О существовании решений с поверхностью сильного разрыва для гиперболических законов сохранения: приложения к магнитной и радиационной гидродинамике

0.1 Структурная устойчивость сильных разрывов для гиперболических законов сохранения. Актуальность вопроса.

При движении различных сплошных сред (например, газа, плазмы и т. д.) часто образуются относительно тонкие переходные зоны больших градиентов, в которых параметры среды (плотность, давление, скорость, магнитное поле и т. д.) испытывают резкие изменения. Математическими моделями идеальных сплошных сред, т. е. таких, что процессами диссипации (например, вязкостью, теплопроводностью и т. п.) в них можно пренебречь, являются обычно гиперболические законы сохранения.

В этом случае упомянутые тонкие переходные зоны моделируются движущимися поверхностями сильного разрыва, на которых функции, описывающие движение сплошной среды, меняются скачком. В то же время, сами квазилинейные гиперболические системы уравнений обладают свойством образования сингулярностей (типа градиентной катастрофы) из гладких начальных данных за конечное время. То есть сильные разрывы в решениях гиперболических систем, например, ударные волны, являются их неотъемлемым свойством.

С другой стороны, формально рассматриваемое решение с поверхностью сильного разрыва, т. е. такое слабое решение квазилинейной гиперболической системы, которое является гладким с обоих сторон от разрыва, на по5 верхности которого выполняются так называемые соотношения Ренкина-Гюгонио, может реально не существовать даже локально по времени. В этом случае формально рассмотренный сильный разрыв не существует как физическая структура в рамках используемой математической модели, т. е. структурно неустойчив.

Таким образом, одним из отправных моментов исследования сильных разрывов для гиперболических законов сохранения должен являться вопрос их структурной устойчивости, т. е. вопрос, связанный с доказательством локального по времени существования и единственности решения с тем или иным видом сильного разрыва (например, с ударной волной). При этом ключевым пунктом в этом вопросе является проблема нахождения условий на кусочно-гладкие начальные данные, которые гарантируют наличие такой локальной теоремы существования и единственности (условия структурной устойчивости).

Сам термин «устойчивость сильного разрыва» был введен физиками и означает следующее. Пусть сильный разрыв является плоскостью. Пусть плоскость разрыва, а также параметры стационарного однородного потока сплошной среды перед и за разрывом слабо возмущены. Вопрос состоит в том ограничены ли со временем малые возмущения. Если да, то сильный разрыв называют устойчивым. В противном случае он называется неустойчивым. Понятно, что такое определение устойчивости есть, по существу, определение линейной (или линеаризованной) устойчивости плоского разрыва по отношению к малым возмущениям. Однако оказывается, что линейная (слабая) устойчивость не всегда гарантирует существование (по крайней мере, локально по времени) соответствующих разрывных решений гиперболической системы законов сохранения, т. е. структурную устойчивость.

С другой стороны, термин «устойчивость сильного разрыва» нужно понимать правильно. А именно, в идеале (для нелинейной постановки задачи) 6 он означает именно структурную устойчивость, т. е. локальную корректность соответствующей нелинейной задачи, но ни в КОЕМ СЛУЧАЕ не устойчивость по Ляпунову. Дело в том, что имеет смысл исследовать устойчивость по Ляпунову решений с поверхностью сильного разрыва только в том случае, когда доказана теорема существования таких решений глобально по времени или, по крайней мере, есть надежда, что такая глобальная теорема существования действительно имеет место. Для квазилинейных гиперболических уравнений в общем случае такой теоремы нет, как известно, даже для задачи Коши.

Необходимо, правда, отметить, что в одномерном случае (т.е. в случае одной пространственной переменной) при определенных условиях все же доказывается глобальная теорема существования слабых решений (теорема СШпт’а, 1965). Но в рамках диссертации нас будет интересовать только МНОГОМЕРНЫЙ случай, т.к., с одной стороны, именно он должен рассматриваться с физической точки зрения, а с другой стороны, математическая теория ударных волн для одномерных гиперболических законов сохранения имеет свое отдельное развитие. Отметим, что особняком стоит также случай скалярного закона сохранения, который тоже будет вне нашего рассмотрения, т. е. предполагается, что число законов сохранения БОЛЬШЕ ОДНОГО (для скалярного закона сохранения теория глобальных решений развита в работах Со1шау-8то11ег, Кружкова, Ьюпз-РегШате-ТасЫогмы не приводим здесь точных ссылок, т.к. эта тематика выходит за рамки интересов диссертации).

Вопрос структурной устойчивости сильных разрывов (например, ударных волн) для различных моделей механики сплошной среды имеет огромное теоретическое и практическое значение. Так, например, для уравнений магнитной гидродинамики (МГД) это связано прежде всего с различными приложениями к астрофизике (солнечный ветер, межпланетные ударные волны и т. д.). Более того, в последнее время актуальность вопроса струк7 турной устойчивости возрастает в связи с многочисленными компьютерными расчетами течений сплошных сред с сильными разрывами. Понятно, что такие расчеты должны быть адекватны реальной физической картине явления. С этой целью необходимо придерживаться подхода математического моделирования, заключающегося в одновременном исследовании физической, математической и вычислительной моделей явления.

Что касается явления образования сильных разрывов (точнее соответствующих узких переходных зон больших градиентов, которые моделируются разрывами), то до проведения каких-либо расчетов необходимо быть уверенным в том, что сильный разрыв структурно устойчив, т. е. действительно существует как физическая структура в рамках «гиперболического» («невязкого») приближения. Дело в том, что если сильный разрыв, введенный в рамках математической модели, неустойчив, то расчеты в таком случае могут быть абсолютно неадекватны физической модели рассматриваемого явления.

В связи с этим обратим особое внимание на современную ситуацию, связанную с расчетами уравнений МГД сжимаемой жидкости. В последние годы появилось очень много работ, в которых многомерные МГД течения рассчитываются с использованием вычислительных моделей, основанных на решении задачи Римана о распаде абстрактного одномерного МГД разрыва. Если в газовой динамике, по крайней мере, решен в полном объеме вопрос о структурной устойчивости ударных волн в политропном газе (см. ниже параграф 0.2, где приводится краткий исторический обзор), то в МГД не только не существует достаточных обоснований использования таких схем расщепления для расчета многомерных МГД течений, но и сам вопрос об устойчивости сильных разрывов еще далек от своего полного решения (см. параграф 0.2).

С другой стороны, ясно, что решение вопроса об устойчивости сильных разрывов является лишь первым, но необходимым этапом в матема8 тическом моделировании течений сплошных сред с поверхностями сильного разрыва. Так, например, в последнее время появилась серия работ (см. параграф 0.2), посвященных вязкой устойчивости ударных волн, т. е. устойчивости (в идеале нелинейной устойчивости по Ляпунову) ударных волн, рассматриваемых не как разрыв, а как так называемый вязкий профиль (или структура) для «вязких» законов сохранения (например, для уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости). Интересно отметить, что в силу результатов этих работ структурная устойчивость ударной волны, т. е. локальная корректность задачи с ударной волной-разрывом, является достаточным условием устойчивости соответствующего вязкого профиля.

0.2 Исторический обзор и основные методы исследования.

Сразу заметим, что здесь и далее в диссертации, говоря о сильных разрывах, мы будем иметь ввиду только разрывы, распространяющиеся в неограниченной сплошной среде (х G Шпфизический случай п = 2 или п = 3). Случай же, когда компактная поверхность сильного разрыва находится в ограниченной области с граничными условиями типа условий непротекания (в МГД, например, выставляется также условие параллельности магнитного поля границе), является с математической точки зрения просто техническим обобщением случая неограниченной области и неограниченной гиперповерхности разрыва и сводится к последнему стандартной техникой разбиения единицы.

Первые результаты по многомерной линейной устойчивости сильных разрывов (прежде всего ударных волн) были получены в 50-х — 60-х годах XX века Дьяковым [38], Freeman’oM [112], Конторовичем [45], Иорданским [42], Erpenbeck [108] и др. (см. также обзор [58]) и относятся к газовой динамике. Эти результаты получены с помощью стандартного подхода, осно9 ванного на анализе экспоненциальных решений (синусоидальных волновых пакетов [66]) у линейной задачи. А именно, следуя [38] (см. также, например, работы Ландау [51], Сыроватского [64], Сагс1пег'а, КгивкаГа [120] и др.) экспоненциальное решение соответствующей линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами ищется в следующем виде: и = Ио ехр{г (—иЬ + кх + 1×2 + шхз)}, (0.1).

0, Ж1>0, (х2,х3)еЕ2, где и0 — постоянный вектор, ш, к, I, т — некоторые постоянные,? — время, {х, х2, Хз) — декартовы координаты (в общем виде для абстрактной системы законов сохранения линеаризованная задача как с постоянными, так и с переменными коэффициентами будет выписана в главе 1). Если существует такое решение, что.

1 т ш > 0, 1 т к > 0, 1 т / = 1 т т = 0, (0.2) то сильный разрыв неустойчив. В противном случае, в рамках подхода, например, работ [112,108, 120] он считается устойчивым. Мы будем далее называть такую устойчивость слабой. Заметим, что неустойчивость означает по существу возможность построения примера некорректности типа примера Адамара (см. главу 1), т. е. некорректность линейной задачи.

Как впервые было отмечено в работе Дьякова [38], необходимо выделить также случай, когда задача не имеет решений вида (0.1) со свойством (0.2), но у нее есть экспоненциальные решения (0.1) со свойством.

1 т а- = 1 т к = 1 т I — 1 т т = 0. (0.3).

Для газодинамических ударных волн область параметров линейной задачи, для которой имеет место описанная ситуация, названа Дьяковым [38] областью спонтанного излучения звука разрывом. В последствии такого типа разрывы, устойчивые по отношению к растущим возмущениям, но допускающие экспоненциальные возмущения со свойством (0.3), стали называть.

10 нейтрально устойчивыми. На самом деле, в общем случае имеется также возможность существования волновых пакетов с1та- = 0,1т&->0, 1 т / = 1 т т = 0 (их называют иногда волнами Рэлея [80]- см. замечание 1.5.3).

Таким образом, описанный стандартный («физический») подход к устойчивости сильных разрывов есть, по существу, подход к исследованию линейной (или линеаризованной) устойчивости. Ниже нами будут приведены аргументы, показывающие, что в промежуточном случае нейтральной устойчивости вывод о реальном существовании сильного разрыва не может быть сделан на линейном уровне.

С другой стороны, необходимо отметить, что сильный разрыв, для которого линейная задача с постоянными («замороженными») коэффициентами не имеет экспоненциальных решений со свойством (0.2) и (0.3), является равномерно устойчивым (экспоненциальные решения убывают со временем). Этот случай соответствует тому, что для линейной гиперболической задачи выполнено так называемое равномерное условие Лопатинского [130] (см. главу 1). Оказывается, что в более или менее общем случае условие равномерной устойчивости, будучи выполненным поточечно для начальных данных исходной нелинейной задачи гарантирует (вместе с условиями гиперболичности, согласования начальных данных и т. д.) локальное существование и единственность решений этой задачи, т. е. структурную устойчивость.

Понятно, что условие равномерной устойчивости может быть, в принципе, найдено и с помощью стандартного анализа экспоненциальных решений. Но для того, чтобы осуществить переход от равномерной линеаризованной устойчивости к структурной (нелинейной) устойчивости необходимо воспользоваться другим, более строгим подходом. Он опирается на теорию смешанных задач для линейных и квазилинейных гиперболических уравнений и оперирует такими строгими математическими понятиями как равномерное условие Лопатинского, корректность задачи и т. д.

Этот подход к проблеме устойчивости сильных разрывов был предложен в конце 70-х — начале 80-х годов прошлого века в работах Блохи-на [7, 8, 9, 10, И] (см. также [13]). Чуть позднее сходный по идеологии подход, но основанный на другой технике, был развит в работах Majda [141, 142, 143]. Прежде чем перейти к краткому описанию этого подхода перечислим основные результаты, полученные с помощью стандартного анализа экспоненциальных решений.

Наиболее полный анализ устойчивости ударных волн в газовой динамике был проведен в уже упомянутой выше работе Дьякова [38]. Им же впервые введены в рассмотрение спонтанно излучающие (или нейтрально устойчивые) ударные волны. В частности показано, что ударные волны в политропном газе всегда равномерно устойчивы. Необходимо правда отметить, что Дьяковым при описании границы между областями нейтральной и равномерной устойчивости была допущена ошибка, которая позднее была исправлена независимо Иорданским [42] и Конторовичем [45]. Заметим, что эти результаты также обобщены Конторовичем [46] на случай релятивистских ударных волн, т. е. им найдены области неустойчивости, нейтральной и равномерной устойчивости для ударных волн в релятивистской гидродинамике [53].

Из исследований зарубежных авторов, относящихся ко времени выхода статей [38, 42, 45, 46], отметим прежде всего работу Erpenbeck [108], в которой вслед за Дьяковым также были найдены условия на уравнение состояния газа, описывающие область слабой устойчивости газодинамических ударных волн (случай нейтральной устойчивости в [108] рассмотрен не был).

Как известно, кроме ударных волн в газовой динамике существуют и другой тип сильного разрыва. Это так называемый тангенциальный разрыв (или вихревая пеленасм. [53]), поверхность которого является харак.

12 теристической границей для уравнений газовой динамики. Исследование устойчивости тангенциального разрыва восходит еще к работе Ландау [51] 1944 года, но окончательный вывод о его неустойчивости был сделан Сы-роватским [64].

Частным случаем тангенциального разрыва является контактный разрыв, для которого непрерывна не только нормальная, но и тангенциальная компонента скорости газа. Легко показать нейтральную устойчивость такого разрыва. Это справедливо также и для контактного разрыва в МГД, для которого Блохиным и Дружининым [18] получена априорная оценка решений линейной задачи с постоянными коэффициентами. Но открытым остается пока вопрос не только о структурной устойчивости контактного разрыва, но и о переносе этой оценки на случай переменных коэффициентов, поскольку граничные условия для него не являются эллиптическими [143], т. е. фронт разрыва из них не может быть исключен.

В отличие от газовой динамики, в МГД проблема линейной устойчивости ударных волн (кроме ударных волн в МГД имеются контактные, тангенциальные и вращательные разрывы [52, 48]) еще полностью не решена. После выхода классической работы Gardner’a и Kruskal’a [120] можно отметить лишь некоторые исследования по устойчивости МГД ударных волн.

Известно, что в МГД в рамках гиперболической («невязкой») теории существуют два типа допустимых {эволюционных [52, 53] или лаксовских [132, 61]) ударных волн. Это быстрые и медленные ударные волны, которые были введены в работе Ахиезера, Любарского и Половина [3]. В упомянутой работе Gardner’a и Kruskal’a найдено условие слабой устойчивости быстрых ударных волн для общего уравнения состояния газа, но в частном случае параллельных и перпендикулярных воли, т. е. когда магнитное поле параллельно или перпендикулярно нормали к фронту разрыва. При этом доказана слабая устойчивость быстрых параллельных и перпендикулярных МГД ударных волн в политропном газе с 7 < 3. Позднее Anile.

13 и Russo [72] показали, что быстрые перпендикулярные ударные волны в по-литропном газе всегда слабо устойчивы (при всех 7 > 1). Более того, для частного случая, когда магнитное поле предполагается слабым, Блохиным и Дружининым [16,17] была доказана равномерная устойчивость быстрых параллельных и перпендикулярных ударных волн в политропном газе (с помощью техники интегралов энергии).

Отметим также работу Lessen, Deshpande [135], в которой численно найдены некоторые области неустойчивости (относительно двумерных возмущений) для МГД ударных волн в политропном газе с 7 = 5/3 (одноатам-ный газ). В частности они показали, что медленные ударные волны могут быть неустойчивыми. Аналогичное, но более полное численное исследование было проведено Филипповой [67], которая нашла некоторые области неустойчивости (в общем случае трехмерных возмущений) и для быстрых ударных волн. Забегая вперед, отметим, что, какследует из результатов настоящей диссертации, в [67] для быстрых ударных волн найдена по существу лишь малая часть всей области неустойчивости. Наконец, известен результат Блохина и Дружинина [17], которые доказали, что медленные МГД ударные волны в политропном газе при сильном магнитном поле неустойчивы.

Необходимое и достаточное условие линейной устойчивости МГД тангенциального разрыва в несжимаемой жидкости найдено Сыроватским [63]. Что касается МГД тангенциального разрыва в сжимаемой жидкости, то до результата, полученного в данной диссертации были рассмотрены только очень частные случаи (см. главу 4). В частности, Дружинин и Пак [37] доказали его неустойчивость для случая слабого магнитного поля.

В МГД, по сравнению с газовой динамикой, существует еще один тип сильных разрывов. Это вращательный (или альфвеновский) разрыв [48, 52]. Линейная устойчивость вращательного разрыва в несжимаемой жидкости была еще в 1953 году доказана Сыроватским (см. [52]). Что же каса.

14 ется вращательного разрыва в сжимаемой жидкости, то первый результат, свидетельствующий о возможности его неустойчивости получен в настоящей диссертации.

Говоря о сильных МГД разрывах, мы имели ввиду классическую модель МГД для идеальной жидкости. Существуют также и другие гиперболические модели МГД. Это, например, уравнения МГД Чу, Гольдбергера и Jloy [102], описывающие движение бесстолкновительной замагниченной плазмы (см. также [5]), а также уравнения релятивистской МГД (см. [2, 137, 138]). Первые результаты по структурной устойчивости сильных разрывов в этих моделях получены в настоящей диссертации. Заметим, что в диссертации изучаются также ударные волны для так называемых уравнений радиационной гидродинамики, полученных не так давно в работах Anile, Pennisi и Sammartino [74, 75]. Соответствующие результаты диссертации также являются первыми в этой области.

Ключевую роль в подходе, развитом в работах Блохина [7, 8, 9, 10, И, 13]), а затем (основываясь на другой технике) в работах Majda [141, 142, 143], играет, как и в стандартном подходе, анализ линеаризованной устойчивости. На самом деле, исследование экспоненциальных решений у линейной задачи с постоянными коэффициентами может быть выражено в терминах преобразования Фурье-Лапласа, что приводит к введению понятий условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского. В частности, понятие равномерного условия Лопатинского и развитие техники симметризатора Kreiss’a [130] для линейной задачи с линеаризованными условиями Ренкина-Гюгонио (в силу нестандартности граничных условий она отличается от смешанных задач для линейных гиперболических систем, рассмотренных в работе Kreiss’a [130]) являются основными моментами в исследованиях Majda по линейной теории сильных разрывов.

А именно, теория ¿-2-корректности (точнее Z^'" см. главу 1), развитая Kreiss’oM (а также в работах [159, 160, 144, 141, 143, 101]) для линейных.

15 гиперболических систем, была расширена Majda [141, 142, 143] на случай сильных разрывов, являющимися лаксовскими ударными волнами индекса к (ft-shocksсм., например, [128, 141, 143, 61] и главу 1). Для этого случая были получены априорные оценки без потери гладкости (см. главу 1) в весовых пространствах Соболева L2iT], если выполнено равномерное условие Лопатинского.

Априорные оценки без потери производных от начальных данных для линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами были впервые получены Блохиным [7, 8] для случая газодинамических ударных волн. Заметим, что оценки в [7, 8] (см. также [13]), в отличие от «весовых» оценок Majda [141, 142, 143], имеют послойный вид и выписаны в стандартных соболевских нормах (см. главу 1).

Переход от равномерной линеаризованной устойчивости к структурной (нелинейной) устойчивости был впервые проделан Блохиным [9, 11] для ударных волн в газовой динамике. Он существенным образом опирается на априорные оценки без потери производных, полученные в [7, 8] для соответствующей линейной задачи. А именно, эти оценки выводятся с помощью техники диссипативных интегралов энергии (см., например, [49, 128, 34] и главу 1). При этом в [9, 11] для соответствующих конструкций интегралов энергии выписываются нелинейные аналоги, с помощью которых получаются априорные оценки для исходной нелинейной задачи с граничными условиями Ренкина-Гюгонио на поверхности ударной волны.

Блохиным [9, 11] доказана локальная теорема существования и единственности кусочно-гладкого решения системы газовой динамики с граничными условиями Ренкина-Гюгонио на ударной волне для начальных данных из IV2 (или с s > 3). При этом область изменения начальных данных определяется не только условиями согласования с граничными условиями Ренкина-Гюгонио, условием возрастания энтропии на разрыве и т. д., но и равномерным условием Лопатинского для соответствующей ли.

16 нейной задачи.

Позднее Majda [142], используя другую технику (в частности, псевдодифференциальных операторов), доказал теорему существования кусочно-гладких решений квазилинейной системы законов сохранения, удовлетворяющих соотношениям на лаксовской ударной волне для начальных данных из W$ (s > 10 для трехмерного случая), если равномерное условие Лопатинского выполнено. При этом, делалось одно очень важное предположение, что квазилинейная симметрическая ¿—гиперболическая система удовлетворяет некоторым условиям блочной структуры [141,142] (см. также [1, 144]). В частности, эти условия выполнены для уравнений газовой динамики, но система МГД им не удовлетворяет [151].

Недавно теорема Majda [142] (см. также [143]) была значительно улучшена в работе Metivier [150], где нелинейная локальная теорема существования сформулирована в форме теоремы Блохина для газовой динамики [9, И, 93]. Это удалось благодаря /^-оценке, полученной в [150] для линейной задачи с нетривиальными (в отличие от работы [141]) начальными данными и включающей «послойную» Х^-норму решения (IK'XOII^)-В свою очередь, такую оценку удалось вывести благодаря использованию исчисления Bony [100] парадифференциальных операторов, позволяющего снять требование бесконечной гладкости коэффициентов линейной задачи. Такое требование было существенным в работе Rauch [160] при получении аналогичной оценки для смешанной задачи стандартного («крайсовского») вида.

Таким образом, в [150] доказана локальная теорема существования и единственности кусочно-гладкого решения из П|=0С-7'([0, Т], W^-3) с лаксовской ударной волной для системы гиперболических законов сохранения при условии, что для соответствующей линеаризованной задачи выполнено равномерное условие Лопатинского, a s > [n/2] + 2 как для задачи Коши [31, 133, 129] или в теореме Блохина [9, 11] для газодинамической ударной.

17 волны (при п = 3). При этом, также как и в [142], в работе Metivier [150] требуется, чтобы квазилинейная симметрическая гиперболическая система удовлетворяла условиям блочной структуры [141, 142].

Как было показано в [1, 149], условия блочной структуры выполняются для гиперболических симметризуемых систем с постоянными кратностями (имеется ввиду случай, когда алгебраические кратности собственных чисел характеристической матрицы являются постоянными, т. е., в частности, не зависят от вектора неизвестных величин). Так, например, уравнения МГД не относятся к таким системам. Однако, совсем недавно Metivier и Zumbrun [151] впервые построили симметризатор Kreiss’a для случая, когда условия блочной структуры [1,144] не выполнены, но гиперболическая система удовлетворяет некоторым другим условиям, которые справедливы, например, для системы МГД.

Это позволяет распространить результат Majda [141] и Metivier [150] на случай систем с переменными кратностями (в частности, на систему МГД) при выполнении определенных условий [151]. То есть, в силу этого нового результата Metivier и Zumbrun’a [151], из равномерной линеаризованной устойчивости следует структурная (нелинейная) устойчивость ударной волны в той или иной конкретной модели механики сплошной среды, записываемой в виде гиперболических симметризуемых законов сохранения и удовлетворяющих либо условиям условия блочной структуры, либо условиям из [151].

Вместе с тем, необходимо отметить, что техника интегралов энергии, впервые использованная для сильных разрывов в работах Блохина, все же имеет определенные преимущества перед техникой Kreiss’a-Majda. Они касаются прежде всего возможности использовать дифференциально-разностные аналоги интегралов энергии для построения «адекватных» вычислительных моделей (см., например, [22, 83]). Иногда техника интегралов энергии позволяет найти условия корректности линеаризованной задачи, которые не удается отыскать ни с помощью аналитического, ни с помощью численного анализа определителя Лопатинского (дисперсионного соотношения). Примером такой задачи является задача для тангенциального разрыва в МГД сжимаемой жидкости (см. главу 4 диссертации).

С другой стороны, прямой «энергетический» метод и «спектральный» метод Kreiss’a-Majda в некотором смысле дополняют друг друга. В диссертации, хотя основной упор и делается на метод интегралов энергии, ссылки на метод Kreiss’a-Majda, первым этапом которого является спектральный анализ, т. е. проверка равномерного и слабого условия Лопатинского, занимают большое место.

Что касается случая нейтральной устойчивости, т. е. когда для линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами выполнено условие Лопатинского, но не выполнено равномерное условие Лопатинского, то в более или менее общей постановке можно доказать, что в априорных оценках задачи всегда будет присутствовать в том или ином виде потеря производных (либо от правых частей и начальных данных, либо только от правых частей). Однако такие оценки удается перенести на случай переменных коэффициентов. Для нейтрально устойчивых ударных волн это проделано в работе Coulombel [104], а для характеристических разрывов в работе Coulombel, Secchi [105] (для тангенциальных разрывов в газовой динамике в двумерном случае) и автором (для МГД тангенциальных разрывовсм. главу 4 диссертации). В связи с этим, есть большая надежда, что для нейтрально устойчивых разрывов удастся доказать локальную теорему существования с помощью техники Нэша-Мозера (для гиперболических задач см., например, работу [69] и ссылки внутри нее).

С другой стороны, с физической точки зрения, правильный ответ на вопрос о реальном существовании тонких переходных зон больших градиентов, чьими «гиперболическими» аппроксимациями являются нейтрально устойчивые сильные разрывы, может быть видимо получен (по крайней.

19 мере, для ударных волн) в рамках «вязкой» теории. То есть когда вместо ударной волны-разрыва рассматривается так называемый вязкий профиль (или структура) для «вязких» законов сохранения с малой диссипацией. Очень важные результаты по «вязкой» устойчивости ударных волн получены в последнее время в работах Zumbnm’a и его коллег (см., например, работы [187, 188, 147, 189] и ссылки внутри них).

Так, показано, что равномерная устойчивость ударной волны-разрыва является достаточным условием «вязкой» устойчивости. Более того, Zumb-run доказал, что, в отличие от гиперболической теории устойчивости/корректности, в «вязкой» теории отсутствует переходная (нейтральная) зона между областями нелинейной неустойчивости и устойчивости, а гиперповерхность их разделяющая лежит внутри области нейтральной устойчивости соответствующего сильного разрыва. Таким образом, установлено, что вязкие профили нейтрально устойчивых ударных волн могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми.

В диссертации же исследуется только структурная («гиперболическая») устойчивость сильных разрывов. Однако, в свете сказанного выше информация о такой устойчивости/корректности абсолютна необходима для дальнейшего исследования устойчивости по Ляпунову соответствующих вязких профилей.

0.3 Содержание работы.

Диссертация, помимо настоящего Введения, состоит из пяти глав, двух приложений (Приложения, А и В) и списка литературы.

1. Агранович М. С. Теорема о матрицах, зависящих от параметров и ее приложения к гиперболическим задачам. Функц. Анализ. Т. 6 (1972), N0. 2, 1−11.

2. Ахиезер И. А., Половин Р. В. Теория релятивистских магнитогидроди-намических волн. ЖЭТФ. Т. 36 (1959), 1845−1852.

3. Ахиезер А. И., Любарский Г. Я., Половин Р. В. Устойчивость ударных волн в магнитной гидродинамике. ЖЭТФ. Т. 35 (1958), 731−737.

4. Арцимович Л. А., Сагдеев Р. З. Физика плазмы для физиков. Атомиз-дат, Москва, 1979.

5. Баранов В. В., Краснобаев К. В. Гидродинамическая теория космической плазмы. Наука, Москва, 1977.

6. Беллман Р.

Введение

в теорию матриц. Наука, Москва, 1976.

7. Блохин А. М. Смешанная задача для системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне. Изв. Сибирск. отдел. АН СССР, Сер. техн. наук, 1979, N0. 13, 25−33.

8. Блохин А. М. Смешанная задача для трехмерной системы уравнений акустики с граничными условиями на ударной волне. Динамика сплошн. среды, 1980, N0. 46, 3−13.

9. Блохин А. М. Оценка интеграла энергии смешанной задачи для уравнений газовой динамики с граничными условиями на ударной волне.СМЖ. Т. 22 (1981), N0. 4, 23−51.355.

10. Блохин A.M. Смешанная задача для симметрической t-гиперболических систем акусти ческого типа. Динамика сплошн. среды, 1981, No. 52, 11−29.

11. Блохин A.M. Оценка интеграла энергии смешанной задачи для уравнений газовой динамики с граничными условиями на ударной волне. СМЖ. Т. 23 (1982), No. 5, 17−30.

12. Блохин A.M. Симметризация уравнений Ландау в теории свехтеку-чести гелия II. Динамика сплошн. среды, 1984, No. 68, 13−34.

13. Блохин A.M. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Наука, Новосибирск, 1986.

14. Блохин A.M. Элементы теории гиперболических систем и уравнений. Изд-во НГУ, Новосибирск, 1995.

15. Блохин A.M., Доровский В. Н. Проблемы математического моделирования многоскоростного континуума. Наука, Новосибирск, 1994.

16. Блохин A.M., Дружинин И. Ю. Об устойчивости быстрой магнито-гидродинамической ударной волны для слабого магнитного поля. Сб. научн. тр. Дифференциальные уравнения с частными производными, Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, 1989, 15−32.

17. Блохин A.M., Дружинин И. Ю. Устойчивость ударных волн в магнитной гидродинамики. СМЖ. Т. 30 (1989), No. 4, 13−29.

18. Блохин A.M., Дружинин И. Ю. Корректность некоторых линейных задач об устойчивости сильных разрывов в магнитной гидродинамике. СМЖ. Т. 31 (1990), No. 2, 3−8.

19. Блохин A.M., Дружинин И. Ю. Сильные разрывы в магнитной гидродинамике. Наука, Новосибирск, 1993.

20. Блохин A.M., Крымских Д. А. Симметризация уравнений магнитной гидродинамики с анизотропным давлением. Сб. научи, тр. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, 1990, 3−19.356.

21. Блохин A.M., Крымских Д. А. Сильные разрывы в сверхтекучей жидкости. Труды Ин-та математики СО РАН. Т. 24 (1994), 20−62.

22. Блохин A.M., Соковиков И. Г. Об одном подходе к конструированию разностных схем для квазилинейных уравнений газовой динамики. СМЖ. Т. 40 (1999), No. 6, 1236−1243.

23. Блохин A.M., Трахинин Ю. Л. Вращательный разрыв в магнитной гидродинамике. СМЖ. Т. 34 (1993), No. 3, 3−18.

24. Блохин A.M., Трахинин Ю. Л. Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением. СМЖ. Т. 34 (1993), No. 6, 10−22.

25. Блохин A.M., Трахинин Ю. Л. Вращательный разрыв в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением I. СМЖ. Т. 35 (1994), No. 1, 12−23.

26. Блохин A.M., Трахинин Ю. Л. Вращательный разрыв в магнитной гидродинамике с анизотропным давлением II. СМЖ. Т. 35 (1994), No. 3, 10−20.

27. Блохин A.M., Трахинин Ю. Л. Устойчивость ударных волн для одной модели радиационной гидродинамики. ПМТФ. Т. 37 (1996), No. 6, 314.

28. Блохин A.M., Трахинин Ю. Л. Симметризация уравнений радиационной гидродинамики и глобальная разрешимость задачи Коши. СМЖ. Т. 37 (1996), No. 6, 1256−1265.

29. Блохин A.M., Трахинин Ю. Л. Устойчивость сильных разрывов в магнитной гидродинамике и электрогидродинамике. Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2004.

30. Блохин A.M., Трахинин Ю. Л., Меражов И. З. Об устойчивости ударных волн в сплошной среде с объемным зарядом. ПМТФ. Т. 39 (1998), No. 2, 29−39.

31. Вольперт А. И., Худяев С. И. О задачи Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений. Мат. сб. Т. 87 (1972), N0. 4, 504−528.

32. Годунов С. К. Интересный класс квазилинейных систем. ДАН СССР. Т. 139 (1961), 521−523.

33. Годунов С. К. Симметрическая форма уравнений магнитной гидродинамики. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, Т. 3 (1972), 26−34.

34. Годунов С. К. Уравнения математической физики. Наука, Москва, 1979.

35. Годунов С. К., Гордиенко В. М. Смешанная задача для волнового уравнения. Сб. научн. тр. Дифференциальные уравнения с частными производными, Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, N0. 2,1977, 5−31.

36. Гордиенко В. М. Симметризация смешанной задачи для одного гиперболического уравнения второго порядка. СМЖ. Т. 22 (1981), N0. 2, 84−104.

37. Дружинин И. Ю., Пак Н. С. Об устойчивости магнитогидродинами-ческого тангенциального разыва. Сб. научн. тр. Дифференциальные уравнения с частными производными, Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, 1991, 84−100.

38. Дьяков С. П. Об устойчивости ударных волн. ЖЭТФ. Т. 27 (1954), N0. 3, 288−295.

39. Егорушкин С. А. Нелинейная неустойчивость спонтанно излучающей ударной волны. Изв. АН СССР, сер. Механика жидкости и газа, 1984, N0. 3, 110−118.

40. Егорушкин С. А., Куликовский А. Г. Об устойчивости решений некоторых смешанных задач для гиперболических уравнений. ПММ. Т. 56 (1992), N0. 1, 40−51.

41. Захаров В. Ю. К вопросу о возможности ударных волн разрежения в анизотропной плазме. Изв. АН СССР, сер. Механика жидкости и газа, 1989, No. 4,161−164.

42. Иорданский C.B. Об устойчивости плоской стационарной ударной волны. ПММ. Т. 21 (1957), вып. 4, 465−472.

43. Иорданский C.B. О волнах сжатия в магнитной гидродинамике. ДАН СССР. Т. 121 (1958), 610−612.

44. Карталев М. Д. О теореме Цемплена для ударных волн в плазме с анизотропным давлением. ДАН СССР. Т. 205 (1972), No. 6,1316−1319.

45. Конторович В. М. К вопросу об устойчивости ударных волн. ЖЭТФ. Т. 33 (1957), No. 6, 1525−1526.

46. Конторович В. М. Об устойчивости ударных волн в релятивистской гидродинамике. ЖЭТФ. Т. 34 (1958), 186−194.

47. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитогидродинамические ударные волны ионизирующие газ. ДАН СССР. Т. 129 (1959), 52−55.

48. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. Гос. изд. физ.-мат. лит., Москва, 1962.

49. Курант Р. Уравнения с частными производными. Мир, Москва, 1964.

50. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. Наука, Москва, 1973.

51. Ландау Л. Д. Об устойчивости тангенциальных разрывов в сжимаемой жидкости. Докл. АН СССР. Т. 44 (1944), No. 4, 151−153.

52. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. Наука, Москва, 1982.

53. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. Наука, Москва, 1988.

54. Ланкастер Р. Теория матриц. Наука, Москва, 1982.

55. Малышев А. Н., Роменский Е. И. Гиперболические уравнения теплопроводности. Глобальная разрешимость задачи Коши. СМЖ. Т. 27 (1986), No. 5, 128−134.

56. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. Мир, Москва, 1977.

57. Митницкий В. Я. Об устойчивости магнитогидродинамических тангенциальных разрывов. Журн. выч. мат. физ. Т. 24 (1984), No. 1, 124−131.

58. Неуважаев В. Е. Устойчивость ударных волн. В кн.: Исследование гидродинамической устойчивости с помощью ЭВМ. ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, Москва, 1981, 229−250.

59. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. Наука, Москва, 1981.

60. Половин Р. В., Демуцкий В. П. Основы магнитной гидродинамики. Атомиздат, Москва, 1987.

61. Рождественский Б. Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. Наука. Москва, 1978.

62. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа к задачам математической физики. Изд-во ЛГУ, Ленинград, 1950.

63. Сыроватский С. И. Устойчивость тангенциальных разрывов в магпи-тогидродинамической среде. ЖЭТФ. Т. 24 (1953), 622−629.

64. Сыроватский С. И. Неустойчивость тангенциальных разрывов в сжимаемой жидкости. ЖЭТФ. Т. 27 (1954), 121−123.

65. Сыроватский С. И. Устойчивость ударных волн в магнитной гидродинамике. ЖЭТФ. Т. 35 (1958), 1466−1470.

66. Уизем Д. Линейные и нелинейные волны. Мир, Москва, 1977.

67. Филиппова О. Л. Устойчивость плоских МГД ударных волн в идеальном газе. Изв. АН СССР, сер. Механика жидкости и газа, 1991, No. 6, 128−136.

68. Alfven Н. On the existence of electromagnetic-hydroclynamic waves. Ark.Mat. Astron. FYs. В 29 (1943), no.2, 1−7.360.

69. Alinhac S. Existence d’ondes de rarefaction pour des systemes quasi-lineaires hyperboliques multidimensionnels. Comm. Partial Differential Equations 14 (1989), 173−230.

70. Anile A.M., Russo G. Corrugation stability for plane relativistic shock waves. Phys. Fluids 29 (1986), 2847−2852.

71. Anile A.M., Russo G. Linear stability for plane relativistic shock waves. Phys. Fluids 30 (1987), 1045−1051.

72. Anile A.M., Russo G. Corrugation stability of magnetohydrodynamic shock waves. Nonlinear wave motion, Pitman Monogr. Surv. Pure Ap-pl. Math. 43 (1989), 11−21.

73. Anile A.M., Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Investigation of a mathematical model for Radiation Hydrodynamics. Z. angew. Math. Phys. 50 (1999), 677−697.

74. Anile A.M., Pennisi S., Sammartino M. A thermodynamical approach to Eddington factors. J. Math. Phys. 32 (1991), no. 2, 544−550.

75. Anile A.M., Pennisi S., Sammartino M. Covariant radiation hydrodynamics. Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor. 56 (1992), no. 1, 49−74.

76. Axford W.I. Note on a problem of magnetohydrodynamic stability. Can. J. Phys. 40 (1962), 654−655.

77. Baranov V.B., Krasnobaev K.V., Ruderman M.S. On the model of the solar wind-interstellar medium interaction with two shock waves. Astro-phys. Space Sci. 41 (1976), 481−490.

78. Benzoni-Gavage S. Stability of multi-dimensional phase transitions in a van der Waals fluid. Nonlinear Analysis T.M.A. 31 (1998), 243−263.

79. Benzoni-Gavage S. Stability of subsonic planar phase boundaries in a van der Waals fluid. Arch. Rational Mech. Anal. 150 (1999), 23−55.

80. Benzoni-Gavage S., Rousset F., Serre D., Zumbrun K. Generic types and transitions in hyperbolic initial-boundary vaue problems. Proc. R. Soc.Edinb. Sect. A 132A (2002), 1073−1104.361.

81. Bethe H.A. On the theory of shock waves for an arbitrary equation of state. Office of Scientific Research and Development, Report No. 545 (1942), in: Classic papers in shock compression science, Springer-Verlag, New York (1982), 421−492.

82. Blokhin A.M. Symmetrization of continuum mechanics equations. Sib. J. Diff. Eq. 2 (1995), 3−47.

83. Blokhin A.M. A new concept of construction of adaptive calculation models for hyperbolic problems. NATO ASI Ser., Ser. C, Math. Phys. Sci. 536 (1999), 23−64.

84. Blokhin A.M., Alaev R.D. Construction of adequate difference models for gas dynamics equations. Siberian J. Comput. Math. 1 (1992), no. 2, 169−189.

85. Blokhin A.M., Mishchenko E.V. Investigation on shock waves stability in relativistic gas dynamics. Matematiche (Catania) 48 (1993), 53−75.

86. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Investigation of the well-posedness of the mixed problem on the stability of fast shock waves in magnetohydrody-namics. Matematiche (Catania) 49 (1994), no. 1, 123−141.

87. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Stability of strong discontinuities in plasma with anisotropic pressure. J. Magnetohydrodynamics and Plasma Res. 4 (1994), no. ¾, 109−207.

88. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Some aspects of the mathematical theory of strong discontinuities in Continuum Mechanics. Supplemento ai Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo serie II, 57 (1998), 52−56.

89. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Stability of fast parallel and transversal MHD shock waves in plasma with pressure anisotropy. Acta Mech. 135 (1999), 57−71.

90. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Stability of fast parallel MHD shock wavesin polytropic gas. Eur. J. Mech. B/Fluids 18 (1999), no. 2, 197−211.362.

91. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. On stability of shock waves in a compressible viscous heat conducting gas. Acta Mech. 150 (2001), 267−275.

92. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. Stability of strong discontinuities in fluids and MHD, in: Friedlander S., Serre D. (eds.), Handbook of mathematical fluid dynamics, vol. 1, pp. 545−652, Elsevier, Amsterdam, 2002.

93. Blokhin A., Trakhinin Yu. Stability of strong discontinuities in magne-tohydrodynamics and electrohydrodynamics. Nova Science Publ., New York, 2003.

94. Blokhin A.M., Trakhinin Yu.L. On a modified shock front problem for the compressible Navier-Stokes equations. Q. Appl. Math. 62 (2004), 221— 234.

95. Blokhin A.M., Merazhov I.Z., Trakhinin Yu.L. Investigation of stability of electrodynamic shock waves. Matematiche (Catania) 52 (1997), no. 1, 87−114.

96. Blokhin A.M., Romano V., Trakhinin Yu.L. Some mathematical properties of radiating gas model obtained with a variable Eddington factor. Z. angew. Math. Phys. 47 (1996), 639−658.

97. Blokhin A.M., Romano V., Trakhinin Yu.L. Stability of shock waves in relativistic radiation hydrodynamics. Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor. 67 (1997), no. 2, 145−180.

98. Boillat G. Sur l’existence et la recherche d’equations de conservation supplementaires poor les systemes hyperbolique. Comptes Rendues del’Academie des Sciences 278A (1974), 909−912.363.

99. Bony J.-M. Calcul symbolique et propagation des singularites pour les equations aux derivees partielles non lineaires. Ann. Sei. Ec. Norm. Super. 14 (1981), 209−246.

100. Chazarain J., Piriou A. Introduction to the theory of linear partial differential equations. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1982.

101. Chew G.F., Goldberger M.L., Low F.E. The Boltzmann equation and the one-fluid hydromagnetic equations in the absence of particle collisions. Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 236 (1956), 112−118.

102. Cohn. A. Uber die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise. Math. Z. 14 (1922), 110−148.

103. Coulombel J.-F. Weak stability of nonuniformly stable multidimensional shocks. SIAM J. Math. Anal. 34 (2002), 142−172.

104. Coulombel J.-F., Secchi P. The stability of compressible vortex sheets in two space dimensions. Indiana Univ. Math. J. 53 (2004), 941−1012.

105. Coulombel J.-F., Secchi P. On the transition to instability for compressible vortex sheets. Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 134 (2004), 885−892.

106. Ebin D. G. The equations of motion of a perfect fluid with free boundary are not well posed. Commun. Partial Differ. Equations 12 (1987), 11 751 201.

107. Erpenbeck J.J. Stability of step shocks. Phys. Fluids 5 (1962), 1181−1187.

108. Fahr H.J., Neutsch W., Grzedzielski S., Macek W., Radkiewitcz R. Plasma transport across the heliopause. Space Sei. Rev. 43 (1986), 329−381.

109. Fejer J.A. Hydromagnetic stability at a fluid velocity discontinuity between compressible fluids. Phys. Fluids 7 (1964), 499−503.

110. Francheteau J., Metivier G. Existence de chocs faibles pour des systemes quasi-lineaires hyperboliques multidimensionnels. Asterisque (vol. 268), Paris, 2000.

111. Freeman N.C. A theory of the stability of plane shock waves. Proc. R. Soc. Lond., Ser. A 228 (1955), 341−362.

112. Freistiihler H., Liu, T.-P. Nonlinear stability of overcompressive shock waves in a rotationally invariant system of viscous conservation laws. Commun. Math. Phys. 153 (1993), 147−158.

113. Freistiihler H. The persistence of ideal shock waves. Appl. Math. Lett. 7 (1994), no. 6, 7−11.

114. Freistiihler H. A short note on the persistence of ideal shock waves. Arch. Math. 64 (1995), 344−352.

115. Freistiihler H. Contributions to the mathematical theory of magnetohy-drodynamic shock waves, AMS/IP Stud. Adv. Math. 3 (1997), 175−187.

116. Freistiihler H. Some results on the stability of non-classical shock waves. J. Partial Diff. Eqs 11 (1998), 25−38.

117. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations. Commun. Pure and Appl. Math. 27 (1974), 123−131.

118. Friedrichs K.O., Lax P.D. System of conservation equations with a convex extension. Proceedings of the National Academy of Science, U.S.A. 68 (1971), 1686−1688.

119. Gardner C.S., Kruskal M.D. Stability of plane magnetohydrodynamic shocks. Phys. Fluids 7 (1964), 700−706.

120. Gilbarg D. The existence and limit behavior of the one-dimensional shock layer. Amer. J. Math. 73 (1951), 256−274.

121. Harten A. On the symmetric form of systems of conservation laws with entropy. J. Comp. Phys. 49 (1983), no. 1, 151−164.

122. Hersh R. Mixed problems in several variables. J. Math. Mech. 12 (1963), 317−334.

123. Hoffman F., Teller E. Magnetohydrodynamic shocks. Phys. Rev. 80 (1950), no. 4, 696−703.

124. Lichnerowicz A. Shock waves in relativistic magnetohydrodynamics under general assumptions. J. Math. Phys. 17 (1975), 2135−2141.

125. Liu T.P. Nonlinear stability and instability of overcompressive shock waves. IMA Vol. Math. Appl. 52 (1993), 159−167.

126. Majda A. The stability of multi-dimensional shock fronts — a new problem for linear hyperbolic equations. Mem. Amer. Math. Soc., vol. 41, no. 275, Providence, 1983.

127. Majda A. The existence of multi-dimensional shock fronts. Mem. Ainer. Math. Soc., vol. 43, no. 281, Providence, 1983.

128. Majda A. Compressible Fluid Flow and Systems of Conservation Laws in Several Space Variables. Springer-Verlag, New York, 1984.

129. Majda A., Osher S. Initial-boundary value problems for hyperbolic equations with uniformly characteristic boundary. Commun. Pure and Appl. Math. 28 (1975), 607−675.

130. Majda A., Rosales R. A theory for spontaneous Mach stem formation in reacting shock fronts. I. The basic perturbation analysis. SIAM J. Appl. Math. 43 (1983), 1310−1334.

131. Majda A., Rosales R. A theory for spontaneous Mach-stem formation in reacting shock fronts. II. Steady-wave bifurcations and the evidence for breakdown. Stud. Appl. Math. 71 (1984), 117−148.

132. Mascia C., Zumbrun K. Stability of small-amplitude shock profiles of symmetric hyperbolic-parabolic systems. Commun. Pure Appl. Math. 57 (2004), 841−876.

133. Metivier G. Stability of multidimensional weak shocks. Comm. Partial. Diff. Equ. 15 (1990), 983−1028.

134. Metivier G.: The block structure condition for symmetric hyperbolic systems. Bull. Lond. Math. Soc. 32 (2000), 689−702.

135. Metivier G. Stability of multidimensional shocks. Advances in the Theory of Shock Waves, Progress in Nonlinear PDE, 47, Birkhauser, Boston, 2001.

136. Metivier G., Zumbrun K. Hyperbolic boundary value problems for symmetric systems with variable multiplicities. J. Differential Equations 211 (2005), 61−134.

137. Michael D.H. The stability of a combined current and vortex sheet in a perfectly conducting fluid. Proc. Cambridge Philos. Soc. 51 (1955), 528 532.

138. Mihalas D., Mihalas B.V. Foundation of Radiation Hydrodynamics. Oxford University Press, New York, 1984.

139. Mokrane A. Problem es mixtes hyperboliques non lineaires. These, Universite de Rennes 1, 1987.

140. Ohno M., Shirota T. On the initial-boundary-value problem for the linearized equations of magnetohydrodynamics. Arch. Rational Mech. Anal. 144 (1998), 259−299.

141. Ohno M., Shizuta Y., Yanagisawa T. The trace theorem on anisotropic Sobolev spaces. Tohoku Math. J. 46 (1994), 393−401.

142. Parker E.N. Dynamical properties of stellar coronas and stellar winds. III. The dynamics of coronal streamers. Astrophys. J. 139 (1964), 690−709.

143. Pennisi S., Sammartino M. A mathematical model for Radiation Hydrodynamics. Matematiche (Catania) 45 (1990), no. 2, 379−406.

144. Ralston F.V. Note on a paper of Kreiss. Commun. Pure and Appl. Math. 24 (1971), 759−762.

145. Rauch J. L2 is a continuable initial condition for Kreiss mixed problems. Commun. Pure and Appl. Math. 25 (1971), 265−285.

146. Rauch J. Symmetric positive systems with boundary characteristic of constant multiplicity. Trans. Amer. Math. Soc. 291 (1985), 167−187.

147. Rosales R., Majda A. Weakly nonlinear detonation waves. SIAM J. Appl. Math. 43 (1983), 1086−1118.

148. Rauch J.B., Massey F.J. Differentiability of solutions to hyperbolic initialboundary value problems. Trans. Amer. Math. Soc. 189 (1974), 303−318.368.

149. Ruggeri T., Strumia A. Main field and convex covariant density for quasilinear hyperbolic systems. Relativistic fluid dynamics. Ann. Inst. H. Poincare Sect. A (N.S.) 34 (1981), no. 1, 65−84.

150. Ruggeri T., Strumia A. Convex covariant entropy density, symmetric conservative form, and shock waves in relativistic magnetohydrodynamics. J. Math. Phys. 22 (1981), 1824−1827.

151. Russo G., Anile A.M. Stability properties of relativistic shock waves: Basic results. Phys. Fluids 30 (1987), 2406−2413.

152. Sable-Tougeron M. Existence pour un probleme de l’elastodynamique Neumann non lineaire en dimension 2. Arch. Rational Mech. Anal. 101 (1988), 261−292.

153. Secchi P. On the equations of ideal incompressible magnetohydrodynamics. Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 90 (1993), 103−119.

154. Secchi P. On an initial-boundary value problem for the equations of ideal magnetohydrodynamics. Math. Methods Appl. Sci. 18 (1995), 841−853.

155. Secchi P. Linear symmetric hyperbolic systems with characteristic boundary. Math. Methods Appl. Sci. 18 (1995), 855−870.

156. Secchi P. The initial-boundary value problem for linear symmetric hyperbolic systems with characteristic boundary of constant multiplicity. Differential Integral Equations 9 (1996), 671−700.

157. Secchi, P. Well-posedness of characteristic symmetric hyperbolic systems. Arch. Rational Mech. Anal. 134 (1996), 155−197.

158. Secchi P. Some properties of anisotropic Sobolev spaces. Arch. Math. 75 (2000), 207−216.

159. Sen A.K. Effect of compressibiliy on Kelvin-Helmholtz instability in a plasma. Phys. Fluids 7 (1964), 1293−1298.

160. Shizuta Y., Yabuta K. The trace theorems in anisotropic Sobolev spaces and their applications to the characteristic initial-boundary value problem for symmetric hyperbolic systems. Math. Models Methods Appl. Sci. 5 (1995), 1079−1092.

161. Serre D. La transition vers l’instabilite pour les ondes de choc multi-dimensionnelles. Trans. Am. Math. Soc. 353 (2001), 5071−5093.

162. Shearer M., Schaeffer D.G., Marchesin D., Paes-Leme P. Solution of the Riemann problem for a prototype 2×2 system of non-strictly hyperbolic consevation laws. Arch. Rational Mech. Anal. 97 (1987), 299−320.

163. Schochet S. The compressible Euler equations in a bounded domain: existence of solutions and the incompressible limit. Commun. Math. Phys. 104 (1986), 49−75.

164. Trakhinin Yu.L. On stability of shock waves in relativistic magnetohydro-dynamics. Q. Appl. Math. 59 (2001), no. 1, 25−45.

165. Trakhinin Yu.L. A complete 2D stability analysis of fast MHD shocks in an ideal gas. Commun. Math. Phys. 236 (2003), 65−92.

166. Trakhinin Yu.L. On existence of compressible current-vortex sheets: variable coefficients linear analysis. Arch. Rational Mech. Anal. 177 (2005), 331−366.

167. Trakhinin Yu.L. On the existence of incompressible cur rent-vortex sheets: study of a linearized free boundary value problem. Math. Methods Appl. Sci. 28 (2005), 917−945.

168. Wu C.C. Formation, structure, and stability of MHD intermediate shocks. J. Geophys. Res. 95 (1990), 8149−8175.

169. Yanagisawa T., Matsumura A. The fixed boundary value problems for the equations of ideal magnetohydrodynamics with a perfectly conducting wall condition. Comm. Math. Phys. 136 (1991), 119−140.

170. Zajaczkowski W.M. Existence and uniqueness of solutions of some mixed problems for ideal incompressible magnetohydrodynamics. I: The case of impermeable boundary. Arch. Mech. 40 (1988), 265−274.

171. Zumbrun K., Howard P. Pointwise semigroup methods and stability of viscous shock waves. Indiana Univ. Math. J. 47 (1998), 741−748.

172. Zumbrun K., Serre D. Viscous and inviscid stability of multidimensional planar viscous shock waves. Indiana Univ. Math. J. 48 (1999), 937−992.

173. Zumbrun K. Stability of large-amplitude shock waves of compressible Navier-Stokes equations, in: Friedlander S., Serre D. (eds.), Handbook of mathematical fluid dynamics, vol. 3, pp., Elsevier, Amsterdam, 2004.