Анализ электрической цепи системы управления

Задание

Для электрической цепи, соответствующей номеру варианта необходимо выполнить следующие задания (указаны в содержании):

Рис. 1 — Электрическая схема системы управления электрический цепь управление четырехполюсник Таблица 1

Провести анализ электрической цепи системы управления. Обозначить узлы схемы и токи ветвей, указать входной и выходной сигналы;

Определить передаточную функцию четырехполюсника;

Определить и представить графически амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики;

По полученному дифференциальному уравнению построить структурную схему системы управления;

Определить реакцию исследуемой системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях:

Определить устойчивость системы управления, используя критерий устойчивости Михайлова решение представить графически.

1. Анализ электрической цепи: обозначение узлов, токов; определение входного и выходного сигналов

Составим модель объекта:

Рис. 2

Сопротивления реактивных элементов:

Эквивалентное сопротивление параллельно включенных индуктивностей:

Эквивалентное сопротивление параллельно включенных сопротивлений:

Входное сопротивление цепи:

Ток в цепи:

Напряжение на выходе цепи:

2. Определение передаточной характеристики четырёхполюсника

Определим передаточную характеристику:

3. Определение АЧХ И ФЧХ

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цепи — модуль передаточной функции.

Рис. 3

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) цепи — аргумент передаточной функции.

Для ФЧХ цепи необходимо разделить передаточную функцию на действительную и мнимую часть, умножим на комплексно-сопряженное к знаменателю выражение:

Рис. 4

4. Построение структурной схемы системы управления

Рис. 5

Определим передаточную функцию четырехполюсника в области изображений, выразив входное и выходное напряжение цепи через ток:

Данное выражение сопоставимо с полученным ранее выражением для частотной функции исследуемого четырехполюсника пи выполнении замены сомножителя jщ на оператор p.

Структурная схема четырехполюсника:

Рис. 6

Структурная схема исследуемого четырехполюсника может быть представлена в виде двух последовательно соединенных блоков:

Рис. 7

5. Определение реакции исследуемой системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях

Передаточная характеристика исследуемого четырехполюсника:

При единичном ступенчатом воздействии Uвх=1/p выходное напряжение равно:

Воспользуемся теоремой разложения для перехода в область времени:

где

M (p) — числитель передаточной характеристики;

— производная от выражения, стоящего в знаменателе знаменатель передаточной характеристики;

N (p) — знаменатель передаточной характеристики;

pk — k-й корень производной от полинома N (p).

Производная от полинома знаменателя:

Графическая иллюстрация:

Рис. 8

6. Определение устойчивости системы управления (критерий устойчивости Михайлова)

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

Рис. 9

Запишем характеристический полином:

Перейдем к функции частоты:

Построим годограф Михайлова Критерий устойчивости по Михайлову:

Чтобы система автоматического управления была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова при изменении щ от 0 до? повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол, где n — порядок характеристического уравнения. Заметим, что для устойчивых систем кривая Михайлова начинается при щ = 0 на вещественной положительной полуоси.

Рис. 10

Im (F (w)) — мнимая составляющая полинома F (w)

Re (F (w)) — мнимая составляющая полинома F (w)

В данном случае, на основании критерия устойчивости Михайлова, можно утверждать, что исследуемая система является устойчивой — годограф начинается на положительной действительной полуоси и уходит в бесконечность во втором квадранте, что соответствует второй степени полинома.