Исследование бифуркаций периодических траекторий вблизи негрубых гомоклинических орбит

Основной темой диссертации является исследование бифуркаций многомерных динамических систем, имеющих негрубые гомоклини-ческие (двоякоасимптотические) траектории к периодическим траекториям или состояниям равновесия седлового типа. Такие гомоклини-ческие траектории называются также либо гомоклиническими петлями в случае состояний равновесия, либо негрубыми гомоклиническими орбитами Пуанкаре в случае седловых периодических траекторий. В последнем случае говорят также о гомоклинических касаниях, по.

Н" скольку устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия сед-ловой периодической траектории пересекаются нетрансверсально в точках соответствующей гомоклинической орбиты.

Настоящая работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем — теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем.

Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-ого и начала 20-ого века в классических работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Теория бифуркаций, как самостоятельная математическая дисциплина офор-ftfi милась в работах A.A. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера, H.H.

Баутина. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости. Для них, в частности, было введено понятие грубой системы и указаны отличительные признаки грубых векторных полей на плоскости (Андронов, Понтрягин) — для систем с конечным множеством особых траекторий построен полный топологический инвариант (Леонтович, Майер). Также были изучены бифуркации систем первой степени негрубости (Андронов, Леонтович). Уже для двумерных потоков эти бифуркации стали подразделяться на локальные и нелокальные. К основным локальным бифуркациям систем на плоскости относятся бифуркации состояний равновесий типа седло-узел и сложный фокус, а также бифуркации сложных (полуустойчивых) предельных циклов. Основные нелокальные бифуркации составляют бифуркация гомоклинической петли сепаратрисы седла, гомоклини-ческой петли сепаратрисы седло-узла, а также бифуркация сепаратрисы, идущей из седла в седло.

В 60-е годы началось бурное развитие качественной теории многомерных динамических систем (размерность фазового пространства которых не меньше трех для потоков и двух для отображений). При этом основным объектом исследования по началу стала теория грубых динамических систем, получившая наименование гиперболической теориия. Основы теории грубых многомерных динамических систем были заложены в работах Д. В. Аносова и С. Смейла. Здесь важную роль играли понятия гиперболичности и трансверсальности. Позднее, необходимые и достаточные условия грубости были найдены в работах Робинсона, Мане, Хаяши и др.

Что касается теории бифуркаций многомерных динамических систем, то основные локальные бифуркации составляют а) бифуркации состояний равновесия и периодических движений типа седло-узел или седло-седлоб) бифуркация состояния равновесия типа сложный фокусв) бифуркация удвоения периода периодической траектории (когда у последней есть мультипликатор —1) — г) бифуркация рождения инвариантного тора из периодической траектории (с мультипликаторами е±г<�р, где 0<(, р<7ги (/?^7г/2, 27г/3). Таким образом, здесь по сравнению с локальными бифуркациями двумерных потоков по сути новыми являются два последних типа бифуркаций.

Основы теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем были заложены в работах Л. П. Шильникова. Так ещё в 60-х годах им были исследованы бифуркации гомоклинических петель к состояниям равновесия типа седло ([22, 27]), седло-узел ([22]), седло-седло с одной ([24]) и несколькими [28] гомоклиническими траекториями, а также были исследованы бифуркации гомоклинических петель состояний равновесия типа седло-фокус [23, 29].

В дальнейшем нелокальные бифуркации многомерных динамических систем изучались в работах В. С. Афраймовича, В. Н. Белых, Л. А. Белякова, В. В. Быкова, Н. К. Гаврилова, С. В. Гонченко, Ю.С.Ильяшен-ко, Л. М. Лермана, В. И. Лукьянова, С. Ньюхауса, Дж. Пэлиса, Ф. Такен-са, Д. В. Тураева и др.

В настоящей диссертации будут изучаться нелокальные бифуркации, приводящие к качественному изменению общего характера множества траекторий, целиком лежащих в некоторой окрестности исходной гомоклинической орбиты. Такие задачи хорошо изучены в случае бифуркаций коразмерности один. Здесь нужно отметить прежде всего глобальные бифуркации коразмерности один, ведущие от систем с простой структурой (системы Морса-Смейла) к системам со сложной структурой (со счетным множеством периодических траекторий). Примерами таких бифуркаций являются 1) бифуркация гомоклинической связки из двух или более гомоклинических петель состояния равновесия типа седло-седло (Шильников, [28]) — 2) бифуркация гомоклинического касания в так называемом случае систем первого класса, получившая наименование «гомоклинического О-взрыва» (Гаврилов, Шильников, [8]- Ньюхаус, Пэлис, [44]- Стень-кин, Шильников, [19]) — 3) глобальные бифуркации, связанные с исчезновением седло-узловой периодической траектории (Афраймович,.

Шильников, [5]- Ньюхаус, Пэлис, Такенс, [45]- Тураев, Шильников, [20]) — 4) некоторые многомерные бифуркации типа «катастрофа голубого неба» (Тураев, Шильников, [46]) и ряд других. Заметим, что последние два типа бифуркаций отвечают переходу от простого аттрактора к странному (соответственно, к «тор-хаосу» или к гиперболическому аттрактору).

Нелокальные бифуркации, приводящие к качественному изменению общего характера множества траекторий, могут происходить и в классе систем со сложной структурой. Примерами таких бифуркаций являются: бифуркации, связанные с исчезновением седло-узловой периодической траектории, имеющей трансверсальную гомоклиниче-скую орбиту (Лукьянов-Шильников, [16]) — бифуркации гомоклиниче-ского касания в так называемом случае систем второго класса (Гаври-лов, Шильников, [8]). Приведенные выше примеры бифуркаций имеют коразмерность один.

В случае же коразмерности два наибольший интерес представляет исследование тех нелокальных бифуркаций, которые приводят к резкому изменению структуры или характеристических свойств неблуждающих множеств. В случае трехмерных потоков, допускающих го-моклинические петли состояний равновесия типа седло-фокус, такие бифуркации в критических случаях были изучены Л. А. Беляковым [31, 30]. Пусть трёхмерная система имеет гомоклиническую петлёй седло-фокуса, т. е. состояния равновесия с характеристическими числами 7 и —Л ± гсс>, где 7 > 0, А > 0 и и ^ 0. Как показано Шильнико-вым [23] для трехмерного случая и [29] для многомерного, структура множества N траекторий, целиком лежащих в окрестности петли, существенно зависит от того больше или меньше единицы седловой индекс V — —. Так, если V > 1, то N имеет тривиальную структуру 7 содержит только состояние равновесия и гомоклиническую траекторию), и бифуркации здесь, во-первых, не выводят из класса систем Морса-Смейла, и во-вторых, проходят по хорошо известному сценарию бифуркации петли сепаратрис «при, а < 0», Шильников [22, 27]. Если же 0 < и < 1, то N имеет сложную структуру (содержит нетривиальные гиперболические подмножества, которые, вообще говоря всё N не исчерпывают). Беляковым [31, 30] были рассмотрены три критических случая, отвечающие тому, что в момент петли выполняются следующие условия: а) и — 0- б) А = 0- в) ь> = 1. Таким образом, им были изучены бифуркационные явления при переходах а) «от седла к седло-фокусу» — б) «от фокусу к сложному фокусу» — в) «от сложной структуры к простой» в системах, допускающих гомоклини-ческие петли седло-фокусов. Однако, здесь существует ещё один важный критический случай, именно, г^ = ½, который рассматривается в данной диссертации. Как показано Овсянниковым и Шильниковым [17], при ½<1/<1 В окрестности петли грубые периодические траектории могут быть только седловыми и асимптотически устойчивыми, а при 0<г/<½ — только седловыми и вполне неустойчивыми. Таким образом здесь можно ожидать кардинального изменения тип устойчивости периодических траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической орбиты.

Возможность таких переходов «от устойчивой динамики к неустойчивой» или «от устойчивой к седловой» можно ожидать на основе анализа особенностей некоторых других хорошо известных гомоклиниче-ских бифуркаций коразмерности один. А именно, в настоящей работе рассматриваются нелокальные бифуркации следующих типов.

Первый класс составляют бифуркации двумерных диффеоморфизмов, имеющих негрубую гомоклиническую траекторию к седловой неподвижной точке. Пусть исходный диффеоморфизм / имеет сед-ловую неподвижную точку О с мультипликаторами А, 7, такими что |А| < 1 < |7|, и гомоклиническую к О траекторию Го в точках которой многообразия Ws (0) и Wu (0) имеют квадратичное касание. Хорошо известно, Гаврилов-Шильников, [8], что если седловая величина, а = jА’у| меньше единицы, то бифуркации такого гомоклинического касания могут приводить к устойчивым периодическим траекториям, а если <7 > 1 — к вполне неустойчивым. Причем, в достаточно малой фиксированной окрестности гомоклинической орбиты при о < 1 нет вполне неустойчивых периодических траекторий, а при и > 1 -устойчивых. Таким образом, случай, а = 1 естественно становится «переходным» между устойчивой и неустойчивой динамикой.

Второй класс задач составляют бифуркации многомерных диффеоморфизмов с простым гомоклиническим касанием. Характерным для наших целей являются такие трехмерные диффеоморфизмы, имеющие неподвижную точку О с мультипликаторами Ai, A2,7 такими, что |А21 < |Ai| < 1 < I7I и IA1A7I < 1, а также имеющие гомо-клиническзгю траекторию, в точках которой Ws (0) и Wu (0) имеют квадратичное касание. Как установили С. Гонченко, Тураев, Шиль-ников [13, 38], при |Ai7| < 1, бифуркации такого гомоклинического касания могут приводить к устойчивым периодическим траекториямоднако, когда |Ai7| > 1, при общих условиях ни сам диффеоморфизм, ни близкие не имеют устойчивых периодических траекторий (в малой окрестности гомоклинической орбиты). Если же эти общие условия нарушены (получаемое квадратичное гомоклиническое касание коразмерности два в этом случае называется обобщенным, или обобщенным — см. подробности в Главе 2), устойчивые периодические траектории могут возникать при бифуркациях.1.

Третий класс задач составляют бифуркации гомоклинической петли состояния равновесия типа седло-фокус. Характерным примером.

1 Частный случай трехмерных диффеоморфизмов, у которых |Aj7| > 1, IA27I < 1 и.

1, рассматривался в работе Татжера [47] при дополнительном (излишнем) предположении, что диффеоморфизм в окрестности седловой неподвижной точки допускает достаточно гладкую линеаризацию. такой задачи является трёхмерная система с гомоклинической петлёй седло-фокуса. Как уже было сказано ранее, если седловой индекс г/ удовлетворяет соотношению ½<�г/<1(в этом случае дивергенция векторного поля <72 = 7 — 2А, вычисленная в седло-фокусе, отрицательна), то бифуркации гомоклинической петли могут приводить, как показано Овсянниковым и Шильниковым [17], к устойчивым периодическим траекториям — при этом, вполне неустойчивых периодических траекторий в малой окрестности петли нетесли же 0 < ^ < ½ (дивергенция больше нуля), могут рождаться вполне неустойчивые периодические траектории, тогда как устойчивых нет. Очевидно, что случай V — ½ (что соответствует сг2 = 0) является «переходным» между устойчивой и неустойчивой динамикой.

В связи с вышеизложенным, возникают естественные задачи исследования пограничной динамики и соответственно бифуркаций потери устойчивости периодическими траекториями, которые и рассматриваются в настоящей диссертации.

Основная задача диссертации состоит в изучении и описании нелокальных бифуркаций, связанных с переходом от систем, имеющих в некоторой фиксированной малой окрестности негрубой гомоклинической орбиты асимптотически устойчивые периодические траектории (возможно даже бесконечно много), к системам, в которых такие траектории отсутствуют. При этом, принципиальным моментом является то, что в диссертации рассматриваются бифуркации, происходящие в классе систем, допускающих гомоклинические касания. Насколько нам известно, бифуркационные задачи в такой постановке ранее не рассматривались.

В этом случае исходные системы, бифуркации которых могут приводить к указанному явлению должны быть как минимум коразмерности два, поскольку помимо существования негрубой гомоклинической орбиты должно выполняться некоторое дополнительное уеловие. Обычно это условие связано либо со специальным характером особой точки, либо с тем, что гомоклиническая траектория находится не в общем положении. Например, условие может быть такого типа: дивергенция состояния равновесия равна нулюякобиан неподвижной точки равен единицегомоклиническое касание не является простым и т. п. Такого типа условия необходимы для того, чтобы переходная динамика (от устойчивых периодических траекторий к вполне неустойчивым или седловым) могла быть осуществима в принципе.

Более конкретно, в диссертации будет проведен бифуркационный анализ систем коразмерности два в следующих трех случаях.

1) Исходная система является двумерным диффеоморфизмом с квадратичным гомоклиническим касанием к седловой неподвижной точке с мультипликаторами Аи7(0<|А|<1<|7|) такими, что седловая величина и = |А'у| равна 1 (рис. 1а). Такая неподвижная точка называется седлом нейтрального типа.

2) Исходная система является трехмерным диффеоморфизмом с непростым квадратичным гомоклиническим касанием к неподвижной точке с мультипликаторами Аь Л2,7 такими, что 0 < |Аз| < ¡-А^ < 1 < |7|, |АхА27| < 1 и |Ах7| ^ 1. О непростых гомоклинических касаниях см. подробнее в Главе 2. На рис. 1Ь представлен один из случаев такого касания.

3) Исходная система является трехмерным потоком с гомоклини-ческой петлей к состоянию равновесия типа седло-фокус с характеристическими корнями —А ±-гои 7 (А > 0,7 > 0, о- ^ 0) такими, что 2А = 7 (дивергенция потока в состоянии равновесия равна нулю). См. рис. 1с.

В диссертации представлены основные результаты, полученные автором при исследовании динамики и бифуркаций таких систем. В первых двух случаях решается задача исследования бифуркаций однообходных периодических траекторий из малой окрестности го.

Рис. 1: а) Квадратичное гомоклиническое касание К2- Ь) непростое гомоклини-ческое касание (один из двух вариантов) в М3- с) гомоклиническая петля седло-фокуса моклинической орбиты. Особое внимание здесь обращается на исследование бифуркаций потери устойчивости такими траекториями. В третьем случае решается более глобальная задача. Помимо исследования собственно бифуркаций однообходных периодических траекторий, здесь также изучаются свойства динамики в целом и дается ответ на вопрос, когда в малой окрестности гомоклинической петли существуют устойчивые периодические траектории, и когда их нет.

Апробация результатов исследования По теме диссертации опубликовано 16 работ. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: V Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем», 1999; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2000; VI сессия молодых ученых, Саров, 2001; Международная конференция, посвящена 100-летию A.A. Андронова «Progress in Nonlinear Science», Нижний Новгород, 2001; Конференция «Актуальные проблемы современности», Самара, 2001; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2002; Конференция, посвященная памяти В. Ф. Лазуткина, Санкт-Петербург, 2002; Международная конференция «Колмогоров и современная математика», Москва, 2003; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2004; Международная конференция, «Dynamics, Bifurcations and Chaos», Нижний Новгород, 2005.

По теме диссертации были также сделаны доклады на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете (руководитель — проф. Л.П.Шильников) — на семинаре по дифференциальным уравнениям в институте Вейерштрасса (2002, руководитель — проф. К. Шнайдер), на семинаре факультета математики университета Утрехта (2003, руководитель — проф. Ю.А. Кузнецов), на семинаре по динамическим системам в Барселонском университете (2002,2004 руководители — проф. К. Симо, А. Делыпамс), на семинаре кафедры численного и функционального анализа Нижегородском государственном университете (руководитель — проф. Баландин Д.В.).

Результаты диссертации явились составной частью работы, выполненной при поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследовании (гранты No.04−01−487, No.04−01−483 и No.05−01−558), Министерства образования и науки (грант '^Университеты России" No. 03.01.180) и гранта CRDF (No. RU-M1−2583-MO-04).

Публикации Всего по теме диссертации автором опубликовано 16 работ. Основные результаты являются новыми, принадлежат автору и изложены в работах [50]-[65]. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию вошли только результаты доказанные автором самостоятельно.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации: 147 стр., 19 рис., 65 наименований литературы.

1. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. — М.:Наука, 1978.

2. Теория бифуркаций / В. И. Арнольд, B.C. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Динамические системы-5. В сб. «Современные проблемы математики (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)». М., 1985.

3. Афраймович, B.C. Об особых множествах систем Морса-Смей л, а /B.C. Афраймович, Л. П. Шильников // Труды ММО.— 1973. Т. 28. C. 181−214.

4. Афраймович, B.C. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца / B.C. Афраймович, В. В. Быков, Л. П. Шильников // Тр. ММО. 1982. — Т. 44. — С. 150−212.

5. Афраймович, B.C. Инвариантные торы, их разрушение и стохастичность / B.C. Афраймович, Л. П. Шильников // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр.— 1983.— С. 3 26.

6. Бирагов, В. С. О бифуркациях в двухпараметрическом семействе консервативных отображений, близких к отображению Эно /B.C. Бирагов // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр. — 1987. С. 10−23.

7. Бирагов, B.C. О бифуркациях петли седло-фокуса в трехмерной консервативной динамической системе / B.C. Бирагов, Л. П. Шильников // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр. — 1989. — С. 25−34.

8. Гаврилов, И.К. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой / Н. К. Гаврилов, Л. П. Шильников // Матем. сб.— 1) 1972, 88, No.4. с.475−492- II) Матем. сб., 1973, 90, No.l.

9. Гонченко, C.B. Об арифметических свойствах топологических инвариантов систем с негрубой гомоклинической траекторией / C.B. Гонченко, Л. П. Шильников // Укр. мат. журнал. ~~ 1987! — Т. 39, № 1, — С. 21- 28.

10. Гонченко, C.B. Инварианты^{-сопряженности} диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией / C.B. Гонченко, Л. П. Шильников // Укр. мат. журн. 1990. — Т. 42, № 2. — С. 153−159.

11. Гонченко, C.B. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников // Методы качественной теории и теории бифуркаций: Межвуз. тематич. сб.науч.тр. — 1991. — С. 3661.

12. Гонченко, C.B. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Л. П. Шильников // Изв. Focc.Акад.Наук, серия матем. 1992. — Т. 56, № 6. — С. 1165 1197. ¦

13. Гонченко, C.B. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников // Докл. Росс. Акад. Наук. 1993. — Т. 330, № 2. — С. 144 147.

14. Гонченко, C.B. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) / C.B. Гонченко,. Д.В., Л. П. Шильников // Докл. Росс.Акад.Наук, — 1993.— Т. 329, № 4. — С. 404−407.

15. Гонченко, C.B. Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром / C.B. Гонченко, Д. В. Тураев, Л. П. Шильников // Труды Мат. Инст. им. Стеклова. 1997. — Т. 216. — С. 76−125.

16. Лукьянов, В.И. О некоторых бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы седло-узла /. Лукьянов В. И., Л. П. Шильников // Докл. АН СССР. 1978. — Т. 243, № 1. — С. 26−29.

17. Овсянников, И.М. О системах с гомоклинической петлей седло-фокуса / И. М. Овсянников, Л. П. Шильников // Мат. сборник. — 1986. — Т. 130(172), № 4. С. 552−570.

18. Палис, Ж. Геометрическая теория динамических систем / Ж. Палис, В. Мелу. М: Мир, 1986.

19. Стенъкин, О. В. Гомоклинический Г2-взрыв и области гиперболичности / О. В. Стенькин, Л. П. Шильников // Матем. сб.- 1998, — Т. 189, № 4.-С. 125−144.

20. Тураев, Д. В. Бифуркации квазиаттракторов типа тор-хаос / Д.В. Тура-ев, Л. П. Шильников // в сб. «Математические механизмы турбулентности». 1986. — С. 113−121.

21. Тураев, Д. В. Пример дикого странного аттрактора / Д. В. Тураев, Л. П. Шильников // Матем. сб. 1998. — Т. 189, № 2. — С. 137−160.

22. Шильников, Л.П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий / Л. П. Шильников // Матем. сб.— 1963.— Т. 61, № 4. С. 433−466.

23. Шильников, Л. П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений / Л. П. Шильников // ДАН СССР. — 1965. — Т. 160, № 3. — С. 558−561.

24. Шильников, Л.П. О рождении периодического движения из траектории, состояния равновесия седло-седло в него же / Л. П. Шильников // Докл. АН СССР. 1966. — Т. 170, № 1. — С. 48−52.

25. Шильников, Л. П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа / Л. П. Шильников // Матем. сб. 1967. — Т. 74, № 4. — С. 378−397.

26. Шильников, Л.П. К вопросу о структуре окрестности гомоклинической трубы инвариантного тора / Л. П. Шильников // ДАН СССР. — 1968. — Т. 180, № 2. С. 286−289.

27. Шильников, Л.П. О рождении периодического движения из траектории, двоякоассимптотической к состоянию равновесия типа седло / Л. П. Шильников // Мат. сб. 1968. — Т. 77, № 3. — С. 461−472.

28. Шильников, Л. П. Об одном новом типе бифуркаций многомерных динамически систем / Л. П. Шильников j j Докл. АН СССР. 1969. — Т. 189, № 1. — С. 49 62.

29. Шилъников, Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус / Л. П. Шильников // Матем. сб. — 1970. Т. 81(123), № 1. — С. 92−103.

30. Belyakov, L. The bifurcation set in a system with a homoclinic saddle curve / L. Belyakov // Mat. Zametki. 1980. — Vol. 28. — P. 911.

31. Belyakov, L. Bifurcation of systems with homoclinic curve of a saddle-focus with saddle quantity zero / L. Belyakov // Mat. Zametki.— 1985.— Vol. 36(5).— Pp. 681−689.

32. Colli, E. Infinitely many coexisting strange attractors / E. Colli // Ann. Inst. Poincare. — 1998. Vol. 15, no. 5. — Pp. 539−579.

33. Complexity in the bifurcation structure of homoclinic loops to a saddle-focus / P. Gaspard, S. Gonchenko, N. G., D. Turaev // Nonlinearity. — 1997. -Vol. 10. Pp. 409−423.

34. Feroe, J. Homoclinic orbits in a parametrized saddle-focus system / J. Feroe // Physica D. — 1993. Vol. 62, no. 1−4. — Pp. 254−262.

35. Gonchenko, S. On two-dimensional analytic area-preserving diffeomorphisms with infinitely many stable elliptic periodic points / S. Gonchenko, L. Shilnikov // Regular and Chaotic Dynamics. — 1997. — Vol. 2, no. ¾.— Pp. 106−123.

36. Gonchenko, S. On two-dimensional area-preserving diffeomorphisms with infinitely many elliptic islands / S. Gonchenko, L. Shilnikov // J. of Stat.Phys. — 2000. Vol. 101, no. ½. — Pp. 321−356.

37. Gonchenko, S. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable poincare homoclinic orbits / S. Gonchenko, L. Shilnikov, D. Turaev // Interdisc. J. CHAOS. 1996. — Vol. 6, no. 1: — Pp. 15−31.

38. Hirsch, M. Invariant manifolds / M. Hirsch, C. Pugh, S. M. — Springer-Verlag, Berlin, 1977. — Vol. 583 of Lecture Notes in Math.

39. Kuznetsov, Y. Elements of applied bifurcation theory / Y. Kuznetsov. — Springer-Ver lag, 1995.

40. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics, Part I / L. Shilnikov, A. Shilnikov, D. Turaev, L. Chua. — World Scientific, 1998.

41. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics, Part II / L. Shilnikov, * A. Shilnikov, D. Turaev, L. Chua. World Scientific, 2001.

42. Newhouse, S. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms / S. Newhouse // Publ.Math.IHES.- 1979. Vol. 50.-Pp. 101−151.

43. Newhouse, S. Cycles and bifurcation theory / S. Newhouse, J. Palis // Asterisque. — 1976. — Pp. 44−140.

44. Newhouse, S. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms / S. Newhouse, J. Palis, F. Takens // Publ. Math. Inst. Haute Etudes Scientifiques. 1983. — Vol. 57. — Pp. 5−72.

45. Shilnikov, L. A new simple bifurcation of periodic orbit of «blue sky catastrophe» type / L. Shilnikov, D. Turaev // Methods of Qualitative Theory of DufferentialT Equations and Related Topics, AMS Translations2000.— T. 200, № 2.—C. 165−188.

46. Tatjer, J. Three-dimensional dissipative diffeomorphisms with homoclinic tangencies / J. Tatjer // Ergod.Th. & Dynam.Sys. — 2001.— Vol. 21, no. 1.— Pp. 249−302.

47. Tedeshini-Lalli, L. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks? / L. Tedeshini-Lalli, J. Yorke // Comm.Math.Phys.— 1995.— Vol. 106. Pp. 635−657.

48. Turaev, D. On dimension of non-local bifurcational problems / D. Turaev // Bifurcation and Chaos. 1996. — Vol. 6, no. 5. — Pp. 919−948.Основные публикации автора по теме диссертации-Т.

49. Гонченко, B.C. О бифуркациях двумерных дифеоморфизмов с гомоклиническим касанием многообразий «нейтрального седла» /B.C. Гонченко // ТрудыМат. Инст. им. Стеклова. 2001. — Т. 236. С. 86−93.

50. Гонченко, B.C. О бифуркациях рождения замкнутой инвариантной кривой в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями / С. В. Гонченко, B.C. Гонченко // Труды Математического Института им. Стек-лова. 2004. — Т. 244. — С. 86−93.

51. Gonchenko, V. Generalized Henon map and bifurcations of homoclinic tangencies / V. Gonchenko, Y. Kuznetsov, H. Meijer // SIAM Journal on App. Dyn. Sys. — 2005. Vol. 4. — Pp. 407−436.

52. Гонченко, B.C. Бифуркации рождения замкнутых инвариантных кривых в обобщенных отображениях Эно / B.C. Гонченко, И. И. Овсянников // Сб. статей «Математика и кибернетика». — 2003. — С. 98−100.

53. Gonchenko, V. On Andronov-Hopf bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies / S. Gonchenko, V. Gonchenko // Preprint No. 556. — 2000.

54. Gonchenko, V. Bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms with non-simple quadratic homoclinic tangencies and generalized Henon maps / S. Gonchenko, V. Gonchenko, J. Tatjer // Preprint IMUB-366. 2004.

55. Гонченко, В. С. О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с гомоклини-ческим касанием многообразий «нейтрального седла» / B.C. Гонченко // Тезисы Межд. Конф. по Дифф. уравнениям и Дин. системам. — 2000. — С. 124−125.

56. Гонченко, В. С. О появлении инвариантных торов при бифуркациях трехмерных потоков с негрубой гомоклинической траекторией / B.C. Гонченко // Тезисы межд. конф. «Progress in Nonlinear Science» посвящ. 100-летию А. А. Андронова. 2001. -С. 14.

57. Гонченко, B.C. О бифуркации Андронова-Хопфа двумерных диффеоморфизмов имеющих гомоклиническое касание седловой неподвижной точки «нейтрального типа» / B.C. Гонченко // Тезисы VI нижегородской сессии молодых ученых. — 2001. — С. 10.

58. Гонченко, B.C. О бифуркациях периодических траекторий в случае гомо-клииического касания инвариантных многообразий седловой неподвижной точки «нейтрального типа» / B.C. Гонченко // Тезисы конф. «Актуальные проблемы современной науки». — 2001. — С. 28.

59. Гонченко, В. С. On bifurcations of 3d-flow with saddle-focus with zero divergence / B.C. Гонченко // Тезисы межд. конф. по Дифф. уравнениям и дин. системам.— 2002. С. 56−57.

60. Гонченко, B.C. On homoclinic bifurcations in the case of 3d-flow with saddle-focus with zero divergence /B.C. Гонченко // Abstarcts of Workshop on Diff. Eq. dedicated to the memory of V.F. Lazutkin. — 2002. — Pp. 22−23.

61. Гонченко, В. С. Shilnikov’s theorem in the case of saddle-focus with zero divergence / B.C. Гонченко // Тезисы межд. конф. Dynamics, Bifurcations and Chaos, 31 января 4 февраля. — 2005. — P. 2.