Актуальность. Данная диссертационная работа посвящена развитию строгих математических методов решения задач распространения и рассеяния электромагнитных импульсов на различных структурах, в том числе обладающих импедансными поверхностями.
В современной физике и технике широкое применение получили электромагнитные поля, создаваемые импульсными источниками. Наиболее важными областями, в которых используются такие поля, являются термоядерные реакторы, ускорители элементарных частиц, аппаратура, предназначенная для моделирования электромагнитного импульса ядерного взрыва. Кроме того, в последнее время заметен интерес к разработке приборов, предназначенных для генерации сверхкоротких импульсов, которые затем используются в различных физических приложениях. Теоретическое изучение явлений распространения и рассеяния электромагнитных полей импульсных источников на проводящих граничных поверхностях также представляет интерес при проектировании антенных устройств, линий передач, исследовании процессов распространения волн радиои оптического диапазонов, локации искусственных объектов и дистанционного зондирования природных сред, поскольку данные, полученные при дистанционном зондировании с применением импульсных широкополосных сигналов, считаются наиболее информативными.
В ряде работ рассмотрено решение задачи дифракции плоской волны на щели и ленте с идеальными граничными условиями на поверхности [1]. При этом задача сводится к системе парных сингулярных интегральных уравнений (ИУ), либо к интегральному уравнению Фредгольма относительно поверхностных токов (лента) или касательной составляющей электрического поля (раскрыв). В некоторых статьях решение интегральных уравнений строится приближенно с использованием базовой задачи дифракции на идеальной полуплоскости (метод Винера-Хопфа) [2]. Другим распространенным способом решения полученных интегральных уравнений является применение метода Бубнова-Галеркина с чебышевскими функциями в качестве ортогонального базиса. Эти разложения удобны тем, что позволяют учитывать условия на ребрах в каждом слагаемом разложения [3]. Некоторое количество существующих в литературе работ посвящено решению задач дифракции на структурах ленточного типа в свободном пространстве с учетом влияния импеданса. При этом распространенный подход к решению подобных задач заключается в рассмотрении импеданса как малого параметра и построении решения в виде разложения по степеням импеданса. Решение соответствующей задачи с идеально проводящими границами при этом считается известным и является в данном случае опорным [4]. В некоторых статьях рассматривается дифракция электромагнитных импульсов на полосе и цилиндре, где для решения ИУ применяется метод Галеркина, а подынтегральные функции разлагаются в ряд Тейлора [5], а также на металлической полоске и полосковой решетке, где для решения уравнений в пространственных координатах применяется метод Галеркина, а уравнения по времени решаются последовательно с использованием аппроксимационных полиномов Лагранжа [6]. В других статьях рассматривается двухмерная дифракция электромагнитных импульсов на металлическом цилиндре, где применяется метод коллокации, и зависимость от времени аппроксимируется сплайнами и полиномами Лагранжа [7]. Имеются теоретические и экспериментальные работы, связанные со сверхширокополосным зондированием [8, 9].
Математические проблемы, возникающие при описании явлений распространения и рассеяния электромагнитных волн импульсных источников, относятся к наиболее сложным в электромагнитной теории, и их редко удается решить строго. Граничные задачи рассеяния имеют точное решение лишь в случае ограниченного круга простых постановок и требуют применения достаточно сложного математического аппарата. Вследствие этого, для решения большинства практически интересных задач прибегают к приближенным методам, например основанным на принципе Гюйгенса-Френеля с использованием принципа физической оптики Кирхгофа. Кроме того, при исследовании рассеяния электромагнитных волн для простоты решения применяют модель идеально проводящих граничных поверхностей. Однако модель идеально проводящей поверхности в ряде практических приложений может не соответствовать действительности и вносить существенные ошибки в значения физических характеристик изучаемых систем. Это делает актуальным развитие направления в математических методах электромагнитной теории, связанного со строгими подходами решения дифракционных задач, когда учитывается импульсный характер источника, а на рассеивающих поверхностях выполняются приближенные граничные условия, например импедансного типа с произвольным сторонним импедансом. Развитие строгих подходов способствует совершенствованию методов решения задач рассеяния, а введение в рассмотрение импедансных структур хотя и усложняет решение, однако делает рассматриваемую проблему более содержательной, поскольку сторонний импеданс является дополнительным параметром задачи, в зависимости от которого могут изменяться характеристики рассеянного поля.
Для поиска решения таких задач используют аппарат функций Грина, что позволяет представить решение в виде интегралов, либо свести задачу к интегральным уравнениям. При таком, представлении возникает проблема, связанная с тем, что подынтегральная функция может иметь сингулярность в области интегрирования. Эта проблема решается использованием спектрально-частотного представления (Фурье-представления) или спектрально-частотно-временного. При спектрально-частотном представлении Фурье-преобразование применяется для всех координат, в том числе и для временной координаты. Недостатком такого подхода является разложение сигнала на плоские волны, реально не существующие, что в случае импульсного сигнала приводит к необходимости учитывать широкий спектр частот, а также вынуждает осуществить переход в комплексное пространство, результатом чего является комплексное решение. В случае спектрально-частотно-временного представления Фурье-преобразование применяется для пространственных координат, а для временной координаты используется двухпараметрическое вейвлет-преобразование. При этом, в отличие от предыдущего случая, преобразование проводится в вещественном пространстве, а сигнал разлагается по самоподобным импульсам, что дает очень узкий спектр при соответствующем выборе разлагающих функций.
Таким образом, математические методы моделирования импульсных процессов в настоящее время разработаны слабо, и развитие строгих методов решения задач распространения и рассеяния электромагнитных полей импульсных источников является актуальным.
Целью диссертационной работы является развитие строгих математических методов решения задач распространения и рассеяния электромагнитных полей импульсных источников на импедансных объектах цилиндрической формы, на структурах ленточного типа с импедансными граничными условиями вблизи границ раздела с диэлектрическими полупространствами и на диэлектрическом слое для получения выражений характеристик рассеянных полей, пригодных к численному расчету, а также анализ численных результатов и выявление особенностей в происходящих волновых процессах.
Методы исследования. При решении поставленной задачи использовались: теория дифракции электромагнитных волн, теория интегральных уравнений, строгие методы решения интегральных и дифференциальных уравнений.
Положения, выносимые на защиту.
1. Характеристики рассеянного на импедансном цилиндре радиуса Я поля нестационарного источника, создающего импульс формы первой производной функции Гаусса с полушириной помимо спектрального представления допускают — при условии Я/(с-г,.)<8, где с — скорость света в среде — представление с использованием вейвлет-преобразования.
2. Поле нестационарного импульсного источника при прохождении диэлектрического слоя претерпевает множественные переотражения, в результате чего диаграммы коэффициентов прохождения и отражения мощности импульса имеют максимумы и минимумы, зависящие от геометрических и электромагнитных свойств сред распространения поля.
3. Решение для характеристик рассеянных полей в задаче рассеяния поля нестационарного импульсного источника на бесконечно тонкой импедансной ленте представимо системой интегральных уравнений относительно введенных финитных функций, представляющих собой разности касательных составляющих полей в плоскости ленты.
Достоверность первого положения подтверждается применением обратимых интегральных преобразований, логической и математической непротиворечивостью развитого теоретического метода, контролем сходимости полученных интегралов и рядов, сравнением результатов для случаев плоской волны и импульса с монохроматическим заполнением, сравнением результатов расчетов обоими предложенными методами, а также с результатами прямого численного моделирования.
Достоверность второго положения подтверждается применением обратимых интегральных преобразований, выполнением закона сохранения энергии, сравнением с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов [9, 10]), сравнением с результатами прямого численного моделирования.
Достоверность третьего защищаемого положения подтверждается применением метода интегральных уравнений относительно введенных финитных функций, а для решения полученной системы интегральных уравнений метода моментов на основе ортогонального базиса полиномов Чебышева первого и второго рода, учитывающего поведение энергии рассеянного поля вблизи ребер структуры, а также сходимость полученной системы интегральных уравнений в случае монохроматической волны к системе ИУ, ранее описанной в литературе [3], сравнением результатов расчета для случаев рассеяния плоской волны и гауссова импульса с монохроматическим заполнением на идеально проводящей ленте в свободном пространстве, сравнением с результатами прямого численного моделирования.
Научная новизна работы.
Предложено два строгих подхода к решению задачи рассеяния электромагнитной волны линейного импульсного источника на круговом импедансном цилиндре с использованием преобразования Фурье и двухпараметрического вейвлет-преобразования относительно временной координаты. Численные расчеты показали ограничения и преимущества обоих методов.
Предложен строгий подход к решению задачи рассеяния электромагнитного поля импульсного источника диэлектрическим слоем, находящимся между двух диэлектрических полупространств, с использованием преобразования Фурье. В частных случаях определены условия экстремума прохождения энергии импульса через диэлектрический слой.
Предложено обобщение метода интегральных уравнений, ранее построенного для падающей монохроматической волны [3], на случай импульсного источника. Получено строгое решение полученных интегральных уравнений с помощью метода моментов. На основе численных расчетов установлено влияние отношения между полушириной падающего импульса и полушириной ленты на симметрию диаграммы мгновенной мощности рассеянного поля. Рассмотрено влияние толщины слоя, импульсного характера источника и импеданса рассеивающей структуры на характеристики рассеянного поля.
Научная ценность-работы. Развито применение метода преобразования Фурье в задачах рассеяния электромагнитных полей импульсного источника на круговом, цилиндре и на диэлектрическом слое. Для задачи рассеяния на круговом импедансном цилиндре проведено сравнение с методом, использующим вейвлет-преобразование по временной координате.
В задаче рассеяния электромагнитного поля импульсного источника на импедансной ленте развит метод интегральных уравнений, ранее рассмотренный для падающеймонохроматической волны [3], позволяющий получить конечные выражения для характеристик рассеянного поля, пригодные для численного счета. Метод применим для расчета рассеяния импульсов с произвольной формой во времени.
Результаты работы являются основанием для развития теории решения задач рассеяния, интересны в теории локации и дистанционного зондирования.
Практическое значение. Результаты по задаче рассеяния на круговом импедансном цилиндре позволяют рассчитать значения характеристик — рассеянных полей, которые могут использоваться в теории локации.
Обнаруженная зависимость коэффициента прохождения поля импульсного источника через диэлектрический слой по мощности позволяет вычислить соотношение между полушириной импульса и глубиной слоя для эффективного переноса энергии через слой или, наоборот, для эффективного отражения импульса от слоя. Результаты задачи применимы в дистанционном зондировании земной поверхности, геофизических задачах.
Решение задачи рассеяния на импедансной ленте позволяют, например, провести предварительный анализ влияния внешнего импульсного возбуждения на электронные приборы, провести расчет поля микрополосковой линии.
Внедрение результатов работы. Результаты представленной диссертационной работы использовались в учебном процессе на физико-техническом факультете Алтайского государственного университета при выполнении курсовых и дипломных работ студентами специальности «радиофизика и электроника» в 2008/09 учебном году, а также при разработке аппаратуры в ФГУП «БСКБ «Восток».
Публикации. Результаты работы отражены в одиннадцати статьях (четыре из которых опубликованы в рецензируемых журналах из списка ВАК).
Апробация результатов. Результаты работы докладывались на XXI Всероссийской научной конференции «Распространение радиоволн», Йошкар-Ола, 2005 г., XI Международной конференции «Математические методы в электромагнитной теории» (ММЕТ'2006), Харьков, Украина, 2006 г., Международных конференциях «Актуальные проблемы радиофизики» (Томск, 2006 г., 2008 г., 2010 г.), XII Международной конференции «Математические методы в электромагнитной теории» (ММЕТ'2008), Одесса, Украина, 2008 г., Международной конференции «Computational Technologies in Electrical and Electronics Engineering» (IEEE Region 8 Sibircon 2008), Новосибирск, 2008 г.
I. Методы решения задач рассеяния.
1.1.
Постановка краевых задач.
Математическое описание многих физических процессов приводит к дифференциальным и интегральным уравнениям или даже к интегро-дифференциальным уравнениям. Весьма широкий класс физических процессов описывается линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. 11]:
Частным случаем этого уравнения, которое будет использоваться в данной работе при описании явлений распространения электромагнитных волн, является волновое уравнение следующего вида: где символом Е обозначен оператор Даламбера, / - функция источника, а в качестве функции и может выступать одна из компонент электромагнитного поля.
Поставленное дифференциальное уравнение с частными производными имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Чтобы выделить решение, описывающее реальный физический процесс, необходимо, кроме самого уравнения, описывающего этот процесс, задать краевые условия: его начальное состояние (начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс (граничные условия). Соответствующая задача называется краевой задачей с начальными условиями.
1.1).
1.2).
Прежде чем формулировать математические постановки краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, необходимо классифицировать эти уравнения. Рассмотрим квазилинейное (линейное относительно всех старших производных) дифференциальное уравнение второго порядка д2и.
1.3) у=1 ох ¡-ах. с непрерывными коэффициентами а0(х). Исследуем преобразование коэффициентов ау (х) при произвольной неособенной замене независимых переменных >> = у (х), и = = ¿-а.
Э (Х|, Х2,., ХП) 0. Фиксируем точку х0,.
Эу (х) «обозначим у0 = у (х0), аи =, тогда % (у0) = ^ а-. (х0)ана^. Полученная.
Х1 <�•,-=! формула преобразования коэффициентов ау.(х) в точке х0 совпадает с л формулой преобразования коэффициентов квадратичной формы1аи (х0)р1р].
•—=1 л при неособенном линейном преобразовании р1 =^Га1д1,йе1(аи)Ф0. 1.
Существует неособенное преобразование, при котором квадратичная форма принимает следующий канонический вид:
Е /т<�п. (1.4).
1 1=г+1.
Это позволяет классифицировать дифференциальные уравнения вида (1.3) в зависимости от значений, принимаемых коэффициентами (х) в точке х0.
Если в квадратичной форме (1.4) т = л и все слагаемые одного знака (т.е. либо г = т, либо г = 0), то уравнение (1.3) называется уравнением эллиптического типаесли т = п, но имеются слагаемые разных знаков, то уравнение (1.3) — гиперболического типанаконец, если т<�п, то уравнение (1.3) — параболического типа.
В частности, волновое уравнение относится к гиперболическому (или параболическому) типу уравнений, и далее будут рассматриваться только эти два типа уравнений.
Вернемся к постановке задач. В зависимости от задаваемых условий для гиперболического и параболического типа уравнений выделяют два основных типа краевых задач.
Задача Коши. Задаются начальные условия, область С совпадает со всем пространством Я", граничные условия отсутствуют.
Смешанная задача. Задаются и начальные, и граничные условия, Б & Я" .
Опишем подробнее постановку каждой из перечисленных краевых задач. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка д2и р—г = <�Цу (р?тади)-ди + Е (х, 0. (1.5) я описывает процессы колебаний. Пусть С с Я" — область, где происходит процесс, 5 — ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверхностью. Областью задания уравнения (1.5) будем считать цилиндр ЦТ =Сх (0,Т) высоты Т и основанием С. Будем предполагать, что коэффициенты р, р и q уравнения (1.5) не зависят от времени г, далее, в соответствии с их физическим смыслом, будем считать, что р (х)>0, р (х)>0, д (х)>0, хе (3- р^еС^Р), ре С1 ©. При этих предположениях, согласно описанной выше классификации, уравнение колебаний (1.5) — гиперболического типа.
Для уравнения колебаний (1.5) задача Коши ставится следующим образом: найти функцию и (х, 0 класса С2(?>0)ПС'(^0), удовлетворяющую уравнению (1.5) в полупространстве / > 0 и начальным условиям при г = +0:
1=0 = «<>(¦*)• ди э7.
1 (х).
1=0.
1.6).
При этом необходимо, чтобы ^ е СО > 0), и0 е Сял), и, е С (Я").
Смешанная задача для уравнения колебаний (1.5) ставится следующим образом: найти функцию и (х, 0 класса С2(ЦТ)ГС1(ЦТ), удовлетворяющую уравнению (1.5) в цилиндре Цт, начальным условиям (1.6) при? = 0, л-<=си граничному условию: ади оси+р— Эп.
1.7) 5.
При этом должны быть выполнены условия гладкости fgc (^(7.), м0 е с'(с?), их<�ЕС ((}), у — кусочно-непрерывна на 5х[0,Г] и условия согласованности оди0.
Эп.
I, а Эи, Эv г=0.
Для решения задачи Коши описанного дифференциального уравнения можно воспользоваться фундаментальным решением задачи, при котором полное решение находится через свертку фундаментального решения и функции правой части уравнения.
При решении смешанных задач получить аналитическое решение возможно лишь для ограниченного числа простых' постановок. Например, для решения задачи о дифракции для телнескольких простых форм применим простейший метод нахождения поля — метод разделения переменных, сущность которого состоит в том, что решение ищется в виде бесконечной суммы, каждый член которой есть произведение функций, зависящих только от одной координаты. Условием применимости этого метода является существование такой системы координат, в которой, — во-первых, поверхность тела совпадает с какой-либо координатной поверхностью, и, во-вторых, уравнения Максвелла распадаются на несколько обыкновенных дифференциальных уравнений. В ряде случаев, когда неприменим метод разделения переменных, возможно использование разложения по собственным функциям некоторых вспомогательных однородных задач [12].
Многие задачи дифракции, сформулированные в терминах дифференциальных уравнений, при помощи функций Грина удается свести к интегральным уравнениям (ИУ), в которых, например, по полю в диэлектрике, току на металле, полю на отверстии дифракционное поле во всем пространстве выражается уже в явном виде.
В общем случае линейные интегральные уравнения могут быть представлены в виде: г (1−8).
8(х)у (х)-Л1К (х, я) у (з)еЬ = /(х), хе <2, а где K (x, s) — ядро РТУ, /(*) — правая часть уравнения с областью определения Q, Л — параметр уравнения (часто полагаемый равным 1 или -1), y (s) -искомая функция с областью определения О. — переменной (как, например, в случае уравнения Вольтерры) или постоянной (в этом случае уравнение (1.8) есть уравнение Фредгольма). Функции K (x, s), /О), g (x), параметр Л и области Q и О. полагаются заданными, а функция y (s) — искомой. Например, в данной работе, решение задачи рассеяния электромагнитного импульса на ленте сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода следующего вида [13]: f (x), x<= Q. а (1.9).
Достоинством интегральных уравнений является то, что они более легко поддаются численному анализу.
В итоге, можно утверждать, что аналитическое решение описываемых дифференциальных уравнений применимо лишь в ограниченном числе случаев, в которых определены гладкие границы, строго выполняются условия сшивания, поведение функции на границе известно.
Однако к наиболее интересным постановкам краевых задач вышеперечисленные методы поиска аналитического решения неприменимы, либо являются неэффективными. Одной из проблем, присущей краевым задачам, является, собственно, наличие границ и краев, так что искомые поля невозможно записать во всем пространстве, и приходится определять их по подобластям, а затем при решении пользоваться различными условиями сшивания по границам областей существования соответствующих решений. Относительно временной координаты данная проблема выражается в несуществовании решения до определенного момента времени начала, что приводит к разрыву функции решения во временной части, для выполнения принципа причинности приходится строить аналитическое продолжение в область до начала существования.
Определение кусочно-непрерывных краевых условий приводит к необходимости дополнительного задания поведения искомых функций вблизи точек разрыва исходя из физических соображений относительно описываемого явления. В общем случае получаемые решения являются обобщенными функциями, анализ которых также составляет определенную сложность.
Поэтому в большинстве практически интересных случаев описываемые задачи решаются численно. Рассмотрим более подробно наиболее распространенные и применяемые численные методы решения краевых задач.
Основные результаты работы можно кратко сформулировать следующим образом.
1. Развит метод решения задачи рассеяния поля импульсного источника на круговом цилиндре с конечным импедансом поверхности. Показана возможность представления полей как через разложение в ряд по Фурье-гармоникам, так и с применением двухпараметрического вейвлет-преобразования. Написана программа для расчета характеристик рассеянных полей. Численно исследовано влияние импеданса и размера цилиндра на рассеяние поля импульса с временной зависимостью в виде первой производной функции Гаусса.
2. Получены системы интегральных уравнений для задачи рассеяния поля импульсного источника на ленте с импедансными граничными условиями, сформулированные относительно введенных финитных функций. Строгие решения полученных интегральных уравнений определены с применением метода моментов. При помощи созданной программы проведены численные исследования влияния полуширины ленты и глубины диэлектрического слоя на рассеянное поле импульса с временной зависимостью в виде первой производной функции Гаусса.
3. Для задачи рассеяния поля импульсного источника на диэлектрическом слое получены интегральные представления для компонент полей во всех областях пространства. Написана программа расчета характеристик рассеянных полей, и численно исследовано влияние глубины слоя, полуширины импульса и соотношений между значениями диэлектрических проницаемостей сред задачи на коэффициенты отражения и прохождения по мощности.
Заключение
.
