Минимальные и гипернормальные топологические группы

С начала развития абстрактной теории групп и по сей день многочисленные исследования вдохновлялись идеей выделения достойного (и доступного) для изучения класса групп путем наложения ограничений на те или иные семейства подгрупп. Достаточно упомянуть основополагающие работы Дедекинда о гамильтоновых группах, Миллера и Морено — о минимальных неабелевых, О. Ю. Шмидта — о минимальных ненильпотентных. После решения в 50-е годы прошлого века 5 проблемы Гильберта открылась возможность разработки подобной проблематики на материале уже не дискретных, а локально-компактных топологических групп, где тоже было получено много интересных результатов.

В 1956 г. известный алгебраист Б. Нейман [68] предложил в какой-то мере двойственный подход — наложение ограничений на собственные фактор-группы. Пусть в — некоторое групповое свойство. Топологическую группу G назовем точно не О-группой (короче: j0-rpynnoft), если для любой ее собственной замкнутой нормальной подгруппы N фактор-группа G/N обладает свойством ©, а сама G им не обладает (в дальнейшем будут полезны следующие правила сокращений: топологическую группу G будем называть Qd-группой, если G° будет 0-группой, где — дискретная группа алгебраически изоморфная Gтопологическую группу G будем называть индуктивно-®-группой если замыкание каждой конечнопорожденной подгруппы из G будет ©—группойтопологическую группу G будем называть проектвно-Q-группой если для любой окрестности U нейтрального элемента в G найдется такая замкнутая нормальная подгруппа N С U, что G/N будет 0-группой). Если в качестве © принять абелевость, то возникает класс jA-групп, в дискретном разрешимом случае классифицированных М. Ньюманом [70], [71] (см. также [73]). Им, в частности, установлено, что разрешимая j А9-группа G обладает монолитом Мнетривиальное пересечение всех нетривиальных замкнутых нормальных подгрупп группы, который совпадает с коммутантом G' причем, если G не нильпотентна, то G расщепляется над М, М изоморфна аддитивной подгруппе некоторого поля Р, a G/M изоморфна подгруппе мультипликативной группы поля Р, которая аддитивно порождает Р. Если G нильпотентна, то она является р-группой с циклическим или квазициклическим центром Z = Z (G), фактор-группа G/Z по которому — элементарная абелева.

Продолжив исследования в данном направлении, Д. Робинсон [72] классифицировал класс разрешимых jT9-rpynn, где Т — свойство транзитивного отношения нормальности (топологическая группа G обладает свойством транзитивного отношения нормальности, если L = L < N = N < G влечет L < G), который содержит класс jA9-rpynn. В [72], в частности, доказывается, что разрешимая jT5-rpynna G может содержать не более двух минимальных нормальных подгруппприводятся примеры jT^-rpynn с одной нетривиальной минимальной нормальной подгруппой М (в этом случае М — монолит, над которым группа G расщепляетсяи), с двумя минимальными нормальными подгруппами (в этом случае они будут циклическими одного и того же простого порядка) и вообше без минимальных нормальных подгрупп.

Чуть раньше, Д. Маккарти [66] устанавливает абелевость радикала Фиттинга F (G) ф Е неполу простой jF3-rpynnbi G, где F — конечность см. также [77]) — причем, F (G) содержит централизатор каждого своего нетривиального элемента и изоморфна Zn, где Z — аддитивная группа целых чисел. Таким образом, задача описания неполупростых jF3-rpynn Д. Маккарти сводит к описанию конечных Z-неразложимых представлений. Если G/A — абелева порядка п, то с G ассоциируется некоторый дробный идеал расширения R поля рациональных чисел Q с помощью примитивного корня из единицы вп степени ппричем, двуступенно разрешимые jF5-rpynnbi будут изоморфны тогда и только тогда, когда ассоциированные с ними дробные идеалы будут содержаться в одной орбите группы Галуа данного расширения R [67].

Из современных работ, написанных в рамках данного подхода, укажем [11], [13], [46], [65], [75], [76].

Другим направлением исследований в области теории групп является идея изучения различных классов обобщенно нильпотентных групп. Для конечной группы существование убывающего центрального ряда равносильно существованию возрастающего центрального ряда, а также нормализаторному условию и единственности силовской подгруппы по каждому простому делителю порядка группы [12, теорема Бернсайда-Виланда]. Эти условия равносильны тому, что каждый элемент группы является левоэнгелевым или нильэлементом [14, с. 543] или тому, что каждый элемент группы правоэнгелев [14, с. 541]. В классе бесконечных групп происходит расщепление всех этих понятий, изучению которых посвящено множество работ (см. обзоры А. Г. Куроша и С. Н. Черникова [15], А. Г. Куроша [14], Б. И. Плоткина [36] по дискретным и B.C. Чарина [61], Ю. Н. Мухина [22], [24] по топологическим обобщенно нильпотентным группам). Сформулируем лишь теоремы о строении локально-компактных групп двух важных классовиндуктивно пронильпотентных групп и групп, удовлетворяющих нор-мализаторному условию для замкнутых подгрупп, короче: iV-rpynn (топлогическая группа называется N-группой, если любая ее собственная замкнутая подгруппа будет отлична от своего нормализатора).

Следующая теорема была получена В. М. Глушковым [6] в классе индуктивно нильпотентных локально-компактных групп, а позже обобщена В. И. Ушаковым [48] и В. П. Платоновым [35] на класс индуктивно пронильпотентных групп.

Теорема А. В локально-компактной индуктивно пронилъпотент-пой группе G индуктивно компактный радикал I = 1(G) содержит мнооюество G) всех компактных элементов группы G, причем G/I — чистая индуктивно иильпотентная группа JIuJ = IGoоткрытая нормальная подгруппа (Go — связная компонента единицы группы G), причем G/Jдискретная группа без крученияGo нилъпотентпа и [Go, I] = ЕIq = IП Go — компактная центральная подгруппа в J, Go/Iq ~ чистая связная группа JIuJ/Iq = ///oxgo/ioI/Iq — раскладывается в ограниченное прямое произведение Y[SP: Н своих силовских р-подгрупп Sp с произвольно отмеченной в ней открытой компактной подгруппой Н (определение операции ограниченного прямого произведения групп modicho найти, например, в [54, п. 6.16] или [19, с. 53]).

Это утверждение имеет огромное значение при исследовании локально-компактных групп вообще ввиду того, что в любой локально-компактной группе G существует наибольшая индуктивно пронильпо-тентная нормальная подгруппа Р замкнутая в G [32].

Следующее утверждение впервые бало доказано В. И. Ушаковым [50] (см. также [35]).

Теорема В. В локально-компактной N-группе G индуктивно компактный радикал I = 1(G) совпадает с G), причем G/I чистаJ = /Go — открытая нормальная подгруппа, причем G/Jдискретная N-группа без крученияGo нильпотептна, причем Ф (С?о) = Iq < Z (Gq) (Z (G) — центр группы G) — J/Iq = I/Iq х Gq/IqI/Io — периодическая индуктивно пронильпотентная группа (мы называем Н периодической, если Щ = Е и = Н).

Б.И. Плоткиным было установлено, что каждая iVa-rpynna будет индуктивно нильпотентной группой (см. [12, с. 164] или [14, с. 396]). Аналогичный результат для чистых локально-компактных iV-rpynn получил В. И. Ушаков [48]. В [32] доказывается следующее предложение, усиливающее оба этих результата (см. также [22, с. 57]):

Теорема С. Для N-группы JIu G следующие утверэюдения равносильны: G будет Ndгруппавсе дискретные подгруппы в G будут N8 -группамиG будет индуктивно нильпотентной группой. Если в N-группе Ли G связная компонента Go без кручения, то G будет индуктивно нильпотентной.

Совместное наложение на группу условий обобщенной нильпотентности и условий конечности позволяет достаточно полно описать ее строение (помимо упомянутых обзоров см. [63]). Топологическая группа называется Min-группой,(соответственно Мах-группой) если в ней нет бесконечных убывающих (соответственно возрастающих) цепей замкнутых подгрупп). Так, В. М. Глушковым [5] установлено, что локально-компактные Mm-группы — это в точности расширениям связных компактных групп Ли посредством дискретных Мт-групп. То же верно, если заменить Min на Min — аЬ — условие минимальности для абелевых замкнутых подгрупп [33]. Индуктивно прораз-решимая локально-компактная Mm-группа специальна, то есть почти вида Тп х Сроо х. X (Т — одномерный тор, Ср°° - квазициклическая р-группа) — в классе индуктивно разрешимых локально-компактных групп Min — ab равносильно Mmв классе индуктивно пронильпотентных локально-компактных групп условие Min — п минимальности для нормальных замкнутых подгрупп равносильно Min [24, п. 4.4].

В.М. Глушковым [8] показано, что индуктивно разрешимые локально-компактные Мах-труппы есть в точности расширения ком-патной гуппы Я, обладающей конечным субнормальным рядом с факторами изоморфными С&bdquo-, либо Ър для некоторых натуральных п и простых р, посредством дискретной Мах-труииы (Сп — циклическая группа порядка п, Ър — аддитивная группа кольца целых р-адических чисел). В этой же работе установлено, что в классе ниль-потентных локально-компактных групп условие Мах — п максимальности для нормальных замкнутых подгрупп равносильно Max. B.C. Чариным [59] установлено, что в классах периодических разрешимых локально-компактных групп и периодических индуктивно нильпотент-ных локально-компактных групп условие Мах — аЬ максимальности для абелевых замкнутых подгрупп равносильно Мах.

Обобщенно нильпотентные локально-компактные группы конечного ранга обстоятельно изучались в работах B.C. Чарина [55]- [57], где, помимо других важных результатов, даны критерии конечности ранга компактно покрываемой индуктивно нильпотентной и периодической индуктивно разрешимой локально-компактных групп. В [26] Ю. Н. Мухиным и Е. Н. Старухиной установлен критерий конечности ранга индуктивно пронильпотентной локально-компактной группы, сводящий задачу к р-группам. В [20] найден подход к изучению компактных групп конечного ранга, устанавливается строение прораз-решимой локально-компактной р-группы конечного ранга (теорема 5). В [23] устанавливается, что проразрешимая (радикальная) локально-компактная группа конечного ранга разрешима над (индуктивно) пронильпотентной.

Выделим класс гипериормальных топологических групп G (короче: NA-групп) — групп, в которых N (G) = G для некоторого порядкового числа Л, где Nq (G) = Е, Na (G) jNa-(G) — норма фактор-группы G/Na-i (G), если 0 < а не предельное, и N^G) = (Ja.

G называется ZA-группой, если Z{G) = G для некоторого порядкового числа Л, где Zq (G) = Е, Za{G)/Za-.{G) — центр фактор-группы G/Za-(G), если 0 < а не предельное, и Z^G) = Ja<^Za (G) для каждого предельного д).

С различных сторон топологические ZA^-группы изучались в работах [60], [37], [38], [49].

Основной целыо настоящей работы является изучение локально-компактных групп с ограничениями на фактор-группы, а именно — локально-компактных NA-групп и некоторых классов локально-компактных j0-rpynn. Эта общая проблема естественным образом распадается на следующие пять задач:

I. Выяснить строение локально-компатных jA-rpynn.

II. Выяснить строение локально-компатных jT-rpynn.

III. Выяснить строение локально-компатных jF-rpynn.

IV. Установить основные свойства локально-компактных NA-групп.

V. Выяснить строение локально-компактных iVA-групп с некоторыми условиями конечности.

Решению каждой задачи посвящен соответсвующий параграф настоящей работы.

В параграфе 1.1 перечислены следующие классы локально-компактных jA-групп, причем доказывается (теорема 1.1.1), что каждая разрешимая ненульмерная локально-компактная jA-группа принадлежит одному из них:

1) G — X X М, М — одномерное векторное пространство над полем Р — поле действительных чисел R, либо поле комплексных чисел С, существует такой непрерывный мономорфизм, а локально-компактной группы X на мультипликативную подгруппу поля Р, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством а (Х) совпадает с Р, при этом действие X на М определяется равенством х (тп) = <�г (х) • m для любых х Е X, m Е М (X — символ топологического полупрямого произведения);

2) G = X ХМ, где М — группа характеров аддитивной группы дискретного поля Р нулевой характеристики, X дискретна и существует такой мономорфизм, а группы X в мультипликативную подгруппу поля Р, что группа, аддитивно порожденная множеством &-(Х), совпадает с Р, при этом действие X на М определяется равенством я (х) = х (°~(х)' 0) Для любых х Е Х, х € М.

В параграфе 1.2 перечисляются такие классы локально-компактных jT-групп, и доказывается (теорема 1.2.1), что каждая разрешимая про-ективно лиева локально-компактная jT-группа G принадлежит одному из них:

1) G — дискретная разрешимая jT-rpynna;

2) G — разрешимая ненульмерная jA-группа Ли;

3) G = ((g)С) X М, где а) М — одномерное векторное пространство над полем С, существует непрерывный мономорфизм, а группы Ли С на плотную подгруппу связной компактной подгруппы мультипликативной группы поля С, действие каждого элемента с Е С на М определяется равенством с (т) = а © • т, существует такой m о 6 М, что действие элемента д порядка 2 на М определяется равенством g (z-mo) = z-mo для любого z Е С (z — элемент сопряженный к z) либо b) M — двумерное векторное пространство над полем Р — поле Ж, либо поле С, существует такой непрерывный мономорфизм <т группы Ли С на ненульмерную или непериодическую подгруппу мультипликативной группы поля Р, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством сг© совпадает с Р, относительно некоторого базиса (ео, ei) пространства М действие элемента д порядка 4 определяется равенствами д (ео) = е, д (еi) = —ео, действие каждого элемента с G С на М определяется равенствами с (ео) = <�т© • ео, с (еi) = • eiлибо c) М — к-мерное векторное пространство над полем С, существует такой мономорфизм, а дискретной группы С на периодическую подгруппу мультипликативной группы поля С, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством, а © совпадает с С, дк Е С, относительно некоторого базиса (ео,. пространства М действие элемента д определяется равенствами g (ei) = ej+i при 0 < i < к — 1 и g (ek~i) = сг{дк) • ео, действие каждого элемента с из р-компоненты С на М определяется равенствами с (ег-) = а (с)ир ¦ егпри 0 < г < к — 1, где натуральное число U2 = —1 и ир при рф 2 несравнимо с единицей по mod р, зависит от р и находится из равенства с3 = с" рлибо d) М — к-мерпоо векторное пространство над полем С, существует такой мономорфизм о дискретной группы С на периодическую подгруппу мультипликативной группы поля С, что замыкание группы аддитивно порожденной множеством сг© совпадает с С, дк G (д, С) С, д2к = е, относительно некоторого базиса (ео,., ek-i) пространства М действие элемента д определяется равенствами g (ej) = при О < % < к — 1 и g (efci) = ео, действие каждого элемента с из ркомпоненты С на М определяется равенствами с (е{) = а (с)ир • в{ при О < г < к — 1, где натуральное число U2 = — 1 и ир при р ф 2 несравнимо с единицей по mod р, зависит от р и находится из равенства сд — с" '.

В параграфе 1.3, посвященном изучению неполупростых локально-компактных jF-rpynn, устанавливается абелевость нетривиального радикала Фиттинга F (G) (замыкание подгруппы, порожденной всеми нормальными нильпотентными подгруппами группы G) в каждой такой группе G, причем F (G) ~ Z", если G — дискретная, F (G) ~ Z™, если G — нульмерная недискретная, и F (G) ~ Rn, если Gq ф Е. Таким образом, изучение неполупростых локально-компактных jF-групп сводится к описанию конечных Z-неразложимых, Zp-неразложимых и М-неразложимых представлений.

Доказывается, что примеры jF-групп: Ър и В X А, где, А ~ Ър и В ~ Сп — группа, действующая на, А точно — единственные, с точностью до изоморфизма, примеры недискретных локально-компактных нильпотентной и ненильпотентной сверхразрешимой jF-групп соот-светственно.

Особо выделим теорему 1.3.1 о точной бесконечности тихоновского сплетения локально-компактных групп (тихоновское сплетение, А I В активной группы В и пассивной группы, А будет локально-компактной jF-группой тогда и только тогда, когда В конечна и, А неабелева локально-компактная jF-группа), которая позволяет конструировать примеры jF-групп (дискретных, недискретных нульмерных и ненульмерных) с заданной ступенью разрешимости, поскольку ступень разрешимости АIВ равна сумме ступеней разрешимости, А и В,.

Не решая задачи классификации всех локально-компактных }F-групп, мы изучили строение метабелевых локально-компактных }F-групп и ненульмерных разрешимых локально-компактных jF-групп, у которых G/F (G) — Т — группаполучены следующие результаты:

Теорема 1.3.3. Недискретная нульмерная локально-компактная метабелева jF-группа G имеет вид (9) XI, где I — дробный идеал поля Qp (#), 9 — примитивный корень п-ной степени из единицы, действие которого на I определяется равенством 9(х) = 9 • х для всех х € I. Као1сдая группа такого вида будет jF-группой, и любые две таких группы G и С?2 будут изоморфны тогда и только тогда, когда индексы F (Gi), F{G2) равны и 0(G) = 0(G2), здесь 0{G) — орбита класса, в котором леэюит дробный идеал I, относительно действия группы Галуа G.

Теорема 1.3.4. Разрешимая ненульмерная локально-компактная jF-группа G, у которой G/F (G) -Т-группа, имеет следующее строение: G = ((g)(с)) X А, где, А — k-мерное векторное пространство над полем С, существует мономорфизм, а конечной группы © на подгруппу мультипликативной группы поля С, относительно некоторого базиса (ео,., вк-i) пространства, А действие каждого элемента х из р-компоненты © на, А определяется равенствами х (е{) = а (х)ир • егпри 0 < г < к — 1, где натуральное число и2 = — 1 и ир при р ф 2 несравнимо с единицей по mod р, зависит от р и находится из равенства х9 = xUp, и если спорядка s, то s > 4, ф 6- при gk? ©, действие элемента g определяется равенствами #(ег-) = ег-+1 для 0 < i < к — 1 и g (ek-1) = сг (дк) • еопри дк € (д, С) С, д2к = е, действие элемента g определяется равенствами д (ег-) = e-+i для.

0 < к — 1 и g (ek~i) = ео.

Обратно, каждая группа такого вида будет пепульмерпой jF-группой..

В параграфе 2.1, посвященной изучению локально-компактных NA-групп, устанавливается следующий факт:.

Теорема 2.1.1. Если в локально-компактной группе G норма N = N (G) отлична от центра Z = Z{G), то (1) N раскладывается в ограниченное прямое произведение YNP: U своих силовских р-подгрупп Np с произвольно отмеченной в ней открытой компактной подгруппой U, причем если Np бесконечного периода, то Np = Zp- (2) А = G/Zg (N) — абелева и раскладывается в ограниченное прямое произведение [АР V своих силовских р-подгрупп Ар конечного периода с произвольно отмеченной в ней открытой компактной подгруппой V, причем порядок као/сдого р-элемента, а € а Е АР конечен..

Доказав, что каждая локально-компактная ЛГЛ-группа является N-группой и используя теорему В, получили:.

Теорема 2.1.2. В локально-компактной NA-группе G индуктивно компактный радикал I совпадает с G), причем G/I чистаJ = /Go — открытая нормальная подгруппа, причем G/J-дискретная ZA-группа без крученияGo нильпотентпа, причем Ф (С?о) = Io < Z (Go) — J/Iq = I/Iq х Gq/IqI/Iq — периодическая индуктивно пронильпотептная группа..

Некоторые базовые свойства NAd-rpyun не переносятся на локально-компактные ./УЛ-группы. Приводятся примеры локально-компактных Л7″ Л-групп, некоторые замкнутые подгруппы которых таковыми не являются (примеры 2.1.2 и 2.1.3), в то время как в NA°группах каждая подгруппа обладает свойством NA°. Если в NAd-группе любая нетривиальная нормальная подгруппа нетривиально пересекается с центром [12, с. 141], то в локально-компактных NA-группах этого может и не быть (см. пример 2.1.3). В связи с этим для нетривиальной замкнутой нормальной подгруппы L локально-компактной Л^Л-группы G устанавливается, что если L открыта или NU{G) = G, ToLnZi (G)^?..

А.И. Мальцевым [17] (см. также [14, с. 395]) было доказано, что каждая ZAd-группа будет будет индуктивно нильпотентной. Существуют, однако, простые примеры лиевых NA-трупп не являющихся индуктивно нильпотентными (пример 2.1.3). Нами устанавливаются следующие утверждения об индуктивной (про)нильпотентности некоторых классов локально-компактных групп, аналогичные теореме С..

Следствие 2.1.2. Лиева индуктивно N-группа G индуктивно пильпотентна..

Следствие 2.1.3. В локально-компактной индуктивно N-группе G индуктивная пронилъпотеитность равносильна индуктивной про-лиевости..

Следствие 2.1.4. В локально-компактной индуктивно N-группе G индуктивно пронильпотентный радикал P{G) содерэ/сит Go^{G), причем G/P (G) без кручения..

Ввиду того, что каждая локально-компактная iVA-группа будет N-группой, предыдущие следствия 2.1.2 — 2.1.4 останутся справедливыми, если в них свойство N заменить на NA..

В параграфе 2.2 исследуются вопросы о связи условий Mm, Min — ab, Min — п (Мах, Мах — ab, Мах — п) в классе локальнокомпактных А^А-групп, а также устанавливается строение локально-компактных iVA-rpynn конечного ранга (рангом топологической группы G называют максимум числа порождающих конечно порожденных подгрупп). Все разбросанные по параграфу результаты можно выразить в следующих трех формулировках:.

Теорема 2.2.7. Для локально-компактной NA-группы G следующие утверждения равносильны: (1) G — Черниковская- (2) GMin — аЪ-группа- (3) G — Min — п-группа- (4) некоторая максимальная абелева нормальная подгруппа, А группы G будет Мгп-группой и каждый элемент в G/A конечного порядка- (5) некоторая максимальная абелева нормальная подгруппа, А группы G с лиевой Go будет удовлетворять условию минимальности для нормальных замкнутых подгрупп из G и каэюдый элемент в GJА конечного порядка..

Теорема 2.2.8. Локально-компактная NA-групп G будет Мах-группой в каждом из случаев: (1) G — периодическая Мах—аЪ-группа- (2) G — Мах — п-группа- (3) некоторая максимальная абелева нормальная подгруппа, А группы G будет Мах-группой и каждый элемент в G/А конечного порядка- (4) некоторая открытая максимальная абелева нормальная подгруппа, А группы G будет удовлетворять условию максимальности для нормальных замкнутых подгрупп из G и каждый элемент в G/A конечного порядка..

Теорема 2.2.9. Локально-компактная NА-группа G конечного ранга обладает конечным рядом замкнутых нормальных подгрупп: Е <Т = Vo < V <. < Vk < J < G, где T — конечномерная абелева связная компактная подгруппа, Vi+i/Vi с^ R, Gf J — дискретная ZА-группа без кручения конечного ранга, JfVk — ограниченное прямое произведение своих силовеких р-подгрупп Зр с произвольно отмеченной открытой компактной подгруппой, причем ранги всех Jp ограничены в совокупности. Локально-компактная N А-группа Jp конечного ранга обладает конечным рядом замкнутых субнормальных подгрупп: Е < А = С0 < С <. < С = К0 < К <. < Кт = Jp, где, А ~ С^оо, Ci+i/Ci — конечная циклическая, Ki+i/Ki топологически изоморфна Ър, либо Qp, причем Jp/A — пильпотептна. Обратно, као1сдая локально-компактная NА-группа, содержащая ряд вида (*), будет иметь конечный ранг..

Равносильность условий (1) и (2) в теореме 2.2.7 аналогична теореме 5 в [58], установленному для индуктивно разрешимых локально-компактных групправносильность условий (1) и (3) теоремы 2.2.7 обобщает основной результат работы [60]- равносильность условий (1) и (5) теоремы 2.2.7 обобщает теорему 7 из [18], доказательство этой равносильности опирается на равносильность условий (1) и (4), которое, в свою очередь, опирается на справедливость следующего утверждения:.

Теорема 2.2.3. Если максимальная абелева нормальная подгруппа, А локально-компактной NА-группы G будет Min-группой или Мах-группой, то Go = Aq и следующие утверэюдепия равносильны: каэ/сдый элемент G/A имеет конечный порядокZn+(G/А)/Zn (G/А) будет Мгп-группой при любом натуральном пкаэюдый элемент из Z = {J^^ZniG/A) имеет конечный порядокG/A конечна..

Из доказательства теоремы 4 в [59] следует нильпотентность периодической локально-компактной iVА-группы, удовлетворяющей условию Мах — ab, тогда, используя теорему 6 той-же работы [59], получим Max — ab =ФMax в теореме 2.2.8- следствие Мах — п Мах в теореме 2.2.8 является очевидным следствием равносильности условий Мах — пи Мах в классе индуктивно нильпотентных локально-компактных групп, установленной В. М. Глушковым [8]. Тот факт, что из условия (4) в теореме 2.2.8 следует условие Мах в классе локально-компактных JVyl-групп аналогичен следствию теоремы 1 из [2]..

Основные результаты диссертации опубликованы в [28] - [30] и [40] -[44], а также неоднократно докладывались на семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН..

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Ю. Н. Мухину за постановку задач и пристальное внимание к работе. Низкий поклон моему первому Учителю математики — Шиловой Галине Дмитриевне (школа-лицей N2 1 г. Шадрин-ска Курганской обл.)..

Обозначения и терминология.

Всюду далее будем использовать следующие обозначения: $s (G) -система окрестностей нейтриального элемента группыG' - замыкание коммутанта группыФ (С?) — подгруппа Фраттини группы G F (G) -радикал Фиттинга группы- 1(G) — индуктивно-компактный радикал группыZ (G) — центр группыZg (H) — централизатор Я в G Nq (H) -нормализатор Н в GZa (G) — гиперцентр группы G с порядковым номером aNa (G) — гипернорма группы G с порядковым номером аи> - первое бесконечное порядковое числоAutG — группа всех топологических автоморфизмов G, наделенная топологией Браконье- (М) — подгруппа, топологически порожденная множеством Мir (G) -множество всех таких простых чисел р, что G содержит р-элементG = В X, А — топологическое полупрямое произведение замкнутых подгрупп, А и В, где, А нормальна в G и отображение (Ь, а) н-> Ь • агомеоморфизм пространства В х, А на GАI В — тихоновское сплетение активной дискретной группы В и пассивной группы, А с базой Ав, наделенной тихоновской топологией (полупрямое произведение ВААв, где Ав — группа функций / дискретной группы В в локально-компактную группу А, наделенная тихоновской топологией действиеВ на Ав определяется равенством fb (x) = f (bx)) С — аддитивная группа комплексных чиселR — аддитивная группа действительных чиселQ — дискретная аддитивная группа рациональных чисел Ъдискретная аддитивная группа целых чиселQp — аддитивная группа поля р-адических чисел, где р простое числоZp — аддитивная группа кольца целых р-адических чисел, где р простое числоСп — циклическая группа порядка пQs — группа кватернионов восьмого порядка..

1. Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969. 283 с..

2. Бачурин Г. Ф. О группах с возрастающим центральным рядом // Матем. сб.- Т. 45(87).- № 1- С. 105−112. 1958..

3. Берман С. Д. Представления конечных групп над произвольным полем и над кольцом целых чисел // Изв. АН СССР. Сер.: мат.-Т.30 т.- С. 69−132. 1966..

4. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.- М.: Наука, 1966.280 с..

5. Глушков В. М. Локально бикомпактные группы с условием минимальности для замкнутых подгрупп // Укр. матем. жури.- Т. 8.-№ 2. С. 135- 139. 1956..

6. Глушков В. М. Локально нильпотентные локально бикомпактные группы // Труды Моск. матем. о-ва Т. 4 — С. 291- 332 — 1955..

7. Глушков В. М. Строение локально-бикомпактных групп и пятая проблема Гильберта // Усп. матем. наук.- Т. 12. № 2(74).- С. 341 1957..

8. Глушков В. М. К теории нильпотентных локально бикомпактных групп // Изв. АН СССР. Сер.:мат.- Т.20. № 4. С. 513−546. 1956..

9. Глушков В. М. К теории специальных локально компактных групп // Укр. матем. журн Т. И.- № 4. С. 347- 351. 1959..

10. Джекобсон Н. Строение колец М.: Изд-во Ин. литературы, 1961.392 с..

11. Калашникова Н. В. Групи, Bci власни фактор-групи яких шарово-чершковсью // Укр. матем. журн.- Т. 50 № ИС. 1497- 15 051 998..

12. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп.- М.: Наука, 1972 240 с..

13. Курдаченко JI.A., Соулес П. Группы с гиперциклическими собственными фактор-группами // Укр. матем. журн.- Т. 55 № 4-С. 470- 478. 2003..

14. Курош А. Г. Теория групп 3-е изд., доп.- М.: Наука, 1967. 648 с..

15. Курош А. Г., Черников С. Н. Разрешимые и нильпотентные группы // Усп. матем. наук.- Т. 2. № 3. С. 18- 59. 1947..

16. Ленг С. Алгебра.-М.: Мир, 1968.-564 с..

17. Мальцев А. И. Нильпотентные группы без кручения // Изв. АН СССР: Сер. матем.- Т. 13. С. 201- 212. 1949..

18. Мухаммеджан Х. Х. О группах, обладающих разрешимым возрастающим инвариантным рядом// Матем. сб.- Т. 39(81).- № 2. С. 201- 218. 1956..

19. Мухин Ю. Н. Локально-компактные группы.- Свердловск, 198 192 с..

20. Мухин Ю. Н. Локально-компактные группы конечного ранга // Алгебра и логика.- Т. 17. № 4. С. 416- 435. 1978..

21. Мухин Ю. Н. Об автоморфизмах, фиксирующих замкнутые подгруппы топологической группы// Сиб. матем. журн.- Т. 16. № 6. С. 1231- 1239. 1975..

22. Мухин Ю. Н. Обобщенно-коммутативные локально-компактные группы.- Свердловск, 1986. 96 с..

23. Мухин Ю. Н. О радикальных топологических группах конечного ранга // Подгрупповая структура групп: Сб. науч. трудов. Свердловск: УрО РАН, 1988. С. 126- 134..

24. Мухин Ю. Н. Топологические группы // Итоги науки и техники. Сер.: Алгебра. Топология. Геометрия.-М.: ВИНИТИ, 1982. Т.20-С. 3- 69..

25. Мухин Ю. Н. Топологические группы с транзитивным отношением нормальности //Мат. зап. Урал, ун-та.- Т. 12. 1- С.112- 130.1980..

26. Мухин Ю. Н., Старухина Е. Н. О группах конечного ранга // Мат. зап. Урал, ун-та.- Т. 9. № 1- С. 56- 60. 1974..

27. Мухин Ю. Н., Старухина Е. Н. О двух условиях дискретности в топологических группах // Изв. ВУЗов. Матем- № 9. С. 76- 83.1978..

28. Мухин Ю. Н., Стрижов П. Б. Точно-не-абелевы топологические группы // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35 Региональной молодежной школы-конференции, 26−30 января.2004 г. /УрО РАН Екатеринбург, 2004. С. 41−45..

29. Мухин Ю. Н., Стрижов П. Б. О топологических группах, все собственные фактор-группы которых абелевы // Матем. вестник педвузов и ун-тов Волго-Вятского региона.- Киров, 2005. вып. 7- С. 58- 65..

30. Мухин Ю. Н., Хоменко С. П. Монотетичные группы и подгрупповая решетка // Матем. зап. Урал, ун-та Т. 6 — № 1- С. 67- 79 — 1967..

31. Платонов В. П. Локально проективно нильпотентные подгруппы и нильэлементы в топологических группах // Изв. АН СССР: Сер. матем.- Т. 30. № 6 С. 1257- 1274. 1966..

32. Платонов В. П. О некоторых классах топологических групп // Сиб. матем. журнТ. 7. № 5. С. 1095- 1105, — 1966..

33. Платонов В. П. Периодические и компактные подгруппы топологических групп // Сиб. матем. журн Т. 7. № 4 — С. 854- 8 771 966..

34. Платонов В. П. Строение топологических локально проективно нильпотентных групп и групп с нормализаторным условием // Матем. сб.- Т. 72(114).- № 1. С. 38- 58. 1967..

35. Плоткин Б. И. Обобщенные разрешимые и обобщенные нильпотентные группы // Усп. матем. наук-Т. 13-№ 4(82).- С. 89- 172. 1958..

36. Полецких В. М. Тополопчш групи з компактним простором клаав спряжешх елемшгав // ДАН УРСР А, — № 1. С. 47- 48 — 1974..

37. Полецких В. М. ZA-группы с условием индуктивности для нормальных делителей // ДАН УССР.- А.- № 4. С. 311- 314 1976..

38. Понтрягин JI.C. Непрерывные группы.- 4-е изд.- М: Наука, 1984. 520 с..

39. Стрижов П. Б. О недискретных точно бесконечных группах // Матем. и прикл. анализ: сб. н. тр.- Тюмень, 2005. Вып. 2. С. 155−164..

40. Стрижов П. Б. О топологических гипернормальных группах // Матем. вест, педвузов и ун-тов Волго-Вятского региона.- Киров, 2006. Вып. 8. С. 104−111..

41. Стрижов П. Б. О точно-бесконечных топологических группах // Современные математические методы и информационные технологии в образовании: Тез. докл. Межрегионал. конф., Тюмень, 1416 апр. 2005 г. / Изд-во Тюмен. Ун-та Тюмень, 2005 — С. 56..

42. Сучков В. К. К одной теореме Р. Бэра о норме // Матем. зап.- Т. 6. № 1. С. 103- 106. 1967..

43. Тушев А. В. О разрешимых группах с собственными факторгруппами конечного ранга // Укр. матем. жури Т. 54 — № 11-С. 1560- 1568. 2002..

44. Ушаков В. И. Топологические группы с нормализаторным условием для замкнутых подгрупп // Изв. АН СССР: Сер. матем.- Т. 27-№ 4. С. 943- 948. 1963..

45. Ушаков В. И. Топологические локально нильпотентные группы // Сиб. матем. журн.- Т. 6. К0- 3 С. 580- 595. 1965..

46. Ушаков В. И. О гиперцентрах топологических групп // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина № 375 — С. 87- 89 — 1971..

47. Ушаков В. И. О группах с нормализаторным условием для замкнутых подгрупп // Изв. АН СССР: Сер. матем.- Т. 29. № 5. С. 10 551 068. 1965..

48. Фрёлих А. Локальные поля // Алгебраическая теория чисел.-М.: Мир, 1969. С. 11−71..

49. Холл М. Теория групп М: Наука, 1962 — 288 с..

50. Холл Ф. О конечности некоторых разрешимых групп //Разрешимые и простые бесконечные группы.- М.: Мир, 1981. С. 171- 205..

51. Хыоитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т.1. М.: Наука, 1975. 656 с..

52. Чарин B.C. О группах конечного ранга, I // Укр. матем. журн.-Т. 16.-ДО 2. С. 212- 219. 1964..

53. Чарин B.C. О группах конечного ранга, II // Укр. матем. журн.-Т. 18.-ДО 3. С. 85- 96. 1966..

54. Чарин B.C. О группах конечного ранга, III / / Укр. матем. журн-Т. 21- № 3. С. 344- 353. 1969..

55. Чарин B.C. О локально бикомпактных локально разрешимых группах, удовлетворяющих условию минимальности для замкнутых подгрупп // Сиб. матем. жури.-Т. l.-№ 1.-С. 139−151 1960..

56. Чарин B.C. О некоторых классах локально бикомпактных групп с условием максимальности для абелевых подгрупп // Сиб. матем. журн.-Т. 5.-Л* 2.-С. 438−458. 1964..

57. Чарин B.C. О топологических ZA-группах, удовлетворяющих условию минимальности для замкнутых подгрупп //Усп. матем. наук.- Т. 16. № 5. С. 209−214. 1961..

58. Чарин B.C. Топологические группы // Итоги науки. Алгебра 1964. М.: 1966. С. 123- 160..

59. Черников С. Н. О централизаторе полного абелевого нормального делителя в бесконечной периодической группе // ДАН СССР.- Т. 72. № 2. С. 243- 246. 1950..

60. Черников С. Н. Условия конечности в общей теории групп // Усп. матем. наук Т. 14. № 5 — С. 45- 96 — 1959..

61. Baer R. Norm and hipernorm // Publ. Math. Debrecen-V.4. P. 347 350. 1956..

62. Kurdachenko L.A., Subbotin I.Y. Groups whose proper quotients are hypercentral // J. Austral. Math. Soc. A.- V. 65. № 2. P. 224- 237.1998..

63. McCarthy D. Infinite groups whose proper quotient groups are finite, 1.//Commun. on Pure And Appl. Math.-V. XXI.-P. 545−562.-1968..

64. McCarthy D. Infinite groups whose proper quotient groups are finite, 1. //Commun. on Pure And Appl. Math.-V. XXIII.-P. 767−789.-1970..

65. Neumann В. H. Ascending derived series //Compositio Math V. 13.-P. 47- 64. 1956..

66. Neumann В. H. Groups with finite classes of conjugate elements // Proc. London Math. Soc.- Ser. 3. V. 1. P. 178−187. 1951..

67. Newman M. F. On a class of metabelian groups //Proc. London Math. Soc.- V. 10. № 3. P. 354- 364. 1960..

68. Newman M. F. On a class of nilpotent groups //Proc. London Math. Soc.- V. 10. № 3. P. 365- 375. 1960..

69. Robinson D. J. S. Groups whose homomorphic images have a transitive normality relation //Trans, of the Amer. Math. Soc V. 176 — P. 181 213. 1973..

70. Rosati L. A. Sui gruppi a factoriali abeliani //Mathematiche (Catania).- V. 13. P. 138- 147. 1958..

71. Schenkman E. On the norm of a group // Illinois J. Math V.4. P. 150- 152. 1960..

72. Segev Y. The commuting graph of mimimal nonsolvable groups // Geom. dedic.- V. 88. № 1−3. P. 55- 66. 2001..

73. Tushev A.V. On the Fitting subgroup of soluble groups just of infinit rank // Доп. Нац. АН Украши.- № 10, — С. 45- 47, — 2001..

74. Wilson J.S. Groups with every proper quotient finite // Proc. Cambridge Philos. SocV. 69. № 3. P. 373- 391. 1971..

75. Wos T. On commutative prime power subgroups of the norm // Illinois J. Math.- V.2. P. 271- 284. 1958..