Теория обобщенных аналитических функций имеет глубокие связи со многими разделами анализа, геометрии и механики. Аналитический аппарат этой теории позволяет существенно расширить и углубить исследование ряда задач, имеющих значительный не только теоретический, но и практический интерес. В свою очередь, связь с реальными объектами исследования наполняет эту теорию конкретным содержанием и способствует ее развитию. Это обстоятельство несомненно указывает на важность и актуальность исследований по теории обобщенных аналитических функций.
Теория обобщенных аналитических функций является теорией функций itf = U (ос, у) + LV (ос, у) точки + f удовлетворяющих уравнению Карлемана-Векуа.
9 иок АиУ + ВйГ = 0, Ъ. (1) г г 2Цсс и представляет собой далеко идущее обобщение классической теории аналитических функций от 2 = oc+ly.
Уравнение (I) эквивалентно системе вещественных уравнений aU + Bv=o,.
Эх.
2) cU+dV=0,.
Ъос Э^ являющейся канонической формой равномерно эллиптической системы уравнений более общего вида с достаточно гладкими коэффициентами.
Зх dl Ясс 12 ^ ч (3).
Начало изучения эллиптических систем вида (3) восходит к Пи-кару L 53], высказавшего идею о возможности построения теории функций uCf = U Сх, у)+ IV (ос, у), действительная и мнимая части которых являются решением системы (3), по аналогии с теорией аналитических функций комплексного переменного 2 = ос + I у. Попытка построения такой теории была предпринята Бельтрами [42, 43]. В 1931 году Н. Теодореску L54] (см. также [55]), рассматривая систему (2) в частном случае С = - 6, d=cl (в (1) это соответствует случаю В = О), получил общее представление ее решений через аналитические функции от 2 = ос + I у. Чуть позже Т. Карлеман [50] доказал фундаментальное свойство решений системы (2) — теорему единственности.
Интерес к системе вида (3) снова пояеился в сороковых годах XX в. В работах Л. Берса и А. Гельбарта [47, 48], Г. Н. Положия [35, 36], Б. В. Шабата [41], А. Вейнштейна [56] и др. исследовались различные классы систем вида (3). Характерной чертой для этих исследований является применение различных обобщений понятий производной и интеграла. Таким же способом была построена Л. Бер-сом теория псевдоаналитических функций (см. [44], а также Г45, 46, 49]).
Одновременно и независимо от Л. Берса полная теория функций, удовлетворяющих уравнению (I), ныне именуемая теорией обобщенных аналитических функций, была построена И. Н. Векуа и опубликована в фундаментальной работе [8]. В этой работе получены представления первого и второго рода обобщенных аналитических функций через аналитические функциивводятся ядра уравнения (I), с помощью которых строится обобщенный интеграл типа Коши, выводится обобщенная интегральная формула Кошиполучены разложения обобщенных аналитических функций в обобщенные степенные ряды 1-го родаизучается широкий класс краевых задач для уравнения (I) — указаны применения обобщенных аналитических функций к задачам безмомент-нойтеории оболочек.
Интерес к теории обобщенных аналитических функций и ее приложениям особенно возрос после появления в свет монографии И.Н.Ве-куа [ 93, в которой дано полное изложение многолетних исследований ее автора, а также, некоторых результатов его учеников и последователей (Б.Боярский, В. С. Виноградов, И. И. Данилюк и др.). В этой монографии, в частности, в весьма общей постановке исследованы различные краевые задачи, представляющие естественное обобщение и дальнейшее развитие граничных задач классической теории аналитических функций (см. [31, 17, 14]) — особо следует отметить, что в ней важное место занимают приложения теории обобщенных аналитических функций к теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек. Теория обобщенных аналитических функций находит также важные применения в теории упругости (см., например, 12, 18, 37]), нелинейной теории оболочек [34], теории бесконечно малых изгибаний высшего порядка (см., например, [34, 19, 20]).
Методы работ [8] и [9], представляющие дальнейшее развитие-методов, созданных ранее в исследованиях И. Н. Векуа об эллиптических уравнениях с аналитическими коэффициентами с двумя независимыми переменными [7], оказались весьма плодотворными в дальнейшем развитии теории обобщенных аналитических функций (см., например, 15, 6, .3, 15, 18, 28, 25, 30, 40]).
В теории обобщенных аналитических функций и ее приложениях одно из центральных мест занимают вопросы, связанные с представлением решений уравнения Карлемана-Векуа. в виде функциональных рядов, близких по своей природе к степенным рядам. Представления 1-го и 2-го рода обобщенных аналитических функций позволяют строить обобщенные степенные ряды двух видов: обобщенные степенные ряды 1-го рода — ряды обобщенных рациональных функций и обобщенные степенные ряды 2-го рода — ряды обобщенных степенных функций (по терминологии И.Н.Векуа). Обобщенные степенные ряды 1-го рода подробно изучены И. Н. Векуа [8,, 9] (см. -также [51]). В работах [44] и [45] дается полное исследование рядов формальных степеней (по терминологии Л. Берса). С другой стороны, до последних лет оставалась не разработанной теория обобщенных степенных рядов 2-го родав монографии И. Н. Векуа [9] дается лишь общая характеристика этих рядов и отмечается, что для них «можно, по-видимому, доказать» аналог теоремы Тейлора (см. [9], стр. 210). Отметим здесь же, что, как будет видно из полученных в работе результатов, обобщенные степенные ряды 2-го рода по сравнению с другими известными аналогами степенных рядов наиболее полно сохраняют основные свойства последних. Следует отметить также, что к необходимости исследовать вопрос о разложении обобщенных аналитических функций в обобщенные степенные ряды 2-го рода естественным образом приводит ряд задач теории выпуклых оболочек и теории бесконечно малых изгибаний поверхностей. Ниже всюду обобщенные степенные ряды 2-го рода будем называть просто обобщенными степенными рядами.
В диссертационной работе на основе специальных разложений ядер уравнения Карлемана-Векуа по обобщенным степенным функциям развивается достаточно полная теория обобщенных степенных рядов (второго рода), исследуется характер зависимости от параметра решений уравнений Бельтрами и Карлемана-Векуа с коэффициентами, зависящими от этого параметра, и на основе полученных результатов дается решение ряда задач о равновесии замкнутых выпуклых оболочек.
Работа состоит из четырех глав.
Первая глава носит вспомогательный характер. В ней указаны понятия и факты (в удобной для наших целей форме), систематически используемые в работе. Из этой главы приведем только обозначения и определения, необходимые для изложения некоторых основных результатов диссертации.
Через L р, 2, р >4, обозначается пространство заданных на всей комплексной плоскости (D функций J, для которых конечна норма ^.
Шр, а=СД lJCZ)|Pdcody)VifOHnjrf)|)dccdy)^ г^ц, — п 12К<| mi.
С CG) — пространство непрерывных ограниченных на G с (D функций, IJ J C (G)= Sup C^CG), О < ос ^ 4 , — пространстве во, состоящее из всех функций класса С С G), удовлетворяющих на G условию Гёльдера с показателем ос (класс таких функций прерывные производные до порядка гп включительно, причем обозначим через Н^ CG),)| J || c^CQ) = || J || cCG) + Н (J, ск, G),.
— пространство функций J, имеющих в замкнутой области G не eC^CG), B =.
В p? oo «p> 2 — пространство, состоящее удовлетворяющих условиям: р, оо «cfljoo-o, 6- jeНPj-e с- «9 J, 0. jeLpC®> р производные понимаются в обобщенном смысле), с нормой.
IflBpj00=H (J, ^.(c)HVlLpw'IVIbpwi.
Множество функций, заданных на множестве G с (D и принимающих Л значения в банаховом пространстве X, обозначим через X.
Ниже всюду предполагается, что коэффициенты уравнения Карлемана-Векуа (I) принадлежат пространству L р, 2, р > 2. Функция цУ называется решением уравнения (I) в области О е С, если для каждой точки G-, исключая, быть может, точки некоторого дискретного относительно G множества &-иу, существует окрестность, в которой иГ обладает обобщенной (в смысле С.Л.Соболева) производной по 2 и почти всюду удовлетворяет уравнению (I). Если G" uj=, то иLT называется регулярным решением уравнения (I) в области G-. Множества решений и регулярных решений уравнения (I) в области От обозначим через Ol.*(A, B-G) и Oi (A, BG) .В случаях, когда нет необходимости указать на область, в которой UJ является решением или регулярным решением уравнения (I) будем писать иЗ в Ог,* С А, 8) или uT е Ог. (А, 8) соответственно. Решения (регулярные решения) уравнения (I) называются обобщенными аналитическими функциями класса Ov (А, В) (класса Oi (А, В)).
Через R А’В обозначим оператор, сопоставляющий каждой «Ь аналитической функции Ф и точке «Ь е (D решение уравнения.
А 8.
I) uj (s,-b) = R ' (Ч>)(2), удовлетворяющее условиям: I) функция Ъ иг (2,-Ь) = иг Се,-Ь)/Ч> (Z) — непрерывна в замыкании области аналитичности функции Ф и непрерывно продолжима на (?, причем utf С* ^eCg^s (?) — 2) иХС2>" Ь) не обращается в нуль р ~ ни в одной точке расширенной комплексной плоскости- 3) ur (-Ь,-Ь)=<|. Ядра и обобщенные степенные функции класса Оъ* (А, 8) (уравнения (I)) обозначим через ц, сС=4,2 и UK, к= 0,±1, ±2 соответственно:
U toy^Vw"), и^аад-С^Сг-а^;
2к 20.
A, В,.
Наряду с функциями II мы рассматриваем также обобщенные стеК пенные функции вида.
Ядра и обобщенные степенные функции сопряженного с (I) уравнения.
0 иУАиг'-Вйг=0 (!') обозначим черезО^, о (=Н, 2 и U^, V^, К = 0, ±4, ±2,. .
Во второй главе дается достаточно полное исследование вопросов, связанных с представлением обобщенных аналитических функций в виде обобщенных рядов (2-го рода). Предварительно в § 2.1 устанавливаются некоторые свойства обобщенных степенных функций, а в § 2.2 выводятся некоторые соотношения для ядер уравнения Карлема-на-Векуа, в частности, установлена связь между ядрами различных уравнений определенного вида, получены разложения этих ядер в ряды обобщенных степенных функций, обобщающие известные элементарные разложения ядра Коши. Эти результаты имеют определенный самостоятельный интерес и могут быть применены при исследовании различных свойств обобщенных аналитических функцийна их основе в § 2.3 даны разложения обобщенных аналитических функций в ряды Тейлора и Лорана, доказывается аналог теоремы Голубева-Привалова, установлены необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородной задачи линейного сопряжения для обобщенных аналитических функций, установлены также необходимые и достаточные условия для того, чтобы регулярное на всей плоскости решение неоднородного уравнения Карлемана-Векуа обращалось в нуль на бесконечности с некоторым заданным порядком.
Приведем некоторые основные результаты П главы.
Теорема 2.1. Пусть Г — кусочно-гладкая простая замкнутая кривая, окружающая точку г0 Ф °о. Тогда имеют место равенства г (4).
Rer-JV (г, (2,2o)dg= I K, m, г где I = i (I =~l), если Кит четные (нечетные) и к j m к, т ' f. 2 ]+ [ г3]= ~ ' I К) П1 = 0 во всех остальных случаях.
Теорема 2.2. Для любого натурального числа К имеют место формулы: (?-2o)H (i-Zo)~Hrie G,-к), (56).
2 ф-ь, 2 Ф, (6а).
J (66) (К), л где О, cL = , — ядра уравнения ot.
8W+ Aw + 8KW=0, B = B (2)(2-^)K (2−2o)" k, со. (7).
2 «К.
Теорема 2.3. Ядра уравнения (I) представляются в виде рядов а,(*.*)-£ |ul^bA^^-U^Cbfi^J?^), (8а).
Я^Ч iU-SC"Jb>*°V>%> U2 (86) при I 2−2о | < | -b-2o|, и.
00 *-j- -jafei)=-| S uj-b^u^fea,)-U Ji, msJtA), <<�") при I 2−2o|>|-fc-2o|.
Ряды (8a, 6)((9a, 6)) сходятся абсолютно и равномерно внутри области {(Ч-Ь): |2−2o!R} ({(2,-t): [2−20|> R, | -fc — 2о I < R }) при любом R > 0. В § 2.1 доказываются равенства v' a?)V (i?)-V' ft2) V (гя)>
— 2CK±0 ° 2k ° -2к-Л > °J ак+А 5 о/.
Y2(l.
Теорема 2.6. Если функция иУрегулярное решение уравнения (I) в области G и 20 — произвольная точка G, то в любом круге К ъ С 20) с G эту функцию можно представить в виде суммы сходящихся рядов со.
10(2) =2 a UK (2,2J3 (ioa) к=о К К и оо? 6Л С2'8<0″ (ЛИ) коэффициенты которых определяются по формулам, а = RG —.
2к 23Ть.
1^(2) U' .(2,2o)d2,.
— еск+о 4 а =-Re.
23Ti.
12−2о|=Р.
6 =Re.
UJ (2)v' (% 20) d2,.
2k 2? JTu J.
12).
6 =- Re—- f L0″ C2) V' fe^cte,.
1г-2о1=р где скр<�ъ.
Теорема 2.7. Если функция Ltf — регулярное решение уравнения (I) в кольце Кг R Сго): O^Z< 12−20| < R, то эту функцию можно представить в виде суммы сходящихся в указанном кольце рядов оо.
UJ (2)=Z aKUK (2,2o) (I3a).
К=-оо И оо ш) коэффициенты которых определяются по формулам (II) и (12), соответственно, где R [, а индекс К пробегает значения О, ±4 9± 2,. .
Теорема 2.8. Пусть UJ — регулярное решение уравнения (I) в кольце К «(20), 1 ь О и пусть m (p)= max |lu (z)|, pe]zR[ Тогда коэффициенты лорановских разложений (13а, б) функции uJ удовлетворяют неравенствам (неравенства Коши): l.
14).
I К: 'Л&tradeIs м ¦m <-?>?*> к=0> где М — постоянная, зависящая только от коэффициентов уравнения (I), a j> - произвольное число из интервала ]?/- R [•.
Теорема 2.9. Пусть Ф — суммируемая функция на простой замкнутой спрямляемой кривой Г, ограничивающей конечную одно-связную область G • Для того, чтобы существовала функция из класса Gi (А, ВG-), представимая обобщенным интегралом Ко-ши, угловые граничные значения которой совпадают с ЧЧ?) почти везде на Г, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия.
Im J’PC^VJ К = (15) г.
Представления (8 а, б) и (9 а, б) ядер уравнения Карлемана-Ве-куа являются аналогами известных элементарных разложений ядра Ко-ши. Теоремы 2.6 и 2.7, представляют собой обобщение теорем Тейлора и Лорана. Теорема 2.9 обобщает теорему Голубева-Привалова на обобщенные аналитические функции.
Разложения ядер уравнения Карлемана-Векуа оказываются полезными и при изучении некоторых граничных задач. В качестве примера в п. 4 § 2.3 рассматривается задача линейного сопряжения для обобщенных аналитических функций:
Найти кусочно-регулярное решение уравнения (I) с граничной линией Г, имеющее конечный порядок на бесконечности, по граничному условию ur+Ct) = G (-fc)ur-Ct) + g (-b) на Г, (16) где Г — совокупность конечного числа простых гладких замкнутых кривых, не имеющих общих точек, G и g — заданные функции класса Н ^ (Г), О < с£ ^ А, причем G СЪ) ф О всюду на Г, из" 1″ С-Ь) и UJ~(-b) — граничные значения искомой функции uJ" на Г соответственно слева и справа (относительно выбранного на Г положительного направления).
В приложениях особый интерес представляют решения задачи (16), удовлетворяющие на бесконечности условию.
ЫГ (2)= О С12|-гт>), (17) где m — заданное целое неотрицательное число.
Установлено, что если зе^т—) (ае = [ат.д&(Ъ)]г — индекс задачи (16)), то общее решение задачи (16)-(17) линейно зависит от 2(зе-т+0 произвольных вещественных постоянныхесли ае ^ гп — 2 «то для разрешимости задачи (16)-(17) необходимо и достаточно выполнение условий:
Im J^'ftd J^db=0, К = ОИэ., 2Ст-ае)-3? (18) г х+ ш.
Л (А | где V (2)=V (2- 0) — обобщенные степенные функции класса.
К к.
Зг. (- А, — 8' «), X — каноническое решение задачи линейного сопряжения для аналитических функций с граничным условием на.
Г: 9 + (t)=G (404>" а).
А |.
Функции = K = OJ, 2(m-se—3, составляют полную систему решений задачи линейного сопряжения для функций класса Gz. А, ~ В) с граничным условием на Г: tu,+a)=[G (-t)]HLCfl-a)? удовлетворяющих на бесконечности условию иа’С2) = 0С1 2|т" 2).
В п. 5 § 2.3 расскатривается неоднородное уравнение.
0иУ+АиГ + 6uCT=F, (19) 2 где A, 8, FsLpja, р > 2 — кроме того предполагается, что вблизи бесконечности.
F (2) = 0(|?rm) для некоторого •.
Существует единственное регулярное на всей плоскости решение уравнения (19), исчезающее на бесконечности. В приложениях часто возникает необходимость, установить необходимые и достаточные условия для того, чтобы это решение обращалось в нуль на бесконечности с некоторым заданным порядком. С помощью формул (6 а, б) доказывается следующее утверждение: для того, чтобы регулярное на всей плоскости решение уравнения (19) удовлетворяло на бесконечности условию.
11 100 = 0 О 2ГК) для некоторого К, , необходимо и достаточно выполнение условий.
R<
U ft) F.
20) D i где U: (2) = Uj (2−0) — обобщенные степенные функции уравнения J J.
I).
В третьей главе рассматриваются уравнения Карлемана-Векуа и Бельтрами с зависящими от параметра коэффициентами.
В § 3.1 изучается характер зависимости решений уравнения.
Э UJ + A uJ+ В. йУ=0. (2I).
2 Я, А от параметра Зь, пробегающего некоторый интервал I числовой оси. Предполагается, что Ад, В^е Lpj2, р>2.
Пусть ~ аналитическая функция в (D, а 20 в (D — произвольная точка. Тогда иО^ (2,20)= (2) ляется вполне определенной функцией параметра Л" в I. Установлено, что если Ал, Вл е LTp, е — непрерывные, диф|еренцируе-мне или аналитические функции в точке е I, то иУ^ (г, г0)= (% > также является непрерывной, дифференцируемой или аналитической, соответственно, функцией параметра JL в точке Л>о со значениями в пространстве С С©-).
Установлено, также, что если, , ^ е Ls ^ р>2-непрерывные, дифференцируемые или аналитические функции в точке JbQ е I, то исчезающее на бесконечности регулярное в (D решение уравнения иУ+ BQuJ= R g Л Л> Jb является непрерывной, дифференцируемой или аналитической, соответственно, функцией параметра Л в точке jb0 со значениями в пространстве С ((D)*.
В § 3.2 рассматривается уравнение Бельтрами.
9 uT-JU д Щ-=0, (22) а л 2 где JJ — функция параметра jb, пробегающего некоторую область GG ' 00 значениями в пространстве L ^ ((D). Предполагается, что при всех jb е G выполняется условие.
I^JL.ce,^ -соп8Ъ< 4.
Доказывается следующее утверждение: если jj е L р С для некоторого р > 2, достаточно близкого к 2, или, если JJ л е [ L р ((D) П С^ CC)]G, р > 2, то уравнение (22) допускает решение вида.
-."-If".
23) осуществляющее при любом A>eG гомеоморфное отображение расширенной комплексной плоскости на себя. При этом, если ju^ е L р (- непрерывная (аналитическая) функция параметра Л в точке Л>0 е &, то иО^ (2) — 2 является непрерывной (аналитической) функцией параметра Л в точке JbD со значениями в пространстве В р> <�" •.
В четвертой главе, применяя результаты предыдущих глав, решаются задачи об определении напряженного и деформированного состояний выпуклой замкнутой оболочки постоянной толщины. За основу принимается вариант теории оболочек, развитый И. Н. Векуа в работах [ 11−13], основанный на определенном допущении относительно распределения сил напряжений в оболочке и представляющий собой обобщение безмоментной теории оболочек.
Пусть П — оболочка постоянной толщины 2ft с регулярной серединной поверхностью S ъ = Ъ (аз" 9 ос2'). Рассмотрим координатную систему (ос), связанную с нормально связанной с 5 координатной системой (аУ) преобразованием вида ос*= ос°Ч ас", асе', ее3'-, oL= ±, 2.
CD3 = CD3!,.
25) где со* е (G X [- R]), ? ^ 2, G — область плоскости, на которую гомеоморфно отображается S при данной параметризации. Семейство координатных систем, нормально связанных с S, обозначим через R1, а семейство координатных систем вида (25) О через l| •.
В работе И. Н. Векуа [12] доказано, что в произвольной системе координат (со1) е f1 при заданном поперечном поле сил напряжений Р3 система уравнений равновесия оболочки для каждого фиксированного значения Л> е [- Rft ] нормальной координаты з1.
X приводится к системе уравнений безмоментной теории оболочек. В случае выпуклой оболочки эту систему можно записать в виде неоднородного уравнения Карлемана-Векуа для комплексной функции напряжений. Для этого координатную систему (ф", ос2'- нужно подобрать так, чтобы она была сопряженно-изометрической на з1 поверхности S^: ос = cons-b, т. е. так, чтобы в этой системе координат вторая основная форма поверхности Sjb имела канонический вид. Но в произвольной системе координат (cc'jeF1 з1, на всех поверхностях ос = const задается одна и та же параметризация С зв1' ' зс2'). Легко проверить, что эта параметризация может оказаться сопряженно-изометрической одновременно для двух поверхностей S и, иЦ Ф Л2″ тогда и только тогда, когда S — сферическая поверхность. Следовательно, если оболочка не является сферической, то сопряженно-изометрическую параметризацию нужно строить для каждой координатной поверхнос-з' ти S ' og = X = cons-b в отдельности и, стало быть, в процессе решения задачи невозможно оставаться в одной фиксированной координатной системе (со') е Fj. Это обстоятельство приводит О нас к необходимости, использовать для параметризации выпуклой оболочки координатные системы из семейства.
В § 4.1 показано, что при заданном поперечном поле сил напряжений система уравнений равновесия оболочки редуцируется к системе уравнений безмоментной теории оболочек для каждого фиксированного значения нормальной координаты а? ив том случае, когда оболочка отнесена к произвольной системе координат С ос) е F6 .
В § 4.2 доказывается, что если S — регулярная поверхность класса Cm, m ^ 3, положительной главной кривизны, то в Fs существует система такая, что индуцированные ею параметризации на всех эквидистантных с S поверхностях являются сопряженно-изометрическимив этой системе координат систему уравнений равновесия оболочки можно записать в виде уравнения Карлемана-Вез куа с зависящими от нормальной координаты ас коэффициентами и правой частью.
В § 4.3 решается задача равновесия замкнутой оболочки с регулярной серединной поверхностью класса Cm, т 3 положительной главной кривизны. Задача об определении напряженного состояния оболочки приводится к отысканию регулярного на всей плоскости решения уравнения.
— г-, fluJ+Bitf-F, в Г eL, р> 2, (26) удовлетворяющего на бесконечности условию иг 00-О CIS Г4). (27) v/b.
Существует единственное регулярное в (D решение уравнения (26), исчезающее в бесконечностионо имеет вид D где > - ядра уравнения (26). С помощью формул.
5а, б) устанавливаются необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция UX^(^) удовлетворяла условию (27). Они накладывают определенные ограничения на заданное заранее поперечное поле сил напряжений Р3 и выражают условия статического равновесия поверхностей Sj^ - ее- = JL = cons-b, (как абсолютно жестких тел), когда на эти поверхности действует некоторое поле сил, выражающееся через заданное поперечное поле сил напряжений и объемные силы, действующие в оболочке.
В п. 2 § 4.3 путем применения закона Гука только для компонент тангенциального поля напряжений определяется деформированное состояние замкнутой оболочки с регулярной серединной поверхностью положительной главной кривизны. Напряженное состояние оболочки при этом считается заданным и, кроме того, принимается гипотеза Кирхгоффа-Лява о том, что при деформации оболочки длины поперечных волокон не изменяются.
В п. 3 § 4.3 приводится упрощенная схема решания задачи об определении напряженного состояния оболочки с регулярной серединной поверхностью положительной главной кривизны, основанная на приближенном представлении тангенциального поля напряжений в з виде полинома относительно нормальной координаты ос. Поперечное поле напряжений в этом случае считается заданным.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [21−24].
Основные результаты диссертации в разное время докладывались на семинарах Института прикладной математики им. академика И.Н.Ве-куа Тбилисского государственного университвта, на Ш международном симпозиуме по теории оболочек (Тбилиси, 1978 г.), на международной конференции по комплексному анализу и его применениям в теории дифференциальных уравнений в частных производных (Галле, 1ДР, 1980 г.), на всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям в частных производных, посвященной памяти акад. АН УССР Я. Б. Лопатинского (Львов, 1981 г.), на всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям в частных производных (Тбилиси, 1982 г.).
Результаты диссертации систематически обсуждались на семинарах кафедры высшей математики факультета кибернетики и прикладной математики ТГУ (руководитель семинара проф. Р.А.Кордзадзе) и отдела комплексного анализа и его применений Института прикладной математики им. академика И. Н. Векуа ТГУ (руководитель семинара проф. Г. Ф.Манджавидзе).
Считаю своим долгом с глубоким уважением и благодарностью вспомнить своего научного руководителя академика И. Н. Векуа, советы и указания которого способствовали выполнению данной работы.
Результаты работы В. С. Виноградова LI6] дают возможность, путем повышения требований относительно гладкости коэффициента J* уравнения (I), освободиться от условия 2 < р <�• 2+ &(>!*), л которое накладывает определенное ограничение на поведение функции jd (•) в бесконечности. G.
Имеет место следующее утверждение: если ju в ((П)П1.р (а-)] ,.
О < о (^ 1, р > 2, me N +, то уравнение (I) допускает решение вида (3), осуществляющее при любом гомеоморфное отображение расширенной комплексной плоскости на себя. При этом, если j^J е Lp ((К) — непрерывная (аналитическая) функция в точке Я о е G, то uJ^(2)-2 является непрерывной (аналитической) функцией параметра Л в точке со значениями в пространстве В р, оо •.
В самом деле, в [16] доказано, что для любого jI е Goneратор У — П непрерывно обратим в Lp ©, р>2. Значит, если ju е Lp ((D)g непрерывна (аналитична) в точке л. ^ то функция п также будет непрерывной аналитической) функцией параметра. А в точке Я0. В силу теоремы 1.4 отсюда следует, что если y^eLp ((D)& - непрерывна (аналитична) в точке Л0 е G, то функция иУя (г)-2 = о G СТ |л)(в)еВр, в также является непрерывной (аналитической) функцией параметра А. е точке Хо.
Докажем теперь, что при любом фиксированном X е G функция иУ^(2) принимает один и только один раз любое фиксированное значение, А. Действительно, функция 03*^(2) = иГя (2ЬА., которая, очевидно, является решением уравнения (I), в силу теоремы 1.5 вблизи бесконечности имеет вид.
4+ 0 12| Р ]- (3.2.13).
11ГЯС2) = 2 согласно теореме 2.4 из [9}, гл. 2, эта функция принадлежит классу (т>) для любого компактного множества Т) с (D .Из л Л.
13) следует, что приращение ат-о аУ^ (2) вдоль окружс 01 ности достаточно большого радиуса с центром в точке 2=0 равно I. Значит, в силу принципа аргумента (см. [9], гл. 2, теорема 2.8) найдется единственная точка, где функция иУл (?) имеет нуль 1-го порядка, т. е. в точке ' и только в этой точке (г) принимает значение, А, что и требовалось доказать.
