Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Некоторые непрерывные и итеративные методы решения некорректных задач

Диссертация: Некоторые непрерывные и итеративные методы решения некорректных задач
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Кроме указанного, отметим два вариационных метода решения некорректных задач: метод невязки и метод квазирешений, разработанные в екатеринбургской школе математиков под руководством В. К. Иванова. Многообразие вариационных методов обусловлено тем, что при их построении используется различная априорная информация о задаче (1) и обширный арсенал средств решения задач оптимизации. К непрерывным… Читать ещё >

Некоторые непрерывные и итеративные методы решения некорректных задач (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • ГЛАВА I. НЕПРЕРЫВНЫЕ АНАЛОГИ МЕТОДОВ КВАЗИОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
    • 1. Непрерывный аналог метода квазиобращения Латтеса
  • Лионса
    • 2. Непрерывный аналог метода квазиобращения Гаевского
  • Захариаса
    • 3. Численное решение обратной задачи теплопроводности
  • ГЛАВА II. НЕПРЕРЫВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
    • 1. Непрерывный аналог метода квазиобращения для дифференциального уравнения второго порядка
    • 2. Новый метод квазиобращения и его непрерывный аналог
  • ГЛАВА III. НЕПРЕРЫВНЫЕ И ИТЕРАТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
    • 1. Непрерывный метод второго порядка для решения экстремальных задач в гильбертовом пространстве
    • 2. Непрерывная регуляризация первого порядка для одного класса нелинейных операторных уравнений в банаховом пространстве
    • 3. Трёхшаговый метод итеративной регуляризации для решения нелинейных монотонных уравнений в банаховом пространстве

1. Рассмотрим операторное уравнение.

Ах =/ * еХ, /еУ, (1).

X и У — некоторые метрические пространства.

Задача (1) называется корректной по Адамару, если выполнены следующие условия:

1) задача (1) имеет решение при всех Г е У;

2) решение единственно;

3) решение непрерывно зависит от элемента / в метриках пространств X и V.

Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из этих требований, относится к классу некорректных. Ранее считали, что некорректные задачи не имеют реального физического смысла. Однако оказалось, что некорректными являются многие известные задачи, например, обратные. Как сказал академик М. М. Лаврентьев: «Корректно поставленные задачи — это далеко не единственные задачи, правильно отражающие физические явления.» Необходимость решать некорректные задачи в настоящее время общепризнанна.

Начало созданию теории и методов решения некорректных задач положила работа А. Н. Тихонова [65] и сформулированная в ней.

Теорема. Взаимнооднозначный непрерывный оператор, переводящий компакт метрического пространства в метрическое пространство, имеет непрерывный обратный.

Согласно этой теореме, надо уметь накладывать условия, которые определяли бы компакт Х]С:Х для (1). Основной вклад в решение этой проблемы внес М. М. Лаврентьев [42,43]. В. К. Иванов, введя понятие квазирешения, т. е. элемента, минимизирующего невязку уравнения (1) иаХ], снял вопрос о необходимости устанавливать существование решения задачи (1) [35].

Следующий важный шаг в развитии методов решения некорректных задач был сделан А. Н. Тихоновым, который ввел понятие регуляризирую-щего алгоритма (РА).

Определение. Оператор Щсх/) называется регуляризируюгцим алгоритмом задачи (1), если он обладает следующими свойствами:

1) определен при Уа >0 и V/ еГ;

2) существует функция а=а (5) такая, что регуляризованное решение ха=Ща (8),!) —>х — решению задачи (1) при 8 ру (/, у) <8, руметрика в пространстве У.

А.Н. Тихоновым был предложен способ построения такого РА. Мес тод А. Н. Тихонова определяет регуляризованное решение ха как точку минимума сглаживающего функционала.

Фх (х^'ё) ру2(Ах,/5) + ах (х), где з (х)>0 — некоторый стабилизирующий функционал.

Кроме указанного, отметим два вариационных метода решения некорректных задач: метод невязки и метод квазирешений, разработанные в екатеринбургской школе математиков под руководством В. К. Иванова [36]. Многообразие вариационных методов обусловлено тем, что при их построении используется различная априорная информация о задаче (1) и обширный арсенал средств решения задач оптимизации.

Практически все существующие методы решения некорректных задач сводятся к решению некоторой корректной задачи, которая дает приближение к решению исходной проблемы. Наиболее известными и подробно изученными являются операторные методы регуляризации, в которых решаются семейства корректных задач, зависящих от дискретного параметра а, называемого параметром регуляризации. Однако сведение некорректных задач для дифференциальных уравнений к решению операторных уравнений неэффективно. В настоящее время разработаны методы регуляризации, использующие дифференциальную специфику некорректных задач. К ним относится предложенный Р. Латтесом и Ж.-Л. Лионсом метод квазиобращения, в котором регуляризованное уравнение для нахождения элемента хад получается путем введения в уравнение дополнительных слагаемых с малым параметром, а [44,36,37]. Метод получил широкое распространение, в частности, для решения обратных задач. Кроме того, в екатеринбургской школе математиков создан метод вспомогательных граничных условий (ВГУ). регуляризирующий за счет введения новых слагаемых с малым параметром в граничные условия. Наиболее полные результаты по вопросам корректности и регуляризации некорректной задачи Коши изложены в [37].

К непрерывным методам мы будем относить те методы решения некорректных задач, в которых роль параметра регуляризации выполняет некоторая функция aft), t > t0 >0, и которые сводятся к задаче Коши для дифференциального уравнения некоторого порядка. Под порядком непрерывного метода для уравнения (1) понимают порядок дифференциального уравнения, которое его описывает.

Отметим преимущества непрерывных методов. При решении операторного уравнения (1) с помощью непрерывных методов полнее используется априорная информация об искомом решении, появляется возможность использовать мощный современный аппарат численного решения дифференциальных уравнений, а также строить на основе непрерывных методов новые итерационные процессы для решения операторных уравнений. Если же в некотором методе, сводящемся к задаче Коши с некоторым параметром а, мы заменим этот параметр некоторой функцией aft), то для получения лучшего приближения к искомому решению при численной реализации метода необходимо сделать несколько шагов по t вместо того, чтобы решать задачу Коши на некотором отрезке [0,Т ] при фиксированном значении параметра а. Идея таких построений была предложена Я. И. Альбером.

В силу сказанного, интерес к непрерывным методам решения корректных и некорректных задач в последнее время существенно возрос. Укажем следующие работы [3,9,17, 18,19, 60].

Диссертация посвящена вопросам построения и исследования сходимости непрерывных методов регуляризации линейных и нелинейных некорректных задач в гильбертовом и банаховом пространствах, а также изучению некоторых итерационных процессов, созданных на их базе. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на восемь параграфов, и заключения. Нумерация определений, лемм, теорем, замечаний и следствий двойная: первая цифра совпадает с номером главы, а втораяпорядковый номер в главе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Подводя итог изложенному, сформулируем основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. В гильбертовом пространстве для операторных линейных дифференциальных уравнений первого порядка построены непрерывные аналоги методов квазиобращения, получены достаточные условия их сходимости. Исследована устойчивость разностной схемы для регуляризован-ной задачи, проведены численные расчёты.

2. Для решения обратной задачи для линейного дифференциального операторного уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве предложен новый метод регуляризации, построены непрерывные аналоги методов квазиобращения для этой задачи, установлены условия их сходимости.

3. Для задачи минимизации выпуклого функционала в гильбертовом пространстве получены достаточные условия сходимости регуляри-зованного метода тяжёлого шарика, исследована устойчивость метода к возмущениям данных.

4. Для одного класса нелинейных операторных уравнений в банаховом пространстве доказана сходимость операторного метода регуляризации. Для этого же класса операторных уравнений построен непрерывный метод регуляризации первого порядка, получены достаточные условия его сходимости.

5. Для нелинейного монотонного уравнения в банаховом пространстве доказана сходимость трёхшагового метода итеративной регуляризации, построенного на базе метода Ньютона-Канторовича.

Показать весь текст

Список литературы

  1. A.A., Гаипова А. Н. О решении некоторых уравнений, содержащих разрывные монотонные преобразования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1972. — Т.12, № 1 — С.204−207.
  2. Я.И. Методы решения нелинейных операторных уравнений и вариационных неравенств в банаховых пространствах: Диссертация д.ф.-м.н. Горький, 1986. — 315 с.
  3. Я.И. Непрерывная регуляризация линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве // Математические заметки. 1968. — Т.4, № 5. — С.503−509.
  4. Я.И. О решении методом регуляризации операторных уравнений I рода с аккретивными операторами в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1975. — Т.11, № 12. — С.2242−2248.
  5. Я.И., Рязанцева И. П. Минимизация выпуклых функционалов // Тезисы докладов I Всесоюзной конференции по экстремальным задачам и их приложениям. Таллин, 1973.- С.18−19.
  6. Я.И., Рязанцева И. П. О решении нелинейных задач с монотонными разрывными отображениями // Дифференциальные уравнения. -1979. Т.15, № 2. — С. ЗЗ 1−342.
  7. Я.И., Рязанцева И. П. Вариационные неравенства с разрывными монотонными отображениями //Доклады АН СССР. 1982. — Т.262, № 6. -С. 1289−1293.
  8. Т.В., Недич А. Об одном варианте непрерывного метода проекции градиента второго порядка и его дискретном аналоге // Вестник МГУ, серия 15. 1995. — № 2. — С.5−11.
  9. A.C. Непрерывные и итеративные процессы с операторами проектирования и типа проектирования // Вопросы кибернетики. Вычисл. вопр. анализа больших систем. М.: Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР. — 1989. — С.5−43.
  10. М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. — 344с.
  11. Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.:Наука, 1981.-400с.
  12. Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.1. М.:Наука, 1988.-552с.
  13. Ф.П., Недич А. Об одном варианте регуляризованного методапроекции градиента // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. — Т.34, № 4. — С.511−519.
  14. Ф.П., Недич А., Ячимович М. Регуляризованный непрерывный метод линеаризации второго порядка для задач минимизации с неточными исходными данными //Вестник МГУ, серия 15. 1996. -№ 3. — С.5−12.
  15. Ф.П., Недич А., Ячимович М. Регуляризованный непрерывный метод линеаризации для задач минимизации с неточными исходными данными //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. — Т.36, № 3. С.33−43.
  16. Ф.П., Недич А., Ячимович М. Регуляризованный непрерывный метод линеаризации третьего порядка //Дифференциальные уравнения. 1995. — Т.31, № 10. — С. 1622−1627.
  17. M.K. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов //Изв. вузов. Математика, — 1958. -№ 5 -С. 18−31.
  18. X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. -336с.
  19. Ф.А., Гончаров С. А., Жидков Н. П. и др. Численное решение задач на собственные значения для интегродифференциальных уравнений в теории ядра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1977. — Т. 17, № 2. — С.407−419.
  20. С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. -400с.
  21. Т., Пузынин И. В. О комбинации метода установления и метода Ньютона для решения нелинейных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. -Т.23, № 2. -С.175−184.
  22. Е.А. Алгоритмы непрерывных методов регуляризации // Тезисы Второй международной конференции «Математические алгоритмы» Н. Новгород, 1995. -С. 19.
  23. Е.А. Метод высокого порядка для монотонных уравнений вбанаховом пространстве //Межвуз. сб. «Моделирование и оптимизация сложных систем», вып. 273. Н. Новгород: ВГАВТ, 1997. — С. 139.
  24. Е.А. Метод шестого порядка для монотонных уравнений в банаховом пространстве // Ред. ж. Изв. вузов. Матем. Казань, 1997. -24с. — Деп. в ВИНИТИ за № 2709-В97.
  25. Е.А. Некоторые методы решения обратных задач для уравнений второго порядка в частных производных // Горький, 1988. — 11с. — Деп. в ВИНИТИ за № 336-В89.
  26. Е.А. Непрерывная регуляризация уравнений в банаховом пространстве II Н. Новгород, 1992. Юс. — Деп. в ВИНИТИ за № 323-В93.
  27. Е.А. О непрерывных методах решениянекорректных задач //Материалы научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, вып.283,ч.3- Н. Новгород: ВГАВТ, 1999. С.52−54.
  28. Е.А., Рязанцева И. П. Непрерывные аналоги методов квазиобращения // Горький, 1987. 9с. — Деп. в ВИНИТИ за № 481-В88.
  29. Е.А., Рязанцева И. П. О непрерывных методах решения некорректных задач // Тезисы доклада международной школы-семинара по геометрии и анализу. Ростов-на-Дону, 1998. — С. 190.
  30. Е.А., Рязанцева И. П. Решение обратной задачи теплопроводности методом квазиобращения // Межвуз. сб. «Колебания и волны в жидкости и газе». Горький: ГПИ, 1990. — С.144−151.
  31. В.К. К величине параметра регуляризации в некорректно поставленных задачах управления // Дифференциальные уравнения. -1974. Т. 10, № 12 — С.2279−2285.
  32. В.К. О линейных некорректных задачах // Докл. АН СССР.1962. Т. 145, № 2. — С.270−272.
  33. В.К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректныхзадач и её приложения. М.:Наука, 1978. — 206с.
  34. В.К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциальнооператорные уравнения и некорректные задачи. М.:Наука, 1995. -175с.
  35. К. Функциональный анализ. М.:Мир, 1967. — 624с.
  36. Л.В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.:Наука, 1977. -741с.
  37. А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. — 543с.
  38. С.Г. Линейные дифференциальные операторы в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464с.
  39. М.М. О некоторых некорректнопоставленных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. — 92с.
  40. М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальныхуравнений. Новосибирск: НГУ, 1973. — 72с.
  41. Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.:1. Мир, 1970. 336с.
  42. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.1. М.: Мир, 1972.- 587с.
  43. O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. -Минск: Наука и техника, 1981. 343с.
  44. Л.А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа.- М.: Высшая школа, 1982. 271с.
  45. X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. — 456с.
  46. И.В. Решение обратной задачи Коши методом квазиобращения // Изв. вузов. Математика. 1981. № 6. — С.36
  47. С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.- 504с.
  48. А. Непрерывный метод проекции градиента третьего порядка длязадач минимизации // Дифференциальные уравнения. 1994. — Т.30, № 11.-С. 1914−1922.
  49. А.И. О свойствах дуального отображения с масштабной функцией // Изв. вузов. Математика. 1985. — № 12. — С.68−70.
  50. Т.Б. О некоторых способах ускорения сходимости итерационныхметодов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. — Т.4, № 5. — С.791−803.
  51. .Н., Данилин Ю. А. Численные методы в экстремальныхзадачах. М.: Наука, 1975. — 319с.
  52. Н.С. Величина параметра регуляризации вметоде квазиобращения // Изв. вузов. Математика. 1979. — № 2. -С.48−51.
  53. Л.А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974.-630с.
  54. В., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. -М.: Мир, 1979.-587с.
  55. И.П. Итерационные методы типа Ньютона-Канторовича прирешении нелинейных некорректных задач с монотонными операторами // Диффер. уравнения. 1987. — Т.23, № 11. — С.2012−2014.
  56. И.П. О некоторых итерационных процессах в банаховом пространстве // Межвуз. сб. «Условно-корректные задачи матем физики и анализа». Красноярск: КГУ, 1988. — С.258−262.
  57. И.П. О некоторых методах непрерывной регуляризации длямонотонных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. -Т.34, № 1. — С.3−11.
  58. И.П. Устойчивые методы решения нелинейных монотонныхнекорректных задач. Дис. д.ф.-м.н. Нижний Новгород, 1996. 344с.
  59. И.П., Дунцева Е. А. Об одном непрерывном методе решениявыпуклых экстремальных задач // Дифференц. уравнения. 1998. -Т.34, № 4. — С.480−485.
  60. С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.-808с.
  61. И.С., Головина Л. И., Яглом И. М. О математической индукции. М.: Наука, 1967. — 144с.
  62. А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР.1943. Т.39, № 5. — С.195−198.
  63. А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.1. М.: Наука, 1979.-285с.
  64. Ю.В., Перов А. И. Дифференциальныеуравнения с монотонными нелинейностями. Минск: Наука и техника, 1986, — 199с.
  65. С.Ю. Об обобщённых разделённых разностях // Изв. АН ЭССР. Сер. физ.-мат.н. 1967. — 16. — № 1. — С.13−26.
  66. JI.H. Итеративная регуляризация метода минимизации со скоростью сходимости шестого порядка // Вестник МГУ, сер. 15. 1988. -№ 4. — С.17−23.
  67. JI.H. Об одном методе минимизации с кубической скоростьюсходимости // Вестник МГУ, сер. 15. 1980. -№ 3-С.52−56.
  68. М.А. Непрерывные аналоги метода штрафов для задачи выпуклого программирования // Экономика и матем. методы. 1975. -Т.11, № 1. — С.130−140.
  69. В.В. Методы приближённого решения уравнений с монотонными операторами: Дис. к.ф.-м.н. Воронеж, 1983. — 118с.
  70. Dixmier J. Les algebres d’operateurs dans les espaces hilbertiens. Paris, Gauthier. — Villars, 1957.
  71. Gaewski H., Zacharias К. Zur Regularisirang einer Klasse nichtkorrekter Probleme bei Evolutions gleihungen //j. Math. Anal. And Appl. — 1972-. V.38, № 3. — C.784−789.
  72. Inomata S., Kumada M. On the Golt method // Bulletin of Elect. Lab.vol.27, № 7, March 23. Tokyo, 1961. 76. Rockafellar R.T. Monotone operators and the proximal point algorithm // SIAM J. Contr. and Optim. 1976. — V.14, № 15. -p.877−898.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!