Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Штеккелевы пространства в некоторых космологических задачах

Диссертация: Штеккелевы пространства в некоторых космологических задачах
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Усложнение появившихся при этом теорий и моделей приводит к трудности интегрирования полевых уравнений даже при рассмотрении самых простых моделей. Число точно решаемых моделей в таких теориях невелико (см. например). Невозможность аналитического исследования приводят к необходимости использования численных методов интегрирования, что связано с изучением проблем сходимости и контроля точности… Читать ещё >

Штеккелевы пространства в некоторых космологических задачах (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Обзор теории штеккелевых пространств
    • 1. 1. Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби
    • 1. 2. Разделение переменных в уравнении Клейна-Гордона-Фока
    • 1. 3. Общие сведения о изотропных штеккелевых пространствах
  • 2. Конформно—плоские изотропные штеккелевы пространства в теории Эйнштейна с, А — членом
    • 2. 1. Конформно-плоские штеккелевы пространства Эйнштейна типа (1.1)
      • 2. 1. 1. Конформно-плоские штеккелевы пространства типа (1.1)
      • 2. 1. 2. Вакуумные конформно-плоские штеккелевы пространства типа (1.1) с, А — членом
      • 2. 1. 3. Вакуумные конформно-плоские штеккелевы пространства типа (1.1) без, А — члена
    • 2. 2. Конформно-плоские штеккелевы пространства Эйнштейна типа (2.1)
      • 2. 2. 1. Конформно-плоские штеккелевы пространства типа (2.1)
      • 2. 2. 2. Вакуумные конформно-плоские штеккелевы пространства типа (2.1) с, А — членом
      • 2. 2. 3. Вакуумные конформно-плоские штеккелевы пространства типа (2.1) без, А — члена
    • 2. 3. Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби и уравнения эйконала
  • 3. Конформно-плоские изотропные штеккелевы пространства в задаче Вайдья
    • 3. 1. Постановка задачи
    • 3. 2. Преобразование метрики конформно-плоского штеккелева пространства типа (1.1)
    • 3. 3. Решение задачи Вайдья для конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1)
  • 4. Конформно-плоские изотропные штеккелевы пространства в теории Бранса-Дикке
    • 4. 1. Постановка задачи
    • 4. 2. Полевые уравнения теории Бранса-Дикке для конформно-плоских штеккелевых пространств
    • 4. 3. Преобразования метрики конформно-плоского штеккелева пространства типа (1.1)
    • 4. 4. Решение полевых уравнений в классе t'2 = t’z =

Актуальность темы

.

Одной из актуальных проблем современной физики является построение реалистичных моделей развития Вселенной. Современные наблюдательные данные противоречат стандартным космологическим моделям в рамках общей теории относительности. Решение этой проблемы идет через построение альтернативных (модифицированных) теорий гравитации. Эти теории используют новые подходы и методы (теории гравитации с высшим производными, со специальным гравитационными условиями, с высшими размерностями), в этих подходах используются дополнительные объекты для описания гравитационных эффектов (темная энергия и материя со специальными свойствами, дилатон и т. п.). При построении современных космологических моделей используются самые последние достижения различных физических теорий, таких как теории струн, теории бран, теории с лагранжианами, нелинейными по кривизне пространства. При этом полагается что жизнеспособная и физически обоснованная теория должна являться метрической теорией.

Усложнение появившихся при этом теорий и моделей приводит к трудности интегрирования полевых уравнений даже при рассмотрении самых простых моделей. Число точно решаемых моделей в таких теориях невелико (см. например [1−3]). Невозможность аналитического исследования приводят к необходимости использования численных методов интегрирования, что связано с изучением проблем сходимости и контроля точности расчета, где для выверки методов большую роль играют точно решаемые задачи. При квантовании теории также значительную роль играют точно решаемые классические модели. Имеется ряд аналитических решений для классических моделей см. [4−20]. Но численные методы не всегда подходят для понимания физических свойств пространств, в которых рассматриваются космологические задачи. Для этого необходимо получение аналитических решений полевых уравнений. В связи с чем существует проблема точного интегрирования и классификации полученных решений для полевых уравнений в различных моделях в рамках модифицированных теорий. Классификация решений — это нахождение всех неэквивалентных решений полевых уравнений относительно определенной группы преобразований. По этой причине выбираются пространства, в которых рассматриваются метрики, обладающие какой-либо симметрией. Системное исследование проблемы аналитического интегрирования полевых уравнений Эйнштейна было связано с классификацией пространств, допускающих группы движения (см. [21−23]). Обобщением таких пространств являются пространства, содержащие более сложные геометрические объекты (тензорные и векторные поля Киллинга). На эти объекты обычно накладываются дополнительные условия. Проблема построения классификации для пространственно-временных метрик, допускающих наборы таких геометрических объектов, удовлетворяющих дополнительным условиям, имеющим физический смысл рассматривалась в работах [24−34]. Пространства, которые допускают существование так называемых полных наборов взаимно коммутирующих векторов и тензоров Киллинга относятся к штеккелевым пространствам.

Пространства Римана, позволяющие проинтегрировать уравнения геодезических методом полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби для незаряженной массивной частицы, называются штеккелевыми пространствами. Теория полного разделения переменных в одночастичных уравнениях движения разработана усилиями многих исследователей, начиная с Фурье, Остроградского, Якоби. В настоящее время найдены условия полного разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби в произвольном искривленном пространстве [32,35−42]. Первые примеры штеккелевых пространств, удовлетворяющих полевым уравнениям Эйнштейна получил еще Шварцшильд. К штеккелевым пространствам относятся широко известные решения, такие как решения Керра, Казнера, де Ситтера и т. д. (см. например [16,17,43−45]). Установлено, что принадлежность пространства к классу штеккелевых является необходимым условием для полного разделения переменных во всех основных уравнениях математической физики: Клейна-Гордона, Дирака, Вейля и других (см., например [46−61]). Этим объясняется тот факт, что все известные аналитические решения уравнений математической физики получены в классе штеккелевых пространств [62]. В настоящее время классификационные задачи для штеккелевых пространств в достаточной мере изучены как видно из приведенной выше литературы. Решены проблемы классификации штеккелевых метрик в пространствах Эйнштейна, Риччи-плоских пространствах, пространствах электровакуума и т. д. Так же данная проблема исследовалась для однородных пространств, и получено множество точных решений самых различных полевых уравнений (к примеру [63−68]). При изучении штеккелевых пространств были установлены ковариантные критерии принадлежности пространств к классу штеккелевых, этим критерием является наличие в пространстве так называемого полного набора взаимно коммутирующих векторов и тензоров Киллинга. При этом разделение переменных возможно только в специальных системах координат, называемых привилегированными. Так же штеккелевы пространства характеризуются наличием (или отсутствием) в привилегированной системе координат изотропных переменных, в связи с чем введено обозначение штеккелевых пространств с помощью пары чисел: (N.N0), число N размерность группы движений пространства, образованной взаимно коммутирующими векторами Киллинга, входящими в так называемый полный набор, Nq — число изотропных переменных. Пространства, допускающие привилегированную систему координат, в которых присутствуют изотропные переменные, называются изотропными штеккелевыми пространствами. Интерес к таким пространствам вызван тем, что они могут быть использованы для рассмотрения задач о распространении гравитационных волн и других видов излучения. Таким образом штеккелевы пространства вызывают к себе интерес в связи с тем, что в них возможно аналитическое интегрирование различных полевых уравнений метрических теорий гравитации. Вместе с тем широкое примеиение таких пространств осложнено тем, что они заданы с достаточно большим произволом, и метрики этих пространств в общем случае имеют достаточно сложный вид. Поэтому возникает необходимость сформулировать физически и геометрически обоснованные дополнительные условия, ограничивающие этот произвол. Изучение дополнительных симметрий в пространствах призвано помочь в наложении дополнительных условий, что решает проблему большого произвола в метриках штеккелевых пространств.

Как дополнительное ограничение на метрики штеккелевых пространств можно рассматривать условие их принадлежности к классу конформно-плоских пространств. Конформно-плоские пространства являются наиболее простым обобщением плоских пространств и представляют интерес как наиболее простой класс пространств, имеющих отношение к построению космологических моделей. С их помощью можно строить физически интересные космологические модели (напомним, что пространства де Ситтера, Фридмана-Робертсопа-Уокера относятся к конформно-плоским).

Конформно-штеккелевы пространства возникают например при рассмотрении конформного отображения штеккелевых пространств на пространства Эйнштейна. Проблема конформного отображения римановых пространств па пространства Эйнштейна впервые изучалась в работе Бринкмана [69] (см. также [70]), где была получена первая серия уравнений совместности (условия Бринкмана). При рассмотрении метрик пространств с учетом условий совместности в метрический тензор пространства включается конформный фактор. Конформно-плоские штеккелевы пространства — это штеккелевы пространства на которые накладывается дополнительное условие — равенство нулю тензора конформной кривизны Вейля. Метрику конформно-плоского пространства можно записать в виде: ds2 = - dx1 — dx2 — dx3). (1).

Тензор конформной кривизны Вейля определяется в виде:

1 R.

С abed = Rabcd+^(9adRbc+9bcRad — 9acRbd—9bdRac) + -pr (9ac9bd—gad9bc), (2).

2 b где Rabcd — тензор Римана, Rab — тензор Риччи, R — скалярная кривизна, даь — метрический тензор пространства. Условие Caicd — 0 показывает, что конформно-плоские вакуумные решения (.Rab = 0 — R) являются плоскими. Все конформно-плоские решения в рамках теории Эйнштейна для идеальной жидкости, электромагнитного поля или поля чистого излучения известны (см. обзор [11]).

Конформно-плоские решения в случае идеальной жидкости являются или обобщенные внутренние решения Шварцшильда:

Нг2 ds2 =, ', + г2И2 + sin20dtp2) — (u4)2dt2-, (3).

1 — С lrl щ = гfi{t)sinOsin^+rf2{t)sin6cos (p+rf^{t)cos0^f^{t)y I — C2r2—С-1;

Kofi — 3 С2 = const.

Kqp = —K0fi + 2Си4] A = u4(^ const), где /i (i), /2(^)1 /з (0> /з (0 «произвольные функции, или обобщенные решения Фридмана ds2 = V~2(dx2 + dy2 + dz2) — (^ fdi2 (4).

V = + C2(04VO (l)t)/9{[X — X°{t)]2 + [УуМ?+ +[z — z0{t)}2}- KQfi = 3C2(t);

KQp = -кф + 2CCAV/VA = С (2.A — 3C), где x0(t), yo (t), z0(t), C (t), Vq (t), 9(t) — произвольные функциидля пыли решениями будут только модели Фридмана, а единственным стационарным решением является статистическое внутренне решение Шварцшильда оо-2 36v/l — r2/R2 — а ад = ЗД- = coruf- = ^ ^ ^ - (5) ds2 = rW + dr2{ 1 — r2/R2) — (a — by/1 — r2/R2)2dt2.

Конформно-плоские поля Эйнштейна-Максвелла дают либо метрику Бертотти-Робинсона ds2 = dx2 + cos2(yrк^Фx)dy2 + cos2(v^$t)dz2 — dt2, (6) соответствующее поле Максвелла может быть записано как.

Fab = $V2{uazb-zzub), (7).

Щ = -64i, Zi = дсоз (у/к^ФЬ) с не изотропным электромагнитным полем), либо они являются специальными плоскими волнами ds2 = dx2 + dy2 — 2аЫи — дс0Ф2(п)(ж2 + y2) du2/2, (8) соответствующее поле Максвелла определяется выражением аЬ = ФСи)(йаРЬ-Р<�А), (9) ра = (cos</?, sine/?, О, 0). у? = <�р{и) с изотропным электромагнитным полем). Конформно-плоские поля чистого излучения содержатся в (8) — их всегда можно интерпретировать в терминах изотропного электромагнитного поля.

Конформно-штеккелевы пространства рассматривались в работах [71−73]. Классификация изотропных конформно-штеккелевых метрик рассматривалась в работах [70,74−89].

В диссертации рассматривается класс конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств, интересующих нас с точки зрения возможности получения аналитических решений полевых уравнений различных гравитационных теорий, при этом полученные решения можно физически интерпретировать, что является немаловажным критерием для анализа альтернативных теорий гравитации.

Класс конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств является инструментом для исследования альтернативных теорий гравитации. В диссертации изучение конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств начинается с наиболее простых космологических моделей: вакуумной конформно-плоской Вселенной, а так же вакуумной конформно-плоской Вселенной, заполненной постоянной (вакуумной) энергией. В итоге получены все неэквивалентные решения для вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна (с учетом, А — члена) в конформно-плоских штеккелевых пространствах. Все решения вакуумных уравнений гравитации Эйнштейна для конформно-плоских пространств найдены в более ранних исследованиях, но в работе ставилась задача проведения классификации, исходя из принадлежности полученных решений к классу штеккелевых пространств, а так же исследование возможности использования конформно-плоских штеккелевых пространств для нахождения аналитических решений в некоторых задачах теории гравитации.

В настоящее время проблема поиска новых точных решений уравнений гравитации Эйнштейна не относится к наиболее популярным задачам общей теории относительности, поскольку число известных решений и без того внушительно. Классификация же осуществляется с целью перечисления всех неэквивалентных метрик штеккелевых пространств для конкретной задачи.

Следующим этапом в диссертации является получение всех метрик для конформно-плоских штеккелевых пространств в задаче Вай-дья. Задача Вайдья удобна для изучения движения безмассовых частиц и является более сложной и в тоже время физически интересной моделью с излучением (гравитационным, электромагнитным и т. д.). Задача Вайдья посути является задачей о конформно-плоских полях чистого излучения решения, для которой найдены и представлены в обзоре [11], но в диссертации задача Вайдья рассматривалась с целью построения классификации для конформно-плоских штеккелевых пространств.

Логичным завершением исследования конформно-плоских штеккелевых пространств как класса штеккелевых пространств в рамках диссертационной работы является нахождение всех метрик конформно-плоских штеккелевых пространств в скалярно-тензорной теории гравитации Браиса-Дикке. Скалярно-тензорная теория гравитации Бранса-Дикке является одной из первых модифицированных теорий гравитации. В настоящее время скалярно-тензорные теории вызывают интерес как низкоэнергетические приближения квантово-полевых теорий. На основе этого можно сделать вывод о возможности применения метода полного разделения переменных на основе конформно-плоских штеккелевых пространств к более сложным космологическим моделям получаемым в рамках метрических теорий гравитации.

Штеккелевы пространства могут быть использованы для рассмотрения следующих физических аспектов изучаемых в работах из следующих областей:

1. Построение на базе штеккелевых пространств моделей Большего взрыва, исследование начальных сингулярностей и построение инфляционных моделей. Исследование космологических моделей с целью выяснения механизма изотропизации Вселенной, (см. примеры: [90−94]).

2. Исследование поведения космологических моделей для различных современных теорий гравитации с целью выяснения общих закономерностей в картине развития Вселенной, (см. например: [95−100]). Хорошие результаты получены для теории Бранса-Дикке с использованием метода полного разделения переменных [74,78,101−106].

В рамках этих направлений лежат результаты исследований диссертационной работы:

1. Построение классификации конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств в задаче Вайдья в привилегированной системе координат. Найдены метрические тензоры и излучение, отвечающие уравнениям Эйнштейна и допускающие интегрирование уравнений движения пробной частицы в форме Гамильтона-Якоби методом полного разделения переменных.

2. Построена классификация конформно-плоских изотропных штеккелевых пространств в теории Бранса-Дикке со скалярным полем дилатонного типа, то есть найдены метрические тензоры и скалярное поле, отвечающие полевым уравнениям скалярно-тензорной теории Бранса-Дикке и допускающие интегрирование уравнений Гамильтона-Якоби для пробной частицы методом полного разделения переменных.

3. Построена классификация конформно-плоских штеккелевых пространств Эйнштейна, то есть найдены метрические тензоры и конформный фактор, отвечающий уравнениям Эйнштейна и позволяющий интегрирование уравнений эйконала для безмассовой пробной частицы методом полного разделения переменных.

Все полученные результаты являются оригинальными. Для аналитических расчетов использовалась система компьютерной алгебры.

Mathematical которая является мощной средой для проведения аналитических и численных расчетов, позволяя намного ускорить процесс вычислений. Применялись программы собственной разработки для получения полевых уравнений и расчета геометрических величин.

Апробация результатов.

Результаты диссертации излагались на следующих конференциях:

1. Рыбалов Ю. А. Конформно-плоские пространства допускающие полное разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби //International School/Seminar QUANTUM FIELD THEORY AND GRAVITY, Tomsk State Pedagogical University, July 2 — 7, 2007, Tomsk, Russia.

2. Рыбалов Ю. А. Конформно-плоские пространства, допускающие разделения переменных в уравнении Эйконала //Российской летняя школа — семинара «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии» GRACOS-2007, 9−16 сентября 2007 г., Казань-Яльчик, Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет.

3. Conformally flat models in modified gravity theories admitting a separation of variables in the Hamilton-Jacobi equation /V.G. Bagrov, V.V. Obukhov, K.E. Osetrin, Yu.A. Rybalov //RUSGRAV-13, 13-я Российская Гравитационная Конференция — международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике, 23−28 июня 2008 г., РУДН, Москва, Россия.

Результаты диссертации изложены в следующих статьях:

1. Рыбалов ЮА. Конформно-плоские пространства, допускающие разделения переменных в уравнении Эйконала //Труды Российской школы-семинара по гравитации и космологии. GRACOS-2007.

Казань. Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет. ООО «Фолиантъ». 2007. С.147−151.

2. Obukhov V.V., Osetrin К.Е., Rybalov Yu.A. Conformally flat spaces admitting complete separation of variables in the Eikonal equation //GRAVITATION к COSMOLOGY. 2008. Vol. 14. N1. P. 104−108.

3. Задача Вайдья в конформно-плоских штеккелевых пространствах типа (1.1) /В.В. Обухов, К. Е. Осетрин, А. Е. Филиппов, Ю.А. Ры-балов //Известия ВУЗов. Физика. 2009. т. 52. N1. С. 12−14.

4. Конформно-плоские штеккелевы пространства в теории Вранса-Дикке /В.В. Обухов, К. Е. Осетрин, А. Е. Филиппов, Ю. А. Рыбалов //Известия ВУЗов. Физика. 2009. т. 52. N2. С. 54−58.

5. Conformally flat Stackel space in Brans — Dicke theory /V.V. Obukhov, K.E. Osetrin, A.E. Filippov, Yu.A. Rybalov // Problems of modern Gravity. A volume in honour of Professor S.D. Odintsov in the occasion of his 50th birthday. Tomsk State Pedagogical University Press. 2009, P. 228−232.

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Список литературы

состоит из 181 наименования. Общий объем диссертации составляет 122 страницы.

Заключение

.

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

1. Найдены все метрики для вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) с Л — членом, найдены все метрики для вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) без Л — члена.

2. Найдены все метрики для вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (2.1) с Л — членом, найдены все метрики для вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (2.1) без Л — члена.

3. Получены решения уравнения Гамильтона-Якоби и уравнения эйконала для найденных классов метрик вакуумных конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) и типа (2.1).

Вид метрик приведен в сводках результатов соответствующих разделов главы 2.

4. Найдены все метрики конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) в задаче Вайдья (гравитация с излучением).

Вид метрик приведен в сводке результатов главы 3.

5. Найдены все метрики конформно-плоских штеккелевых пространств типа (1.1) в скалярно-тензорной теории гравитации Бранса-Дикке.

Вид метрик приведен в сводке результатов главы 4.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить благодарность доктору физико-математических наук, профессору Осетрену Константину Евгеньевичу за научное руководство, всестороннюю помощь в работе и сотрудничество.

Я глубоко признателен доктору физико-математических наук, профессору Обухову Валерию Владимировичу, доктору физико-математических наук, профессору Багрову Владиславу Гавриловичу и кандидату физико-математических наук Филиппову Альтаиру Евгеньевичу за всестороннюю помощь в работе и сотрудничество. Я признателен всем сотрудникам кафедры теоретической физики Томского государственного педагогического университета за предоставленные условия работы и внимание к проводимым исследованиям.

Показать весь текст

Список литературы

  1. L. Randall and R. Sandrum, Phys.Rev.Lctt. 83 (1999)3370, hep-th/9 905 221.
  2. В.В., Осетрин К. Е. Классификационные проблемы в теории гравитации: Монография. Томск: Издательство Томского государственного педагогического университета, 2007. 265 с.
  3. Moffat, J. W. Gravitational theory, galaxy rotation curves and cosmology without dark matter, 2005, qr-qg/412 195, arXiv.
  4. В.В. Классы точных решений уравнения Эйнштейна: Дис.. канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ, 1978. 99 с.
  5. В.Г., Обухов В. В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла //Изв. вузов СССР. Физика. 1982. N 4. С. 13−16.
  6. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Classes of exact solutions of the Einstein-Maxwell equations //Ann.Phys. 1983. F.7. Vol. 40. N 4/5. P. 181−188.
  7. В.В. О некоторых классах точных решений уравнения Эйнштейна. II //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 5. С. 56−59.
  8. Friedman A. Uber die Kriimmung des Raumes //Zs Phys. 1922. Vol. 10. P. 377 380.
  9. Friedman A. Uber die Moglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Kriimmung des Raumes //Zs Phys. 1924. Vol. 21. P. 326.
  10. Taub A.H. Empty space-time admitting a three parameter group of motions //Ann. Math. 1951. Vol. 53. P. 472.
  11. Точные решения уравнений Эйнштейна /Д. Крамер, X. Штефани, Э. Херльт, М. Мак-Каллум. Москва: Энергоиздат, 1982. 416 с.
  12. Schwarzschild К. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie //Sitzungsber. Acad. Wis. 1916. P. 195.
  13. Kottler F. Uber die physikalishen Grundlagen der Einsteinschen gravitations theorie //Ann. Phys. 1918. S. 4. Vol. P. 401−462.
  14. Kasner E. Geometrical theorems on Einsteins cosmological equations //Amet. Journ. Math. 1921. Vol. 43.
  15. Nordstrem C. On the energy of gravitational field in Einsthein theory //Proc. K. Acad. Wet. Amsterdam. 1918. P. 1238.
  16. Kerr R.P. Gravitational field of a spinning mass as example of algebraically special metrics //Phys. Rev. Lett. 1963. Vol. II. P. 237 328.
  17. Newman E. Tamburino L., Unti T. Empty space generalization of the Schwarzshild metric //J. Math. Phys. 1963. Vol. 4. N 7. P. 915−927.
  18. Demianski M., Newman E.A. Combined Kerr-NUT solution of the Einstein field equations //Bull. Acad. Polon Sci. Ser. sci. math, astronom at ptys. 1966. Vol. Г4. N II. P. 653−670
  19. Takweno H. On geometrikal properties of someplane wave solutionin general relativity //Tensor. 1959. Vol. 9. N 2. P. 79−93
  20. Garter B. New family of Einstein spaces //Phys. Lett. 1968. A. 29. N 9. P. 399−400.
  21. A. 3. Новые методы в общей теории относительности. Москва: Наука, 1966. 496 с.
  22. В.Г., Обухов В. В., Шаповалов А. В. О полях тяготения III типа по классификации Петрова //Изв. вузов СССР. Физика. 1981. N 10. С. 102−103.
  23. Kinnersley W. Type D vacuum metrics //J.Phys. A.: Vath. Gen. 1977. Vol. 10. N 7. P. 1195−1203.
  24. B.H. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка //Дифф. ур-ия. 1980. Т. XYI. N 10. С. 1864−1874.
  25. Robertson Н.Р. Bemerkung iieber separierbare systeme in der Wellenmechanik //Ann. Math. 1928. Vol. 98. N 52, P. 749- 752.
  26. Eisenhart L.P. Separable systems of Stackel //Ann. Math. 1934. Vol. 35. N 2. P. 284−305.
  27. Eisenhart L.P. Separable systems in Euclidean 3 space //Phys.Rev. 1934. Vol. 45. P. 427−428.
  28. Eisenhart L.P. Separation of variables in one particle Schrodinger equation 3 space //Proc. Nat. Acad. Sci. of USA. 1949. Vol. 35. P. 412−418.
  29. Carter B. Hamilton-Jacobi and Schrodinger separable solutions of Einsteins equations //Comm. math. phys. 1968. Vol. 10. P. 280−310.
  30. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Separation of variables for the Klein-Gordon equation in special Stackel spacetimes //Quant, and Ciass. Grav. 1989.
  31. В.Г., Обухов В. В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла //Изв. вузов СССР. Физика. 1981. N 12. С. 33−36.
  32. Точные решения релятивистских волновых уравнений /В.Г. Багров, Д. М. Гитман, И. М. Тернов, В. Р. Халилов, В. Н. Шаповалов. Новосибирск: Наука, 1982. 143 с.
  33. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Complexification of the complete varialble separation method in Hamilton—Jacobi equation //II Int. Conference on Gen. Relat. Grav. (Stokholm) Abstracts of contr. pap. 1986. Vol. И. P.531.
  34. В.Г., Обухов В. В. Комплексификация метода полного разделения переменных в уравнении Гамильтона—Якоби //Изв. вузов СССР. Физика. 1988. N 9. С. 23−27.
  35. Agostinelli S. Sulle equazioni di Hamilton-J acobi integrabili per separazione di variabili //Atti del R. Intituto. Veneto Scienze. Lettere ed Arti. Anno acc. 1936. 96. p. II. P. 151−161.
  36. Разделение переменных в уравнении Клейна-Гордона /В.Г. Багров, А. Г. Мешков, В. Н. Шаповалов, А. В. Шаповалов. //Изв. вузов СССР. Физика. 1973. N 11. С. 66−72.
  37. В.Н. Симметрия уравнений движения свободной частицы в римановом пространстве. //Изв. вузов СССР. Физика. 1975. N 12. С. 14−19.
  38. В. Пространства Штеккеля //Сиб.мат. журнал. 1979. т. 20. С. 1117−1130.
  39. Collinson C.D., Fugere J. Conditions for the separation of the Hamilton-Jacobi equation //J.Phys. A.: Vath. Gen. 1977. Vol. 10. N II. P. 1877−1884.
  40. В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнение Гамильтона—Якоби I //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 9. С. 18−24.
  41. Panagiotis M.P. Separabilite et integrales premieres des equations de Klein—Gordon et Hamiltin—Jacobi en espace courbe //Phys. Mag. 1977. Vol. 7. N 1. P.41−46.
  42. Точные решения релятивистских волновых уравнений /В.Г. Багров, Д. М. Гитман, И. М. Тернов, В. Р. Халилов, Шаповалов В. Н. Новосибирск: Наука, 1982. 143 с.
  43. Воуег С.P., Kalnins E.G., Miller Jr.W. Separable coordinates for four-dimensional riemannian spaces //Comm. math phys. 1978. Vol. 59. P. 285−302.
  44. Воуег C.P., Kalninse E., Miller Jr.W. Separation of variables in Einsteins spaces //J.Phys. A.: Vath. Gen. 1981. Vol. 14. P. 1675−1684.
  45. Debever R., McLenaghan R.G. Orthogonal transitivity, invertibility and null geodesic separability in type D electrovac solution of Einstein’s field equations with cosmological constant //J. Math. Phys. 1981. Vol. 22, N 8. P. 1711−1726.
  46. Teukolsky S. Perturbation of a rotating black holl. I. Fundamental equations for gravitational electromagnetic and neutrino-field perturbation //Astroph. Journ. 1975. Vol.185. P. 635−647.
  47. McLenaghan R.G., Spindel Ph. Quantum numbers for Dirac spinor fields on a curved space. time //Phys. Rev. D. 1971. Vol.20. P. 409 413.
  48. Kamran N., McLenaghan R.G. Separation of variables and quantum numbers for Weyl neutrino field on curved space, time //Lett. Math. Phys. 1983. Vol.7. P.38I-386.
  49. Kalnins E.G., Miller W.J., Williams G.C. Matrix operator symmetries of the Dirac equation and separation of variables //J. Math. Phys. 1986. Vol. 27. N 7. P. 1893−1900.
  50. Giiven R. The solution of Dirac’s equation in a class of type D vacuum space-times //Proc. R. Soc. London. 1977. A.356. P. 465−470.
  51. В.Г., Шаповалов А. В. Симметрия уравнения Дирака с внешним неабелевым калибровочным полем //Изв. вузов СССР. Физика. 1986. N 3. С. 95−103.
  52. В.Г., Обухов В. В. Разделение переменных в квадрирован-ном уравнении Дирака-Фока для изотропных штеккелевых пространств //Препринт ТО СО АН СССР. 1988. N 11. 11 С.
  53. А.Г. Об одном методе решения уравнения Дирака //Изв. вузов СССР. Физика. 1980. N 12. С. 41−44.
  54. В.Г., Обухов В. В. Метод интегрирования уравнения Дирака //Препринт ТНЦ СО АН СССР. 1989. N 57. 11 С.
  55. В.Г., Обухов В. В. Нестандартный пример в проблеме разделения переменных в уравнении Дирака-Фока //Труды ИФАН. 1989. т.65. С. 137−143.
  56. В.Г., Обухов В. В. Разделение переменных в уравнении Клейна-Фока //В кн. Гравитация и электромагнетизм. Минск.: БГУ. 1988. С. 11−14.
  57. В.П., Экле Г. Г. Алгебраические свойства уравнений Дирака. Элиста: КГУ, 1972. 90 с.
  58. В.Н. Симметрия уравнения Дирака-Фока //Изв. вузов СССР. Физика. 1975. N 6. С. 57−63.
  59. Carter В., McLenaghan R.G. Generalized total angular momentum operator for the Dirac equation in curved space-times //Phys. Rev. D. 1979. Vol.19. P. 1093 1097.
  60. Unruh W.G. Separability of the neutrino equations in a Kerr background //Phys. Rev. Lett. 1977. Vol.31. P. 1265. 126.
  61. В.В. Разделение переменных в скалярных и спинорных уравнениях в общей теории относительности: Дис.. докт. физ.-мат. наук. Томск, 1990. 99 с.
  62. В.В., Осетрин К. Е., Филиппов А. Е. Метрики однородных пространств, допускающие полные наборы типа (3.1) //Изв. вузов. Физика. 2002. N 1. С. 42−50.
  63. Штеккелевы пространства с дополнительными симметриями /В.Г. Багров, В. В. Обухов, К. Е. Осетрин, А. Е. Филиппов // Gravitation & Cosmsology. Vol 5. No 4(20), Supplement, 1999. С. 10−16.
  64. В.В., Осетрин К. Е., Филиппов А. Е. Однородные пространства, допускающие интегрирование уравнений Гамильтона-Якоби //Gravitation & Cosmsology. Vol 5. No 4(20). Supplement. 1999. С. 20−27.
  65. H.W. //Ann.Math. 1924. 91.
  66. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin K.E. Classification of the null Stackel electrovac space times with cosmological constants //Gen. Rel. Grav. 1988. Vol.20. N 10. P. 1141−1154.
  67. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin K.E. The problem of exact integration of mathematical physics equations in curved space-times //In «Gravity, Particles and Space-Time». World Scientific. Singapore. 1996. P. 1−18.
  68. Bagrov V.G., Obukhov V.V., Osetrin K.E. Nontrivial Conformally-Stackel metrics of Einstein spaces //Russian Physics Journal. 1997. N 10. P. 995−999.
  69. В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Штеккелевы пространства в теории Бранса-Дикке //В кн. Проблемы теории гравитации, релятивистской кинетики и эволюции вселенной. Казань. 1988. С. 105−110.
  70. В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами типа (1.1) //В кн. &bdquo-Гравитация и фундаментальные взаимодействия": М. 1988. С. 42−43.
  71. В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами типа (1.1) //Изв. вузов СССР. Физика. 1988. N 10. С. 79−83.
  72. В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Штеккелевы пространства вакуума в теории Бранса-Дикке //В кн. Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация. Тарту. ТГУ. 1988. С. 82−84.
  73. В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Изотропные штеккелевы пространства Бранса-Дикке //В кн. Современн. теоретические и эксперементал. проблемы теории относительности и гравитации. Докл. Всесоюзной конф. Ереван. 1988. С. 160−162.
  74. В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Штеккелевы пространства электровакуума типа (2.1) //Изв. вузов. Физика. 1989. Т. 32. N 2. С 54−56.
  75. С.В., Осетрин К. Е., Прагер Я. С. Дуальность и бета-функции в двумерной теории Фридмана Таунседа //Письма в ЖЭТФ. Т.50. вып.6. 1989. С. 270−272.
  76. С.В., Осетрин К. Е., Прагер Я. С. Геометрия дуально двумерной нелинейной сигма-модели //Теоретическая и математическая физика. Т.84. N 2. 1990. С. 173−180.
  77. Bagrov V.G., Osetrin К.Е. Use SAC «Reduce» for classifying the Stckel spaces in theory of gravity //В кн. Аналитические вычисления на ЭВМ в физических исследованиях. Докл. IV международного совещания. Дубна. 1990.
  78. К.Е., Шапиро И. Л. Асимптотическая свобода в скалярной теории, взаимодействующей с квантовой R2 гравитацией. //Изв. вузов. Физика. 1991. N 11. С. 112−116.
  79. В.В., Осетрин К. Е. Интегрирование классических уравнений движения методом полного разделения переменных //Депонировано через Известия ВУЗов. Физика в ВИНИТИ. N 2675-В94 от 22.11.1994. 18 с.
  80. В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Конформно-Штеккелевы пространства Эйнштейна //В кн. Метрологические проблемы физики. Тр. междунородного семинара. С.Петербург. 1994.
  81. В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Тетрадная формулировка условия Бринкмана //Труды VI семинара Гравитационная энергия и гравитационные волны (Дубна, 26−30 октября 1993). ОИЯИ. Дубна. 1994. С. 54−59.
  82. Проблема классификации конформно-штеккелевых пространств в задаче Вайдья /В.Г. Багров, А. Д. Истомин, В. В. Обухов, К. Е. Осетрин //Изв. вузов. Физика. 1996. N 8. С. 48−53.
  83. S., Scialom D. //Phys.Rev. D57. 1998. P. 6065−6074.
  84. Т., Mukohyama S., Nakamura T. //Phys.Lett. B408. 1997. P. 47−51.
  85. R., Sedici P., Verrocchio P. //Phys.Rev. D55. 1997. P. 1896−1900.
  86. A.D. //J.Math.Phys. 37. 1996. P. 1763−1796.
  87. Chauvet P., Cervantes-Cota J.L. //Phys.Rev. D52. 1995. P. 34 163 423.
  88. Cheng A.D.Y., D’Eath P.D. //Class.Quant.Grav. 13. 1996. P. 31 513 162.
  89. Cho H.T., Speliotopoulos A.D. //Phys.Rev. D52. 1995. P. 5445−5458.
  90. J.M., Feinstein A., Ibanes J. //Phys.Rev. D48. 1993. P. 4662−4668.
  91. Rugh S.E., Jones B.J.T. //Phys.Lett. A147. 1990. P. 353−359.
  92. D.H. //Phys.Rev. D44. 1991. P. 2356−2368.
  93. R. //Phys.Rev.Lett. 67. 1991. P. 1381−1383.
  94. Vaidya P.C. Nonstatic solutions of Einstein s field theory equations for spheres of fluids radiating energy //Phys. Rev. 1951. Vol.83. P. 10 -17.
  95. Isaacson R.A. Gravitational radiation in the limit of high treottency //Phys. Rev. 1968. Vol.166. N 5. P. 1263−1280.
  96. Benerjel A., Santos N.O. Conformalli fiat static space-time in BDT. //J. Math. Phys. 1981. Vol.22. N 5. P. 1075 1080.
  97. Benerjel A., Santos И.О. Static perfect fluid in BDT. //Int. J. Theor. Phys. 1981. Vol.20. N 5. P. 315−329.
  98. Benerjel A., Bhattacharya D. Plane symmetric static field in BDI. //J. Math. Phys. 1979. Vol. 20. N 9. P. 1908−1910.
  99. Rao P.P., Tiwari R.N. Stationary Brans-Dicke vacuum solutions in BDT. //Acta Phys. Acad. Sci. Hung. 1979 (1980). Vol.47. N 4. P. 281−291.
  100. Stackel P. Uber die Integration der Hamiltion Jacobischen Differentialgleichung mittelst Separation der Variabeln //Habilitations — schrift. Halle. 1891.
  101. Stackel P. Uber die Bewegung eines Punktes in einer n—fachen Mannigfaltigkeit //Math. Ann. 1893. 42. P. 537−563.
  102. Stakel P. Sur I’integration de I’equation differentialle de Hamilton //C. R. Acad. Sc. Paris. 1895. 121. P. 489−492.
  103. Stakel P. Sur des problem de dynamique se reduisent a des quadratures //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sci. (Paris). 1893. Vol. 116. P. 1284 1286.
  104. Stakel P. Sur une classe de problemes de dynamique //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sci. 1893. Vol. 116. P. 485−487.
  105. Stackel P. Uber die Integration der Hamiltionschen differentialgleichung mittelst Separation der Variabeln //Math. Ann. 1897. Vol. 49. P. 145−147.
  106. Levi—Chivita T. Sulla integrazione della equazione di Hamilton -Jacobi per separazione di variabili //Math. Ann. 1904. 59. P. 383 397.
  107. Levi—Chivita Т. Sulle trasformazioni delle equazioni dinamiche //Ann. Mat. 1896. S. 2. 24. P. 255−300.
  108. Levi-Chivita T. Integrar. della equar. di Hamilton-Jacobi per separatione di variabili //Math. Ann. 1908. Vol. 66. P. 398−415
  109. Яров-Яровой M.C. Об интегрировании уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных //П.М.М. 1963. Т. 27. N 6. С. 973−219.
  110. В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнение второго порядка I. //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 5. С. 116−122.
  111. В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка II. //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 6. С. 7−10.
  112. В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби II. //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 9. С. 25−27.
  113. Havas P. Separation of variables in the Hamilton—Jacobi, Schrd— dinger and related equations. II Partial separatin //J. Math. Phys. 1975. 16. N 2. P. 2476−2483.
  114. Kalnins E.G., Miller Jr.W. Separation of varibles on n—dimensional riemannian manifolds //J.Mfth. Phys. 1986. Vol. 27. N 7. P. 17 211 731.
  115. Воуег C.P., Kalnins E.G., Miller Jr.W. Stackel—equivalent integrable Hamiltonian systems //Siam J. Math. Anal. 1986. Vol. 17. N 4. P. 778−797.
  116. Benenti S. Separable dinamical systems: Characterization of separability structures on riemannian mani folds //Reports Math. Phys. 1977. Vol. 12. N 3. P. 311−316.
  117. В.Д. Гравитационные волны в общей теории относительности. Москва: Наука. 1972. 200 с.
  118. Lichnerovicz A. Theories relativistes de la gravitation et de 1 electromagnetism. Relativite generate et theories. Paris. 1955. 299 P.
  119. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами. Постановка задачи и основные соотношения /В.Г. Багров, А. А. Евсеевич, В. В. Обухов, К. Е. Осетрин //Изв. вузов СССР. Физика. 1987. N 5. С. 17−21.
  120. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами. Интегрирование уравнений поля для метрик, обобщающих пространства типа (I.I) /В.Г. Багров, А. А. Евсеевич, В. В. Обухов, К. Е. Осетрин //Изв. вузов СССР. Физика. 1987. N 12. С. 17−20.
  121. В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Штеккелевы пространства электровакуума типа (I I) //Гравитация и теория относительности. 1987. N 24. С. 3−11.
  122. В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Классификация изотропных штеккелевых пространств электровакуума //Препринт ТФ СО АН СССР. 1986. N 25. 19 с.
  123. В.Г., Обухов В. В., Шаповалов А. В. Поля тяготения в проблеме Вайдья, допускающие разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби //Изв. вузов СССР. Физика. 1986. N 10. С. 3−8.
  124. Электровакуумные пространства Штеккеля-Вайдья типа (N.1) /В.Г. Багров, В. В. Обухов, А. В. Шаповалов, К. Е. Осетрин //В кн. Проблемы гравитации. М.: МГУ. 1986. С. 159−167.
  125. JI.Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика в десяти томах: Том 2. Теория поля. Москва: Наука, 1988. 512 с.
  126. X. Принцип соответствия в общей теории относительности //ЖЭТФ. 1965. Т. 46. N 5. С. 1741−1754.
  127. X. К физической интерпретации решений уравнений Эйнштейна //ЖЭТФ. 1965. Т. 52. N 3. С. 758−779.
  128. В.В. О физической интерпретации пространств Эйнштейна //Изв. вузов СССР. Физика. 1979. N 3. С. 121−134.
  129. А.А., Мествиришвили. Основы релятивисткой теории гравитации //ЭЧАЯ. 1986. Т. 17. N 17. С. 5−159.
  130. Iwata G. Emptynspeces of Stackel //Natur. Sci. Rept. Ochonomisu univ. 1969. Vol. 9. N 2. P. 79−93
  131. С. Гравитация и космология. Москва: Мир. 1975. 696 с.
  132. В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Изотропные конформно-штеккелевы метрики конформно-плоских пространств //Изв. вузов. Физика. 1998. N И. С. 92−96.
  133. А.Н., Осетрин К. Е. Конформно-штеккелевы метрики пространств Эйнштейна //Изв. вузов. Физика. 1999. N 10. С.34−43.
  134. Schwarz J.H. Superstring theory //Phys. Reports. 1982. Vol. 89. N 3. P. 223−322.
  135. Benerjel A., Santos N.O. Conformant flat static space-time in BDT //J.Math.Phys. 1981. Vol.22. N 5. P. 1075−1080.
  136. Benerjel A., Santos N.O. Static perfect fluid in BDT //Int.J.Theor.Phys. 1981. Vol.20. N 5. P. 315−329.
  137. Pandey S.N. Scalar tensor theory in p space-time //Acta Phys.Pol. 1981. Vol. B.12. N 2. P.77−88.
  138. Benerjel A., Bhattacharya D. Plane symmetric static field in BDT //J.Math.Phys. 1979. Vol.20. N 9. P.1908−1910.
  139. Rao P.P., Tiwari R.N. Stationary Brans-Dicke vacuum solutions in BDT //Acta Phys. Acad. Sci. Hung. 1979 (1980). Vol. 47. N 4. P. 281−291.
  140. В.Г., Обухов В. В., Осетрин К. Е. Штеккелевы пространства электровакуума с изотропными полными наборами //Гравитация и фундаментальные взаимодействия. М.: УДН. 1988. С. 42−43.
  141. В.В. Штеккелевы пространства в теории гравитации: Монография. Томск: Издательство Томского государственного педагогического университета, 2006. 269 с.
  142. В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка II //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 6. С. 7−10.
  143. В.Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка II //Дифф. ур-ия. 1980. Т. XVI. N 10. С. 1864−1874.
  144. Robertson Н.Р. Bemerkung uber separierbare systeme in der Wellenmechanik //Ann. Math. 1928. Vol.98. N 5. P.749−752.
  145. Eisenhart L.P. Separable systems of Stackel //Ann. Math. 1934. Vol.35. N 2. P.284−305.
  146. Eisenhart L.P. Separable systems in Euclidean 3 space //Phys. Rev. 1934. Vol.45. P. 427−428.
  147. Eisenhart L.P. Separable of variables in one particle Schrodinger equation in 3 space //Proc. Nat. Acad. Sci. of USA. 1949. Vol.35. P. 412−418.
  148. Carter В. Hamilton-Jacobi and Schrodinger separable solutions of Einstein equations //Comm. Math. Phys. 1968. Vol.10. P.280−310.
  149. Chernikov N.A. Quantum theory for scalar field in the De-Sitter's spacetime //Ann. Inst. H. Poincare Sect. A. Phys. theor. 1968. Vol.IX. N 2. P. 109−141.
  150. Bagrov V.G., Obukhov V.V. Separation of variables for the Klein-Gordon equation in special Stackel spacetimes //Quant, and Class. Grav. 1989.
  151. В.Г., Обухов В. В. Классы точных решений уравнений Эйнштейна-Максвелла //Изв. вузов СССР. Физика. 1981. N 12. С. 33−36.
  152. Воуег С.P., Kalnins E.G., Miller Jr.W. Separable coordinates for four-dimensional riemannian spaces //Comm. Math. Phys. 1978. Vol.59. P. 285−302.
  153. Описание структуры аморфного состояния и термодинамики плавления кристалла на основе моделей с искривлением пространства /В.И. Воробьев, С. Г. Псахье, В. В. Обухов, В. Е. Панин // Расплавы. 1987. T.l. N 2. С. 13−19.
  154. The discription of the structure of amorphous state and thermodynamics of oristal metring by the using of curved space model /V.I. Vorobyev, S.G. Psakhie, V.V. Obukhov, V.E. Panin // Melt. Vol.11. N 2. P. 87−93.
  155. X. Принцип соответствия в общей теории относительности //ЖЭТФ. 1964. Т.46. N 5. С. 1741−1754.
  156. А. Нерелятивистский анализ релятивистских гравитационных полей. Тарту: ТГУ. 1977. 85 с.
  157. А. Нерелятивистские гравитационные поля в общей теории относительности. Тарту: ТГУ. 1977. 82 с.
  158. А. Ньютоновские и неньютоновские пределы гравитационных полей типа Keppa-NUT //Изв. вузов СССР. Физика. 1975. N 9. С.29−34.
  159. А. Мультипольные моменты и гармонические системы координат для асимптотически плоских стационарных аксиально-симметричных электровакуумных 4-пространств //В кн. Гравитация и электромагнетизм. Минск. БГУ. 1987. С. 54−61.
  160. В.В. О физической интерпретации пространств Эйнштейна //Изв. вузов СССР. Физика. 1979. N 3. С. 121−123.
  161. А.А., Мествиришвили Основы релятивистской теории гравитации //ЭЧАЯ. 1986. Т.17. N 1. С. 5−159.
  162. Г. В., Тимощенко А. И. Разделение переменных в матрично-дифференциальном операторе первого порядка //В кн. Точные решения уравнений гравитационного поля и их физическая интерпретация. Тарту: ТГУ. 1988. С. 100−102.
  163. Benenti S. Separable dinamical systems: Characterization of separability structures on riemannian manifolds //Reports Math. Phys. 1977. Vol.12. N 3. P. 311−316.
  164. B.H. Пространства Штеккеля //Сиб. мат. журнал. 1979. Т.20. С. 1117−1130.
  165. В.Н. Симметрия и разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка I //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 5. С. 116−122.
  166. В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби I //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. N 9. С. 18−24.
  167. В.Н. Симметрия и разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби II //Изв. вузов СССР. Физика. 1978. е9. С. 25−27.
  168. Я.А., Тугов И. И. О полных наборах наблюдаемых //ЖЭТФ. 1966. Т.50. Вып.З. С. 653−658.
  169. Stackel P. Sur une classe de problemes de dynamique //Comptes rendus hebd. S. Acad. Sci. 1893. Vol.116. P. 485−487.
  170. X. К физической интерпретации решений уравнений Эйнштейна //ЖЭТФ. 1965. Т.52. N 3. С. 768−779.
  171. Demianski М., Newman Е.А. Combined Kerr-NUT solution of the Einstein field equations //Bull. Acad. Polon Sci. Ser. sci. math, astronom at phys. 1966 Vol.14. N 11. P. 653−670.
  172. В.П. Метод Ньюмана Пенроуза в общей теории относительности //Труды ИФАН. 1977. Т. 96. С. 72−180.
  173. Г. А., Хлебников В. И. Формализм Ньюмана Пенроуза и его применение в Общей теории относительности //ЭЧАЯ. 1978. Т. 9. N 5. С. 790−870.
  174. Яро-Яровой М.С. //Прикладная Мат. и Мех. 1963. 27. С. 173−219.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!