Оптимизация приближенных методов решения некоторых классов интегральных уравнений и смежные вопросы теории приближенных методов

Актуальность темы

В середине прошлого столетия на стыке функционального анализа, теория приближения и вычислительной математики начала формироваться новая математическая дисциплина, которую сейчас иногда называют общей теорией оптимальных алгоритмов или теорией оптимизиции приближенных методов. Для теории приближения эта новая дисциплина явилась естественным этапом дальнейшего развития. Дело в том, что к моменту формирования указанной дисциплины теория приближения прошла три этапа своего становления. На первых двух этапах исследовалась аппроксимация с помощью фиксированного приближающего множества, а на третьем этапе центральной стала проблема выбора такого приближающего множества, которое было бы оптимальным в том или ином смысле. С началом формирования теории оптимальных алгоритмов интерес исследователей постепенно начал смещаться в сторону принциально новой для теории приближения ситуации, когда аппроксимирующие элементы различаются не по принадлежности тому или иному прибилженному множеству, а по условию сложности их построения. При этом под сложностью понимается, как правило, либо информационная сложность, измеримая объемом дискретной информации, требуемой для определения аппроксимирующего элемента, либо алгоритмическая сложность, равная минимальному числу элементарных операций, необходимых для его построения.

У истоков теории оптимальных алгоритмов стоял А. Н. Колмогоров, который в своем докладе на Международном конгрессе математиков в Стокгольме в 1962 году фактически изложил программу развития новой математической дисциплины. Ее методологией стала теория экстремальных задач аппроксимации, разработанная С. М. Никольским [34], Н. П. Корнейчуком [22, 23], В. К. Дзядыком [11], В. М. Тихомировым [55] и их последователями.

Идеи из упомянутого выше доклада А. Н. Колмогорова нашли свое развитие и конкретизацию в работах Н. С. Бахвалова [4,5], К.И.Бабенко[3,53], В. В. Иванова [17,18], Дж. Трауба, Х. Вожьнякковского, Г. Васильковского [56,57], С.В.Переверзева[69], В. К. Задираки [14,15], Ш. Хейнриха [67], их учеников и последователей, в которых рассматривались оптимизация по сложности алгоритмов приближенного решения различных задач теории дифференциальных и интегральных уравнений. При этом были выявлены неожиданные эффекты, свидетельствующие, например, о принципиальном отличии традиционной для теории приближения ситуации аппроксимации функции с помощью того или иного аппарата приближения в случае, когда нам доступна информация непосредственно об объекте приближения (так называемая непосредственная аппроксимация), от ситуации, когда мы приближаем эту же функцию, но как решение некоторого функционального уравнения, и нам доступна лишь информация о его коэффициентах. Так в 1985 году С. В. Переверзевым было установлено, что не существует оптимального по сложности алгоритма приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода с ядрами и свободными членами из соболевских классов дифференцируемых функций, который бы использовал только их значения в отдельных точках. С другой стороны из теории приближения хорошо известно, что располагая значениями решений указанных уравнений в некоторых точках, мы можем построить их приближения, которые окажутся оптимальными среди всех способов аппроксимаций, использующих дискретную информацию.

Выявленный эффект привлек внимание исследователей. В 1986 году Х. Вожьняковский [77] поставил вопрос о точном порядке информационной и алгоритмической сложности приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода с ядрами и свободными членами из соболевских классов. Ответ на этот вопрос был получен С. В. Переверзевым в 1988 году [39,40]. Позже, в совместной работе С. В. Переверзева, Ш. Хейнриха и К.Франк.

66], этот ответ был уточнен в том смысле, что был указан не только точный порядок в степенной шкале, но и правильная степень логарифмического множителя в оценке указанной сложности.

В настоящее время благодаря усилиям С.В.переверзева [41,44] и его учеников С. Г. Солодкого [51], К. Шарипова [59], К. Махкамова [33], немецких математиков Ш. Хейнриха и К-Франк [64,66], а также китайского математика Тен-Дзи-Янга [75] прояснена ситуация, связанная с оценками сложности приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода с ядрами и свободными членами, имеющими конечную гладкость. Установлено, что в смысле порядка в степенной шкале информационная и алгоритмическая сложность приближенного решения этих уравнений не выше сложности непосредственной аппроксимации их решений. Иными словами, структура уравнений Фредгольма второго рода с ядрами и свободными членами конечной гладкости позволяет получить дискретную информацию об этих уравнениях, достаточную для приближенного решения с той же по порядку точностью, которая может быть гарантирована при оптимальной непосредственной аппроксимации при использовании того же объема информации, но уже непосредственно о приближенном элементе.

В свете указанных выше результатов представляется совершенно естественным продолжить исследования сложности интегральных уравнений Фредгольма второго рода и рассмотреть классы таких уравнений с бесконеч-нодифференцируемыми, например, аналитическими и гармоническими коэффициентами. На важность изучения бесконечнодифференцируемых коэффициентов указывалось и в обзорной статье К. И. Бабенко [3], посвященной взаимосвязи задач теории приближения и численного анализа. Уравнения Фредгольма с бесконечнодифференцируемыми ядрами естественно возникают в качестве граничных интегральных уравнений для краевых задач математической физики в областях, ограниченных замкнутыми аналитическими или бесконечно гладкими кривыми. Все это делает весьма актуальным рассмотрение задачи об информационной и алгоритмической сложности приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма с бесконечнодифферен-цируемыми коэффициентами. Именно этому и посвящена настоящая диссертация.

Цели диссертации.

— исследование информационной сложности приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода с периодическими бесконеч-нодифференцируемыми ядрами и свободными членами;

— исследования информационной сложности локального решения указанных выше уравнений, то есть приближенного вычисления значений фиксированного функционала на решениях этих уравнений;

— получение порядковых оценок информационной сложности приближенного решения слабо — сингулярных интегральных уравнений Фредгольма второго рода с бесконечнодифференцируемыми коэффициентами при сингуляр-ностях.

Методика исследования. Методическую основу работы составляют современные способы анализа приближенных методов и методы оценки бчисел интегральных операторов.

Следует отметить что элементы методологии современной теории приближенных методов и теории 8 — чисел плодотворно использовались для построения, исследования и оптимизации алгоритмов приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений в работах В. К. Дзядыка [11], В. Л. Макарова [30], Г. В. Радзиевского [47], А. Ю. Лучки [27,28], С. В, Переверзева [69], Ш. Хейнриха [68], Б. Г. Габдулхаева и Г. Д. Велева [8], Ю, Саранена, Г. Вайникко [73] и других.

Так Ш. Хейнрихом установлена глубокая связь между информационной сложностью приближенного решения операторных уравнений второго рода и числами Гельфанда некоторого специального оператора. Однако в известных нам работах эта связь применялась для исследования информационной сложности приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода лишь в случае конечной гладкости ядер и свободных членов. Вместе с тем следует отметить, что полученные при этом точные в степенной шкале порядке информационной сложности полного (то есть не локального) решения уравнений Фредгольма могли быть установлены, по крайне мере в случае одномерных интегральных уравнений и без применения техники, связанной с числами Гельфанда (достаточно сравнить, например, работу С. В. Переверзева [41] и результаты К. Франк [64]).

В то же время при исследовании информационной сложности в случае бесконечнодифференцируемых ядер и свободных членов указанная выше связь играет чрезвычайно важную роль, поскольку, как будет показано, методы получения нижних оценок информационной сложности из работы С. В. Переверзева [41] дают слишком заниженный результат для рассматриваемых классов уравнений. Применение же упомянутой связи между информационной сложностью и числами Гельфанда в случае уравнений с бесконечно-дифференцируемыми коэффициентами отличается рядом принципиальных моментов от ее применения в случае конечной гладкости. Эти моменты и были разработаны по ходу проведения исследования диссертации. Что же касается полученных в третей главе оценок информационной и алгоритмической сложности приближенного решения слабо — сингулярных уравнений с бес-конечнодифференцируемыми коэффициентами при сингулярности, то здесь основные методологические трудности были связаны с получением верхних оценок, а нижние оценки установлены с помощью приема из упомянутой выше работы С. В. Переверзева [41].

Научная новизна, теоретическая и практическая значимость.

Основные результаты работы являются новыми и в определенном смысле неулучшаемы. Эти результаты состоят в следующем:

— найден точный в логарифмической шкале порядок информационной сложности приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода с периодическими ядрами и свободными членами, допускающими по каждой переменной аналитическое продолжение в некоторую полосу комплексной плоскости;

— выявлен весьма неожиданный и не имеющий места в случае конечной гладкости эффект, состоящий в том, что с точки зрения информационной сложности задача приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода с периодическими, аналитическими коэффициентами является более сложной по сравнению с задачей непосредственной аппроксимации множества их решений;

— для упомянутых выше классов интегральных уравнений найден точный в логарифмической шкале порядок информационной сложности локального решения;

— получены аналоги перечисленных выше результатов для интегральных уравнений с ядрами и свободными членами, зависящими от произвольного конечного числа переменных, а также для уравнений с дифференцируемыми ядрами и свободными членами при ф (и) = е-" «;

— указан точный в степенной шкале порядок информационной и алгоритмической сложности приближенного решения слабо-сингулярных уравнений с периодическими аналитическими коэффициентами при логарифмической особенности;

— для класса уравнений со сглаживающими операторами, содержащего указанные слабо-сингулярные уравнения, найден оптимальный порядок скорости сходимости проекционно-итеративного метода и некоторых его обобщений.

— найден оптимальный порядок точности прямых методов приближенного решения интегральных уравнений, возникающих, а рамках так называемого метода функции краевых условий при решении периодических краевых задач для линейных дифференциальных уравнений, указаны прямые методы, реализующие оптимальный порядок и даны оценки скорости сходимости аппроксимационно — итеративных методов типа метода Шмидта и метода Соколова, построенных на базе этих прямых методов;

Работа носит в основном теоретический характер. Установленные в ней факты могут быть использованы при построении и анализе эффективности методов решения прикладных задач, связанных с интегральными уравнениями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались или опубликованы в тезисах: Республиканской научно-технической конференции «Интегральные уравнения в прикладном моделировании» (Киев, 1986, Одесса, 1989), Всесоюзной конференции «Теория функций, функциональный анализ и дифференциальные уравнения с запаздывающими аргументами «(Душанбе, 1987), Всесоюзной школы «Теория приближения функций» (ЛуцкКиев, 1989), Республиканской конференции «Экстремальные задачи теории приближения и их приложения» (Киев, 1990), на семестре по теории приближения и оптимизации алгоритмов в Международном математическом центре имени С. Банаха (Варшава, 1995), Международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ» (Москва, 1995), на Международной конференции, посвященной памяти академика М. Кравчука (Киев, 1995), Международной конференции по теории приближения функций, посвященной памяти профессора П. П. Коровкина (Калуга, 1996), Международной конференции «Теория приближения и численные методы», посвященной 100-летию со дня рождения Е. Я. Ремеза (Ровно, 1996), второй школы «Ряды Фурье: теория и применение» (Каменец.

Подольск-Киев, 1997), Межународной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами (Душанбе, 2003), Республиканской научной конференции по современным проблемам математики (Душанбе, 2003), Научной конференции по современным проблемам теории функций, дифференциальных уравнений и их приложения (Душанбе, 2007), Международной конференции по математике и информатике (Душанбе, 2009).

По материалам работы были сделаны доклады на семинаре «Оптимизация методов приближения», руководимом академиком HAH Украины Н. П. Корнейчуком (Институт математики HAH Украины), на семинаре кафедры численных методов математической физики, руководимом профессором В. Л. Макаровым (Киевский национальный Университет имени Тараса Шевченко), на семинаре «Оптимизация методов решения задач вычислительной математики», руководимом проессором В. К. Задиракой (Институт кибернетики HAH Украины), на семинарах «Теория приближения», руководимом академиком АН Республики Таджикистан, Шабозовым М.Ш.(Институт математики АН Республики Таджикистан), на семинарах кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений Национального университета Таджикистана, руководимом профессором Г. Джангибековым (ТГНУ), на семинарах кафедры математического анализа Таджикского государственного педагогического университета, руководимом профессором Каримовой М. М (ТГПУ им. Садриддина Айни).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в статьях [42],[80]-[118]. В работе [42], выполненной в соавторстве с С. В. Переверзевым, последнему принадлежит постановка задачи и выбор объекта исследований.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитируемой литературы из 118 работ. Объем работы — 246 страниц машинописного текста.

1. Алексеенко М. И. Приближенное решение периодической краевой задачи // Весщ Академш навук БССР, сер.физ.мат.навук. 1981, № 6,с.54−58.

2. Ахиезер Н. И., Крейн М. Г. О наилучшем приближении периодических функций // Докл. АН. СССР. 1937.-15. — с.419−423.

3. Бабенко К. И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа // Успехи мат.наук. 1985.-40.№ 1. -с.3−27.

4. Бахвалов Н. С. Об оптимальных способах задания информации при решении дифференциальных уравнений //Журн.вычисл.математики и мат.физики. -1962.-2, № 4.-с.569−592.

5. Бахвалов Н. С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики // Журн.вычисл. математики и мат.физики. -1970. -10, № 3. -с.555−568.

6. Бахвалов Н. С., Коробов Н. М., Ченцов H.H. Применение теоретико-числовых сеток к задачам приближенного анализа // Труды IV-ro Всесоюзного математического съезда, 1961. -M.:JI.: Физматгиз, 1964, Т., с.580−587.

7. Бурлаченко В. П., Романенко Ю. И. О приближение по методу В.К.Дзя-дыка решения задачи Гурса с многочленными коэффициентами //Теория функций и ее приложения. Киев: Наукова думка, 1979, с.50−60.

8. Габдулхаев Б. Г., Велев Г. Д. Наилучшие приближения решений функциональных уравнений и оптимизация численных методов. Конструктивная теория функций // Труды междун.конф., Варна, 27 мая-2 июня 1984 г. -София, 1984. с.18−26.

9. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. -Киев: Наукова думка, 1984 283 с.

10. Дзядык В. К. Аппроксимационный метод приближения алгебраическими многочленами решений линейных дифференциальных уравнений// Изв. АН СССР, сер.матем. -1974. -38, JVM.-c.937 -967.

11. Дзядык В. К.

Введение

в теорию равномерного приближения функций полиномами. -М.:Наука.1977.-512 с.

12. Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Наук. думка, 1988. -304 с.

13. Емельянов К. В., Ильин A.M. О числе арифметических действий, необходимом для приближенного решения интегрального уравнения Фред-гольма второго рода // Журн.вычисл. математики и мат.физики. 1967. -7,т. -с.905 -910.

14. Задирака В. К. Мельникова С.С. Цифровая обработка сигналов. Киев: Наук. думка, 1993. -293 с.

15. Задирака В. К. Теория вычисления преобразования Фурье. -Киев: Наук. думка, 1983. -216 с.

16. Зализняк С. Н., Мельник Ю. И., Подлипенко Ю. К. О приближенном решении интегральных уравнений теории потенциала// Укр.мат.журн.-1981. -33, № 3.-с. 385 -391.

17. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. -Киев: Наук, думка, 1968. -288 с.

18. Иванов В. В. Об оптимальных алгоритмах численного решения сингулярных интегральных уравнений // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. -М: Наука, 1972. -с.209−219.

19. Иванов В. В. Методы вычисления на ЭВМ.-Киев: Наук. думка, 1986.-500с.

20. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. -М: Наука, 1968. -496 с.

21. Конторович Jl.В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1977. -744 с.

22. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. -М.: Наука, 1987. -424 с.

23. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. -М.: Наука, 1976. -320 с.

24. Корнейчук Н. П. Теория приближений и проблема оптимизации вычислений// Укр.мат.журн. -1990. -42, № 5. -с.579−593.

25. Красносельский М. А., Вайникко Г. М. и др. Приближенное решение операторных уравнений. -М.: Наука, 1969. -с.

26. Курпель Н. С. Проекционно итеративные методы решения операторных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1968. -244 с.

27. Лучка А. Ю. Проекционно итеративные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1980. -264 с.

28. Лучка А. Ю. Проекционно итеративные методыюКиев: Наук. думка, 1993. -288 с.

29. Лучка А. Ю. Лучка Т.Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. Киев: Наук. думка, 1985. -240 с.

30. Макаров В. Л. Об одном методе аппроксимации линейных интегральных операторов // Оптимизации вычислений. -Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1975. -с.67−72.

31. М арчу к Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов. -М.: Атомиздат, 1971. -492 с.

32. Махкамов К. Ш. О сложности задачи нахождения решений слабо сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН Украины, -1994. с. 28−34.

33. Махкамов К. Ш. О точном порядке сложности для одного класса операторных уравнений второго рода в гильбертовом пространстве// Укр.мат.журн. 1994. -46, № 7, с. 893−903.

34. Никольский С. М. Квадратные формулы. -М.: Наука, 1988. -266 с.

35. Островецкий JT.A. Применение аппроксимационного метода к приближению решения задачи Коши для линейных уравнений гиперболического типа с многочленными коэффициентами. Препринт 81.36. -Киев: Ин-т математики, 1981. -32 с.

36. Переверзев C.B. Об оптимальных способах задания информации при решении интегральных уравнений с дифференцируемыми ядрами// Укр.мат.журн. -1986. -38, № 1. -с. 55−66.

37. Переверзев C.B. Аппроксимационные числа и приближение собственных значений интегральных операторов// Укр.мат.журн. 1987. -39, № 2. -с.204 -209.

38. Переверзев C.B. Об оптимизации методов приближенного решения интегральных уравнений с дифференцируемыми ядрами // Сиб.мат.журн. -1987. -28, № 3. -с. 173−183.

39. Переверзев C.B. О сложности задачи нахождения решений уравнений Фредгольма второго рода с гладкими ядрами. I// Укр.мат.журн. -1988. -40, т. -с.84−91.

40. Переверзев C.B. О сложности нахождения решений уравнений Фредгольма второго прода с гадкими ядрами. II// Укр.мат.журн. -1989. -41, № 2. -с.189−193.

41. Переверзев C.B. Гиперболический крест и сложность приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода с дифференцируемыми ядрами// Сиб.мат.журн. 1991. -32, № 1. -с. 107−115.

42. Переверзев C.B., Азизов M. об оптимальных способах задания информации при решении интегральных уравнений с аналитическими коэффи-центами // Укр.матжурн. -1996. -48, № 5. с. 656 -665.

43. Переверзев C.B., Махкамов К. Ш. Галеркинская информация, гиперболический крест и сложность операторных уравнений// Укр.мат.журн. -1991.-43, № 5. с. 639−648.

44. Переверзев C.B., Мырзанов Ж. Е. Об одной задаче приближенного интегрирования, возникающей в теории систем обслуживания// Укр.мат.журн. -1987. -39, № 5.-с.598−602.

45. Переверзев C.B., Синенко М. А. Об оптимальной скорости сходимости КР метода и некоторых его обобщений // Журнал выч. Математики и матем.физики. -1991. -31, № 10. -с.1452 -1460.

46. Пич А. Операторные идеалы. -М.: Мир, 1982. -536 с.

47. Радзиевкий Г. В. Краевые задачи и связанные и ними модули непрерывности// Функ. анализ и его прил. -1995. -29, № 3. -с.87−90.

48. Розенвассер Е. Н. Колебания линейных систем. -Москва, 1969.

49. Соболев СЛ. Уравнение математической физикиюМ.:Наука, 1966,443 с.

50. Соколов ЮД. Метод осреднения функциональных поправок Киев: На-ук.думка, 1968. -336 с.

51. Солодский С. Г. Сложность уравнения Фредгольма второго рода с ядрами из анизотропных классов дифференцируемых функций// Укр.мат.журн. -1996. -48, № 4. -с. 529−535.

52. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. -Киев: Наукова думка, 1987. 268 с.

53. Теоретические основы и конструирования численных алгоритмов задач математической физики. -Под ред. К. И. Бабенко.-М.:Наука, 1979. -295с.

54. Тивончук В. И. Об одном варианте метода осреднения функциональных поправок для решения линейных интегральных уравнений смешанного типа// Диффереиц. Уравнений. -1966. -2, № 9. -с. 1228−1238.

55. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. -М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1976. -304 с.

56. Трауб Дж., Вожьняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов. -М.: Мир, 1983. -382 с.

57. Трауб Дж., Васильковский Г., Вожьяковский X. Информация, неопределенность, сложность. -М: Мир, 1988. -183 с.

58. Функциональный анализ. -Под общей ред. С. Г. Крейна (серия: «Справочная математическая библиотека»).- М: Наука, 1972.-544с.

59. Шарипов К. К. Сложность уравнений Фредгольма второго рода с ядрами из классов с доминирующей смешанной производной// Укр.мат.журн. -1990. -42, № 8. -с.1138 -1145.

60. Шапкин А. Ф. О методах решения уравнений Фредгольма, оптимальных на классах функций// Мат.заметки. -1974. 15, № 4 — с.595−602.

61. Birkoff G., Shultz M.N. and Varga R.S. Piecewise Hermite Interpolation in One and Two variables with Applications to Partial Differential Equations // Numer.math. -1968. -11,№ 1. -p.232−256.

62. Favar J. Sur les meilleures prosed es d' approximation de certaines classes des fonctions par des polynomes trigonometrique// Bul. de Sciences Math. -1937.-61. -p.209−224. 243−256.

63. Frank K. Complexity of local Solution of multivariate Integral Equation// Interner Bericht. Fachbereich Informatik, Universitat Kaiserslautern, 1994. m 48−94.

64. Frank F. Complexity of Multivariate Integral Equations: Fui Solution in Sobolev Spaces// Interner Bericht. Fachbereich Informatik, Universitat Kaiserslautern. 1995. № 71−95.

65. Frank K., Heinrich S. Complexity of Local Solution of Integral Equations// Beitrage zur Angewandten Analysis und Informatik. Shaver Verlag, 1994, p. 55−68.

66. Frank K., Heinpich S., Pereverzev S.V. Information Complexity of Multivariate Fredholm Integtal Equations in Sobolev Classes// J. Complexity. 1996. -12. -p. 17−34.

67. Heinrich S. Radem Approximation in Numerical Analysis. Proceedings of the Conferece «Fanctional Analysis». Essen 1991 (ed.by K.D.Bierstedt, A. Pietsch, W.M.Ruese, D. Vogt), Markel Dekker, 1994.

68. Heinrich S. Complexity of integral equations and relations to s-numbers// J.Complexity. -1993. -9, № 2. -p. 141 -153.

69. Pereverzev S.V. Optimization of Methods for Approximate Solution of Operator Equations. Nova Science Publishers.Inc. 1996. -330 p/.

70. Pereverzev S.V., Solodky S.G. Optimierung Directer Verfahren fur Geeichungen 2. Art mit Glattungsoperatoren// Math.Nachr. -1991. 153. -p.101−108.

71. Pereverzev S.V., Sharipov C.C. Information Complexity of the Equations of the Second Kind with Compact Operators in Hilbert Space// J.Cpmplexity. -1992. -8.№. -p. 176−202.

72. Ritz W. Uber eine neue Methode zur Losung gewisser Variationprobleme der mathematishen Phusik// J. fur die reine und angew. Math. -1908.-135, № 1. -p.1−62.

73. Saranen J., Vainikko G. Trigonomettic Collocayion Methods with Product Integration for Boundary Integral Equations on Closed Curves// SIAM J.numer. Anal.- 1995. -32, № 5.

74. Schmidt E. Zur Tehorier der linearen und nichtlinearen Integral gleichungen// Math.Ann. 63, 1907, p. 435−476.

75. Tianzi Jiang. The Complexity of the Fredholm Equation of the Second Kind with Free Term in W'// Chinese scienceBull., -1993. -38, № 20. -p.1684−1695.

76. Werschulz A.G. The Computational of Complexity of Differential and Integral Equations. Oxford Univ. Press, 1991, 500 p.

77. Wozniakowski H. InformationBased Complexity// Ann.Rev. Comput. Sci. -1986. -1. -p.318−380.

78. Yan Y. A Fast Numerical Solution for a Second Kind Boundary Integral Equation with Logarithmic Kernel// SIAM J.Numer. Anal. 1994. -31, № 2. -p. 477 -498.

79. Переверзев С. В. Оптимизация методов приближенного решения операторных уравненийю. Киев, Институт математики НАНУ, 1996. — 251 с.

80. Азизов М. Аппроксимационный метод решения периодической краевой задачи для линейного дифференциального уравнения// Доклады АН Таджикской ССР. 1985 -28, № 3, -с. 129−132.

81. Азизов М. Аппрксимационный метод решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с гладкими коэффициентами// Исследования по теоретическим и прикладным вопросам математики. -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986. -с.47.

82. Азизов М. О приближение интегральных уравнений теории потенциала// Труды мат. Ин-т АН СССР. 1987, 180. -с.24−25.

83. Азизов М. Об одном методе приближенного решения проблемы собственных значений для вполне непрерывных операторов// Доклады АН Таджикской ССР. 1989. -32, № 5, -с. 289 -292.

84. Азизов М. Об одном применение аппроксимационного метода// Доклады АН таджикской ССР.1990. -33, № 5, -с.283−286.

85. Азизов М., Переверзев C.B. Блендиигсплайны в модифицированном методе сингулярного разложения// Экстремальные задачи теории приближения и их приложения. Тезисы докладов Республиканской научной конференции. -Киев, 1990. -с.5.

86. Азизов М. Приближение аметодом решении одной краевой задачи для уравнения гиперболического типа // Тезисы докладов Всесоюзной школы «Теория приближения функции» Луцк Киев, 1989. — с.4.

87. Азизов М., Раджаббеков Р. Приближение аметодом решении одной краевой задачи для уравнения гиперболического типа// Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Душанбе, 1991. -с.3−9.

88. Азизов М. О приближенном решении одной краевой задачи// Доклады АН Таджикской ССР 1991. -34, № 11, с 605−609.

89. Азизов М. Информационная сложность уравнении Фредгольма с аналитическими ядрами и свободными членами// Тезисы докладов Международной конференции «Функциональные пространства. Теория приближений. Нелинейный анализ». Москва, 1995. с. 7.

90. Азизов М. Оптимизация задания информации при решении уравнении Фредгольма с гармоническими коэффициентами// Изв-я АН РТ., серия физ-мат. и геолог. -1994. -№ 4 — с.15−24.

91. Азизов М. Информационная сложность приближенного решения уравнении Фредгольма с гармоническими ядрами и свободными членами// Доклады НАН Украины. -1996. № 5, с.24−28.

92. Азизов М. О минимальном радиусе информации для уравнении Фредгольма с гармоническими ядрами и свободными членами// Четверта М1жнародна наукова конференщя 1меш академжа М. Кравчука. -Кшв, 1995. -с.З.

93. Азизов М. Информационная сложность локального решения уравнении Фредгольма с аналитическими ядрами и свободными членами// Доклады РАН. -1997. -352, № 2, -с.151−154.

94. Азизов М. О сложности приближенного решения слабо-сингулярных интегральных уравнений// Тезисы докладов Международной конференции по теория приближений посвященной памяти профессора П.П. Ко-ровкина. -Калуга. 1996. с. 9.

95. Азизов М. О сложности граничных интегральных уравнений с аналитическими коэффициентами при логарифмической сингулярности// Укр.матем.журн. -1996. -48, № 10, -с.1299 -1311.

96. Азизов М. Об оптимальной скорости сходимости проекционно итеративного метода и некоторых его обобщений на классе уравнений со сглаживающими ядрами// Укр.матем.журн. -1996. -48, № 11, -с.1448−1456.

97. Азизов М. О сложности граничных интегральных уравнений с гармоническими коэффициентами при логарифмической сингулярности // Доклады HAH Украины. -1996. № 11. -с.24−27.

98. Азизов М. Об оценке информационной сложности слабосингулярных интегральных уравнений// Тезисы докладов Международной конференции «Теория приближения и численные методы», посвященной 100-летию со дня рождения Е. Я. Ремеза. -Ровно. 1996, -с. 13.

99. Азизов М. Информационная сложность граничных интегральных уравнений с периодическими аналитическими коэффициентами// Доклады АН РТ.1996. -34,№ 9−10, с.106−111.

100. Азизов М. Приближение а-методом решений краевых задач для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений// Доклады АН РТ.1996. -34,№ 9−10, -с.19−26.

101. Азизов М. Точный порядок информационной сложности слабо сингулярных интегральных уравнений с периодическими коэффициента Мат.заметки. 1997 -62, вып.5, -с.643−656.

102. Азизов М. Об одном прямом методе приближенного решения периодической краевой задачи// Укр.матем.журн. -1997. -49, № 11, -с.1157−1161.

103. Азизов М. Приближенное решение периодической краевой задачи аппроксимационноитеративным методом. Друга школа «Ряди Фу-рье:теор1я i застосування». Тези допов1д1, Кам' янець Подшьськ — Кшв (30 червня — 5липня 1997 р.). -с.4.

104. Азизов М. Информацтонная сложность многомерных уравнений Фпед-гольма II рода с гармоническими коэффициентами // Укр.мат.журн. -2000. 52, № 7, с. 805 — 816.

105. Азизов М. Оценка минимального радиуса информаций локального решения многомерных уравнений Фредгольма с гармоническими коэффициентами // Докл. АН РТ, 2001. 39, № 3−4, с.52−57.

106. Азизов М. Оптимизация задания информации при решении уравнений Фредгольиа для случая ф дифференцируемых коэффициентов //Докл.АН РТ, 40, 2002, № 5−6, с.61−65.

107. Об одном прямом методе приближенного решения периодической краевой задачи // Сборник статей и тезисов докладов республиканской научной конференции. Душанбе, 2003, — с.19−21.

108. Азизов М. Оптимальные способы задания информации для локального решения уравнений Фредгольма с коэффициентами бесконечной гладкости // Вестник ХоГУ, серия 1, 2004, с.3−20.

109. Азизов М. Об одной оценке числа Гельфанда // ДАН РТ 2007, № 3, с.3−7.

110. Азизов М. О приближенном решении периодической краевой задачи // Вестник ХоГУ, серия 2, 2008, с.3−21.

111. Азизов М. Инорфмационная сложность локального решения интегральных уравнений Фредгольма с аналитическими коэффициентами // Известия АН РТ, серия физ.-мат.наук, 2008, 131, № 2, с.15−26.

112. Азизов М. Об оценке числа Гельфанда в пространстве аналитических функций // Вестник ТГПУ, 2009, с.8−12.

113. Азизов М. О скорости сходимости методов проекционно-итеративного типа для уравнений со сглаживающими операторами // Труды международной конференци «Система обучения. Математика, информатика, технология». Душанбе, 2009. стр.3−8.

114. Азизов М. Об одном применении ироекционно-итеративного метода. -Украинский математический конгресс. Тезис докладов Киев (27 — 29 агуста), 2009.