найденное решение принадлежит подпространству энергетического пространства (конформность метода), требуется меньшая гладкость для решения задачи. Предложенную схему можно применять как для статических, так и для динамических задач микромагнетизма.

Во второй главе диссертации исследуется поведение структуры доменных стенок в ЦМД-материалах.

В настоящее время на основе большого числа косвенных данных и некоторых прямых наблюдений известно качественное поведение намагниченности в доменной границе в ЦМД-материалах. Теоретическое описание структуры доменной границы опирается на модельные уравнения и простые двумерные модели (§ I). Есть основания предполагать, что эти методы не слишком точно описывают поведение намагниченности в доменной стенке. В параграфе 2 численно найдены структуры доменных границ для параметров (Я и Р — характерных для ЦМД-мате-риалов (d = 1.5, 3, 5, 7- D = I, 2, 3, 4, 5, 6). Вводятся величины, описывающие структуру доменной стенки и изучается их поведение в зависимости от параметров Q. и 3> .

Для описания азимутального угла У вектора намагниченности обычно используется теория скрученной доменной границы Слончевс-кого [2,45], однако как показывают расчеты методом установления (§ 3), решение самосогласованной задачи может значительно отличаться от решения уравнения Слончевского" Кроме того, в параграi фе 3 приводятся результаты расчетов структуры доменной границы, содержащей горизонтальную % 5 Г — блоховскую линию.

Третья глава посвящена численному исследованию доменных стенок в слабоанизотропных ферромагнитных пленках".

Решение микромагнитной задачи вообще говоря не единственно, о однако для пермаллоевых пленок толщиной D «/ОООА достаточно полно исследована лишь асимметричная вихревая структура Ла Бонте-Хуберта. Метод установления применялся для поиска новых структур доменных стенок. Из различных начальных распределений получены три типа структур стенок: вихревая асимметричная (Ла Бонте-Хуберт (§ 2)), вихревая симметричная (§ 2), вихревая симметричная с особенностью типа блоховской линии в центре стенки (§ 3). Симметричная вихревая стенка с особенностью рассмотрена впервые.

Основными результатами диссертации являются:

1. Разработка эффективных проекционно-разностных методов для уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта.

2. Численное решение ряда актуальных задач теории микромагнетизма.

Основные результаты диссертации доложены на ХУ1 Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений (г.Тула, 1983 г.), на У Конференции молодых ученых факультета ВМиК МГУ, на семинаре академика А. А. Самарского на факультете ВМиК МГУ, на семинаре профессора А. Г. Свешникова на физическом факультете МГУ, на семинаре д.ф.м.н. Б. Н. Филиппова в Институте физики металлов УНЦ АН СССР в г. Свердловске.

По результатам проведенных исследований опубликованы и направлены в печать следующие работы:

1. Антонов Л. И., Осипов С. Г., Хапаев М. М. Расчет доменной стенки методом установления. — ФММ, 1983, т.55, вып.5, с.917−922.

2. Осипов С. Г. Расчет доменной стенки модифицированным методом конечных элементов. — Вестн. Моск. ун-та, сер.15, Вычислительная математика и кибернетика, 1983, № 4, с.33−37.

3. Осипов С. Г. О решении статической задачи микромагнетизма.-Деп. ВИНИТИ АН СССР, № 330−84.

4. Антонов Л. И., Осипов С. Г., Хапаев М. М. Численное исследование структуры доменных стенок в ЦМД материалах. — ФММ, 1984, т.57, вып.5, с.892−897.

5. Осипов С. Г. О структуре доменных стенок в слабоанизотропных ферромагнитных пленках. (в печати).

6. Осипов С. Г. К теории скрученной доменной границы,^в печати).

7. Антонов Л. И., Осипов С. Г., Хапаев М. М. ХУ1 Всесоюзная конференция по физике магнитных явлений. Тезисы докладов., 1983,' с. 245.

Автор выражает признательность с.н.с., к.ф.м.н. Е. С. Николаеву за предоставление стандартной программы FP3 11 (марш-алгоритм), а также глубокую благодарность своим научным руководителям проф., д.ф.м.н. Хапаеву М. М. и ст. преп., к.ф.м.н. Антонову Л. И. за предоставление интересной темы, поддержку и постоянное внимание к ра- > боте.

1. 8ofc>eck A. Ptojoeaiu «S otno/ device Ot/a/O? i catCotz. S of KnotowetLc domains in oxtkofei^i tes. — B-elt SugtewiTedL. Jt> v. f>. i$ 0f {$ 25.

2. Малоземов A., Слонзуски Дж. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами. М.: Мир, 1982, 382 с.

3. Балбашов A.M., Рыбак В. И., Червоненкис А. Я. Состояние разработок по ЦМД материалам. Зарубежная электронная техника, 1982, № 6−7, 143 с.

4. Браун У. Ф. Микромагнетизм. М.: Наука, 1979, 160 с.

5. Маттис Д. Теория магнетизма. М.: Мир, 1967, 407 с.

6. Хуберт А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах. М.: Мир, 1977, 306 с.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1978, 832 с.

8. Landau L., Llfsklt? В. On the theoty of dispeisCon of nxaanetic joet^eotloL^cty in fetiomapnetic boo/iejt-Phy4.es. ete*^ SV, /ffSf9 к В, p. /53 469.

9. Киттель К. Объяснение аномалии ларморовых частот в опытах по ферромагнитному резонансу. в сб. Ферромагнитный резонанс. М.: ИЛ, 1952, 349 с.

10. Кондорский Е. И. Однодоменная структура в ферромагнетиках и магнитные свойства мелкодисперсных веществ. ДАН СССР, 1950, т.70, с.215−218.

11. Кондорский Е. И. К. теории однодоменных частиц. ДАН СССР, 1952, т.82, с.365−368.

12. Не Kti/fceR С. Ovl t,|ae «tlocoty of SjQc/1 ZlrOLl&S t/ь jz**AVAaqn*tiL medial, pkyS. Rev., I/. ii, с.863~&-&-°.

13. Уокер JI. Магнитостатические типы прецессии при ферромагнитном резонансе. в сб. Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. М.: ИЛ, 1961, 634 с.

14. Вtown W’F, Theoty of tine ир/очodtk to ^гек^мЬСе.atw4atloia, Phys. Re*, v. 5 Ъ} а/?у p.

15. Btowia W. F. Riyoxous ujoptoDLck to the theoig of ftttomottle т'^ъоьЫчсЬыъе. J, fippt Pkyfi., tf.29,УЗ, p, 3/3−3³.

16. Btowa W. F, HajjnetodctUc in /ettowa^c'sw, AmtUtd***: btoith-Holland № 2 p.

17. Sixtus X., Tonics L. Propagation of Еолде Boizkhotusen discontl^ulties. Pkfi. Rw, 4931, v, 3?, p. 9SO- $ 5'8.

18. B^ck F. 2ut theoiie tiles аи$Ыи$скргоЬ?ем# Unolte*v"* run-? etscheLnuny det fettornaffneiCca t 2st Phy$t) /932, v.?V /о. 205″ 19. //eel L. Enetyie deA patois de 8io&U d.

19. Широбоков М. Я. К теории механизма намагничивания ферромагч.нетиков. ЖЭТФ, 1945, тЛ5, с.57−63.

20. Ltfsklia ?. Он the magnetic s>tiuctu>LQ of Съол, -1 РКje. USSR, * /0. 33? 359,.

21. Неель Л. Некоторые свойства границ ферромагнитных областей. в сб. Физика ферромагнитных областей. М.: ИЛ, 1951, 194 с.

22. Кас^еч X, Ge^ipetU R. The tatoition of &-Роск ю-о.

23. Lilley В. Enemies ccnol wicltlis of olombin. Ьои.пЛал.1е.й in. fmomajfte^, — РШ.Млд., /9S0}v, M7A/3ft)p?$Z-8i3.

24. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983, 424 с.

25. La Вonte A, TltrO oilmenSiona? $ Pock — type darnoLivt lira, tigin^{егготаontUc,} СГ. App^. /969,л/6, p. Ы50.

26. Марчук Г. И., Агошков В. И.

Введение

в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981, 416 с.

27. Dietsе Н., Tkovnas* Н. 6 $otk u-иоI А/вг2 ztranol in oiunnen (jenomoLfjne. Ugcken sckickU*. Zs. Pkjaf., v. /63, p. 523 — 584.

28. Fetoltkeltei E., Fucks E, 2uut wrOt-nolztiuctu'U in ciuvtntvb m. a^Kutcs'ckea schickten, 2&t otHCj€urK PhyS., 963, v. /8, Л//, /к.

29. Akatoni Two divne visional mooted fat a domain иг<�МчЯ Дрр?. P^s., W?, 38, л/*, /о. 3f96 31&9.

30. Hulo^ti A. Sialics алс/ dynamics! of olomaU to-alfs, injэиМъ maW*?s, IhfpL PV*., t9? S, vM, p.4276 — ЯЯ8&-.

31. Nulacti A, Siactj fie 60/ -jtee moL^nctination ccufc-ju^atioviS. — Phyg. Sbi. У. ЗД, p.5<9-S&J<.

32. T.7 НиЬег^ Д. mltactUon of f eia (?motgitei<.colomoiln 'lo-ot^ vsloliks weeing of hlyk VQtbagc boten-bt mietcscopj. Pb^, Stat. So (tp 1970} p, к5*.

33. Hatit KoUen M. DebetirfiLncition of o/omonLvt vb-oM^pio^'iteS in mnot^nttiс j^wg.V.kO, A/Z9 p. Mt'Vff.

34. HotkttsaCC V, utection imoL^eS cf burO-okr*ie*t$cona?olomctLw.

35. Haiitson. С., Ueaisex К, The and^sies of titrO olin^enSternawctu/ce tfy Latent? mlcwscopy, Phys, Sheet. Sot.(a), MS, v.2?} p.63.

36. T5u).

37. Phys.Soz. Japan, /9?*, У6, />.

38. АИалот А. TfcrO dimensional OLpptoocl ma tlota to Bfock КлаМл с*г magrwtie fc2m$. — PW. Mftj., v. 25, л/4, />.991−319.

39. Акачол1 A. Rut? mode!^ot GLSyrnmetiic domotiviW&. Mftfl., л/6, /о.

40. АкччоуЦ /). As^mmetiy n domain u^outis, PhyS, Stat. Sol.(a), 49?2>, v. /S 9 p, 6G<-6G?t.

41. Jakn/oovits Anatlhc ъе presentation of $?ock W&tls in thin fexnomu^mtic. to calculations of ckQ-ntjef °f УуМ stiuctnte, w-ltk Ысъеяйслр ani&otiopy, — Phil. May., V. 30,.

42. Jaku bovics J. Application, of the una ft tie wptesen-tatiovi of Sfoe/г w-alts in thin feltonukprutie fcfas iozbicutotions of changes of ги-ctifa sttuct"te tuitk ilCt€ 4 bin2 dnLScUopy. Phit. May. В, /9?8, V. ZP, p.?6(-??l.

43. Семенов B.C. Аналитическое представление асимметричной доменной стенки Блоха в магнитных пленках. ФММ^ 1981, т.51, вып. З, с.492−499.

44. Семенов B.C. Структура и энергия двумерных стенок Блоха в тонких и толстых магнитных пленках. ФММ, 1981, т.51, вып.6,.

45. Sbkiomotvin E. Poma^rt Vj-cMs, in bulolofe fitmaS. JI^ sialic ptoptiUat of thick Phjff., v, J, J/9 p. mo.

46. Siktomatnn f. Domain. loctUs l^i fc^mj. ffi7 Wittf sbmctuw of stiipc domains. J. /1/э/о^. Ptys., /0?*, к К, A/it, /0.3б$-3?3.

47. Hbcjedoxn F. Di"aaywl& сопчк^ыоп otuituff маупе&с lout clonal* v>M motion, $ Appt. V. bS, fJ?)p. 31*9−3M0:

48. Oe Bonte л/. J. Piopeities of thick wcdCeotmotjiaetic olomouytS cn unldxloU pl.

49. La. Boufce Turo-В&геК-i^pe domotin <969, V. JfP, a/6, p. WO-Ш*.

50. Suiuki Т., ТякаЬлзЬс M. Д stuol^ of ииаЛ' $>{nuctu>te foZЬиЬИе and pixie domain in k.c.p. cobalt singfe wasted folk i He I/ hifh voH&j? LounU e? ect*on mlctoscopy. Japan. J, Apft v. У*7,p./3?/- /3PC.

51. VA Point sin.

52. ГеЕоИке^ег ?. Micao steti^eило/ u/tstetl^eIs. Angew. Phys⁹⁶⁵, V. Дf69 p. 530- 536.

53. Btotvia W. Г., La eoviie A.E. 6tn. uctu%e and entity ofone cfcmens io^a! domaiui <1 n jetiomci^tkivL J. App*. PWyS Ш/, И 36, д/^ Ш0- /386,.

54. L, q &onte А.Б. Thesis, Vbof Ml^ne^ota., /966.

55. Heniy? ft. Dynamics of mienowuxynetic. situctute undet append Ln-fZa/te macjnetit fiWS9 v. SO, htl, р. к^-ЬЪЪ.

56. Ska C.C.j ВЫ<�е T.G.U/. S^wfofcZo* of flexible ii’e ЬиЫаЕегin oleu-Lce enl-itonment, JnAppL PkcfS. y <�№ 1, V. 52, л/3, /о. ЪЦОЧ-2кОЬ.63. Detfa Toile NuLfAttlzOit mictomcn^nitic cctPcufotitonj — IEEE 7W.*. 0″ Mag*., 4973, V. M№ (5. NS} p. 521 — 529,.

57. Def^a Totte H. A vaumen’cci^ moolet foz (Saikhctusen.соеxclv-t'tу. J.Appf. i/.53, /i/З, PI yp, znS-2?2?,.

58. Тогче E., Heyeoius C.J., Ca^at .

59. B^ttkc T.G.IV., Def^ft Тохче E. MictoKv"curette analysis of S =* i magnetic kukbleS i"itk cutlrottlon effects, X Арр*. v. SO, цъ,.

60. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957, 256 с.

61. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980, 520 с.

62. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1978, 352 с.

63. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.:Наука, 1983, 616 с.

64. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: 1978, 591 с.

65. Самарский А. А., Капорин И. Е., Кучеров А. Б., Николаев Е. С. Некоторые современные методы решения сеточных уравнений. -Изв. Вуз (ов), Математика, 1983, т.254, № 7, с.3−12.

66. Rose D.3. Matching a. iflO'iLth.ryis fot elliptic bounolat^ voitiAe piobfemf, J, The constant coefficient case. $ГАМ J. А/цтсг. Anat., (9??} V. 4k, p. ?32 — % 29.

67. Капорин И. Е. Модифицированный марш-алгоритм решения разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике.-в сб. Разностные методы математической физики. М.: МГУ, 1980, с.11−21.

68. Ходенков Г. Е. К теории скрученной доменной границы. ФТТ, 1982, т.24, вып.1, с.134−138.

69. Заки bovi. es J.P. Comments on the a/efimfcioa of jetto-magnetic ги-ьМ ntrCdih, phii. Macj (b),/^^ v. 38, л/h, p. kOiJt06.

70. OX, The inb-egtiflatcon of domain it-aHs in thin, sections of lion fy the electron inteifet&nce rnitkocP.РМ.Мяу, 4969, v. 20, h/MZ) p.89-//Zt.

71. Spbivi R, Jt) Jauviis H. I. Duken F.~I Dot memoty system. A TIPS Conf. Pkoe.} <9?2, КЗ, p. 3W.

72. Васильева Н. П., Малютин В. И. Способ передачи информации в тонких магнитных пленках. А.С. № 347 795 (СССРJ у в бюл. Открытия. Изобретения. Промышленные образцы. Товарные знаки. 1972, № 2, с. 12.

73. BatWf С. Motitfe ft,? tfoxi J. P. Fiat dOmalutpxopaffOttlcn. mech HAS /3,л/5, р. Ш-iSO^,.