Представляющие свойства систем сжатий и сдвигов функций

Отправной точкой в исследовании представляющих свойств систем сжатий и сдвигов функций (или систем функций-всплесков1) следует считать работы А. Хаара [1 — 4]. В этих работах, в связи с проблематикой теории ортогональных рядов, Хааром была построена система функций, занявшая впоследствии видное место в террйи представления функций рядами и сравнимая по оказанному воздействию на развитие теории функций с тригонометрической системой. Система Хаара, как известно, имеет вид.

1, 2к12%(2к (- ])}, где параметр к пробегает все неотрицательные целые числа, параметр у принимает значения 0,2к -1, функция 1 тождественно равна единице на отрезке [0, 1] и, наконец, функция %(/) задаётся равенством.

1.

Х" =.

1> (е [о, -),.

— 1,^, 1), о,/* [0,1).

Здесь имеется различие по сравнению с определением, данным Хааром: в точках разрыва функции системы Хаара, согласно классическому опреде.

1 Согласно широко распространённой, но окончательно не установившейся терминологии, всплеском называют функцию, система сжатий и сдвигов которой обладает теми или иными свойствами (как правило, образует ортонормированный базис). лению, задаются иначе. Такое различие весьма существенно при рассмотрении рядов Фурье-Хаара от непрерывных функций (см. П. Л. Ульянов [5]), но, очевидно, это различие не оказывает никакого влияния на свойства системы Хаара в пространствах с интегральной метрикой.

Отметим следующие хорошо известные свойства системы Хаара: эта система ортонормирована на отрезке [0, 1] (Хаар [2]), является базисом в любом пространстве Ьр[0,1], 1 < р < со (Шаудер[6]), причём при 1 < р < оо безусловным базисом (Марцинкевич [7]). Дальнейшие свойства системы Хаара отражены в обзорной статье Б. И. Голубова [8].

Другой классической системой сжатий и сдвигов является система.

Фабера-Шаудера {1, (р0 (2к/ - у')}, порождаемая функцией.

Фо (0 = l-|l-2i|, tg[0,1],.

В работе Шаудера [9] было введено понятие базиса функционального пространства и показано, что система функций {1, t, cp0 (2ktj)} (среди других систем определённого типа) образует базис пространства непрерывных функций С[0,1]. Как заметил Б. И. Голубов [8], задолго до Шаудера по существу тот же результат был получен Фабером [10]. Из дальнейших результатов о свойствах системы Фабера-Шаудера упомянем работы Чисель-ского [11], П. JL Ульянова [12, 13] и Т. Н. Сабуровой [14].

Следующие примеры систем функций, подобных системам Хаара и Фабера-Шаудера, были рассмотрены K.M. Шайдуковым [15]. Именно, в работе [15] показано, что системы функций {, t,(p?(2kt — j)}, i = 1,2, образуют базис пространства С[0, 1], где.

V (l-2tf, fe[0,1], L0,^[0,1],.

PiM= и ф2 (i) = (i))2. Затем в работе 3. А. Чантурия [16] были получены условия базисности в пространстве С [0,1] общих систем функций вида {1, t, ф (2 ktj)}, где cp (i) — непрерывная функция с носителем на отрезке.

0,1], симметричная относительно точки t =^, т. е. ср fl 1 i i ^.

— + t = ф —t, и.

U, U J удовлетворяющая условию ф О 1. Условия базисности в [16] сформуv2y лированы в терминах второй разности функции ф (t):

A^p (V) = ф (/) — 2ф (/ + h)+ ф (/ + 2h), h> О, 0<. Результаты 3. А. Чантурия были обобщены Т. Н. Сабуровой [17, 18], где условия базисности системы {1, t, ф (2ktj)} в пространстве С[0,1] получены в терминах коэффициентов функции q>(t) по элементам системы Фа-бера-Шаудера. В работах Т. Н. Сабуровой [19 — 23] продолжены исследования различных свойств систем сжатий и сдвигов непрерывных функций, названных системами типа Фабера-Шаудера. Отметим, что в целом для работ [15 — 23] характерно рассмотрение систем сжатий и сдвигов только непрерывных функций и изучение свойств таких систем в пространстве С[ 0,1].

Подход к обобщению систем Хаара и Фабера-Шаудера, развитый в работах 3. А. Чантурия и Т. Н. Сабуровой, находит параллели в теории тригонометрических рядов, где на определённом этапе возникла необходимость рассмотрения систем функций вида (ф (их)}. Такие системы являются естественным обобщением тригонометрической системы. Их изучение связано, в первую очередь, с работами Е. М. Никишина [24 — 27] и предшествующими им работами Каца, Салема, Зигмунда [28], К. Ф. Ма-лявко [29, 30] и В. Ф. Гапошкина [31, 32]. Системы сжатий и сдвигов функций вида {1, 2кп ср (2ktj)} и {1, t, ф (2ktj)} являются столь же естественным обобщением систем Хаара и Фабера-Шаудера соответственно.

Другой подход к обобщению системы Хаара связан с исследованием «инвариантных относительно целых сдвигов подпространств» (shift-invariant subspaces), чья проблематика включает в себя, в частности, крат-номасштабный анализ (multiresolution analysis) и теорию всплесков (wavelets). Этот подход изначально основан на том замечании, что семейство функций.

XkJ (t) = 2k, 2X{2kt-j), j, keZ, образует ортонормированный базис в пространстве L2®. Здесь, по-прежнему, %(t) — функция, порождающая систему Хаара. Семейство {%к •} также называют системой Хаара, а её обобщения вида называют семейством функций-всплесков. Как уже отмечалось, часто в определение всплеска включают дополнительные требования, причём наиболее распространённым является следующее: семейство ¦} - ортонормированный базис в L2®. Первые примеры таких всплесков, обладающих в отличие от системы Хаара теми или иными свойствами гладкости, были построены в работах следующих авторов: Stromberg [33], Meyer [34], Battle [35], Lemarie [36] и Daubechies [37]. Эти и большинство других конструкций всплесков основаны на кратномасштабном анализе (см. Mal-lat [38], Lemarie [39], Auscher [40], Daubechies [41, 42], а также И. Я. Новиков, С. Б. Стечкин [43]). Исследование свойств систем {ф^ .}' сжатий и сдвигов функций ф (?), заданных на числовой прямой (или на евклидовом пространстве Rn), не замыкается в рамках кратномасштабного анализа и теории всплесков. В качестве примера укажем на вопросы приближения посредством «инвариантных относительно целых сдвигов подпространств» см., например, de Boor, DeVore, Ron [44]) и представления посредством сжатий и сдвигов функций (Filippov, Oswald [45]). В целом для работ [33 -45] характерно изучение свойств систем сжатий и сдвигов функций в пространстве L2® с обобщениями на случай Ьр{яп^. Здесь следует отметить, что рассматриваемые в работах Cohen, Daubechies, Vial [46], Cohen, Daubechies, Jawerth, Vial [47] и Andersson, Hall, Jawerth, Peters [48] «всплески на интервале» и «всплески на замкнутом множестве» не являются системами сжатий и сдвигов функций.

Перейдём теперь к разъяснению содержания и структуры диссертационной работы и укажем как на сравнительные отличия данной работы от работ, связанных с проблематикой систем типа Фабера-Шаудера и теории всплесков, так и на то влияние работ 3. А. Чантурия [16], Т. Н. Сабуровой [17, 18, 23] и В. И. Филиппова, П. Освальда [45], которые испытывал автор в ходе работы над диссертацией.

В главе 1 вводится и изучается структура мультисдвига в гильбертовом пространстве, теснейшим образом связанная с системами сжатий и сдвигов функций и являющаяся одним из возможных обобщений хорошо известного в функциональном анализе и теории функций оператора (одностороннего) сдвига.

Определение. Пусть V0 и V? — изометрические операторы в гильбертовом пространстве Н. Будем говорить, что {Fq,^} - мулътисдвиг, если существует вектор ееН такой, что семейство векторов {Faj. Vaek> 0, av = 0 или 1,1.

Непосредственно связанные с системами сжатий и сдвигов функций изометрические операторы.

Focp (0 = 21/2cp (2i), Vl (p (i)= 21/2cp (2i-l), образуют мультисдвиг в Н = Ь2 [0,1] - подпространстве пространства Ь2[0,1], состоящем из функций имеющих носитель на отрезке [0, 1] и равный нулю интеграл на этом отрезке: 1 эирр ф с [0,1], ф е Ь2[0,1], |ф (/)а?г = 0. о.

В самом деле, индукцией по к = 0,1,., нетрудно доказать соотношение у*х .•Vakq>{t)=2k,{гkt-j)=q>kJ{t), к кгде У — двоичное разложение, ау=0 или 1,.

У = 1.

1 < V < к, } = 0,., 2к -1. В частности, если — функция, порождающая систему Хаара, то {Уа. ¥-ак — система Хаара (без постоянной 1), образующая ортонормированный базис в Н —Ь2 [0,1].

Таким образом, вопрос о представляющих свойствах в пространстве Ь2[0,1] систем {1,фА •(?)}, у = 0,., 2к -1- к = 0,1,. сжатий и сдвигов функции ф (/), принадлежащей пространству Нувязывается с исследованием свойств структуры мультисдвига. Это является самым принципиальным моментом, отличающим настоящую работу от проблематики систем типа Фабера-Шаудера и теории всплесков.

Один из основных результатов главы 1 — это теорема факторизации операторов, перестановочных с мультисдвигом. Для того, чтобы сформулировать эту теорему, нам потребуются следующие обозначения и определения.

Обозначим через Н0 линейную оболочку векторов еа = Уа{ .Уа е, а = (а1,., ак) е {0,1}*, к > 0. Очевидно, что Н0 — линейное многообразие, плотное в Н. Для всякого вектора / е Н определим (не обязательно ограниченный) линейный оператор ??(/)• Именно, для к = Исаеа положим бС/> = 2>а/а.

Здесь /а = УЩ .?(Хк/, а = (а1,., ак) е{0,1}к, к> О и са — числовые коэффициенты. Область определения оператора ?>(/) содержит, по меньшей мере, многообразие Н0. Ясно, что оператор ?)(/) перестановочен с муль-тисдвигом, т. е. ()(/)УГ = У{ >(/), / = 0,1. Обратно, если линейный оператор Q, заданный на линейном многообразии Н0, перестановочен с муль-тисдвигом, то () = <2(/) для вектора / = (2е.

Функцию2 ц>еН назовём внутренней, если семейство {ц>а=Ущ. Р^ф: а = (а1}., ак) е {0,1}*, А: > 0} ортонормированное. Ясно, что внутренние функции характеризуются следующим свойством: £)(ф) — изометрический оператор в Н.

Функцию РеН назовём внешней, если семейство {^а=Ка1. УакГ: а = (а1?., ак) е {0, }к, к> 0} полное в Н. Ясно, что внешние функции характеризуются следующим свойством: образ плотен в Н.

ТЕОРЕМА А. Для любого ненулевого вектора / е Н справедливо разложение где ф — внутренняя функция, Т7 — внешняя функция. При этом функция ф (также как и Р) определяется однозначно, с точностью до постоянного множителя, модуль которого равен единице.

2 Слово «функция» употреблено здесь как синоним слова «вектор». Никакой конкретной реализации пространства Я можно не предполагать.

Сформулированная теорема факторизации тесно связана с описанием инвариантных относительно мультисдвига подпространств и даёт полное описание элементарных инвариантных подпространств вида.

М (/)=^Ш7{/а} в терминах внутренних функций. Кроме того, в главе 1 показано, что факторизация теоремы, А в определённом смысле согласована с канонической факторизацией аналитических функций из пространства Харди на внутренний и внешний множитель. Установлены также условия ограниченности и ограниченной обратимости оператора, перестановочного с мультис-двигом. Все ссылки и сравнения полученных результатов с известными результатами об операторе (одностороннего) сдвига приведены в главе 1.

В главе 2, с использованием результатов главы 1, устанавливаются признаки и, по возможности, критерии полноты и базисности систем сжатий и сдвигов функций в пространстве Ьр[ 0,1], 1< р<<�х>. Сформулируем основные результаты главы 2.

Пусть, по-прежнему, функция ф (/) имеет носитель Бирр ф с [0,1],.

Ф,-у.(/) = 2л/2ф (2^-7) 7 = 0,., 2к -1, к = 0,1,. и 1 — функция, тождественно равная единице на отрезке [0,1].

ТЕОРЕМА В. Пусть функция ф (7) представима рядом по системе Радемахера.

00 00 2 к=О ?=0 и ей соответствует аналитическая функция.

00 к = 0.

Тогда для того, чтобы система функций {1, Ф^ у (/)} была 1) ортонормированной,.

2) полной в пространстве Ьр[0,1], 1 < р < оо,.

3) гильбертовой,.

4) безусловным базисом пространства Ьр[0,1], 1 < р < со, необходимо и достаточно, чтобы аналитическая функция ф (г) являлась соответственно:

1) внутренней,.

2) внешней,.

3) ограниченной в единичном круге ([ < 1),.

4) ограниченной и удовлетворяющей условию 0<с< фЛ (2') при |^|<1.

Ясно, что условие теоремы о представимости функции ф (/) рядом по системе Радемахера является весьма ограничительным. Назначение сформулированной теоремы состоит в том, чтобы, с одной стороны, доставить примеры функций, системы сжатий и сдвигов которых удовлетворяют вышеназванным свойствам. Например, теорема В доставляет нетривиальные примеры функций ф (/), для которых система функций {1, фЛ у- (7)} ортонормированатривиальные примеры таких систем дают функции вида.

2*-1 2к-. 2.

Ф= Е X.

У=0 у=0 1.

С другой стороны, теорема В используется при доказательстве неусиляе-мости достаточных условий полноты и базисности систем сжатий и сдвигов. Такие условия формулируются в главе 2 в терминах классов функций ФДу, А). Дадим их определение.

Пусть задана последовательность, А = {к}&trade-=1 неотрицательных чисел Хк > 0 такая, что о°к = 1.

Предположим, что функция |/(/) удовлетворяет условиям 1 эирр |/ с [0,1], |/ е Ьр[0,1], 1 < р < оо, ||/= 0. о.

Скажем, что функция ф (/) принадлежит классу если справедливо представление со 2*-1 А=1у=0 коэффициенты которого удовлетворяют соотношениям.

1, к 2.

2 р

2*-1.

I К-/ р

1^=0 /.

Хк, кеЫ.

При Хк=М2~ак, М >0, а>0, класс Ф (|/, Л) будем обозначать.

М). Класс М) является аналогом класса, А М), определённого Т. Н. Сабуровой [17, 18].

ТЕОРЕМА С. Пусть 1<�р<�со, <1 и система функций к=1 ;

1, полна в Ьр[0,1].

Тогда для любой функции ф е Фр ([/, Л) система функций {1,фл — полна в Ьр[0,1].

Аналоги сформулированной теоремы при р = 1 и р = со также полу.

00 чены в главе 2. Показана неусиляемость условия < 1. 1.

ТЕОРЕМА Б. Пусть р = 2 и система функций {1, является базисом Рисса.

Тогда условие <1 необходимо и достаточно для того, чтобы к = 1 для любой функции феФ2(м/, А) система функций (1,фл была базисом Рисса.

Неполный аналог сформулированной теоремы получен для произвольного р € [1, оо). Получены также жёсткие достаточные условия базисности системы сжатий и сдвигов сразу во всех пространствах Lp[0,1], 1 < р < оо. Последний результат является аналогом соответствующих результатов 3. А. Чантурия [16] и Т. Н. Сабуровой [17].

Отметим, что доказательство теорем В и D непосредственно основано на результатах главы 1.

Основным результатом главы 3 является доказательство теоремы представления, высказанной в качестве гипотезы в работе В. И. Филиппова и П. Освальда [45].

Пусть функция ф е Lx п Lp), 1 < р < оо, удовлетворяет условию ф (/)<# Ф 0. r" .

В. И. Филипповым и П. Освальдом [45] показано, что при выполнении дополнительного условия.

Ф (0|*с-И-иИ->"> с некоторым у > 0, семейство функций.

Ф.kJit) = 2nk'{2kt-j), jeZ", k = 0,1,. является системой представления в Ьр{яп^ безусловно сходящимися рядами.

Ясно, что предложенное условие является весьма ограничительным и не зависит от параметра р. В связи с этим в работе [45, Remark 5, р. 28] высказано сожаление о том, что аналогичную теорему представления не удалось доказать для функций ф из более общего класса.

Фе^ИЛу:? М-УЬ^М") I.

Этот класс введён в работе Ла, МюсИеШ [49].

Такая теорема представления доказана в главе 3. В действительности, удалось установить следующий более общий результат.

ТЕОРЕМА Е. Пусть функция ф е Ьх п Ьр (.Я"), 1 < р < оо, имеет отличный от нуля интеграл О кп и удовлетворяет следующему условию: существует постоянная М такая, что для любого числового семейства {су-} е 1р{т, п^ выполняется неравенство с 1 /р м е ь р (*) р

Тогда семейство функций уег", к = 0,1,. является системой представления в пространстве Ьр[яп^ в следующем смысле: любая функция / еЬр (Кп) может быть представлена в виде суммы семейства.

2ХуФ*, У> [к,]) коэффициенты которого удовлетворяют условию.

Л1 1 оо пк—.

2 р к = О.

I р У.

1 /Р.

Представимость функции / суммой семейства означает, что для всякого 8 > 0 найдётся конечное множество У0 пар индексов (к, у) такое, что для любого конечного множества /? 70 пар индексов (к, у) выполняется неравенство.

— Е ск,]Чк,].

8.

Как известно (см., например, [50, с. 154]), счётное суммируемое семейство является безусловно сходящимся, так что при любой нумерации семейства пар индексов (к, у) образующийся ряд сходится в Ьр к функции / Заметим, что условие (**) на коэффициенты представляющего функцию / семейства имеет следствием нормальную сходимость (по индексу к) представляющего функцию / ряда: I к = 0 оо пк 2 к = 0.

1.1 V 2 р

Ир

Е Р < 00.

Принадлежность функции ф классу обеспечивает выполнение условия (*) теоремы. Таким образом, теорема Е, доказанная в главе 3, имеет следствием вышеупомянутую теорему представления, высказанную в качестве гипотезы в работе В. И. Филиппова и П. Освальда [45].

При выполнении условия (*) всякое семейство вида М с коэффициентами, удовлетворяющими условию (**), является суммируемым. Это означает, что при выполнении условий теоремы Е, семейство функций {фЛ) •} является и системой сходимости, и системой представления в Ьр[яп^ с пространством коэффициентов {ск }, удовлетворяющих условию (**). В этом смысле теорема Е носит окончательный характер.

В заключение, поясним формальное строение работы. Она состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Нумерация определений, примеров, лемм и теорем двойная, независящая от разбиения глав на параграфы, которое произведено лишь для тематического разделения текста каждой главы. (Например, теорема 1.2 — это вторая теорема первой главы.).

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [78 — 88]- они докладывались на Саратовских зимних школах по теории функций (1998, 2000), Воронежских зимних школах (1997, 1999), Международной конференции «Теория приближений и гармонический анализ» (Тула, 1998), Международной конференции «Теория приближений функций и операторов», посвящённой 80-летию со дня рождения С. Б. Стечкина (Екатеринбург, 2000) и на ряде семинаров в Саратовском государственном университете.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 98−01−842.

Считаю своим приятным долгом выразить чувство искренней признательности своему научному руководителю профессору Дмитрию Валентиновичу Прохорову.

1. Haar А. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. 1.auguraldissertation. Gottingen. 1909.

2. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme //Math. Ann. 1910. V. 69. P. 331 -371.

3. Haar A. Egy orthogonalis fuggvenyrendzerrol // Mat. Term. Ert. 1914. V. 32. P. 60−68.

4. Haar A. Osszegyutott munkak. Szerk. Szokefalvi Nagy Bela. Budapest. Acad. Kiado. 1959. P. 662.

5. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара // Матем. сб. 1964. Т. 63. № 3. С. 356−391.

6. Schauder J. Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems // Maht. Z. 1928. V. 28. P. 317−320.

7. Marcinkiewicz J. Quelques theoremes sur les series orthogonales // Ann. Soc. polon. math. 1937. V. 16. P. 85 96.

8. Голубов Б. И. Ряды по системе Хаара // Итоги науки. Математический анализ. 1970. М.: 1971. С. 109 146.

9. Schauder J. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen // Math. Z. 1927. V. 26. P. 47 -65.

10. Faber G. Uber die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar // Jahresber. Deutsch. Math. Verein. 1910. Bd. 19. S. 104 -112.

11. Ciesielski Z. Some properties of Schauder basis of the space C (0, 1) // Bull. Acad. Polon. Sei. 1960. V. 8. P. 141 144.

12. Ульянов П.Jl. О некоторых свойствах рядов по системе Шаудера // Матем. заметки. 1970. Т. 7. № 4. С. 431 442.

13. Ульянов П. Л. Представление функций рядами и классы cp (Z,) // УМН.1972. Т. 27. № 2. С. 3 53.

14. Сабурова Т. Н. О некоторых свойствах коэффициентов Фурье по системе Фабера-Шаудера // Сообщ. АН ГрузССР. 1976. Т. 82. № 2. С. 297- 300.

15. Шайдуков К. М. О базисах в пространстве непрерывных функций, построенных из дуг парабол // Казань. Уч. зап. ун та. 1966. 125:2. С. 133- 142.

16. Чантурия 3. А. О базисах пространства непрерывных функций // Матем. сб. 1972. Т. 88. № 4. С. 589 608.

17. Сабурова Т. Н. О базисах в С0, 1. типа Фабера-Шаудера // Теория функций и приближений: Тр. 3-й Сарат. зимней школы (Саратов, 1986). Саратов. 1988. Ч. 3. С. 44−46.

18. Сабурова Т. Н. О некоторых свойствах базисов типа Фабера-Шаудера // Теория функций и приближений: Тр. 4-й Сарат. зимней школы (Саратов, 1988). Саратов. 1990. Ч. 3. С. 68 70.

19. Сабурова Т. Н. Представление измеримых функций рядами по системе типа Фабера-Шаудера // Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ: Тезисы докладов. М.: 1995. С. 239 240.

20. Сабурова Т. Н. О кратных рядах по базисам типа Фабера-Шаудера // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов. Воронеж. 1997. С. 149. •.

21. Сабурова Т. Н. О свойствах коэффициентов кратных рядов по базисам типа Фабера-Шаудера // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования: Тезисы докладов. М.: Изд во РУДН. 1998. С. 56.

22. Сабурова Т. Н. О коэффициентах кратных рядов по базисам типа Фа-бера-Шаудера // Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докладов. Тула. 1998. С. 229 230.

23. Сабурова Т. Н. О функциях, порождающих базисы типа Фабера-Шаудера // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов. Воронеж. 1999. С. 175.

24. Никишин Е. М. О сходимости некоторых функциональных рядов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1967. Т. 31. № 1. С. 15 26.

25. Никишин Е. М. О рядах по системе {ср (их)} // Матем. заметки. 1969.Т. 5. № 5. С. 527 532.

26. Никишин Е. М. Резонансные теоремы и ряды по системе {(р (их)}.Дисс.. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ. 1969.

27. Никишин Е. М. Резонансные теоремы и надлинейные операторы // УМН. 1970. Т. 25. № 6. С. 129 191.

28. Kaz M., Salem R., Zygmund A. A gap theorem // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. V. 63. P. 235−243.

29. Малявко К. Ф. О сходимости рядов Фурье по системам типа {ф (их)}, близким к тригонометрическим // Докл. АН СССР. 1958. Т. 118. № 1. С. 29 32.

30. Малявко К. Ф. О безусловной сходимости почти всюду рядов Фурье по Т-системам типа {ф (и х)} от характеристических функций некоторых совершенных множеств // Научн. доклады высшей школы. Физи-ко-матем. науки. 1958. Т. 2. С. 71 75.

31. Гапошкин В. Ф. О системах вида {ф (их)}, близких к тригонометрической системе // Матем. сб. 1969. Т. 51. № 2. С. 239 252.

32. Гапошкин В. Ф. Лакунарные ряды и независимые функции // УМН. 1966. Т. 21. № 6. С. 3−82.

33. Stromberg J. О. A modified Franklin system and higher order spline systems on R" as unconditional bases for Hardy spaces // Conference in Harmonic Analysis in Honor of A. Zygmund. Belmont. CA: Wadsworth Math. Series. 1982. V. II. P. 475 493.

34. Meyer Y. Principe d’incertitude, bases hilbertiennes et algebres d’operateurs // Seminaire Bourbaki. 1985 1986. no. 662.

35. Battle G. A block spin construction of ondelettes, Part I: Lemarie functions // Comm. Math. Phys. V. 110. P. 601 615.

36. Lemarie P. G. Une nouvelle base d’ondelettes de L2(Rn) // J. Math. Pures.Appl. 1988. V. 67. P. 227−236.

37. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets //Comm. Pure Appl. Math. 1988. V. 41. P. 909 996.

38. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets orthonormal bases of1.(Rn) II Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 315. P. 69 88.

39. Lemarie P. G. Sur l’existence des analyses multiresolutions en theorie des ondelettes // Rev. Mat. Iberoamericana. 1993. V. 8. P. 457 474.

40. Auscher P. Toute base d’ondelettes regulieres de L ® est issue d’une analyse multiresolution reguliere // C. R. Acad. Sci. Paris. Serie I. 1992. V. 315. P. 1227- 1230.

41. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. SIAM. Philadelphia. 1992.

42. Daubechies I. Wavelets and Other Phase Space Localization Methods // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Zurich. Switzerland 1994. Birkhauser Verlag. Basel. Switzerland 1995. P. 57 74.

43. Filippov V. I., Oswald P. Representation in Lp by Series of Translates andDilates of One Function // J. Approxim. Theory. 1995. V. 82. P. 15 29.

44. Cohen A., Daubechies I., Vial P. Wavelets on the interval and fast wavelet transforms // Appl. Comput. Harmonic Anal. 1993. V. 1. P. 54 81.

45. Cohen A., Daubechies I., Jawerth В., Vial P. Multiresolution analysis, wavelets and fast algorithms on an interval // C. R. Acad. Sci. Paris. Serie I. 1993. V. 316. P. 417−421.

46. Andersson L., Hall N., Jawerth В., Peters G. Wavelets on closed subset of the real line // Topics in the Theory and Applications of Wavelets. Boston: Academic Press. 1994.

47. Jia R. Q., Micchelli C. A. Using the refinement equations for the construction of pre-wavelets II: Powers of two // Curves and Surfaces. Boston: Academic Press. 1991. P. 209 246.

48. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1971. 359 с.

49. Beurling A. On two problems concerning linear transformations in Hilbert spaces // Acta Math. 1949. V. 81. P. 239 255.

50. Lax P. D. Translation invariant spaces // Acta Math. 1959. V. 101. P. 163 -178.

51. Halmos P. R. Shifts on Hilbert spaces // J. reine and angew. Math. 1961. V. 208. P. 102−112.

52. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: Издво ин. лит. 1963. 311 с.

53. Секефальви-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир. 1970. 431 с.

54. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир. 1970. 352 с.

55. Helson H. Lectures on invariant subspaces. N.Y. Acad. Press. 1964. 141 pp.

56. Рудин У. Теория функций в поликруге. М.: Мир. 1974.160 с.

57. Никольский Н. К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций // Итоги науки и техники. Математический анализ. Т. 12. М.: 1974. С. 199 412.

58. Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. В. Иллин-гуорта и др.: Пер. с англ. М.: Машиностроение. 1989. 568 с.

59. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965. 448 с.

60. Eckmann В. Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz-Radon uber die Komposition quadratischer Formen // Comm. Math. Helv. 1942/43. V. 15. P. 358−366.

61. Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. М.: Мир. 1970. 224 с.

62. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. М.: Наука. 1978. 343 с.

63. Lambert D., Ronveaux A. Toward new solutions of the general Hurwitz problem // J. Phys. A. 1993. V. 26. P. 945 948.

64. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир. 1979. 587 с.

65. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении: В 2-х т. Т. 1. М.: Мир. 1985. 264 с.

66. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149. № 3. С. 532−534.

67. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. М.: Наука. 1987. 344 с.

68. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: Наука. 1984. 496 с.

69. Lorch Е. R. Bicontinuous linear transformations in certain vector spaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1939. V. 45. P. 564 569.

70. Гельфанд И. M. Замечание к работе Н. К. Бари «Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве» // Уч. зап. МГУ. 1951. Т. 4. № 148. С. 224 225.

71. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир. 1973. 342 с.

72. Функциональный анализ. СМБ / Под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука. 1972.544 с.

73. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир. 1975. 443 с.

74. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщённых функций. М.: Наука. 1989. 254 с.

75. Стейн И., Вейс Г.

Введение

в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир. 1974. 331 с.

76. Терехин П. А. Тригонометрические алгебры // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1997. Т. 236. С. 183 191.

77. Терехин П. А. Система сжатий и сдвигов функции на отрезке с нулевым интегралом // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов. Воронеж. 1997. С. 159.

78. Терехин П. А. Система сжатий и сдвигов функции на отрезке // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов. Саратов: Изд во Сарат. ун — та. 1997. С. 153.

79. Терехин П. А. О представляющих свойствах системы сжатий и сдвигов функций на отрезке // Изв. Тул. гос. ун та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ. 1998. Т. 4. Вып. 1. С. 136 — 138.

80. Терехин П. А. О представляющих свойствах системы сжатий и сдвигов функций на отрезке // Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докладов. Тула. 1998. С. 255 256.

81. Терехин П. А. Система сжатий и сдвигов функции в пространстве Lp (R"), 1 < р < со // Современные методы теории функций и смежныепроблемы: Тезисы докладов. Воронеж. 1999. С. 184.

82. Терехин П. А. Неравенства для компонентов суммируемых функций и их представления по элементам системы сжатий и сдвигов // Изв. вузов. Математика. 1999. № 8(447). С. 74 81.

83. Терехин П. А. Сжатия и сдвиги функции с ненулевым интегралом // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд во Сарат. ун — та. 1999. С. 67 — 68.

84. Терехин П. А. Нормированные билинейные отображения евклидовых пространств // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд во Сарат. ун — та. 1999. С. 68 — 69.

85. Терехин П. А. О представлении функций посредством сжатий и сдвигов // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов. Саратов: Изд во Сарат. ун — та. 2000. С. 137 — 138.

86. Терехин П. А. Оператор мультисдвига в гильбертовом пространстве и его приложения к теории всплесков // Теория приближений функций и операторов: Тезисы докладов. Екатеринбург. 2000. С. 149 150.