Разработка способов идентификации математической модели судна с целью решения прикладных задач судовождения

Рассматриваемая в настоящей работе проблема идентификации математической модели судна легко погружается в общую проблему моделирования и идентификации моделей. С общих позиций основным содержанием науки можно признать формирование моделей того или иного типа на основе результатов наблюдений и исследования их поведения. Модели могут быть в разной степени формализованными, но все они обладают одним главным свойством — связывают наблюдения в некоторую общую картину. Решение задач построения математических моделей динамических систем по данным наблюдений за их поведением составляет предмет теории идентификации.

Термину идентификация и связанным с ним понятиям на Всероссийской конференции «Идентификация систем и задачи управления» (2003) были даны определения, которыми мы воспользуемся, так как они наилучшим образом соответствуют характеру деятельности судоводителя:

• идентификацией называется вся познавательная деятельность лица, принимающего решение (ЛПР), создающая необходимые условия для практического использования формальных основ теории управления при решении конкретной прикладной задачи;

• теорией идентификации считается система методов построения нормативных моделей идентификациитеория, в идеале, включает методы, используя которые ЛПР может самостоятельно создать нормативные образцы своей идентификационной деятельности;

• структурной идентификацией называется вся познавательная деятельность ЛПР, связанная с поиском в формальных основах теории управления адекватной постановки прикладной задачитеория идентификации поддерживает эту деятельность, создавая методы построения нормативных образцов структурной идентификации.

Динамическая система, если говорить нестрого, — это объект, в котором происходит взаимодействие между его разнотипными частями и формируются наблюдаемые сигналы. Имея дело с системой, мы нуждаемся в некоторой схеме соотнесения между собой характеризующих систему переменных. Будем называть совокупность предполагаемых связей между наблюдаемыми сигналами моделью в широком смысле. Очевидно, что модели могут принимать самую разную форму и записываться с разной степенью математической детализации или вообще без использования языка математики. Однако в большинстве случаев соотношения, описывающие взаимодействие различных составляющих динамической системы, задаются в виде систем алгебраических, дифференциальных (разностных), алгебро-дифференциальных или интегральных уравнений. Такие модели принято называть математическими моделями (ММ). Математические модели могут быть снабжены рядом поясняющих прилагательных (непрерывные и дискретные по времени, сосредоточенные и распределенные, детерминированные или стохастические, линейные или нелинейные и т. п.) в зависимости от типа используемых уравнений.

При моделировании динамических систем все числовые характеристики изучаемого процесса можно разбить на два класса: не изменяющиеся в ходе процесса (константы) и меняющие свое значение (переменные). В свою очередь, в каждом из этих классов можно выделить два подкласса: один содержит числовые характеристики, которые могут быть измерены в ходе эксперимента (измеряемые константы и переменные) — другой — включает характеристики, которые либо вообще не могут быть измерены на современном уровне развития науки, либо их измерение чрезвычайно трудоемко и дорого (не измеряемые константы и переменные).

На первом этапе построения математической модели любого процесса необходимо выбрать общую структуру модели и класс уравнений, которыми предполагается описать наблюдаемый процесс^ т. е. решить так называемую задачу структурной идентификации [1] - [3]. Что касается выбора структуры модели, то ее сложность определяется конечными целями исследования, теоретическими соображениями о механизме процессов и, не в последнюю очередь, возможностями измерений в ходе эксперимента и математического обеспечения обработки результатов. Когда структура модели и класс уравнений определены, необходимо определить числовые значения констант, вошедших в уравнения ММ. На этом этапе построения математической модели возникает задача оценки числовых значений неизмеряемых констант по имеющимся экспериментальным данным, т. е. по значениям измеряемых переменных (откликам). Данную задачу и принято называть задачей параметрической идентификации.

Не существует споров по вопросу о важности создания адекватной математической модели каждого конкретного судна. Когда сама модель уже выбрана тем или иным способом на основе гидродинамической теории, то возникает проблема определения параметров — коэффициентов модели. На этом этапе предпочтение отдается не теоретическому вычислению параметров модели, а их определению на основе натурных испытаний судна. Особенно перспективен этот метод, если идентификация проводится в реальном масштабе времени, когда найденные (идентифицированные) параметры могут быть сразу же использованы для прогнозирования ближайшего маневра. Изменение обстоятельств предполагаемого маневра непосредственно скажутся на идентифицируемых параметрах и тем самым на качестве предсказания траектории маневра. Именно это составляет главный интерес практического судовождения.

Знание математической модели судна важно и для конструкторских разработок, связанных с проектированием систем управления судном [4]. В этом случае точное знание разомкнутой модели ведет к высокой эффективности систем управления, разработанных на основе такой модели.

Этот процесс и его результат и есть параметрическая идентификация, поскольку структура модели выбрана. Чаще всего математическая модель судна есть система дифференциальных уравнений движения судна, параметрами которой являются коэффициенты в правых частях уравнений [5]. Обычно эти коэффициенты входят в правые части линейно, хотя можно рассматривать и более сложные случаи вхождения параметров, например, при идентификации модели судового движительного комплекса.

Задача параметрической идентификации формулируется обычно как задача минимизации некоторого функционала, представленного в интегральной форме. Если набор переменных состояния объекта задать вектором Х= {л,}, набор параметров модели вектором С= {Q}, то условие минимума функционала выглядит так: inf{l/X (X, Xf, X", C, t) dt}, CeD, где D — некоторая закрытая область варьирования параметров модели С, а подынтегральная функция в общем случае зависит как от вектора состояния X, так и от его первой X' и второй X" производных.

Возможность придания этой функции конкретного вида зависит прежде всего от наших возможностей по наблюдению за объектом, т. е. от того, какие переменные состояния мы можем измерять. В самом идеальном случае при наблюдениях движения судна мы хотели бы наблюдать шесть переменных — три линейных ускорения W — {wi, w2, w3}h три угловых ускорения Е = {еь 82, S3}, где оси координат {X, Y, Z} выбраны для судна традиционным образом. Наблюдая эти величины, мы могли бы определять регулярно как кинематические характеристики шестимерного движения — линейные У ~ Ц2, И угловые скорости Q = {coi, СО2, Юз} и линейные и угловые VP = {vj/!, v|/2, ц/3} перемещения, так и динамические характеристики — силы R — {R, R2, R3} и моменты М = {Mi, М2, М3}, действующие на судно. Самое важное, что все эти характеристики определяются при такой исходной информации путем интегрирования (а не дифференцирования!), что существенно повышает точность конечных результатов. .

Однако такая постановка остается на уровне идеи, так как для обычных судов установка шестимерных акселерометров и соответствующей аппаратуры обработки или хотя бы фиксации ускорений — проблема совершенно нереальная. Именно поэтому вместо общей задачи решают частные задачи подобного типа, в зависимости от того, какие характеристики движения мы можем наблюдать непосредственно. Например, если наблюдаются (измеряются) скорость хода (лаг), координаты (GPS или DGPS) и курс (гирокомпас), то функционал записывают в виде inf{J[oci (Z-JQ2 + а2(7- Гэ)2 + а3(у — иэ)2+ а4(ККэ)2] dt} = inf{J/0d/}, где Хэ, Уэ, иэ, Кэ — измеренные в процессе плавания значения перечисленных выше характеристикX, Y, и, К — их значения, определяемые в соответствии с выбранной математической моделью и потому зависящие от вектора параметров СА = {ось СС2, аз, — весовой нормированный вектор (Ещ = 1), компоненты которого устанавливают значимость для нас того или иного кинематического параметра.

Но чаще всего задачу сводят к задаче так называемой «дифференциальной» идентификации, т. е. к минимизации интеграла, связанного с дифференциальными уравнениями движения судна. Пусть наш объект (судно) описывается следующей системой шести дифференциальных уравнений: du/dt =/v (l>, (3, со, С) — dp/d? =/р (и, р, со, С) — dco/dt =/ю (и, (3, со, QdK/df = /и<�л р, ю, QdX/dt =Ми, Р, ев, С) — dYldt =fy (v, р, ю, Q.

В этом случае для минимизации выбирается функционал inf {I [а 1 (dujdtfv (иэ, рэ, юэ, С))2+ a1{d^dt-ff> (иэ, рэ, соэ, С)? + oc3(dco3/dt-fa{v2, рэ, (0Э, О)2] d/} = inf{0 (иэ, рэ, соэ, Q d/}.

Эту задачу легко представить в дискретной форме, заменив интеграл его дискретным аналогом — суммой подынтегральной функции в точках моментах измерения кинематических параметров движения гД, сокэ. После этого задача решается вполне традиционным способом: берутся частные производные от минимизируемого функционала по искомым параметрам и приравниваются к нулю. Возникает так называемая система нормальных алгебраических уравнений по числу определяемых параметров: {dO/dCj = OJ= 1,2,.,/и.

Если сами параметры входили в модель линейно, то полученная система также линейна и с формальной точки зрения решается элементарно.

При всей кажущейся простоте задачи при такой ее постановке реализация решения наталкивается на несколько проблем. Ненаблюдаемость, т. е. невозможность измерения части кинематических характеристик, таких, как (3, со, du/dt приводит к необходимости вычислять их путем дифференцирования тем или иным способом. Это существенно увеличивает погрешности конечных результатов. К тому же матрица линейной задачи плохо обусловлена, и даже малые погрешности исходных данных (а они в нашем случае вовсе не малы!) приводят к значительным погрешностям конечных результатов по определению параметров Су. Итак, два фактора — низкая точность исходной информации и плохая обусловленность матрицы системы переводят задачу практически в класс некорректных задач, результатам решения которых доверять опасно.

Все это говорит о том, что проблемы параметрической идентификации не решены в такой степени, чтобы использовать результаты решения в практической задаче предсказания маневров судна в реальном масштабе времени и любая попытка приближения к такой возможности всегда актуальна.

Не решены однозначно и проблемы структурной идентификации судовой модели. Существует множество моделей похожих, но все же разных структур, которые отличаются набором членов в правых частях уравнений движения [3]. Это различие состоит в порядке членов вида ррсоч, т. е. в степенях р и q, которые удержаны в уравнениях. Можно выделить примерно 6 таких моделей и параметрическая идентификация каждой из них будет иметь свою специфику. Возможно также менять структуру модели при изменении совершаемых маневров. Однако можно подойти к этому вопросу с чисто параметрической точки зрения. Взяв самую полную модель с всеми членами до третьего порядка, можно затем переходить от одной модели к другой, просто полагая часть коэффициентов равными нулю и идентифицировать только оставшиеся. При этом каждый раз придется решать проблемы, какой набор коэффициентов брать нулевым, т. е. фактически решать проблему структуры модели.

Сама параметрическая идентификация может быть общей, когда определяются сразу все параметры модели. Естественно, такая задача несет на себе отпечаток всех сложностей идентификации, о которых было сказано выше. Для ее упрощения можно на первом шаге идентификации находить только часть параметров, например, те, которые изменяются в данный момент быстрее всего. На втором шаге находить остальные параметры. Возможно разделение всех параметров на большее число групп. При этом всегда приходится решать важную проблему сходимости выбранной итерационной схемы идентификации.

Другой путь состоит в выборе упрощенных, частных моделей для маневров того или иного вида. Например, при исследовании циркуляции достаточно рассматривать только два дифференциальных уравнения изменения угла дрейфа и угловой скорости поворота и считать при этом неизменной поступательную скорость судна. Естественно, что частные математические модели приведут к упрощению проблемы идентификации, так как придется определять меньшее число параметров одновременно [6], [42], [3].

Одним из главным вопросов, на которые следует ответить в процессе идентификации, это погрешность найденных параметров. К сожалению, этому вопросу уделяется очень мало внимания. В известной нам литературе практически не встретить серьезной оценки такой погрешности. Но с эксплу-тационной точки зрения важна не погрешность самих идентифицированных параметров, а траекторная погрешность маневров, которые прогнозируются с помощью модели, имеющей эти параметры. Этому вопросу вообще не уделено места в известных нам исследованиях. Выявление такой связи погрешностей остается одной из актуальнейших задач практики идентификации математических моделей судна.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе были рассмотрены задачи, которые связаны с идентификацией математической модели судна, и вытекают из общей теории моделирования и идентификации моделей.

В качестве математической модели судна выбрана традиционная система дифференциальных уравнений. Все уравнения были детально структурированы в форме общей модели. Эти детали коснулись движителя, т. е. упора винта, гидродинамической силы сопротивления продольному движению, инерционной массы при продольном движении судна, а также всех составляющих корпусных сил и моментов. Для упора винта и силы сопротивления предложены новые структуры, позволяющие уточнить работу судна, особенно при малых скоростях. Это необходимо для реализации в электронных тренажерах, на которых отрабатываются различные швартовые операции.

Проблема параметрической идентификации математической модели с выбранной структурой рассмотрена как проблема минимизации функционала. Показана некорректность задачи определения параметров модели при непосредственном дифференцировании функционала. Получено несколько более корректное решение смешанным методом градиентного и затем покоординатного спуска. Показана связь проблемы некорректности в этих двух подходах с объективной особенностью структуры функционала в многомерном пространстве параметров.

Как попытка разрешить эти трудности рассмотрен новый, альтернативный, подход к параметрической идентификации с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина, который позволяет решать непосредственно задачу адекватного маневрирования, а не производную от нее задачу дифференциальной аппроксимации. Этот подход здесь принципиально намечен и в дальнейшем может быть распространен на широкий круг задач параметрической идентификации.

Показана сложность задачи глобальной идентификации и невозможность ее решения на настоящий момент в реальных судовых условиях. Поэтому в целях практического судовождения рассмотрены частные математические модели, решающие отдельные задачи маневрирования судна. Предложены новые методы локальной идентификации таких моделей, использующие совокупные результаты ходовых испытаний, а не отдельные их характеристики. Предложены новые методы идентификации центра и радиуса установившейся циркуляции при отсутствии ветра и в условиях его действия, параметров управляемости в простейшей модели Номото, а также кривой управляемости по минимальному числу натурных циркуляций.

При решении этих задач особо детально обсуждена проблема использования траекторных наблюдений при маневрировании судна и требуемая при этом точность измерений траекторных координат. Произведено сравнение различных методов обработки координат траектории с целью получения кинематических характеристик движения судна и решен вопрос выбора в пользу сплайновых аппроксимаций.

Наконец, рассмотрена проблема зависимости маневренных характеристик судна, определяемых с помощью моделей, от точности знания самих параметров моделей. Показано, какие из них необходимо определять с большей точностью, чем остальные, при нахождении тех или иных маневренных характеристик. Для решения комплекса подобных задач нами были введены и вычислены для ряда случаев коэффициенты влияния параметров модели на типовые характеристики маневрирования судна. Здесь рассмотрены установившиеся циркуляции, эволюционный период циркуляций, начальная поворотливость судна, его способность к одерживанию и тормозные характеристики при переходе с большей скорости судна на меньшую для выполнения сложных швартовых операций. Для всех этих характеристик вычислены коэффициенты влияния как в абсолютном, так и в процентном выражении.

Все полученные результаты легко обозримы, имеют простую форму и могут быть применены в реальных судовых условиях или в рамках учебных занятий при подготовке судоводителей. Кроме того, все результаты наших исследований были применены (и могут применяться для аналогичных целей) при создании электронных тренажеров, отрабатывающих сложные швартовые операции, например, точечные швартовки.