Построение калибровочных полей на однородных римановых многообразиях и поляризация вакуума в поле Ааронова-Бома

1. Одной из актуальных задач теоретической и математической физики является точное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих динамические свойства физических систем. Наличие точных решений дает возможность наиболее полного и всестороннего изучения рассматриваемой физической модели, что, как правило, невозможно при использовании приближенных методов, таких как теория возмущений например. В связи с этим особое значение приобретают так называемые классификационные задачи — построение всех возможных точных решений в рассматриваемой физической модели. Применительно к квантовой теории поля наибольший интерес вызывает построение точных решений моделей квантовых полей с внешними калибровочными полями. Актуальность этого направления обусловлена многочисленными приложениями в области физики элементарных частиц и астрофизики, например [1, 2, 3], и, конечно же, попытками построения квантовой теории гравитации.

Одним из наиболее интересных квантовых эффектов в классическом внешнем поле является рождение пар частиц и античастиц из вакуума, что самым непосредственным образом связано с явлением поляризации вакуума. Первым этапом в решении задачи о поляризации вакуума классическим внешним полем является интегрирование соответствующих полевых уравнений.

2. Основным инструментом точного интегрирования линейных дифференциальных уравнений до последнего времени был метод разделения переменных. Его реализация требует знания коммутативной группы симметрий данного дифференциального уравнения (если таковая существует в данном случае), а также дополнительных условий интегрируемости. Изучению данного вопроса посвящены многочисленные исследования, например [4, 5, б, 7, 8]. Этот метод развивался продолжительное время, но теоремы о необходимых и достаточных условиях его применимости в скалярных уравнениях второго порядка непараболического и параболического типа были получены сравнительно недавно в работах [9, 10, 11, 12, 13]. На основе данных теорем была проведена систематизация практически всех известных точных решений уравнений квантовой механики с внешними полями, а также были найдены обширные классы новых полей и соответствующих точных решений, большая часть которых приведена в [14] и [15].

С появлением перечисленных выше работ исследование метода разделения переменных можно считать в известной степени законченными. Это явилось определенным стимулом к появлению работ, посвященных проблеме точного интегрирования, выходящих за рамки метода разделения переменных. Одним из направлений развития теории является использование некоммутативных симметрий дифференциальных уравнений. Эту возможность впервые, по-видимому, рассматривал Э. Картан [16]. Начало современному подходу было положено в работе С. Смейла [17]. Впоследствии идеи некоммутативного интегрирования для гамильтоновых систем были развиты в работах А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко [18, 19]. В работе А. В. Шаповалова и И. В. Широкова [20] был предложен метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений, допускающих некоммутативную группу сим-метрий, который является квантовым аналогом метода некоммутативного интегрирования конечномерных гамильтоновых систем. Последующее развитие данного метода связано с появлением цикла работ [21, 22, 23, 24, 25]. Данный метод дает возможность расширить классификацию полей, допускающих существование точных решений уравнений квантовой механики и квантовой теории поля, включив в нее внешние поля, наличие которых позволяет рассматривать уравнения, интегрируемые в некоммутативном смысле. В настоящей диссертационной работе предлагается метод нахождения внешних (неабелевых в общем случае) полей, наличие которых допускает в качестве группы симметрии уравнения скалярного поля во внешнем калибровочном поле группу движений данного пространства, что, в свою очередь, дает возможность применения метода некоммутативного интегрирования. Рассмотренные в работе конструкции позволяют свести решение задачи о построений калибровочных полей к решению некоторой системы алгебраических уравнений.

Отметим также, что наряду с квантовополевыми системами активно исследуются аналогичные классические системы, о чем свидетельствует достаточно большое количество работ по данной тематике, например [26, 27, 28].

3. Модели квантовых полей (скалярного и спинорного) в классическом внешнем поле Ааронова-Бома [29, 30], с одной стороны, представляют интерес как случаи точного интегрируемых моделей, а с другой — как физические ситуации, выявляющие специфическую роль электромагнитных потенциалов в квантовой теории. Специфика явлений, связанных с полем Ааронова-Бома, заключается в том, что напряженности электрического и магнитного полей в области доступной для частиц имеют нулевые значения, тогда как их потенциалы отличны от нуля и не могут быть глобально обращены в нуль калибровочными преобразованиями (данная ситуация возможна в силу неодносвязности пространства), что ведет к смещению фазы волновой функции и, как следствие, возникновению различных физических эффектов.

В данной диссертации рассматривается еще один аспект, связанный с эффектом Ааронова-Бома, а именно возникновение эффекта поляризации вакуума. Под вакуумными эффектами понимается существование ненулевых средних операторов наблюдаемых физических величин в вакуумном состоянии. Природа вакуумных эффектов обусловлена воздействием внешних полей или нетривиальностью топологии пространства, т. е. либо его неодносвязностью, либо наличием у него границы [31]. Описанная ситуация характерна и для эффекта Ааронова-Бома. Следует отметить, что поляризация вакуума для скалярных частиц в классическом поле Ааронова-Бома рассматривалась в работе [32], в которой были получены асимптотические выражения для вакуумной плотности энергии скалярного поля и аналитическое выражение для специального случая поля Ааронова-Бома. Теми же авторами в работе [33] рассмотрена задача вычисления вакуумных тока и момента импульса для безмассового спинорного поля. В настоящей диссертации получен в аналитическом виде вакуумный тензор энергии-импульса заряженного скалярного и спинорного полей в классическом поле Ааронова-Бома и исследованы его свойства. Приведены асимптотические выражения для компонент тензора энергии-импульса массивного скалярного и спинорного полей.

4. Диссертация объемом 104 страниц печатного текста состоит из введения, трех глав, заключения, шести приложений и списка литературы из 83 наименований.

1. Rodionov V. N. Effects of vacuum polarization in strong magnetic fields with an allowance made for the anomalous magnetic moments of particles // arXiv: hep-th/40 3282vl.

2. Spirielly J., Bezerra de Mello E. R. Vacuum polarization by a magnetic flux tube at finite temperature in the cosmic string spacetime // arXiv: 0704.1990v2 hep-th].

3. Matyjasek M. Vacuum polarization of massive spinor and vector fields in the spacetime of a nonlinear black hole // arXiv: 0802.4065vl hep-th].

4. Овсянников Jl. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1966, — 132 с.

5. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. — 399 с.

6. Владимиров С. А. Группы симметрии дифференциальных уравнений и релятивистские поля. — М.: Атомиздат, 1979. — 168 с.

7. Шаповалов В. Н. Симметрии дифференциальных уравнений // Известия вузов. Физика. — 1977. — № 6. — С. 57−70.

8. Миллер У. Симметрия и разделение переменных / Под ред. К. И. Бабенко. 2-е изд. — М.: Мир, 1981. — 342 с.

9. Шаповалов В. И. Симметрия и разделение переменных в ЛДУ второго порядка // Известия вузов. Физика. — 1978, — № 5.— С. 116−132.

10. Шаповалов В. И. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1980. — Т. XVI, № 10. — С. 1864−1874.

11. Шаповалов В. И., Экле Г. Г. Полные наборы и интегрирование линейной системы первого порядка. 1 // Известия вузов. Физика. 1974. — № 2. — С. 83−88.

12. Шаповалов В. И., Экле Г. Г. Полные наборы и интегрирование линейной системы первого порядка. 2 // Известия вузов. Физика. 1974. — № 2. — С. 88−92.

13. Шаповалов В. И., Сухомлин И. Б. Разделение переменных в нестационарном уравнении шредингера // Известия вузов. Физика. 1974. — № 12. — С. 100−105.

14. Багров В. Г., Гитман Д. М. и др. Точные решения релятивистских волновых уравнений. — Новосибирск: Наука, 1982. — 142 с.

15. Bagrov V. G., Gitman D. M. Exact solutions of relativistic wave equations. — Dordecht, Boston, London: Klewer Academic Press, 1990. 323 pp.

16. Картан Э. Интегральные инварианты. — M.-Jl.: Гостехиздат, 1940. 216 с.

17. Смейл С. Топология и механика // УМН. — 1972. — Т. 27, № 4. — С. 77−133.

18. Мищенко А. СФоменко А. Т. Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем // Функц. анализ и его прилож. 1978. — Т. 12, № 2. — С. 46−56.

19. Мищенко А. СФоменко А. Т. Интегрирование гамильтоновых систем с некоммутативными симметриями // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — Т. XX. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981, — С. 5−54.

20. Шаповалов А. В., Широков И. В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений // ТМФ. — 1995. — Т. 104, № 2, — С. 195−213.

21. Шаповалов А. В., Широков И. В. Метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Функциональные алгебры и некоммутативная размерная редукция // ТМФ. 1996. — Т. 106, № 1. — С. 3−15.

22. Широков И. В. Координаты Дарбу на Л'-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли // ТМФ. 2000. — Т. 123, № 3. -С. 407−423.

23. Широков И. В. Тождества и инвариантные операторы на однородных пространствах // ТМФ. 2001. — Т. 126, № 3. — С. 393−408.

24. Барановский С. П., Михеев В. В., Широков И. В. Квантовые гамильтоновы системы на К-орбитах. Квазиклассический спектр асимметрического волчка // ТМФ. — 2001. — Т. 129, № 1. — С. 313.

25. Магазев А. А., Широков И. В. Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах. Случай дикой группы Ли // ТМФ. 2003. — Т. 136, № 3. — С. 365−379.

26. Ефимов Д. И. Магнитный геодезический поток в однородном поле на комплексном проективном пространстве // Сиб. мат. журн. 2004. — Т. 45, № 3. — С. 565−576.

27. Ефимов Д. И. Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии // Сиб. мат. журн. — 2005.— Т 46, № 1. С. 106−118.

28. Bolsinov А. VJovanovic В. Magnetic geodesic flows coadjoint orbits // arXiv: math-ph/602 016 vl.

29. Aharonov Y., Bohm D. Significance of electromagnetic potentials in quantum theory // Phys. Rev. 1959. — Vol. 115. — Pp. 485−491.

30. Aharonov Y., Bohm D. Further Considerations on Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory // Phys. Rev. — 1961.— Vol. 123. Pp. 1511−1524.

31. Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях (Методы и результаты, не связ. с теорией возмущений). — М.: Атомиздат, 1980. — 295 с.

32. Sitenko Y. A., Gorkavenko V. М. Induced vacuum energy-momentum tensor in the background of a d-2 brane in d+1 -dimensional space-time // arXiv: hep-th/21 0099v3.

33. Sitenko Y. A. Polarization of the massless fermionic vacuum in the background of a singular magnetic vortex in 2+1-dimensional space-time ' // arXiv: hep-th/9079vl.

34. Горбацевич В. В., Онищик А. Л. Группы Ли преобразований // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). — Т. 20. — М.: ВИНИТИ, 1988, — С. 103−240.

35. Барановский С. П., Широков И. В. Продолжения векторных полей на группах Ли и однородных пространствах // ТМФ, — 2003. Т.132, № 1, — С. 70−81.

36. Dirac P. А. М. Discussion of the Infinite Distribution of Electrons in the Theory of the Positron // Proc. Cambr. Phil. Soc. — 1934. — T. 30.-C. 150−163.

37. Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики. — М.: Наука, 1977. — 367 с.

38. Гриб А. А. Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля, — М.: Энергоатомиздат, 1978, — 127 с.

39. Курнявко О. Л., Широков И. В., Юревич Ю. А. Поляризация вакуума в. поле Ааронова-Бома // Математические структуры и моделирование. — 2004. — Т. 13. — С. 103−113.

40. Курнявко О. Л., Широков И. В., Юревич Ю. А. Поляризация вакуума квантовых полей во внешнем поле Ааронова-Бома. I // Известия вузов. Физика. — 2006. — Т. 49, № 2. — С. 26−34.

41. Курнявко О. Л., Широков И. В., Юревич Ю. А. Поляризация вакуума квантовых полей во внешнем поле Ааронова-Бома. II // Известия вузов. Физика. — 2006. — Т. 49, № 4. — С. 3−8:

42. Курнявко О. Л., Широков И. В. Калибровочные поля на однородных римановых многообразиях // Сборник НГАВТ. — 2008. — С. 231−238.

43. Курнявко О. Л., Широков И. В. Построение инвариантных волновых уравнений скалярных частиц на римановых многообразиях с внешними калибровочными полями // ТМФ. — 2008. — Т. 156, № 2. С. 237−249.

44. Широков И. В. К-орбиты, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений. — Омск, 1998. — 100 с. — Препринт, ОмГУ.

45. Dirac P. А. М. The Quantum Theory of the Electron // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1928. — Vol. 117. — Pp. 610—624.

46. Ehrenberg W., Siday R. E. The refractive index in electron optics and the principles of dynamics // Proc. Phys. Soc. — 1949, — Vol. B62. Pp. 8−21.

47. Werner F. G., Brill D. R. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory in the interpretation of electron interferometer fringe observations // Phys. Rev. Lett. — 1960. — Vol. 4. — Pp. 344 347.

48. Chambers R. G. Shift of an electron interference pattern by enclosed magnetic flux // Phys. Rev. Left. 1960. — Vol. 5. — Pp. 3−5.

49. Antiparallele WeiBsche Bereiche als Biprisma fur Elektroneninter-ferenzen / H. Boersch, H. Hamisch, D. Wohlleben, K. Grohman // Z. Phys. 1960. — Vol. 159, no. 4. — Pp. 397−404.

50. Любошиц В. Л., Смородинский Я. А. Эффект Ааронова-Бома на тороидальном соленоиде // ЖЭТФ. — 1978. — Т. 75, № 1. — С. 40−45.

51. Klein U. Comment on «condition for nonexistence of aharonov-bohm effect» // Phys. Rev., D. 1981. — Vol. 23, no. 6. — Pp. 1463−1465.

52. Lipkin H. J. Fringing fields and criticisms of the aharonov-bohm effect // Phys. Rev., D. 1981. — Vol. 23, no. 6. — Pp. 1466−1467.

53. Greenberger D. M. Reality and significance of the aharonov-bohm effect // Phys. Rev., D. 1981. — Vol. 23, no. 6. — Pp. 1460−1462.

54. Bocchieri P., Loinger A. Comments on the letter «on the aharonov-bohm effect» of boersch et al. // Lettere Al Nuovo Cimento Series 2. 1981. — Vol. 30, no. 15. — Pp. 449−450.

55. Rothe H. J. Comments on the theory of the aharonov-bohm effect // II Nuovo Cimento A. 1981. — Vol. 62, no. 1. — Pp. 54−67.

56. Tonomura A. et al. Observation of aharonov-bohm effect by electron holography // Phys. Rev. Lett. — 1982, — Vol. 48, no. 21.— Pp. 1443−1446.

57. Tonomura A. et al. // Proc. Int. Symp. on Foundations of Quantum Mechanics, Tokyo, 1983, edited by S. Kamefuchi et al. — Tokyo: Physical Society of Japan, 1984. P. 20.

58. Tonomura A. et al. Evidence for aharonov-bohm effect with magnetic field completely shielded from electron wave // Phys. Rev. Lett. — 1986. Vol. 56, no. 8. — Pp. 792−795.

59. Фейнберг E. JJ. Об «особой роли» электромагнитных потенциалов в квантовой механике // УФН. — 1962. — Т. 78, № 1. — С. 53.

60. Erlichsori H. Aharonov-Bohm Effect—Quantum Effects on Charged Particles in Field-Free Regions // American Journal of Physics. — 1970. Vol. 38, no. 2. — Pp. 162−173.

61. Вайнштейн А. И., Соколов В. В. Эффект ааронова-бома и принцип локальности в квантовой механики // Ядерная Физика. — 1975.-Т. 22, № З.-С. 618.

62. Серебряный Е. М., Скаржинский В. Д. Тормозное излучение в эффекте Ааронова-Бома // Физический Институт им. П. Н. Лебедева АН СССР. Краткие сообщения по физике. — 1988. — № 6. С. 45−46.

63. Гальцов Д. В., Воропаев С. А. Радиационные переходы Ааронова-Бома // Ядерная физика. 1990. — Т. 51, № 6. — С. 1811−1817.

64. Audretsht J. A., Jasper U., Skarzhinsky V. D. Bremsstrahlung of relativistic electrons in the Aharonov-Bohm potential // Phys. Rev. D. 1996. — Vol. 53, no. 4. — Pp. 2178−2189.

65. Skarzhinsky V. D., Audretsh J. A., Jasper U. Electron-positron pair production in the Aharonov-Bohm potential // Phys. Rev. D. — 1996. Vol. 53, no. 4. — Pp. 2190−2200.

66. Серебряный E. M., Скаржинский В. Д. Тормозное излучение при рассеянии Ааронова-Бома // Труды Физического института им. П. Н. Лебедева АН СССР. Т. 197, — М.: Наука, 1989, — С. 181 185.

67. Wilczek F. Magnetic Flux, Angular Momentum, and Statistics // Phys. Rev. Lett. 1982. — Vol. 48, no. 17. — Pp. 1144−1146.

68. Wilczek F. Quantum Mechanics of Fractional-Spin Particles // Phys. Rev. Lett. 1982. — Vol. 49, no. 14. — Pp. 957−959.69. de Gerbert P. S. Fermions in an Aharonov-Bohm field and cosmic strings // Phys. Rev. D. 1989. — Vol. 40, no. 4. — Pp. 1346−1349.

69. Alford M. G., Wilczek F. Aharonov-Bohm interaction of cosmic strings with matter // Phys. Rev. Lett. — 1989. Vol. 62, no. 10. -Pp. 1071−1074.

70. Gomes M., Malbouisson J. M., da Silva A. J. Nonrelativistic Limit of the Scalar Chern-Simons Theory and the Aharonov-Bohm Scattering // Int. Journ. Mod. Phys. A. 1998. — Vol. 13, no. 18. -Pp. 3157−3180.

71. Gomes M., da Silva A. J. Nonrelativistic limit of the scattering of spin-(l/2) particles interacting with a Chern-Simons field // Phys. Rev. D. 1998. — Vol. 57, no. 6. — Pp. 3579−3584.

72. Boz M., Fainberg VPak N. K. Chern-Simons theory of scalar particles and the Aharonov-Bohm effect // Phys. Lett. A. — 1995. — Vol. 207, no. 1. Pp. 1−10.

73. Boz M., Fainberg V., Pak N. K. Aharonov-Bohm scattering in Chern-Simons theory of scalar particles // Annals of Phys. — 1996. T. 246, № 30. — C. 347−368.

74. Lewis R. R. Aharonov-Bohm effect for trapped ions // Phys. Rev. A. 1983. — Vol. 28, no. 3. — Pp. 1228−1236.

75. Серебряный E. M. Поляризация вакуума магнитным потоком: эффект Ааронова Бома // ТМФ. — 1985. — Т. 64, № 2. — С. 299 311.

76. Багров В. Г., Гитман Д. М., Скаржинский В. Д. Эффект Ааронова-Бома для стационарных и когерентных состояний электрона в однородном магнитном поле // Труды Физического института им. П. Н. Лебедева АН СССР. — Т. 176, — М.: Наука, 1986.-С. 151−165.

77. Багров В. Г., Гитман Д. М., Тлячев В. Б. Точные решения релятивистских волновых уравнений для поля Ааронова-Бома в комбинации с другими полями // Труды физического общества республики Адыгея. — 2001. — № 6. — С. 11−40.

78. Bagrov V. G., Gitman D. М., Tlyachev V. В. Solutions of relativistic wave equations in superpositions of Aharonov-Bohm, magnetic, and electric fields // arXiv: hep-th/20 1068vl.

79. Багров В. Г., Копытов Г. Ф., Тлячев В. Б. Релятивистский электрон в постоянном магнитном поле и эффект Ааронова-Бома // Труды Физического общества Республики Адыгея. — 1999. — № 4, — С. 6−33.

80. Петров А. 3. Пространства Эйнштейна, — М.: Физматлит, 1961. 464 с.

81. Абрамовиц М. А., Стиган И. А. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. — М.: Мир, 1979. 832 с.

82. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. В 3 т. — 2-е, испр. изд. — М.: Физматлит, 2003, — Т. III. Специальные функции. Дополнительные главы. — 688 с.