Построение и оптимизация ? — предельных множеств управляемых релейных систем при действии возмущений

Анализу систем автоматического управления с разрывными характеристиками (обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) с разрывной правой частью) посвящено много работ общего и частного плана, в которых исследуются математические вопросы корректности модели, понятия решения соответствующей системы ОДУ, асимптотики поведения, оптимального управления и т. п. [2,6,10, 13,19,20,23,31,32,36,39,41,43,48−52,53,54,56]. Большое внимание уделяется моделям, в которых учитываются не только типичные разрывные характеристики, но и отражаются физические эффекты, приводящие к неоднозначности правой части исследуемой системы ОДУ. Это прежде всего модели, содержащие релейные характеристики (релейное управление с учетом эффекта гистерезиса) [2,3,5,19,22, 24,25,41,43,51,52]. Важное место в теории и приложениях занимают работы, где изучается влияние возмущений помех на поведение траектории управляемых и неуправляемых систем. Чаще предполагается, что эти возмущения носят случайный характер или являются асимптотически исчезающими величинами. Заметно меньшее число работ посвящено исследованию незатухающих неопределенных на бесконечном временном интервале возмущений. Отметим здесь работы [7,15,45,55] этого направления, В качестве характеристики таких возмущений обычно принимаются некоторые «геометрические ограни** чения» — пределы их возможных значений в каждый момент времени. Задачи экстремального управления с такими ограничениями нередко интерпретируются как игровые (например, задачи о гарантированном результате [33−35]). Однако конструктивный аппарат построения таких управлений развит недостаточно, несмотря на имеющиеся универсальные подходы такие, как решение уравнений Айзекса-Беллмана.

Данная работа посвящена задаче построения и исследования асимптотики сопредельных множеств систем с релейным управлением, в котором возмущение порождается неточными измерениями фазового состояния в сигнале обратной связи, причем погрешности измерений предполагаются произвольными интегрируемыми функциями со значениями в заданных пределах (незатухающие неопределенные помехи). Целью невозмущенного управления является стабилизация заданного режима (состояния равновесия), а при наличии возмущений — минимизация амплитуды возможных колебаний в окрестности заданного идеального режима (нуля фазового пространства). В последнем случае при указанном типе возмущений возможно как множество состояний равновесия, так и множество периодических движений, наличие скользящих режимов. По этой причине данная постановка задачи примыкает к задачам об устойчивости интегральных многообразий [17], устойчивости нереализуемых движений [22] или устойчивости систем с множеством состояний равновесия[14,3^, а также к задачам о практической устойчивости [1].

Для математического исследования поставленной задачи, учитывая неопределенность возмущений в разрывной правой части ОДУ, необходимо прежде всего уточнить понятие решения таких 0ДУо Это делается путем рассмотрения такой системы как дифференциального включения с последующим доопределением правой части по одному из способов, указанных в монографии [50](выпуклое замыкание многозначного поля направлений). Далее на решениях построенного дифференциального включения можно перейти к анализу асимптотики движений. Зто делается с помощью прямого метода Ляпунова, отправной точкой в котором взята теорема Барбашина-Красовского об устойчивости в целом [8,9].

В первой части настоящей работы рассматриваются общие вопросы, связанные с модификацией теоремы Барбашина-Красовского для дифференциальных включений. Выделяется основная конструктивная идея этой теоремы, позволяющая по знаку производной некоторой функции на решениях дифференциального включения устанавливать множество в пространстве состояний, в котором отсутствуют 60 -предельные точки решений данного дифференциального включения. Следовательно, СОпредельные точки могут оказаться разве лишь в дополнении установленного таким образом множества. Пересечением подобных дополнений можно получать оценки искомого сопредельного множества, Отмечается возможность в качестве функций Ляпунова, кроме традиционных полиномиальных конструкций [и, 19−21,40], использовать линейные и параболические сплайны при переходе к сферическим координатам в фазовом пространстве.

Во второй главе общая теория первой главы реализуется для управляемых систем второго порядка. Здесь для каждого фиксированного типа структуры линейной правой части ОДУ управляемой релейной системы путем анализа фазового портрета удается сформировать кусочно-гладкие функции Ляпунова, позволяющие дать точное описание границы искомого СОпредельного множества и на этой основе указать способы оптимизации параметров управления по упомянутому выше критерию точности — минимизация амптитуды предельных колебаний. Интересно отметить, что оптимальные управления рассмотренного класса приводят к существенно меньшей амптитуде предельных колебаний по сравнению с колебаниями при синтезе оптимального по быстродействию при том же уровне управляющего сигнала и типе (и уровне) возмущений «.

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Для обыкновенных дифференциальных включений установлена теорема типа Барбашина-Красовского об отсутствии СО-предельных точек в данной области задания дифф. включения (теорема 2.2). На основе этой теоремы предложена общая схема конструирования оценок Сопредельных множеств дифф. включений,.

2. Построены слпредельные множества в управляемых системах второго порядка с линейной частью и аддитивно входящим релейным управлением при наличии незатухающего возмущения в аргументе разрывного сигнала управления.

3. Для. описанных выше управляемых систем второго порядка указаны оптимальные по точности управления (в данном классе релейных управлений), параметры которых выражены через параметры линейной части системы и параметры характеристики возмущений. Установлены области грубости (нечувствительности) оптимальных параметров управления в пространстве параметров возмущений.

Результаты работы отражены в публикациях [26−29].

1. Абдуллин РоЗ&bdquoНекоторые вопросы практической устойчивости// Теория устойчивости и ее приложения. Новосибирск, 1979.С.3−8.

2. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск, 1987о 226 с.

3. Барабанов А. Е" Синтез минимаксных регуляторов. СПб, 1996.224 с,.

4. БарбашиН', Е. А. Функции Ляпунова. М., 1970. 240 с.

5. Барбашин Е. А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом//ДАН СССР, 1952. Т.86, ЛЗ. С. 435−4560.

6. Благодатских В. И. «Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление//Тр.Мат.ин-та АНСССР.1985,т.169.С.194−2?

7. Валеев К. Г0, Финин Г0С. Построение функций Ляпунова. Киев, 1981. 412 Со.

8. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М., 1988. 550 с.

9. Воронов A.A.

Введение

в динамику сложных управляемых систем. М., 1985. 352 с0.

10. Гелик А., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. ГЛ., 1978.400 с.15а Гермаидзе В. Е., Красовский H.H. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях//ПММ, 1957. 121, вып.6. С. 769−774.

11. Демидович Boll. Лекции по математической теории устойчивости. Mo, 1967о 472 с.

12. Егоров Г. А. К исследованию устойчивости интегральных много-образий//Труды КАИ, 1968. Мат. и мех. Т.7. С. 31−33о.

13. Затевахин A.B. Релейное управление с зоной неопределенности для одной динамической системы/Дправление динамическими системами. Деп. в ВИНИТИ 03.11.83. $ 5942−83. Л., 1983.С. 31−35.

14. Зубов В. И" Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л., 1962. 632 с.

15. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., 1974. 336 с.

16. Зубов В .И. Лекции по теории управления. М., 1975. 496 с.

17. Зубов C.B., Зубов Н. В. Математические методы стабилизации динамических систем. СПб, 1996. 288 с,.

18. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем" М., 1971. 400 с.

19. Камачкин А. М. Существование и единственность периодического решения релейной системы с гистерезисом//Дифференц. уравнения.1972. Т.8. т.

20. Камачкин А. М. Об автоколебаниях одного типа нелинейных корабельных автоматических систем с гистерезисом//Тр. ЛКИ. Методы прикладной и вычислительной математики в судостроении.Л., 1980.

21. Кирин Б. Е. СО-предельные множества управляемых систем// Качественная теория дифференциальных уравнении в теории управления движением. Саранск, 1985. С. 4−11.

22. Кирин БоЕ. Минимальные сопредельные множества в системах с зоной неопределенности. Деп. в ВИНИТИ 26.03.86. Ш336-В. M., 1986. С. 1−8.

23. Кирин Н. Е. Методы оценивания и управления в динамических системах. СПб, 1993. 308 с.

24. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Мс, 1958. 474 с.

25. Козлов Р. И. К теории. дифференциальных уравнений и неравенств с разрывными правыми частями//Дифференц. уравнения. 1974.Т.10. F7. С. 1264−1275.

26. Красовский H.H. Управление динамической системой. М., 1985″ 510 с.

27. Куржанский, А .Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М0, 1977. 392 с.

28. Куржанский А. Б., Никонов О. И. К задаче синтеза стратегий управления. Эволюционные уравнения и многозначное интегриро-вание//Докл. АН СССР, 1990. Т. 311. М. С" 788−793.

29. Летов А. М. Математическая теория процессов управления. М., 1981. 256 с.

30. Мартынюк A.A. Практическая устойчивость движения. Киев, 1983.

31. Матросов В. М. Об устойчивости множеств неизолированных положений равновесия//Тр. КАИ, мат. и мех., 19 650Вып.89. С. 20−32.

32. Матросов В. М. О дифференциальных уравнениях и неравенствахс разрывными правыми частями 1,2//Дифференц. уравнения. 1967. Т.З. В 3. С. 395−409, Ш 5. С. 839−848.

33. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости// Под ред. А. А. Воронова и В. М. Матросова. М., 1987. 31G с.

34. Моросанов П. С. Релейные экстремальные системы. М0, 1964.

35. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М., 1974. 480 с.

36. Нелепин P.A. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем. I., 1967. 448 с.44 В Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Ма, 1947 0 448 с.

37. Петров Ю. П. Оптимизация управляемых систем, испытивающих воздействие ветра и морского волнения" Л., 1973″.

38. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1965. 332 с.

39. Понтрягин ЛоС. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1961. 392 с.

40. Смирнов Е. Я. Стабилизация программных движений. СПб, 1997.306с.

41. Справочник по теории автоматического управления//Под ред. А. А. Красовского. М., 1987. 712 с.

42. Филиппов АоФ" Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Ж., 1985о 224 с.

43. Фуллер А. Оптимизация релейных систем регулирования по различ ным критериям качества//Тр. 1 конгресса ЙФАК. М., 1961. Т.-7 С. 594−608.

44. Цыпкин Я, 3&bdquoРелейные автоматические системы. М., 1974.

45. Чернецкий В. й" Анализ точности нелинейных систем управления. М., 1968.

46. Чернецкий В.й., Дидук Г. Ао, Потапенко A.A. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем®Л., 1970. 374 с".

47. Щенников В. Н. Диссипативность сложных управляемых систем при параметрических и постоянно действующих возмущениях/Дправля-емые динамические системы. Саранск, 1991. С. 105−108.

48. Якубович БД. Периодические и почти периодические предельные режимы регулируемых систем с несколькими, вообще говоря, раз. рывными нелинейностями//Ш СССР. 1966. Т&bdquo- 171. ЖЗ. С.533−536.