Разработка и исследование быстрых параметрически перестраиваемых ортогональных преобразований в базисах «wavelet» — функций

Научно-технический прогресс неразрывно связан с созданием новых технических систем разного назначения и повышением надежности их функционирования. Для обеспечения надежного бесперебойного функционирования систем, особенно в условиях постоянно возрастающей сложности и комплексности, необходимо выполнять контроль и управление состоянием этих систем. Содержание этой задачи включает в себя диагностирование и классификацию текущего технического состояния системы и воздействия на ее параметры на основе полученных сведений, а также такие вопросы, как постоянное слежение за состоянием системы (мониторинг) и прогнозирование. Предметом настоящей работы является разработка математической основы для оценивания состояния технических систем, входящая в общую проблему управления состоянием подобных систем. В работе также рассмотрены методы выделения информативных признаков, характеризирующих конкретное состояние диагностируемой системы, на основе которых может быть произведена классификация состояния и идентификация выявленных дефектов.

Теоретические вопросы выделения информативных признаков (ИП), а также примеры решения конкретных прикладных задач широко представлены во многих работах как российских [1−5], так и зарубежных [6−9] авторов. В этих работах предложено применение разных методов обработки информации в зависимости от характера изучаемых данных и сигналов и их информативных компонентов. Примерами таких методов являются ортогональные и не ортогональные преобразования, фильтрация и статистические методы [10−13].

В рамках настоящей работы выбираем из общего числа явлений, которые могут быть отнесены к категории носителей информации, физические сигналы, представляющие собой изменение значения некоторой физической величины в зависимости от времени или пространства. В дальнейшем термин информация для кратности будем связывать с физическими сигналами, понимая их содержание в указанном смысле.

Для методов обработки информации можно выделить три основных признака, определяющих качество, целесообразность и возможности практического применения данных методов, в частности в задачах диагностики: адекватность, разделимость информативных признаков (ИП) и трудоемкость практической реализации.

Если адекватность выражает степень соответствия информативного содержания обработанной информации исходной, то разделимость ИП определяе т, на сколько хорошо (с учетом выбранного критерия) данный метод выделяет информативные для решаемой задачи признаки из общего количества информативных и неинформативных (шумы) компонентов исходной информации. Третий признак — трудоемкость реализации метода определяет практическую применимость данного метода. Поскольку в настоящее время подавляющее большинство всех задач обработки информации реализуются в цифровом представлении информации, то важна возможность построения быстрых вычислительных алгоритмов, позволяющих произвести обработку информации в реальном масштабе времени, что для ряда задач является неотъемлемым условием (например, мониторинг технического оборудования в рабочих режимах).

Среди методов, широко используемых сегодня при решении задач обработки информации, следует выделить методы, основанные на применении ортогональных преобразований, которые позволяют при соответствующем выборе базисной системы обеспечивать адекватность анализируемой информации при достижении высокой степени декорреляции получаемых в результате информативных компонентов. Кроме того, для ряда ортонормированных базисных систем, как, например, для базисных систем Фурье, Уолша и Хаара, известны факторизованные представления, которые являются основой для быстрых алгоритмов вычисления преобразования.

Приведенные особенности ортонормированных преобразований являются фактором широчайшего использования их не только в задачах диагностики, но и в других задачах обработки информации, как например, при обработке биологических сигналов (ЭКГ, ЭЭГ) для определения состояния здоровья человека, при обработке звуковых сигналов и изображений, в задачах классификации при первичной обработке классифицируемой информации и т. д.

Известна обобщенная модель ортогональных преобразований в параметрической форме со структурой, непосредственно позволяющей производить вычисления по быстрому алгоритму [14]. Благодаря указанным особенностям создается возможность параметрического приспособления базисных систем к виду анализируемой информации при одновременном обеспечении высокой скорости ее обработки. Таким образом можно достигать более высоких показателей сжатия информации и выделения информативных признаков, чем это возможно при использовании обычных неперестраиваемых ортогональных преобразований [15−18]. Кроме названных преимуществ перестраиваемых базисных систем, однако, существуют и недостатки, заключающиеся в общем случае в необходимости первичной обработки анализируемых сигналов для выделения их характеристик.

Другим классом ортогональных преобразований, сильно развивающимся в течении последних лет, является так называемое «?ауе1еГ'-преобразование [1928]. В немногочисленных российских публикациях по этой теме [29−32] встречаются как название «вейвлет-преобразование», так и «всплесковое преобразование» для обозначения данного класса ортогональных преобразований.

Разложение анализируемых сигналов по всплескообразным базисным вейвлет-функциям, являющимся результатом масштабирования и сдвига одной порождающей функции, дает более подробные сведения об изучаемом процессе, чем, например, стандартный анализ Фурье. Вейвлет-функции хорошо локализованы как во временной, так и в частотной области, что придает полученному вейвлет-спектру характер частотно-временной оценки анализируемого сигнала. Коэффициенты преобразования содержат информацию о присутствии в сигнале в определенный временной интервал частотных компонентов, соответствующих определенной частотной полосе. Кроме того, существующие расчетные алгоритмы для дискретного вейвлет-преобразования являются достаточно эффективными и быстрыми, хотя и не безызбыточными.

Особенности вейвлет-преобразований (В-П) делают их очень привлекательными в самых различных приложениях: при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов [33, 34], при обработке речевых сигналов [35] и изображений [36, 37], для сжатия больших объемов информации [36, 38, 39] и т. д.

Основная идея диссертационной работы состоит в объединении преимуществ ортогональных В-П и перестраиваемых систем ортогональных базисных функций в обобщенную модель перестраиваемых ортогональных вейвлет-преобразований. Успешное применение ортогональных В-П в последнее время во все большем числе областей науки и техники [39−41], а также многочисленные разработки, связанные с расширением возможностей и изменением свойств В-П [42−47], подтверждают актуальность выбранного направления исследования.

Целью диссертационной работы является исследование и разработка математического аппарата, позволяющего синтезировать ортогональные системы базисных вейвлет-функций, приближенные к характеру анализируемых сигналов и обладающие возможностью параметрического перестраивания. Исходя из поставленной цели, в работе сформулированы следующие основные задачи исследования:

— анализ существующих методов синтеза приспособленных систем ортогональных базисных функций,.

— разработка математических методов синтеза дискретных параметрически перестраиваемых ортогональных вейвлет-функций,.

— разработка и исследование алгоритмов быстрых вейвлет-преобразо-ваний в параметрически перестраиваемой форме, оценка их вычислительной эффективности,.

— экспериментальные исследования разработанного аппарата при анализе информации различной физической природы.

В первой главе настоящей работы приведен краткий обзор и дан сопоставительный анализ известных ортогональных систем базисных функций При этом обращается особенное внимание на возможности приспособления базисных систем к характеру изучаемого процесса, а также на наличие быстрых вычислительных алгоритмов. Приводятся теоретические основы ортогональных вейвлет-преобразований, которые являются по своему характеру близкими к характеру многих физических процессов. Поэтому предлагается именно этот вид ортогональных преобразований в качестве основы для создания нового класса параметрический перестраиваемых ортогональных преобразований. Исходя из результата сопоставления и анализа известных ортогональных преобразований сформулированы задачи исследования.

Вторая глава посвящена разработке параметрической модели ортогонального вейвлет-преобразования. Введена матричная форма представления В-П и выделен обобщенный вейвлет-оператор, составляющий основу матричного В-П. Выполнена факторизация вейвлет-оператора. Для представления факторизован-ных матриц использованы спектральные ядра, которые позволяют параметрически перестраивать матричные операторы, но при этом обеспечивают как ортогональность, так и наличие быстрых вычислительных алгоритмов. Приведены необходимые условия для выбора параметров параметрической модели вейв-лет-преобразования.

В третьей главе рассмотрены вопросы реализации алгоритмов перестраиваемого В-П. Произведен анализ вычислительной эффективности алгоритмов на основе разработанной факторизованной модели В-П и сделан вывод о целесообразности ее использования. Разработан алгоритм текущего вейвлет-анализа, имеющего значение для анализа неограниченных по времени сигналов. Преимущество данного алгоритма состоит в том, что отсутствует необходимость применения временных оконных функций, которое связано с дополнительными вычислительными затратами и искажением изучаемых процессов.

Четвертая глава посвящена обобщению разработанной параметрической модели ортогонального вейвлет-преобразования для случая коэффициентов изменения масштаба вейвлет-функций, не равных двум. Исследовано построение параметрической модели для масштабного коэффициента три и рассмотрены ее особенности. Приведены примеры как вещественных, так и комплексных систем базисных функций.

В пятой главе представлены результаты применения разработанных параметрически перестраиваемых преобразований в задачах диагностирования состояния роторных машин. Рассмотрены задача приспособления системы базисных вейвлет-функций к анализируемым сигналам и вопрос выбора критерия приспособления и алгоритм оптимизации выбранного критерия.

Теоретические результаты, полученные в настоящей работе, состоят в разработке нового класса параметрически перестраиваемых ортогональных преобразований на основе известного вейвлет-преобразования. Применение разработанных преобразований позволяет объединить преимущества В-П, состоящие в частотно-временной локализованное&tradeбазисных функций, с возможностью приспособления формы базисных функций к характеру изучаемого процесса. Кроме того, использование параметрической модели обеспечивает уменьшение выполняемых вычислительных операций, что ведет к увеличению быстродействия алгоритмов.

5.5. Основные результаты и выводы.

В настоящей главе рассмотрены прикладные вопросы использования разработанного аппарата параметрически перестраиваемых вейвлет-функций в задачах выделения информативных признаков в вибрационных процессах и при сжатии звукового сигнала.

В задаче выделения информативных признаков путем оптимизации базисной системы удалось достичь высокой степени разделимости между информативными составляющими, характерными для определенного состояния изучаемого объекта, и фоновыми компонентами процесса. При этом достаточно определить коэффициенты преобразования первого уровня, что, помимо существования быстрого алгоритма расчета, обеспечивает дополнительное сокращение вычислительных затрат. Надежное выделение информативных признаков позволяет достоверно распознавать состояние объекта на основе простых решающих правил.

Существенное уменьшение в два раза погрешности восстановления звукового сигнала по усеченному вейвлет-спектру путем оптимизации базисной системы показывает целесообразность применения параметрического В-П и его эффективность при сжатии информации.

Анализ практических результатов, полученных в приведенных примерах, позволяет сделать вывод о гибкости разработанной параметрической модели вейвлет-преобразования. Она выражается в высокой степени приспособления базисной системы к анализируемой информации, достигнутого в обоих примерах. Гибкость оператора преобразования обеспечивает универсальность данного метода и широкие возможности использования его в задачах обработки информации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Основные научные и практические результаты, полученные в работе, состоят в следующем.

1.) Разработана факторизованная параметрическая модель ортогонального вейвлет-преобразования, которая позволяет построить ортогональные вейвлет-функции, приспособленные к характеристикам обрабатываемой информации.

2.) Разработан рекурсивный быстрый алгоритм параметрического В-П, использующий структурные особенности факторизованных матриц для сокращения вычислений и получена оценка уменьшения вычислительных затрат.

3.) Разработан алгоритм текущего вейвлет-анализа, позволяющего анализировать неограниченные во времени процессы без предварительного их разбиения на интервалы.

4.) Приведены основы ортогонального В-П с коэффициентом изменения масштаба базисных вейвлет-функций, равным трем. Разработана параметрическая модель троичного вейвлет-преобразования, а также быстрый вычислительный алгоритм.

5.) Предложена методика выбора угловых параметров В-П с целью приспособления базисных систем к решаемой задаче, основанная на методах цифровой оптимизации.

6.) Результаты исследований подтверждены экспериментально и показали высокую эффективность и гибкость разработанных методов.

Применение разработанной в диссертационной работе параметрической модели ортогонального В-П позволяет повышать достоверность диагностирования в задаче управления состоянием технических систем и, таким образом, улучшать качество и надежность самого процесса управления.

Вследствие универсального характера разработанной модели как метод обработки информации, использование ее не ограничивается приведенными прикладными примерами и может быть распространено на области и задачи, в которых уже применяются непараметрические ортогональные вейвлет-преобразования, а также на другие области обработки сигналов, в том числе и нестационарных. Преимущество разработанной модели состоит в возможности параметрического приспособления базисной системы к обрабатываемой информации с одновременным повышением вычислительной эффективности. Получены алгоритмы, позволяющие использовать для выполнения приспособленного вейвлет-преобразования уже имеющиеся программные реализации ортогонального В-П.

Полученные в диссертационной работе результаты могут найти развитие в распространении параметрической модели на аппарат вейвлет-пакетов (wavelet packets, [75]) и изучении характеристик троичных вейвлет-функций. Другое направление развития может заключаться в разработке метода адаптивного В-П, в котором на каждом шаге рекурсивного алгоритма используются другие вейв-лет-функции, приспособленные к обрабатываемой информации на данном конкретном шаге.

Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы в [15−18,76,77] и доложены на Седьмой Международной (Балтийской) студенческой олимпиаде по автоматическому управлению (г. С.-Петербург, 1999 г.), на XVI Международном межвузовском школе-семинаре «Методы и средства технической диагностики (МиСТД-99)» (г. Ивано-Франковск, Украина, 1999 г.) и на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПГЭТУ (г. С.-Петербург, 1998;2000 гг.).