Оптимальное управление линейными системами с нерегулярными смешанными ограничениями и определение геометрии оптимальной траектории

Предложен двухэтапный метод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями. На первом этапе решается дискретная задача (системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и несобственные задачи линейного программирования (ЛП)), на основе методов факторного анализа. Далее формулируется гипотеза о геометрии оптимальной траектории, то есть выделяются промежутки времени постоянства множества номеров активных ограничений. На втором этапе сформулированная гипотеза проверяется аналитически с использованием принципа максимума Понтрягина и формализма Дубовицкого-Милютина. Приведен пример использования данной схемы для решения модельной задачи оптимального управления долгом промышленного предприятия. Показана процедура формирования и проверки гипотезы о геометрии оптимальной траектории. Приведены оценки погрешностей численного решения, полученного на первом этапе.

Актуальность темы

.

Исследуемые в диссертации СЛАУ являются несовместными, а задачи ЛП — несобственными. Хорошо известно, что совместность или несовместность линейных моделей, заданных системами уравнений, неравенств или смешанными системами уравнений и неравенств представляют собой фундаментальные свойства, связанные так называемыми теоремами об альтернативах — классической основой теорем существования решений задач оптимизации и возможным инструментом их эффективного численного решения, развитым в работах Бирюкова А. Г., А. И. Голикова, Дикусара В. В., Ю. Г. Евтушенко, Жадана В. Г., Капорина И. Е., Посыпкина М. А., Чекарева Д. А., Умнова Е. А., Умнова Е. Е. и др. Метод штрафных функций и функций Лагранжа является универсальным средством решения экстремальных задач различной природы.

Актуальность исследования несобственных математических объектов была хорошо обозначена И. И. Ереминым, в частности, он указал, что в теории математических моделей и классов задач прослеживается эволюция в сторону ослабления требований, накладываемых на исследуемый математический объект. Возникает последовательность постановок задач: единственность решения и устойчивостьединственность, неустойчивость (некорректность) — неединственность и неустойчивостьнесобственностьнесобственность и плохая формализуемостьгибкое моделирование и т. д.

Несовместная (несобственная) модель не позволяет получить содержательную информацию об исследуемом процессе или явлении непосредственно. Для этой цели требуется исправление модели и ее коррекция. Виды и способы коррекции могут быть различными. Наиболее общая форма коррекции заключается в изменении коэффициентов левых и правых частей соответствующих уравнений и неравенств. Соответствующую коррекцию называют матричной. Систематическое исследование несобственных задач линейного и выпуклого программирования было начато в 70-х гг. прошлого столетия И. И. Ереминым и его учениками. В работах H.H. Астафьева, A.A. Ватоли-на, В. Д. Мазурова, JI. Д. Попова, В. Д. Скарина, С. П. Трофимова, В. Н. Фролова и др. рассматривались несобственные задачи линейного и выпуклого программирования, проводилась классификация, строилась и исследовалась теория двойственности. При этом вводились и исследовались дискретные аппроксимации решений, т.н. комитетные конструкции. Отметим, что в большинстве исследований рассматривалась коррекция по вектору правой части ограничений и коэффициентом вектора целевой функции.

Матричная коррекция впервые была рассмотрена в работах A.A. Ватолина. Исследования A.A. Ватолина были продолжены в ВЦ им. A.A. Дородницына РАН и МПГУ В. А. Гореликом и его учениками: В. А. Кондратьевым, О. В. Муравьевым, P.P. Ибатулиным, Р. В. Печенкиным, В. И. Ерохиным и др. Указанными авторами были уточнены результаты A.A. Ватолина. В методах матричной коррекции остались нерешенными очень многие важные проблемы. Первая проблема связана с неединственностью решения задачи матричной коррекции. Естественно, что в прикладных задачах важна единственность и устойчивость решения скорректированной линейной модели. Следует признать, что систематизированное исследование указанной проблемы и методов их решения в настоящее время не существует. Другой аспект связан с выбором показателя качества матричной коррекции, который диктуется прикладной задачей. Он, например, связан с некоторой статистической гипотезой (Евклидова норма — нормальное распределение ошибок, чебышевская норма — равномерное распределение, октаэдрическое — наличие случайных выбросов). Указанные обстоятельства влияют на методы исследования и решения задач матричной коррекции .

Цель и задачи исследования

.

Основная цель исследования состоит в разработке и обосновании методики решения линейных (параметрических) задач оптимального управления со смешанными ограничениями, в получении достаточных условий оптимальности, а также в получении условий устойчивости и сходимости численного решения задач, полученных с помощью метода дискретной аппроксимации в исходной задаче. Алгоритм состоит в сведении линейных задач ОУ к задачам ЛП в конечномерных пространствах. Одной из причин, нарушающих получение решения, может являться недостаточная точность компьютерных вычислений, так как размерность получаемой задачи ЛП исчисляется тысячами переменных, и алгоритм решаемой задачи может быть неустойчивым. Кроме того, в работе преследуется цель показать эффективность в вычислительном плане предложенной методики решения. Для исследования свойств задач ОУ наряду с исходной задачей рассматривается также и связанная с ней специальная задача ОУ. Эта пара задач ОУ сводится к двойственным задачам ЛП в банаховых пространствах.

В соответствии с целью исследования поставлены следующие задачи:

1. разработка численно-аналитических схем решения линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями, основанных на совместном решении пары задач ОУ, сводимых к двойственным задачам ЛП в банаховых пространствах;

2. анализ и приведение к виду, удобному для использования, достаточных условий экстремума в рассматриваемых задачах;

3. обоснование двухуровневого алгоритма решения исходной линейной (параметрической) задачи оптимального управления, на первом уровне которого строится гипотеза о геометрии оптимальных траекторий, а на втором гипотеза проверяется с использованием принципа максимума;

4. компьютерная реализация предлагаемых подходов и исследование их эффективности при решении задач оптимального управления;

5. исследование способов повышения точности приближенных численных решений задачи ОУ, анализ сходимости и устойчивости дискретной аппроксимации исходной задачи;

Объект исследования.

Объектом исследования является линейная математическая модель обслуживания долга промышленного предприятия в условиях двухсекторной экономики.

Теоретические и методологические основы исследования.

Теоретическую и методологическую основу диссертации составляют труды российских ученых-математиков по методам решения задач ОУ, задач ЛП, методам оптимизации, теории и методов факторного анализа.

Научная новизна исследования.

Модифицированы достаточные условия оптимальности линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями типа равенства и неравенства в случае исключения ограничений типа равенства уменьшением размерности вектора управлений. Разработана методика на базе факторного анализа, позволяющая решать линейные задачи ОУ со смешанными нерегулярными ограничениями. Основа данной методики заключается в использовании дискретной аппроксимации пары задач ОУ с фазовыми и смешанными ограничениями, после которой получается и решается пара конечномерных задач ЛП с использованием методов факторного анализа. Кроме того, на основе разработанной схемы предложено расширить линейную задачу ОУ со смешанными ограничениями введением в коэффициенты задачи параметров. Дано обоснование сходимости численного решения задачи ОУ со смешанными ограничениями к оптимальному.

Практическая значимость.

Модели, методы и алгоритмы, разработанные в исследовании, применялись для решения практических задач оптимального управления в Московском Физико-Техническом институте и в Вычислительном Центре РАН.

Публикации.

Основные результаты исследования отражены в 14 публикациях автора общим объемом 5.3 п.л. и 5-и статьях в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, объемом 2.9 п.л. Результаты в совместных работах принадлежат авторам в равных долях.

Апробация работ.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проекта 10−08−624,11−07−201).

Основные положения исследования докладывались и обсуждались на научных конференциях МФТИ., на международной конференции Computer Algebra Systems in Teaching and Research, 4 International Workshop, CASTR 2007. Siedlce (nOJIbIIIA), Ha научных семинарах в ИСА РАНДЭМИ РАН, ИЛУ РАН, ИПМ РАН, ВЦ РАН.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения четырех глав, приложения и заключения. Основное содержание диссертации изложено на 110 страницах печатного текста. Список использованной литературы составляет 60 наименований.

Основные результаты проведенного диссертационного исследования следующие:

Разработана методика решения линейных задач оптимального управления с нерегулярными смешанными ограничениями. Данная методика позволяет получить численное решение с примением методов факторного анализа, и, при необходимости, проверить его аналитически.

На основе предложенного подхода:

1. На базе схемы Дубовицкого-Мипютина и методов факторного анализа создана методика численного решения линейных параметрических задач ОУ со смешанными ограничениями.

2. разработана система формирования и решения семейства несобственных задач ЛП с различными значениями коэффициентов, позволяющая отслеживать параметры получающихся решений и характеристики процессов решений;

3. построена линейная модель оптимального управления долгом промышленного предприятия, в которой выполнено расширение посредством введения параметров, и на ее основе решена параметрическая задача ОУ;

4. предложен модифицированный метод Якоби для вычисления собственных чисел матрицы наблюдений.

5. проведено исследование устойчивости задач аппроксимации в зависимости от коэффициентов исходной задачи оптимального управления.