Одним из важных направлений в вычислительной математике является создание эффективных численных методов и алгоритмов решения уравнений в частных производных. В последние десятилетия это направление особенно бурно развивается в связи с необходимостью решения крупных научно-технических проблем и появлением быстродействующих электронно-вычислительных машин.
Настоящая диссертация посвящена вопросам построения приближенных решений и оценки погрешностей уравнений в частных производных второго порядка, в основном для уравнений вырождающегося гиперболического, гиперболического и смешанного типов. В многочисленных задачах, в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения, в безмоментной теории оболочек и других приводятся уравнения с частными производными гиперболического и эллиптико-гиперболического типов.
Околозвуковые течения описываются уравнениями с частными производными смешанного типа. Начало теории таких уравнений было положено Трикоми еще в 1923 г., а ее интенсивное развитие за последнее время явилось откликом на потребности аэродинамики больших скоростей.
Изучение приближенного решения,. вывод оценки погрешностей представляют большой практический и теоретический интерес.
Использование методов математического программирования для приближенного решения задач 1Урса и Трикоми дает возможность найти приближенное решение в удобном виде, т. е. в виде линейных комбинаций базисных функций. Кроме того, если в рассматриваемых задачах уравнения нелинейные, то возникают принципиальные трудности.
Задачи Гурса и Трикоми для линейных и нелинейных уравнений эллиптико-гиперболического типа подробно освещены в книгах Л. Бер-са [б], А. В. Бицадзе [7], [в], М. М. Смирнова [47], [48], [49], Ф. И. Франкля [55] и во многих журнальных статьях.
Прежде чем перейти к изложению содержания диссертации, вкратце остановимся на некоторых работах, к которым по тематике и методике исследования примыкает настоящая диссертация.
В книгах М. М. Смирнова [48J, (49j применяется метод Римана-Адамара решения задачи Гурса для вырождающихся линейных гиперболических уравнений. Доказаны существование и единственность обобщенного решения. В книгах М. М. Смирнова [48] и А. В. Бицадзе [7], [8] систематически изучены задачи Трикоми для уравнений смешанного типа.
Л.И.Коваленко [26], [27] с помощью метода сеток доказала существование и единственность обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения где у1уГщ) > т>°> >о > при некоторых ограничениях на коэффициенты (. «& «С. и К • Д. К. Гвазава [isj, [id] для квазилинейного уравнения yUxoC + Uyy =: f (Xty, U) доказал существование и единственность решения задачи Трикоми при некоторых предположениях на.
В работах Ф. А. Тагиева и др. [50], [51 j рассмотрена задача Трикоми для линейного уравнения смешанного типа, методом конечных разностей доказана сходимость решения разностного уравнения, получена оценка погрешности.
В работе Ю. К. Подлипенко [41] с помощью аппроксимадионного метода приближенно решается задача Гурса для квазилинейных уравнений гиперболического типа. Строятся полиномы, которые приближаются к решению задачи Гурса. Коэффициенты полиномов определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений.
В работе [78] с помощью метода Ньютона приближенно решается задача Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений:
AUt а (х, у) и* + &(X, y) Uy = ?(х, у, и.).
Показано, что если U.) монотонно возрастающая и выпуклая функция по Ц и ъО" тогда последовательные приближения, определяемые методом Ньютона, сходятся.
Л.Коллатц [28j, [29j на примере линейных и нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных показал, как во многих не очень сложных краевых задач можно с помощью принципа монотонности, теории аппроксимации, оптимизации и принципа неподвижной точки Шаудера, прийти к точным оценкам для искомых решений.
В работе В. Л. Рвачева, Н. Ф. Ганжелы [l7] рассматривается приближенное решение линейной краевой задачи с помощью методов математического программирования. Используя общие структуры решения краевой задачи, предлагается метод сведения задачи к задаче чебы-шевского приближения конечной системы несовместных алгебраических уравнений.
Отметим, что техника применения методов математического программирования к приближенному решению конкретных задач математической физики, рассматриваемая нами, сильно отличается от работы.
В.Л.Рвачева, Н. Ф. Ганжелы.
В работе И. В. Гончарюка [20] исследуется устойчивость вычислительных процессов при использовании структурного метода. Получено условие для: устойчивости вычислительных процессов. Это условие состоит в том, что заданной точности аппроксимирующего полинома должна соответствовать вполне определенная точность вычислений, и наоборот, при заданной точности вычислений приближенное решение может быть аппроксимировано лишь полиномом соответствующей степени.
В работе И. В. Гончарюка [2lj с помощью П функций строятся приближенные решения краевых задач для уравнений с частными производными, которые точно удовлетворяют краевым условиям.
В работах И. Ф. Ганжелы, Н. Ф. Ганжелы [13], Н. Ф. Ганжелы [14J, [l6j нахождение приближенного решения нелинейных краевых задач сводится к задаче нелинейного программирования. Если область допустимых значений невыпукла, тогда при определении экстремумов возникают принципиальные трудности. Предлагают использовать специфические особенности рассмотренной задачи для эффективного ее решения. Кроме того, в этих работах задача отыскания локальных экстремумов, если множество допустимых решений невыпукло, является чрезвычайно трудной, и не дается оценка приближенного решения.
В работах [73], [7б] приближенно решаются нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными параболического и эллиптического типов методом линейного программирования. Приближенные решения ищутся в виде линейных комбинаций базисных функций, коэффициенты которых находятся при условии минимальности невязок уравнений и краевых условий.
В этих работах, используя свойства монотонности рассматриваемых задач, находится оценка погрешности приближенного решения.
В работах [бЗ] - [68] результаты работ [73 j, [76 j распространяются для краевых задач квазилинейного эллиптического, параболического и гиперболического уравнений. Рассматриваются вопросы применения метода Ньютона и его разновидностей к квазилинейным дифференциальным уравнениям с частными производными с квазилинейными краевыми условиями. Для этих случаев доказана сходимость метода, получены апостериорные оценки погрешностей и предложены эффективные вычислительные алгоритмы.
Настоящая диссертация посвящена приближенному решению задачи iypca для вырождающегося линейного и квазилинейного уравнений гиперболического типа, задачи Трикоми для линейных и для одного класса квазилинейных уравнений смешанного типа.
Отметим, что подобный подход для определения приближенного решения эллиптического и параболического уравнений рассмотрена в работах [73] и [76],.
Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Она состоит из четырех глав. Первая глава посвящена приближенному решению задачи iypca в полуплоскости у ^ О.
М [U]+C (X, y) lL=0 на Е, (I).
At > (2).
U b=f (X), (3) где.
Е — область, расположенная в полуплоскости ij?0 и ограничен ная отрезком J, Jb оси ОХ, характеристиками <£С и 35С уравнения (I).
Предполагается, что.
Ч>(ос.)&С°(ЛА), V (o)=0, С (х, у) еС°(?), afcyj^fcyjGC'CE).
Такие уравнения встречаются в практике, например, в газовой динамике, в волновых, диффузионных и других процессах.
В § I с помощью принципа экстремума для линейных гиперболических уравнений доказывается одна лемма, которая будет использоваться при оценке погрешности приближенного решения задачи (I)-(3). В этом параграфе доказаны две теоремы об оценках погрешностей. В теоремы I.I.I погрешность приближенного решения оценивается функцией и (х, у)~ъ{х, у) < Л0 *-Дор) (4) где Л0, Я1, Ад — положительные постоянные, которые определяют норму невязки уравнения (I) и краевых условий (2) и (3). Функция Jhfe^J является решением системы дифференциальных неравенств fA[]b]iC (X, y) jk,>i на Е на JC в? где f дх н V.
Cnf d (OC, y) при .
В теореме I.I.2 получена оценка и (сс}у)^Ъ-(<�х}у).
В § 2 для нахождения приближенного решения задачи (1)-(3) и ее оценки строятся две задачи условной минимизации. Превая задача условной минимизации строится на основе теоремы I.I.I, а вторая — на основе теоремы I.I.2. Показано, что нахождение приближенного решения сводится к последовательному решению двух задач линейного программирования. Сначала, минимизацией верхней границы функции Jh (oc.y) находится наилучшая J^(^iy)* Потом минимизацией оценки (4) при некоторых условиях находится приближенное решение ^ и оценка приближенного решения.
В § 3 дается схема численного решения задач условной минимизации, полученная в § 2. Функция Jk (oc, y) и приближенное решение.
Ь (X, у) ищутся в виде гл. j4fj = ^.
Х, у) — Ж! О^ (*/)), где |ф.(Х y) J™ 6 С°(Е) Л С VЕ UJLC) П СХ (Е) -базисные функции, а оС±Jb. (1−17&?. -неизвестные постоянные.
Для уменьшения объема вычислений используются одни и те же базисные функции Ъ X, у) и Jh (^Х, у). Приближенное решение находится в узлах некоторой сетки. С помощью задачи линейного программирования (30) (или (43)-(44)) находятся коэффициенты j3 (L-iyS-, ,.7т). Коэффициентыо^ находятся из задачи линейного программирования (31) (или (45), (46)).
В этом параграфе в узлах сетки вычисляются оценки погрешностей в виде (4) и (5).Доказано, что оценка погрешности, полученная в узлах сетки, при некоторых предположениях справедлива во всей области Е.
В конце параграфа приведен численный пример. Конкретная задача решена на ЭВМ EC-I020. Анализ полученного приближенного решения показал, что методы математического программирования весьма эффективны при решении уравнений математической физики и хорошо реализуются на ЭВМ.
Отметим, что в невырожденном случае подобная задача решена в [65] .
В § 4 рассматривается устойчивость вычислительных процессов при использовании метода математического программирования на одном примере. Приведены 7 таблиц и 3 рисунка. Получены устойчивые решения (см. таблицу 8). Приведены также графики изменения величины J^ в зависимости от количества координатных функций и от количества точек в области (см. рис. 3, рис.5).
Из таблицы 5 (в § 4) видно, что если взять количество координатных функций = 9 а число точек И. ~ 31, то mAJzlU-b= О.&ЪЧЦвв Е-06, где Ь- -приближенное решение, И — точное решение рассматриваемой задачи.
При использовании структурного метода, этот случай для одной задачи Дирихле рассматривался И. В. Гончарюком [20]. Случай рассматриваемый нами, отличается от работ И. В. Гончарюка [20] тем, что. во-первых, в нашей работе приближенное решение ищется с помощью методов математического программирования (в связи с этим в настоящей работе коэффициенты Ритца не вычисляются) — во-вторых, в настоящей работе исследуется устойчивость задачи Гурса для вырождающихся гиперболических уравнений.
Вторая глава диссертации посвящена приближенному решению задачи Гурса для квазилинейных уравнений гиперболического типа. Рассматривается задача Гурса.
UXy = u, ux? Uy) я Д9 (6).
U (cc, 0)~ 6YOC.) OSX< CL? (7).
U (0*y)=.
6(о), ч:(о), где.
В § I второй главы доказана теорема об оценке погрешности приближенного решения и его производных по jC и по .В теореме 2.I.I доказано, что в области /? справедливы оценки погрешности.
I uscCx. y) — Ьх (oc, y).
I Uyfr y)-1>y (ос, у)|<j) y) a p)! где Яа «^ f t A3 -положительные постоянные, удовлетворяющие условиям (6), Jbfay) является решением системы дифференциальных неравенств (8), а р определяется формулами (7) из второй главы соответственно.
В теореме 2.1.2 доказано, что в области R справедливы следующие оценки погрешности i и (Х, у)~Ъ (ос, у)1 < Xjh (x.y), I их (х, у)-Ъ-х (зс, у)1 < X | Чу (ъ, у)~1>у (х, у)1 < (ъу), V где /10 -положительная постоянная, удовлетворяющая является решением системы дифференциальных неравенств (18) во второй главе.
В этом параграфе при оценке погрешности возникают принципиальные трудности, связанные с нелинейными частями уравнения. Преодоление возникающих затруднений представляет научный интерес. Насколько нам известно, оценки погрешностей приближенного решения задачи Гурса для квазилинейного уравнения в таком виде ранее не рассматривались.
В § 2 второй главы для нахождения приближенного решения задачи (6)-(8) и оценок погрешностей строятся две задачи условной минимизации. Первая задача условной минимизации строится на основе теоремы 2.1.I, вторая — на основе теоремы 2.1.2. Обе задачи условной минимизации являются итерационным процессом. Каждый шаг итерации состоит из двух этапов. На первом этапе минимизацией максимума погрешности дифференциального уравнений (6) и условий (7), (8) находятся приближенные решения. На втором этапе решением задачи (26)-(27) находятся наилучшая функция J^(oc.y) и соответствующие оценки. В этом параграфе доказана теорема об оценке погрешностей на Ктой итерации.
В § 3 второй главы даются две схемы численного решения задач условной минимизации, полученных в предыдущем параграфе. С помощью первой вычислительной схемы решается первая задача условной м и минимизации, а с помощью второй вычислительной схемы решается вторая задача условной минимизации. Приближенное решение и функция ищутся в виде, т ьЫуХ, у)= z: of? (ос, у), т где | Ф^.у)]. 4 — базисные функции, oCL (?.- j^^.^m) неопределенные постоянные.
В первой вычислительной схеме коэффициенты оLi (L-являются решением задачи линейного программирования (41)-(42) (во второй вычислительной схеме для (59)-(60)), а коэффициенты J2>. (i= 4 т) являются решением задачи линейного программирования (44)-(45) (во второй вычислительной схеме (61)-(62)). Отметим, что коэффициенты и fiL (L= находятся в узлах некоторой сетки. В этом параграфе после нахождения коэффициентов oLi ж определяются оценки погрешностей приближенных решений. При некоторых предположениях доказано, что оценки погрешностей, полученные в узлах сетки, справедливы во всей области ?
В третьей главе диссертации рассматривается приближенное решение задачи Трикоми для линейных дифференциальных уравнений смешанного типа.
L[U]+C (X, y) U~f (Xty) на 0, (9) U = if (S) на 6, (10).
U= у (у) на Гл > (И) где.
LLu]=K (y)Uxx. tS (x, y) Uy, fyобласть, ограниченная при ухарактеристиками Р1, уравнения (9), выходящими из точек 0(0,0), Л (Х1зО) «Х^УО «а при ^ О — непрерывной кривой 6 с концами в точках О ж Л.
Такие уравнения встречаются в практике, например, в задаче истечения сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками, в аэродинамике больших скоростей и других.
В § I третьей главы использованием принципа минимума для линейных дифференциальных уравнений смешанного типа [62] оценивается погрешность приближенного решения. Показано, что погрешность приближенного решения оценивается чероз невязки уравнений (9), условий (10), (II) и решения некоторых дифференциальных неравенств.
В § 2 третьей главы для нахождения приближенного решения задачи (9)-(II) строятся две задачи условной минимизации. Каждая задача условной минимизации состоит из двух этапов. На первом этапе находится наилучшая функция JK, на втором этапе — приближенное решение и ее оценка.
В § 3 третьей главы дается схема численного решения задач условной минимизации, полученная в § 2. Приближенное решение и функция ищутся в виде линейных комбинаций базисных функций. Коэффициенты определяются из условия минимальности максимума невязки уравнений и краевых условий. Отметим, что минимизация осуществляется не во всей области, а в узлах некоторой сетки.
В этом параграфе при некоторых предположениях доказано, что оценка погрешности, полученная в узлах сетки, сцраведлива во всей области Ю .
Приведен численный пример, подтверждающий эффективность указанного алгоритма. Дается сравнение методом сеток.
В четвертой главе результаты третьей главы распространяются для одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений смешанного типа. Приближенно решается задача Трикоми.
Т[и] + Jf.(x, y}u) = o на, (12).
Uk = О, (13).
Час = 0.
14) где.
T^y^L ЭХ*.
— h У.
SO ~ одно связная смешанная область плоскости переменных ОС, у с границей +ЯС + СЯ), где 6 -простая кривая Жордана с непрерывной в смысле Гельдера, кривизной, лежащей в верхней полуплоскости у >0 с концами в точках О) и %>(1,0) > кривые JLC ихарактеристики уравнения (12), лежащие в полуплоскости у < О.
В § I четвертой главы оценивается приближенное решение задачи (12)-(14). При оценке погрешности используется принцип минимума для линейных дифференциальных уравнений смешанного типа и. налагаются некоторые ограничения на £(ос, у, ы) • Эти ограничения следующие: существует непрерывная производная по U. функции U.), причем £'(ос, у, U.^Рдля фиксированного (х, у)& ®, где? fa у t и) -вогнутая функция по ZI.
В § 2 четвертой главы для нахождения приближенного решения задачи (12)-(14) и оценки погрешности формулируются две задачи условной минимизации. Эти задачи условной минимизации являются в некотором смысле обобщением рассматриваемой в § 2 третьей главы задачи условной минимизации. За счет нелинейности уравнения (12) обе задачи условной минимизации являются итерационным процессом и решаются как задачи линейного программирования.
В § 3 четвертой главы даны схемы численного решения задач условной минимизации, полученные в предыдущем параграфе. На каждой итерации улучшается оценка приближенного решения и находятся коэффициенты базисных функций. Доказано, что оценка погрешности приближенного решения, полученная в узлах сетки на Ктой итерации, справедлива во всей области SO.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики АТУ им. С. М. Кирова, на I и П республиканских конференциях молодых ученых Азербайджана (г.Баку, 1977 г. и 1979 г.), на научной конференции по вычислительной математике, организованной факультетом прикладной математики — процессов управления Ленинградского университета им.
А.А.Жданова (г.Ленинград, 1978 r.)i на семинаре лаборатории математической физики Института математики АН Белорусской ССР под руководством профессора В. Н. Абращина (г.Шнек, 1982 г., 1983 г.), t на семинаре ИК АН Азербайджанской ССР (г.Баку, 1983 г.), на семинаре ИПМ игл.М. В. Келдыша под руководством профессора С. П. Курдюмова (г.Москва, 1983 г.), на семинаре кафедры прикладной и вы/ числительной математики Харьковского авиационного института им. Н. Е. Жуковского под руководством профессора И. В. Гончарюка (г.Харьков, 1983 г., 1984 г.), на семинаре прикладных методов математики и кибернетики под руководством академика АН УССР В. Л. Рвачева (г. Харьков, 1983 г.).
Основные результаты работы опубликованы в [58] - [6lj .
ВЫВОДЫ.
По всем полученным выше результатам можно сделать следующие выводы:
1. Разработан алгоритм для определения приближенного решения задачи Трикоми для одного класса квазилинейных дифференциальных уравнений смешанного типа.
Получены оценки погрешности приближенного решения в двух видах.
2. Для нахождения приближенного решения и оценок погрешностей задачу Трикоми для квазилинейных дифференциальных уравнений смешанного типа построены две задачи условной минимизации. Показаны схемы для численного решения этих задач.
Доказано, что оценки погрешности, полученные в узлах сетки на (< -той итерации, справедливы во всей области.
заключения:
1. Доказаны теоремы об оценках погрешностей приближенного решения задачи Гурса для вырождающегося линейного и квазилинейного уравнений гиперболического типа, задачи Трикоми для линейных уравнений смешанного типа и для одного класса квазилинейных уравнений смешанного типа.
2. Разработан алгоритм для определения приближенных решений и оценок погрешностей для рассматриваемых задач. Показано, что нахождение приближенного решения сведено к последовательному решению двух задач математического программирования. Последние решаются не во всей области, а лишь в узлах сетки. Доказано, что полученные в узлах сетки оценки погрешностей справедливы во всей рассматриваемой области.
3. Предложенным методом экспериментально исследованы приближенное решение и его погрешность для задач 1*урса и Трикоми.
4. Исследована устойчивость вычислительных процессов при использовании метода математического программирования. Показано, что для устойчивости вычислительного процесса, заданной точности аппроксимирующего полинома (в данном случае степени аппроксимирующего полинома) должна соответствовать вполне определенная точность вычислений (в данном случае количество точек в области), и, наоборот, при заданной точности вычислений приближенное решение должно быть аппроксимировано лищь полиномом соответствующей степени. На основании изложенных результатов построен эффективный алгоритм.
5. Анализ полученного приближенного решения показывает, что методы математического программирования — это весьма эффективный вычислительный способ при решении линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, и они могут использоваться для более широкого класса базисных функций.
