Разработка и исследование многомерно-матричных алгоритмов линейного оценивания характеристик многоагрегатных ТП и массивов экспериментальных данных
Диссертация
24,87,88,89,90,92,93]. Оцениванию массивов из одномерной или двумерной модели свертки с целью восстановления измерительной информации посвящен ряд работ по методам регуляризации [27,29,34, 40,49,61,77,82,84,95,106,IIlJ. Однако вопросы, связанные с использованием структурных особенностей и априорной избыточности многомерно-матричных моделейопределением функционалов сложности и стабилизаторов… Читать ещё >
Список литературы
- Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. — М.: Наука, 1977. — 233 с.
- Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М: Связь, 1980. — 448 с.
- Аведян Э.Д. Рекуррентный метод наименьших квадратов при коррелированных помехах. Автоматика и телемеханика, 1975, № 5, с.67−75.
- Аведян Э.Д., Цыпкин Я, 3. Обобщенный алгоритм Качмажа. -Автоматика и телемеханика, 1979, № I, с.72−78.
- Ануркин А.А., Денисов А. Г., Кессельман JI.A. Проблемы автоматизации в аналитическом приборостроении. Электронная промышленность, 1983, № I0-II, с.114−116.
- Аристархова А.А., Волков С. С., Толстогузов А. Б. Исследование поверхности твердых тел методом спектрометрии обратнорас-сеянных ионов низких энергий. Электронная промышленность, 1979, № I, с.41−44.
- Баландин Ю.П. Псевдообращение многомерных матриц. -Алгоритмические методы и программирование в радиоэлектронике: Межвуз.сб. Рязань: РРТИ, 1979, с.128−132.
- Баландин Ю.П. Оценивание симметрических матриц по многомерному методу наименьших квадратов. Обработка информации в автоматических системах: Межвуз.сб. — Рязань: РРТИ, 1980, с .146−149.
- Баландин Ю.П., Бирюков В. Ф. Рекуррентные алгоритмы ограниченной сложности для устойчивого решения дискретного уравнения свертки. Математические методы оптимального управления и обработки данных: Межвуз.сб. — Рязань: РРТИ, 1983, с.3−9.
- Баландин Ю.П., Бирюков В. Ф., Лабутин Г. И. Аппроксимация собственных базисов линейных операторов искажений при решении многомерных обратных задач измерительной техники. Автометрия, 1984, № 2, с.23−28.
- Баландин Ю.П., Лабутин Г. И., Милов Л. Т. Декомпозицияи агрегирование алгоритмов линейной обработки многомерных массивов данных. Системы управления, передачи, преобразования и отображения информации: Межвуз.сб. .- Рязань: РРТИ, 1980, с.21−26.
- Баландин Ю.П., Милов Л. Т. Многомерные линейные алгоритмы фильтрации при наличии ограничений на матрицу оптимально оценивавмых параметров. Управление. Передача, преобразование и отображение информации: Межвуэ.сб. — Рязань: РРТИ, 1976, вып.3,с.42−47.
- Баландин Ю.П., Милов J1.T. Метод наименьших квадратов для многомерных массивов данных. Управление. Передача, преобразование и отображение информации: Межвуз.сб. — Рязань: РРТИ, 1977, вып.4, с. П-16.
- Баландин Ю.П., Милов Л. Т. Многомерно-матричный подход . к задаче кусочно-постоянной аппроксимации многомерных дискретных функций. Системы управления, передачи, преобразования и отображения информации: Межвуэ.сб. — Рязань: РРТИ, 1978, вып.5,с.52−56.
- Баландин Ю.П., Тетеркин В. Ф. Структурные преобразования многомерных массивов данных. Системы управления, передачи, преобразования и отображения информации: Межвуз.сб. — Рязань: РРТИ, 1981″ с.83−87.
- Баландин Ю.П., Туркин В. Е. Алгоритмы двумерной рекурсии при решении обратной задачи оценивания дискретных сигналов.
- Системы управления, передачи, преобразования и отображения инфорi tмации: Межвуз.сб. Рязань: РРТИ, 1983, с. ИЗ-118.
- Бакушинский А.Б. К проблеме построения линейных регуля-ризующих алгоритмов в Банаховых пространствах. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1973, т.13, № I, с.204−210.
- Белман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976,352 с.
- Бирюков В.Ф., Пилишкин В. Н. Повышение эффективности алгоритмических модулей при автоматизации проектирования управляющих устройств. Труды /МВТУ, 1984, № 407. — Автоматизированное проектирование систем управления. — с.59−66.
- Бирюков В.Ф. О рациональном построении регуляризирующих алгоритмов при идентификации импульсных переходных функций. -Автоматика и телемеханика, 1972, № 8, с.171−173.
- Бирюков В.Ф. К оптимизации систем при случайных воздействиях. Системы управления, передачи, преобразования и отображения информации: Межвуз.сб. — Рязань: РРТИ, 1981, с.8−12.
- Блгомин С.А. К оценке состояний систем с многомерным параметром. Автоматика и телемеханика, 1978, № 10, с.44−47.
- Василенко Г. И. Теория восстановления сигналов. М.: Сов. радио, 1979. — 270 с.
- Велев К.Д. Сравнительный анализ адаптивных алгоритмов оценки параметров нестационарных объектов. Автоматика и телемеханика, 1975, № 8, с.40−48.
- Виттих В.А., Сергеев В. В., Сойфер В.А, Обработка изображений в автоматизированных системах научных исследований. М.: Наука, 1982. — 215 с.
- Воеводин В.В., Тыртышников Е. Е. Численные методы решения задач с матрицами типа теплицевых. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1981, т.21, № 3, с.531−543.
- Воеводина С.Н. Решение систем уравнений с клеточно-теп-лицевыми матрицами. Сб.: Вычислительные методы и программирование. — М.: МГУ, 1975, вып.24, с.94−100.
- Волков Е.Ф., Ершов Н. Н. Синтез асимптотически устойчивых многосвязных систем с заданной статистической точностью. -Автоматика и телемеханика, 1981, № 7, с.19−27.
- Ворчик Б.Г. Идентификация объекта в стохастической замкнутой систем. Автоматика и телемеханика, 1975, № 4, с.32−48.
- Воскобойников Ю.Е., Томпсонс fl.fi.Выбор параметра регул-ризации и ошибки восстановления входного сигнала в методе статистической регуляризации. Автометрия, 1975, № 4, с.10−19.
- Гарбарчук В.И. Метод ослабления связности для моделирования сложных многосвязных систем. Тезисы доклада 1У Всесоюзного совещания по управлению многосвязными системами. — М., 1978, с.72−73.
- Гинзбург С.А., Любарский Ю. Я. Функциональные преобразователи с аналогово-цифровым представлением информации. М.: Энергия, 1973. — 105 с.
- Гласко В.Б., Кондорская Е. Е. 0 некоторых стабилизирующих по А.Н.Тихонову функционалах для многомерных некорректных задач.-Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1983, т.23, № 2, с.301−306.
- Голд Б., Рейдер К. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973. — 368 с.
- Гольдин М.Л., Дорохов А. П., Дынькин Е. М. Дискретные решения уравнений типа свертки и математическая обработка резонансных, спектров. Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1978, т.21, № 3, с.685−695.
- Гончарский А.В., Леонов А. С., Ягола А. Г. Конечноразност-ная аппроксимация линейных некорректных задач. Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1979, т.14, № I, с.15−24.
- Гришин М.П., Курбанов П. М., Маркелов В. П. Автоматический ввод и обработка изображений на ЭВМ. М.: Энергия, 1976. — 258 с.
- Грйщенко А.З. Автоматическое управление в производстве химических волокон. М.: Химия, 1975. — 381 с.
- Грехем С. Радиоинтерферометр с синтезированной апертурой- 207 для картографирования. ТИИЭР, 1974, т.62, № 6, с.133−141.
- Тулинский О.В. О численном решении некоторых некорректных задач теории управления. Автоматика и телемеханика, 1976, № 8, с. 60−79.
- Д’Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами.-М.: Машиностроение, 1974. 287 с.
- О погрешности определения рельефа поверхности методом двухдлинноволновой интерферометрии/ С. Т. Де., А. Г. Козачок., А. В. Логинов., М. П. Цапенко. Сб.: Голографические измерительные системы / Под редакцией А. Г. Козачка. — Новосибирск, 1976, с.31−40.
- Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. -М.: Энергия, 1979. 372 с.
- Дмитриев А.Н., Егупов Н. Д. Спектрально-временной метод идентификации нестационарных линейных систем. В кн.: Методы идентификации в задачах измерительной техники и метрологии. Тезисы доклада на III Всесоюзном симпозиуме. — Новосибирск, 1982, с.157−159.
- Джейн А.К. Успехи в области математических моделей для обработки изображений. ТИИЭР, 1981, т.69, № 5, с. 9−39.
- Денисов А.Г., Машинский Ю. П. Энергетические анализаторы для электронной оже-спектроскопии. Электронная промышленность 1978, № II-12- с.69−73.
- Дубенко Т. И, Фильтр Каймана для случайных полей. -Автоматика и телемеханика, 1972, № 12, с.37−40.
- Жуковский Е.А. Статистическая регуляризация систем алгебраических уравнений. Журнал Вычислительная математика и математическая физика. — 1972, т.12, № I, с.185−191.
- Жуковский Е.А., Липцер Р. Ш. 0 рекуррентном способе вычисления нормальных решений линейных алгебраических уравнений.-Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1972, т.12, № I, с.489−492.
- Икрамов Х.Д. 0 некоторых приемах использования симметрии для понижения порядка линейных алгебраических задач. Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1981, т.21,3, с.769−772.
- Кафаров В.В., Мешалкин В. П., Нгуен Саун Нгуен Алгоритмы компактного преобразования информационной структуры матриц математических моделей сложных технических систем. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1980, № 3, с.32−41.
- Каминскас. В., Нямура А. Статистические методы идентификации динамических систем. Вильнюс: МИНТИС, 1975 — 196 с.
- Круг Т.К., Сосулин Ю. А., Фатуев В. А. Планирование экспериментов в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. — 208 с. .
- Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.
- Лебедев Д.С., Трушкин А. В. Решение системы линейных уравнений с неполной циклической матрицей с помощью ДПФ. Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1979, т.19,5, с.1333−1336.
- Лисковец О.А. Теория и методы решения некорректных задач. В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ,-М., т.20,1982, с.116−118,
- Маркл Я. Ускорение сходимости алгоритмов Качмажа в случае временных корреляций процесса. Автоматика и телемеханика, 1980, № 8, с.70−73.
- Медведев Г. А., Хацкевич Г. А. 0 рекуррентных оценках по коррелированным наблюдениям. Автоматика и телемеханика, 1979, № 8, с.69−75.
- Медведев Г. А. Адаптивное оценивание по реализации случайных процессов и полей. Автоматика и телемеханика, 1978, № 10, с.87−99.
- Медич Дж. Статистические оптимальные линейные оценки управления. М.: Энергия, 1973. — 440 с.
- Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. — 344 с.
- Милов Л.Т. Многомерно-матричные производные при анализе чувствительности систем автоматического управления. Автоматика и телемеханика, 1979, № 9, с.15−25.
- Милов JI.T., Александров В. В. Матричные методы при разработке алгоритмов многомерной параметрической идентификации.
- Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии: Тезисы доклада на Ш Всесоюзном симпозиуме. Новосибирск, 1982, с.11−12.
- Милов JI.T., Баландин Ю. П., Кабанов А. Н. Синтез замкнутых оптимальных фильтров для определения параметров разложения сигналов при помехе типа белый шум. Известия вузов. Приборостроение, 1974, № 9, с.46−50.
- Милов JI.T., Баландин Ю. П., Лабутин Г. И. Элементы линейной многомерно-матричной теории дискретных сигналов. Методыи средства преобразования сигналов: Тезисы докла I Всесоюзной конференции. Рига: Зинатне, 1978, с.134−137.
- Милов Л.Т., Солодовников В. В. Спектральное представление линейных нестационарных систем в пространстве состояний. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1979, № 5, с.182−188.- 210
- Нахи Н. Е, Применение метода рекурсивной оценки в стохастической задаче улучшения качества изображений. ТИИЭР, 1972, т.60, № 7, с.145−153.
- Обработка.изображений и цифровая фильтрация /Под редакцией Т.Хуанга. М.: Мир, 1979. — 318 с.
- Округ А.И. Динамический алгоритм Качмажа. Автоматика и телемеханика, 1981, № I, с.41−53.
- Пащенко К.К., Становова В. А. 0 тензорной стохастической аппроксимации и ее применении к задачам фильтрации, идентификации и распознания образов. Автометрия, 1974, № 5, с.19−27.
- Перельман М.И. Оперативная идентификация объектов управления. М.: Энергоиздат, 1982. — 272 с.
- Прэтт У. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1974. — 318 с.
- Петров Б.Н., Теряев Е. Д., Шмариков Б. М. Условия параметрической идентификации управляемых объектов в разомкнутых и замкнутых системах. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1977, № 2, с.169−175.
- Поляк Б.Т. Сходимость и скорость сходимости итеративных стохастических алгоритмов. Автоматика и телемеханика, 1977,4, с.101−108.
- Поляк Б.Т., Цыпкин Я. З. Адаптивные алгоритмы оценивания (Сходимость, оптимальность, стабильность). Автоматика и телемеханика, 1979, № 3, с.71−83.
- Райбман Н.С. Ццентификация объектов управления (обзор).-Автоматика и телемеханика, 1979, № 6, с.80−93.
- Савелова Т.И. О решении уравнений типа свертки с неточно заданным ядром методом регуляризации. Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1972, т.12, № I, с.212−217.
- Савелова Т.Н., Тихомиров В. В. О решении интегральных уравнений 1-го рода типа свертки в многомерном случае. Журнал Вычислительная математика и математическая физика, 1973, т.13, № 3, с.555−563.
- Серегина Н.И., Солопченко Г. Н. Простой регуляризирующий метод компенсации влияния аппаратной функции на результат измерений. Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1984, № 2, с.166−178.
- Сейдж Э., Мелса Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976. — 496 с.
- Соболев О.С. Однотипные связные системы регулирования.-М.: Энергия, 1973. 135 с.
- Солодовников В.В. Об автоматизации проектирования систем АУТП. Известия вузов. Приборостроение, 1977, № 10, с.24−34.
- Солодовников В.В. Автоматизированный синтез систем управления. Труды /МВТУ, 1984, № 407. — Автоматизированное проектирование систем управления. — с.2−27.
- Солодовников В.В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления. М.: Наука, 1977. — 344 с.
- Солодовников В.В., Бирюков В. Ф. О проблеме некорректности в теории управления и методах ее решения. В кн.: Опыт создания и внедрения автоматизированных и автоматических систем управления технологическими процессами. — Фрунзе, 1979, с.3−10.
- Солодовников В.В., Зверев В. Ю. Принятие решения на расширенных множествах и принцип сложности. Труды /МВТУ, 1981,360, Системы автоматического управления. — с.5−14.
- Солодовников В.В., Семенов В. В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.- Наука, 1974. — 336 с.
- Тарасов К.И. Спектральные приборы. Л.: Машиностроение, 1977. — 367 с.
- Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. — 223 с.
- Трауб Дж., Вожняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов: пер. с англ. М.: Мир, 1983. — 382 с.
- Тыртышников Е.Е. О некоторых задачах, связанных с теплице выми матрицами. В кн.: Численный анализ на Фортране. Методы и алгоритмы. — М.: Изд-во МГУ, 1979, с. I05-II3.
- Тгоарсон Р. Разряженные матрицы. М.: Мир, 1977. — 231 с.
- Ушаков A.M. Автоматическая обработка интерферограмм. -В кн.: Цифровая обработка сигналов и ее применение. М.: Наука, 1981, с.99−125.
- Форсайт Ж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. — 279 с.
- Хант Б.Р. Цифровая обработка изображений. ТИИЭР, 1975, т.63, № 4, с.177−195.
- Худсон Д. Статистика для физиков. М.: Мир, 1970. -296 с.
- Хабиби А. Двумерная байесовская оценка изображений. -В кн.: Обработка изображений при помощи цифровых вычислительных машин. М.: Мир, 1973, с.182−189.
- Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968, — 400 с.
- Шаффер Р.У., Мерсеро P.M., Ричарде М. А. Итерационные алгоритмы восстановления сигналов при наличии ограничений.- 213
- ТИИЭР, 1981, т.69, № 4, с.34−55.
- Эндрюс Г. Применение вычислительных машин при обработке изображений. М.: Энергия, 1977. — 161 с.
- Ю7.Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. -М.: Мир, 1975. 684 с.
- Юсупов P.M. Элементы теории идентификации технических объектов. М.: Министерство обороны СССР, 1974. — 202 с.
- Янушевский Р.Т. Теория линейных многосвязных систем управления. М.: Наука, 1973. — 464 с.
- ПО. Ярославский Л. П., Фаянс A.M. Исследование возможностей обработки и анализа интерферограмм на ЦВМ. Иконика. Цифровая голография. Обработка изображений: Сб. статей/Под редакцией Д. С. Лебедева. М.: Мысль, 1975, с.21−32.
- Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов. радио, 1979. — 312 с.
- П4. EkCundh J.O. A fast computer method for matrix transposing.-IEEE Trans, onComput, 19?2, V. 21, 146, p. 801−803.
- Exstrom M.P. An Iterative implement approach the numerical! soCatlon of vector Toepfttz Systems.- IEEE Trans, on Comput, 19?$, v.23, rt3, p.320−325.
- Hant B.R. Minimizing the computation time for using the techniyie of sectioning far digitoC Jittering of picture. IEEE Trans, on Comput. f ig?2, v.21, hH1, p.
- Hant B.R. Atheorem on the difficulty of numerical deconvoCution. IEEE Trans. on Automat. Control, 19?2, v. 20, |y|3, p. 94−95.
- On comput., 19??, v. 26, ri 11, p. 1061- 1071.
- Katayma T., Kosaka M. Recursive filteringaCcjoritftm for a twO’diminCsionaC sy stem.-IEEE Ъчшъ. on Automat. Control 19?9,v.24, aI1, p. «0−132.
- MendeCS. M. Multistage feast-squares parameter estimators. -IEEE trans, on Automat. Coutr., 19?5,v.23, N12, p.??5-?82.
- Nlafil N.E., franco?.A. Recursive enhancement vector processing.-IEEETrans.on Communs, 1973, v.21, rJ 2, p. 305−311.
- Pratt W.K. Vector space formulation of Two-BlmenslonaP slgnaP processing operations.- Computer Srapblcs and image processing, 19?5, d4, p. 1−24.
- Qulncj, ueton 1, BertfiodM. кЬсиЩ adaptive Peano scanning afyoritfim.-IEEE Trans. PAMI, 1981,. v.3, rt'4, p. 441- 445.
- RoeSuck R.A., Bornet S. A survey of Toep’fcts and related rnatrtses.- Inf. 3. Sterns ScL, 1978, v.9, rsl 8, p. 921- 934.
- RoesserR.P. A discrete state-space modeC for Cm ear Image Processing. trans. Automat. Controe, 1975, v. 20, кМ, p. i -10.
- Shien L.S., Yennij C.K., Meinnis B.S. Solution o$ state-space -equations via №ek LmpuCce junctions.-Int. 3. Control 1978, v. 28, il3, p. 383−392.
- Wong E. Recursive filtering and detection? or two-dlmenslonaC random fie EdsLecture Notes In Econom. and Syst., 1975, v. 10?, K6, p. 20?-2?.
- VlpP., RqoK.R. On the computation and effectiveness of discrete sine transj-orm.-Comput. and Eeec. Eng., 1980, v.7, isM, p.45−55.
- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРВДЕНИЙ
- П1.I. Доказательство утверждения 2.1Л. Агрегирование исходного выражения
- Y^(p?q,) = Aj>Cp, e) B
- Агрегирование выполняется последовательно сначала для мультииндекса, а затем для мультииндекса р
- YrCp+nf9).rECp, p) ef. Aj>(p, C).Be.C^). «А (р+>*, О ВсгСе,^).
- Y (s+p+r, cj,)= Z ^Аср+г, е) ВсгСе,^) СП1"3)
- Для этого вьфажения запишем эквивалентное преобразование с тем, чтобы мультистолбец сг непосредственно взаимодействовал с агрегируемым блоком В<�гС?,
- Пользуясь правилами переноса мультииндекса с через А (р+г?В) 67 Зс заменой свернутого умножения на кронекеровское, получим:
- Y (S+р+г, tp= Г г ® г, А (р&diams- Г, Е). [ Ц: * Все, (р = [ ® A (p+r, E)] BU+e, tp1. П1.4)
- Декомпозиция выражения П1.4 к П1Л проводится применением операции П1.2 в обратном порядке.
- Результат агрегирования в виде Y (2+pt$, q,)может быть получен аналогично предьщущему последовательным агрегированием сначала по мультииндексу (Г, а затем по мультииндексу f .
- П1.2. Доказательство отвержения 2.1.2.
- Для доказательства матрицы сомножители с индексами в выражении
- Подставляя полученные выражения в (П1.5) и группируя сомножители по правилу изменения порядка сомножителей в произведении
- Y (r+p, ip = AO, s + m) Z5LoL®I>Cm+p7e).B (s+e, q,)
- Откуда окончательно получим (2.4).
- Декомпозиция (2.4) представляет собой последовательность преобразований с обратным порядком действий. Утверждение доказано.
- П1.3. Доказательство утверждения 2.1.3.
- Преобразование над (2.9) с использованием правил агрегирования многомерных матриц по нестаршим индексам 14. приводят к выражению
- Y (r+p, cv) = I А».(г-, т) В (т+р-е) B^q,)1. П1.5)распишем отдельно как результат декомпозиции
- А (гО, = А (г, S + т) г — B)
- Результат агрегирования (2.12) получается из предыдущего структурным преобразованием:
- YCr+m+p+e?$th+q, t6) eE (K', h)
- W+p+m+t, b+t^+n+6) Etb, S) ® Cty+n, n+
- Обратная операция над Y (r+ptmt??S+^n+6) производится по формуле декомпозиции многомерной матрицы по нестаршим индексам l4. путем умножения на мультиорты:
- Арг (Р><0®Вя (е, 6) = Е (рf [A (r+p, s+(p
- П1.4.Доказательство утверждения 2.1.4.
- Пользуясь формулой преобразования смешанного произведения 170. перейдем от (2.16) к выражению
- Сагрегируем теперь свернутые сомножители по нестаршим индексам
- Y (P+1, ^ ь) = руСр, 9) feo^f .Е (^)®- f ] [E (^)®B^(es)].
- После преобразования окончательно придем к (2.16).
- Второй вариант агрегирования (2.17) осуществляется проведением над матрицей А (р,^)структурного преобразования 19.:
- A (p?
- Декомпозиция (2.16) (2.17)(2.14) предполагает выполнение предыдущих действий в обратном порядке. Утверждение доказано.
- П1.5. Доказательство утверждений 2.2.3, 2.2.4.
- Выполним над обеими частями (2.34) структурное преобразование, состоящее в умножении левой и правой части на структурный преобразователь Е Cm -t-r m + r, 0) 19! .
- В результате (2.34) преобразуется к (2.35). Утверждение 2.2.3 доказано.
- Для преобразования (2.36) к (2.37) необходимо умножить (2.36) слева на структурный преобразователь С+г+г) а справа на структурный преобразователь ECm-t-r +¦ т+г, 0) Утверждение доказано.
- П1.6. Доказательство утверждения 2.2.5.
- Для доказательства выполним декомпозицию (2.38) по мультииндексу зи. Выделенный блок будет иметь вид
- Выделим в полученном соотношении два сомножителяи применим затем структурное преобразование, изменяющее порядок следования мультииндексов строчной группы у первого сомножителя и столбцовой группы у второго сомножителя
- Используя правило перестановки сомножителей в смешанном произведении (2.30) t приведем последнее выражение к виду1. B (q,+ (), m)=ZCe, m)
- Далее проводится декомпозиция по мультииндексу jx-Hj.Ce.o)
- К полученному выражению применим операцию девекторизации t7 J
- АлСе?и) XR0), 0) = 2^(6,(0
- После агрегирования матриц В^ц (И, (р и по мультииндексу ju в младшие столбцовые получим
- АлСе, Ю B (r+m, q,) ХлС%0)=?(е + т, 0)
- Последним шагом доказательства будет агрегирование по мультииндексу?. Блоки Ал (8,г) агрегируются в строку, А р^ блоки Хл Сф? 0) агрегируются в столбец
- АС е, р+гЛ LE (p, p)
- П1.7. Доказательство утверждений 2.2.6, 2.2.7
- Для доказательства утверждения 2.2.6 запишем для (2.40) эквивалентное преобразование
- А (р, Е) ® Е (Г, г). X Ср+г, <* + s) В О*, m)
- Доказательство утверждения 2.2.7 полностью аналогично предыдущему, но с другим порядком сомножителей в квадратных скобках (2.42). Утверждения доказаны.