Свойства классов подпространств унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана

В работе вводятся и изучаются классы ортозамкнутых и расщепляющих подпространств унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана.

Алгебраические, топологические и порядковые свойства подпространств унитарного пространства (не обязательно полного) уже достаточно давно являются предметом детального изучения. Дж. фон Нейман в работе 1932 года [52] при математическом обосновании квантовой механики использовал аппарат подпространств (замкнутых линеалов) гильбертова пространства. Поскольку вместе с каждым унитарным пространством можно рассматривать и гильбертово пространство, являющееся пополнением этого унитарного, представляет интерес изучение замкнутых подпространств унитарного пространства.

Также в 30-х годах прошлого столетия появились классические ныне работы Дж. фон Неймана и Ф. Мюррея [49] - [51], [53], положившие начало теории операторных алгебр. Эта теория, в особенности ее часть, связанная с алгебрами фон Неймана, была достаточно хорошо разработана во второй половине двадцатого столетия.

В данной работе объединяются указанные направления исследований, основоположником которых являлся Дж. фон Нейман. Работа посвящена изучению подпространств унитарного пространства в контексте теории алгебр фон Неймана.

Обратимся к основным объектам исследования.

Пусть S — вещественное или комплексное унитарное пространство со скалярным произведением (•>•)• Для любого X С S положим.

X1 = {xeS{x, y) = 0 Vt/ G X}.

Придерживаясь терминологии работ А. Двуреченского [27] - [29], [33], определим для замкнутого подпространства X из S.

E (S) = {X С S | X ф X1 = 5} -множество всех расщепляющих подпространств S и.

F (S) = {X С SХ = X±L] множество всех ортозамкнутых подпространств S.

Следует отметить, что имелись и другие обозначения и терминология. Так Г. Гросс и Г. Келлер в [40] множество расщепляющих подпространств называли множеством ортогональных слагаемых, обозначая это множество через Ls (S), а множество ортозамкнутых подпространств через Ljj (5).

На протяжении нескольких последних десятилетий значительный интерес вызывали характеризации гильбертовых пространств с помощью топологических и алгебраических свойств подпространств. Так в [61] под гильбертовым пространством понимается унитарное пространство, для которого любое ортозамкнутое подпространство является расщепляющим.

С полнотой унитарного пространства тесно связаны порядковые свойства классов подпространств. И. Амемия и X. Араки в [20] дали первую алгебраическую характеризацию полноты: унитарное пространство S полно тогда и только тогда, когда F (S) — ортомодуляр-ная решетка, из чего легко следует, что S полно тогда и только тогда, когда E (S) = F (S) [34]. Были получены также критерии полноты и в терминах расщепляющих подпространств. Так в работе [40] Г. Гросса и Г. Келлера утверждается, что унитарное пространство S полно тогда и только тогда, когда E (S) — полная решетка, Ж. Кат-танео и Д. Марино в [21] установили, что для полноты S достаточно того, чтобы класс E (S) образовывал ст-решетку. А. Двуреченский в [27] доказал, что для полноты S необходимо и достаточно выполнения для E (S) следующего условия: оо.

V Xi G E (S) ({.Xi} С E (S), Xi±Xj, г ф j). i=l.

Другими словами, класс E (S) обязан образовывать квантовую логику в смысле [60]. Другие алгебраические характеризации полноты унитарного пространства можно встретить, например, в работах С. Гаддера [41], [42] и С. Гаддера и С. Холланда [43].

Еще одна очень интересная характеризация полноты унитарного пространства в терминах состояния была получена Ж. Халмхалте-ром и П. Птаком ([46]) для сепарабельного унитарного пространства. Позднее эти результаты были обобщены в [30] - [32] и [35] - [38] А. Двуреченским и С. Пульмановой.

В 30-х годах прошлого столетия зародилось еще одно интереснейшее направление исследований: начала развиваться теория операторных алгебр. Основополагающими работами по алгебрам операторов можно считать, как уже отмечалось, работы Дж. фон Неймана и Ф. Мюррея [49] - [51], [53]. Теория алгебр фон Неймана получила свое развитие и обобщение в работах Ж. Диксмье [26], Ш. Сакаи [56] и М. Такесаки [58]. Следующим этапом в развитии алгебр фон Неймана стала теория Томита — Такесаки [59], [57], [55], позволившая изучать алгебры фон Неймана с помощью нормальных состояний и ассоциированных с ними представлений, а также установившая тесную связь между алгеброй фон Неймана и ее коммутантом. Вслед за этим в работах Ф. Комба [23], [24], У. Хаагерупа [45] и Г. Педерсена, М. Такесаки [54] была развита теория нормальных весов. Понятие веса, включающее в себя понятия состояния и следа, вместе с теорией Томита — Такесаки позволило рассматривать многие интересные объекты. В частности, возникла конструкция пространства представления алгебры фон Неймана, ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом. Кроме того, немаловажную роль стал играть линеал веса [14], [15], [25].

Начало еще одному направлению исследований, имеющих отношение к данной работе, было положено в 1957 г. А. Глисоном [39]: были описаны состояния на множестве замкнутых подпространств се-парабельного гильбертова пространства над полем действительных или комплексных чисел (за исключением пространства размерности два). Из этой фундаментальной работы возникло достаточное число задач, в частности, так называемая проблема линейности (проблема Макки): имеется конечно-аддитивная мера на квантовой логике замкнутых подпространств гильбертова пространства, отвечающих ортопроекторам из алгебры фон Неймана, действующей в этом гильбертовом пространствевозможно ли продолжение этой меры до ограниченного линейного функционала на алгебре фон Неймана?

Задачами, близкими к теореме Глисона, в разных формулировках занималось достаточно большое число авторов. Первоначальные обобщения были сделаны Д. Аарнес в [18], [19] и Д. Гансоном в [44]. Проблема Макки была решена в 1982 — 1985 гг. Е. Кристенсеном [22],.

Ф. Иедоном [62], [63] и М. С. Матвейчуком [7] - [12]. Следует отметить также относящуюся к этой тематике работу А. А. Лодкина [4]. Достаточно полно эта тематика изложена в работе С. Маеды [48]. Различные вопросы, связанные с мерами на алгебрах фон Неймана, рассматривались в работах Г. Д. Луговой и А. Н. Шерстнева [5], [6], Н. В. Трунова и А. Н. Шерстнева [13], а также в работах А. Н. Шерстнева [16], [17].

Итак, как уже отмечалось ранее, рассмотрение классов расщепляющих и ортозамкнутых подпространств унитарного пространства, мер на этих подпространствах (в смысле определения [46]) не является продуктивным. Интерес вызвали подпространства унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана, действующей в пополнении этого унитарного пространства. При этом рассматриваются подпространства, также присоединенные к алгебре фон Неймана. В такой ситуации, позволяющей соединить несколько направлений исследований, возникают не просто новые классы подпространств, но и появляются новые задачи и свойства.

Итак, вместе с унитарным пространством S рассматривается его пополнение — гильбертово пространство Н. В этом случае на S можно смотреть как на некоторый плотный в Н линеал. Рассматривается также алгебра фон Неймана .М, действующая в Н. Требуется, чтобы линеал S был присоединен к Л4, то есть инвариантен относительно любого оператора из коммутанта алгебры Л4. Изучаются классы подпространств ортозамкнутых (Fm (S)) и расщепляющих.

Em (S)) подпространств пространства 5, присоединенных к алгебре фон Неймана М.

Отметим, что рассматриваемые ранее «стандартные» классы замкнутых, ортозамкнутых и расщепляющих подпространств унитарного пространства вкладываются в рассматриваемую схему, если в качестве алгебры фон Неймана взять алгебру В{Н) всех ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Н.

В рамках рассматривамой конструкции возникают следующие вопросы:

Как охарактеризовать классы ортозамкнутых и расщепляющих подпространств пространства S, присоединенных к Л4, с помощью ортопроекторов из Л4?

Как охарактеризовать унитарные (неполные) пространства 5, для которых Em{S) = Fm (S) = Lm (S)?

Как, имея меру на ортопроекторах алгебры фон Неймана Л4, задать меру на рассматриваемых классах подпространств?

Возможно ли «поднятие» меры с классов подпространств унитарного пространства S до меры на ортопроекторах алгебры Л4 ?

Результаты, изложенные в работе, позволяют (в значительной степени) ответить на поставленные вопросы.

В ходе исследований получено описание классов ортозамкнутых и расщепляющих подпространств унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана в терминах ортопроекторов этой алгебры. С помощью этого описания исследуется вопрос о совпадении указанных классов подпространств. Приводятся конструкции алгебр фон Неймана и унитарных (неполных) пространств, для которых имеет место равенство:

EM{S) = FM (S) = LM (S).

Особое внимание уделяется изучению случая алгебры фон Неймана с бициклическим вектором, который часто возникает как результат представления алгебры, ассоциированного с точным нормальным состоянием. В результате возникает алгебра, изоморфная исходной (как И^-алгебре), но, вообще говоря, не пространственно изоморфная. Детально исследуется конструкция представления алгебры всех ограниченных линейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве. Полученные результаты обобщаются на случай представления алгебры, ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом. Подробно иследуется линеал веса в пространстве стандартного представления алгебры всех ограниченных линейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве, ассоциированного с точным нормальным полуконечным весом. Описана конструкция, позволяющая отождествлять элементы линеала веса с операторами Гильберта-Шмидта, действующими в исходном гильбертовом пространстве.

Поскольку существует определенное соответствие между подпространствами унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана, и ортогональными проекторами из этой алгебры, возникает задача мероопределения на введенных классах подпространств и изучения связей между мерами на классах подпространств и мерами на ортопроекторах исходной алгебры фон Неймана. В работе предлагается топологический подход к определению меры на классах подпространств и показывается, как, имея меру на ортопроекторах алгебры фон Неймана, задать меру на классах подпространств, а также как продолжить (или «поднять») меру, заданную на одном из классов подпространств, до меры на ортопроекторах алгебры.

Перейдем к более детальному изложению основных результатов работы.

Диссертация состоит из введения, одиннадцати параграфов, объединенных в три главы, и списка литературы.

1. Бикчентаев А. М. Об одном свойстве Lp-пространств на полуконечных алгебрах фон Неймана// Матем. заметки. — 1998. — Т. 64. — Вып. 2. — С. 185 — 190.

2. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве! J М.: Наука, 1965. 448 с.

3. Дорофеев С. В., Шерстнев А. Н. Функции реперного типа и их применения// Изв. ВУЗов. Матем. 1990. — N 4. — С. 23 — 29.

4. Лодкин А. А. Всякая мера на проекторах W*-алгебры продолжается до состояния// Функц. анализ. 1974. — Т. 8. Вып. 4. — С. 54 — 58.

5. Луговая Г. Д., Шерстнев А. Н. О теореме Глисона для неограниченных мер// Изв. ВУЗов. Матем. 1980. — N 12. — С. 30 -32.

6. Луговая Г. Д., Шерстнев А. Н. О теореме Глисона для неограниченных мер на проекторах гильбертова пространства// III Междунар. конф. по теории вероят. и матем. статистике. Тезисы докл. Вильнюс, 1981. — Т. 2. — С. 13 — 14.

7. Матвейчук М. С. Конечные меры в аппроксимативно конечном факторе// Изв. ВУЗов. Матем. 1976. — N 5. — С. 79 — 85.

8. Матвейчук М. С. Продолжение мер в аппроксимативно конечных факторах// Изв. ВУЗов. Матем. 1977. — N 2. — С. 84 -90.

9. Матвейчук М. С. Одна теорема о состояниях на квантовых логиках// Теор. и матем. физика. 1980. — Т. 45. — N 2. — С. 244 -250.

10. Матвейчук М. С. Одна теорема о состояниях на квантовых логиках, II// Теор. и матем. физика. 1981. — Т. 48. — N 3. — С. 261 — 265.

11. Матвейчук М. С. Описание конечных мер в полуконечных алгебрах// Функц. анализ и его пролож. 1981. — Т. 15. — N 3. — С. 41 — 53.

12. Матвейчук М. С. Конечные заряды в алгебрах Неймана// Конструкт. теория функций и функц. анализ. Казань, 1981. — Вып. 3. — С. 55 — 63.

13. Трунов Н. В., Шерстнев А. Н.

Введение

в теорию некоммутативного интегрирования// Современные проблемы математики. Новейшие достижения (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). Т. 27. — М., 1985. — С. 167 — 190.

14. Шерстнев А. Н. К общей теории состояний на алгебрах фон Неймана// Функц. анализ и его прилож. 1974. — Т. 8. — N 3. -С. 89 — 90.

15. Шерстнев А. Н. Каждый гладкий вес является 1-весом// Изв. ВУЗов. Матем. 1977. — N 8. — С. 88 — 91.

16. Шерстнев А. Н. Меры на идеалах ортопроекторов алгебры Неймана// Изв. ВУЗов Матем. 1978. — N 10. — С. 108 — 109.

17. Шерстнев А. Н. Меры на идеалах ортопроекторов алгебры Неймана/ / Конструкт, теория функций и функц. анализ. Казань, 1979. — Вып. 2. — С. 115 — 124.

18. Aarnes J. F. Physical states on a C*-algebra// Acta Math. 1969. -V. 122. — P. 161 — 172.

19. Aarnes J. F. Quasi-states on C*-algebras// Trans. Amer. Math. Soc.- 1970. V. 149. — P. 601 — 625.

20. Amemiya I., Araki H. A remark on Piron’s paper// Publ. Res. Inst. Math. Sci. Ser. 1966;67. — A 12. — P. 423 — 427.

21. Cattaneo G., Marino G. Completeness of inner product spaces with respect to splitting subspaces// Letters Math. Phys. 1986. — V. 11. P. 15 20.

22. Christensen E. Measures on projections and physical states// Comm. Math. Phys. 1982. — V. 86. — P. 529 — 538.

23. Combes F. Poids associe a une algebre hilbertienne a gauche// Compositio math. 1971. — V. 23. — N 1. — P. 49 — 77.

24. Combes F. Poids et esperances conditionelles dans les algebres de von Neumann// Bull. Soc. math. France. 1971. — V. 99. — N 4. -P. 73 — 112. (перевод: Математика (сб. переводов). — 1974. — Т. 18. -N 6. — С. 80 — 113.).

25. Connes A. On the spatial theory of von Neumann algebras// J. Funct. Anal. 1980. — V. 35. — N 2. — P. 153 — 164.

26. Dixmier J. Les algebres d’operateurs dans I’espace Hilbertien (algebres de von Neumann). Paris: Gauthier — Villars, 1969. -367 p.

27. Dvurecenskij A. Completeness of inner product spaces and quantum logic of splitting subspaces// Letters Math. Phys. 1988. — V. 15. -P. 231 — 235.

28. Dvurecenskij A. States on families of subspaces of pre-Hilbert spaces// Letters Math. Phys. 1989. — V. 17. — P. 19 — 24.

29. Dvurecenskij A. Regular charges and completeness of inner product spaces// Atti Sem. Mat. Fis. Univ. di Modena. 1991.

30. Dvurecenskij A. Regular measures and completeness of inner product spaces// Contributions to General Algebra 7, Holder-Picher-Tempsky Verlag, Vienna, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart, 1991. P. 137 — 147.

31. Dvurecenskij A. Quantum logics and completeness of inner product spaces// Inter. J. Theor. Phys. 1992. — V 31. — P. 1899 — 1907.

32. Dvurecenskij A. Regular measures and inner product spaces// Inter. J. Theor. Phys. 1992. — V. 31. — P. 889 — 905.

33. Dvurecenskij A. Gleason’s Theorem and Its Applications. -Dordrecht: Kluvwer Acad. Publ., 1993. 331 p.

34. Dvurecenskij A., Misik L. Gleason’s theorem and completeness of inner product spaces// Inter. J. Theor. Phys. 1988. — V. 27. — P. 417 — 426.

35. Dvurecenskij A., Pulmannova S. State on splitting subspaces and completeness of inner product spaces// Inter. J. Theor. Phys. 1988. — V. 27. — P. 1059 — 1067.

36. Dvurecenskij A., Pulmannova S. A signed measure completeness criterion// Letters Math. Phys. 1989. — V. 17. — P. 253 — 261.

37. Dvurecenskij A., Neubrunn Т., Pulmannova S. Finitely additive states and completeness of inner product spaces// Found. Phys. -1990. V. 20. — P. 1091 — 1102.

38. Dvurecenskij A., Neubrunn Т., Pulmannova S. Regular states and countable additivity on quantum logics// Proc. Amer. Math. Soc. -1992. V. 114. — P. 931 — 938.

39. Gleason A. M. Measures on the closed subspaces of a Hilbert space/f J. Math, and Mech. 1957. — V. 6. — N 6. — P. 885 — 893.

40. Gross H., Keller H. On the definition of Hilbert space// Manuscripta Math. 1977. — V. 23. — P. 67 — 90.

41. Gudder S. P. Inner product spaces// Amer. Math. Monthly. 1974. -V. 81.-P. 29 -36.

42. Gudder S. P. Correction to «Inner product spaces'' // Amer. Math. Monthly. 1975. — V. 82. — P. 251 — 252.

43. Gudder S. P., Holland S. J. Second correction to «Inner product spaces» // Amer. Math. Monthly. 1975. — V. 82. — P. 818.

44. Gunson J. Physical states on quantum logics,!// Ann. Inst. H.Poincare. 1972. — A 17. — P. 295 — 311.

45. Haagerup U. Normal weights on W*-algebras// J. Funct. Anal. -1975. V. 19. — N 3. — P. 302 — 317.

46. Hamhalter J., Ptak P. A completeness criterion for inner product spaces// Bull. London Math. Soc. 1987. — V. 19. — P. 259 — 263.

47. Kadison R. V, Ringrose J.R. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume I: Elementary Theory. — New York: Academic Press, 1997. 398 p.

48. Maeda S. Probability measures on projectors in von Neumann algebras// Reviews Math. Phys. 1990. — V. 1. — N 2−3. — P. 235 -290.

49. Murray F., von Neumann J. On rings of operators// Ann. Math. -1936. V. 37. — P. 116 — 229.

50. Murray F., von Neumann J. On rings of operators, II// Trans. Amer. Math. Soc. 1937. — V. 41. — P. 208 — 248.

51. Pedersen G., Takesaki M. The Radon-Nicodym Theorem for von Neumann albebras// Acta Math. 1973. — V. 130. — N 1−2. — P. 53 — 87.

52. Perdrizet F. Elements positifs relarifs a une algebre Hilbertienne a gauche I j Compositio math. 1971. — V. 23. — N 1. — P. 25 — 47.

53. Sakai S. C*-algebras and W*-algebras. Springer, 1971. — 257 p.

54. Takesaki M. Tomita’s theory of modulas Hilbert algebras and its applications// Lect. Notes Math. 1970. — V. 128. — 123 p. (перевод: Математика (сб. переводов). — 1974. — Т. 18. — N 3. — С. 83 — 122, N 4. — С. 34 — 63.).

55. Takesaki М. Theory of Operator Algebras, I. Springer, 1979.

56. Tomita M. Standard forms of von Neumann algebras// The V-th funct. anal, sympos. of the Math. Soc. of Japan. Sendai, 1967.

57. Veradarajan V. S. Probability in physics and a theorem on simultaneous observability/j Comm. Pure Appl. Math. 1962. — V. 15. — P. 189 — 217.

58. Veradarajan V. S. Geometry of Quantum Theory, I. Van Nostrand, Princeton, New York, 1968.

59. Yeadon F. J. Measures on projections in W*-algebras of type llf f Bull. London Math. Soc. 1983. — V. 15. — P. 139 -145.

60. Yeadon F. J. Finitely additive measures on projections in finite W*-algebras// Bull. London Math. Soc. 1984. — V. 16. — P. 145 — 150. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

61. Турилова Е. А. Свойства замкнутых подпространств унитарного пространства, присоединенного к алгебре фон Неймана//Алгебра и анализ: Тез. докл. школы-конф. Казань: Изд-во Ка-занск. матем. об-ва, 1997. — С. 219 — 220.

62. Турилова Е. А., Шерстнев А. Н. О классах подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана!/ Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы школы-конф. Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 1999. — С. 229 — 231.

63. Турилова Е. А. О классах подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана, в пространстве представления, ассоциированного с весом!/ Труды XXII конф. молодых ученых мехмата МГУ. Москва, 2001. — С. 163 — 165.

64. Турилова Е. А. О классах подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана, в пространстве представления, ассоциированного с весом! Межд. конф. по теории операторов и ее прил.: Тез. докл. Ульяновск, 2001. — С. 35 — 36.

65. Турилова Е. А. Описание классов подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана, в пространстве представления В (Н), ассоциированного с весом// Труды матем. центра им. Н. И. Лобачевского. 2001. — Т. 8. — С. 223 — 225.

66. Турилова Е. А. О мерах на классах подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана, в пространстве представления В (Н), ассоциированного с весом/f Труды матем. центра им. Н. И. Лобачевского. 2003. — Т. 19. — С. 215 — 216.

67. Турилова Е. А. О классах подпространств, присоединенных к алгебре фон Неймана, в пространстве представления алгебрыВ{Н), ассоциированного с весом// Казан, ун-т. Казань, 2003. 21 с. Деп. в ВИНИТИ 21.06. 2003 N 1196-В2003.

68. Sherstnev A. N., Turilova Е. A. Classes of Subspaces Affiliated with a von Neumann Algebra// Russian Journ. of Math. Physics. 1999. V. 6. N 4. — P. 426 — 434.