Модули и линейные группы над алгеброй Пименова и их некоммутативные деформации

Актуальность темы

Теория линейных групп над кольцами — это довольно активно развиваемое в настоящее время направление (см. обзор Залесского А. Е. [19]). По этой тематике имеется большое количество статей и монографий. Помимо исследований для колец наиболее общей природы, часто возникает задача изучения линейных групп и над отдельно взятыми кольцами. Рассмотрим алгебру Dm (K), порожденную над полем К единицей и дуальными единицами ik, к = 1,., т, связанными определяющими соотношениями 4 = О, 1кЦ = Щк, Lkitih) = {Lkii)i.

Так в работах [28], [29] Пименов Р. И. предложил единое описание всех Зт геометрий Кэли-Клейна размерности т (геометрий пространств с постоянной кривизной) и показал, что все они локально моделируются в виде области m-мерного сферического пространства с именованными координатами. В силу этого было замечено, что в виде линейных групп над алгеброй Dm реализуется важный класс групп движения пространств постоянной кривизны (групп Кэли-Клейна). В определенном базисе они могут быть реализованы как матричные группы, состоящие из матриц размера (га + 1) х (т + 1) вида (A (j))ki = Jki&kh удовлетворяющих свойству ортогональности A (j)A (j)T = A (j)TA (j) = Е, где аы? R,.

Jki = jkjk+i • • -ji-i, Jik = hi, Jkk = 1, 1 < к, 1 < m + 1, a jk,.

1 < к < m принимает одно из двух значений 1 или ikЕсли все jk равны 1, то получаем обычную ортогональную группу. Если же среди элементов jk есть дуальная единица, то соответствующая группа будет иметь структуру полупрямого произведения и, следовательно, являться неполупростой. В работе Громова Н. А. [9] данный метод перехода от полупростых групп к неполу простым, реализованным в виде матриц над алгеброй Dm, был распространен на симплектиче-ские и унитарные группы.

Далее, в последний двадцать пять лет активно развивается теория квантовых групп (некоммутативных деформаций групп) [22], [32], [45], [46], [55], [57]. Общий метод построения квантовых групп, заключающийся в некоммутативной деформации алгебры функций на группе и наделении ее структурой некоммутативной и некоком-мутативной алгебры Хопфа, детально разработан для всех серий простых групп [32]. Он связан с существованием универсальных R-матриц (решений уравнения Янга-Бакстера), определяющих коммутационные соотношения образующих алгебры Хопфа. Для непо-лупростых групп такого общего метода не существует. В работах Громова Н. А. и его учеников с помощью метода перехода от полупростых групп к неполупростым, реализованным в виде матричных групп над алгеброй Dm, построены некоторые некоммутативные деформации групп Кэли-Клейна [10], [51], а также некоторые некоммутативные деформации других видов неполупростых групп [11],[50].

В последнее время активно развивается также такая область математики, как суперматематика. Укажем здесь на работы Березииа Ф. А. [2], Лейтеса Д. А. [24], Каца В. Г. [53] (см. также [7], [8], [27]). Наряду с коммутирующими переменными здесь рассматриваются и антикоммутирующие, а значит нильпотентные индекса 2 переменные. Одним из важных примеров супералгебр является алгебра Грассмана. Во многих физических приложениях преобразования суперпространств реализуются в виде матриц над алгеброй Грассмана. В работе [2] рассмотрены некоторые свойства алгебры Грассмана, проведена классификация ее автоморфизмов, дано определение линейных групп над алгеброй Грассмана (супераиалогов классических групп), указано на некоторые их свойства и физические приложения. Нетрудно показать, что алгебра Dm является подалгеброй алгебры Грассмана. В силу этого в суперматематике также естественным образом возникают различные алгебраические структуры над алгеброй Dm, в частности, некоторые группы преобразований суперпространств можно реализовать в виде линейных групп над алгеброй Dm.

Если линейная группа над полем действует на векторном пространстве над этим полем, то линейная группа над кольцом R является группой автоморфизмов некоторого свободного Л-модуля. Поэтому одновременно с исследованием линейных групп над алгеброй Dm естественно возникает задача исследования 1}т-модулей.

В алгебре Dm есть делители нуля, иилыютентные элементы различных индексов, и это обстоятельство относит ее к числу объектов, для которых нет полной, хорошо разработанной теории, как скажем, для полупростых алгебр. В монографии Ж.-П. Серра [36] алгебра D2 используется для определения некоторых алгебр Ли. В монографии Шафаревича И. Р. [40] алгебра D2 используется для описания касательного пространства в точке схемы. Зайнуллиным К. В. в [18] рассмотрены центральные расширения специальной линейной группы бесконечных матриц над алгеброй Dm.

В частном случае т = 1 мы приходим к алгебре дуальных чисел, которые были введены Клиффордом У. К. во второй половине 19-го века [44]. Данные числа и алгебраические структуры над ними нашли применение в различных областях математики и теоретической физики. Так Котельников А. П. и Штуди Э. применяли их для построения теории винтов [21], [56] (см. также [14]). Розен-фельд Б.А. и Яглом И. М. использовали их для описания неевклидовых пространств и движений в них [33], [41]. Дуальные числа могут быть использованы для описания структур, рассматриваемых с точностью до бесконечно малых второго порядка, на алгебраическом языке (см. [38], [39], [40]). Многообразия над алгебрами, в частности над алгеброй дуальных чисел, активно изучаются представителями казанской геометрической школы (см., например [6], [26]). Механику с дуальными координатами рассматривал Дуплий С. А. [15]. Определяющие соотношения классических групп над кольцом дуальных чисел рассмотрел Сатаров Ж. С. [34], [35]. Теорию дуальных чисел как числовых систем можно найти в монографиях [3], [20]. Тем не менее, нельзя сказать, что дуальные числа широко известны.

В силу вышесказанного, алгебра Dm, а также модули и линейные группы над ней представляют собой актуальные для изучения объекты, как с чисто алгебраической точки зрения, так и с точки зрения применения их в других разделах математики и теоретической физики.

По-видимому, Р. И. Пименов был первым, кто в своих работах ввел набор из нескольких взаимно коммутирующих нильпотентных именованных координат, тем самым косвенно выделив алгебру Dm и указав на ее применение в геометрии. Учитывая это, а также из соображений удобства, в дальнейшем алгебру Dm будем называть алгеброй Пимеиова.

Цель диссертации. Целыо данной работы является решение следующих задач.

1) Изучение свойств алгебры Пименова (операция деления, структура автоморфизмов).

2) Изучение свойств модулей над алгеброй Пимеиова, в частности, свойств регулярного и свободного модуля конечного ранга, классификация Dm-модулей.

3) Изучение общих свойств и описание некоторых классов линейных групп над алгеброй Пименова.

4) Построение некоммутативных аналогов неполупростых групп серии Ап, которые могут быть реализованы в виде матричных групп над алгеброй Dm.

Методы исследования. В работе применяются методы теории колец и модулей, теории абстрактных и линейных групп, теории алгебр Хопфа и квантовых групп.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Выделим из них следущие.

1) Найдены необходимые и достаточные условия обратимости элемента алгебры Пименова. В случае конечного поля и поля рациональных чисел проведена классификация автоморфизмов и инволюций алгебры Dm, в общем случае получена частичная классификация.

2) Рассмотрены свойства билинейных симметричных и кососим-метричных форм на свободном 1) т-модуле, введены новые обобщенно-эрмитова и сопряженно-симметричная полуторалинейные формы. Показано, что алгебра Dm с точки зрения числа неразложимыхОт-модулей при т > 1 является алгеброй бесконечного типа, а при т = 1 алгеброй конечного типа, в последнем случае указаны все типы неразложимых Di-модулей.

3) Найдены необходимые и достаточные условия обратимости матрицы над алгеброй Dm. Показано, что любая линейная группа над алгеброй Dm (K) изоморфна некоторой линейной группе над полем К, в матричной интерпритации указан явный вид изоморфизма. Построены некоторые важные классы линейных групп над алгеброй Пименова, указана их связь с линейными группами над полем, для полной и специальной линейных групп указано множество порождающих элементов.

4 4) Построены некоммутативные аналоги неполупростых групп.

SL (n, j). Для группы SL (2,l) построено три неизоморфных некоммутативных деформации. Построены некоммутативные деформации свободного модуля (D)2.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты позволяют с большей эффективностью и теоретической обоснованностью использовать алгебру Пименова в различных вопросах математики и теоретической физики. Результаты и методы диссертации могут быть использованы также для изучения других алгебраических структур подобного типа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001 г.), на международной алгебраической конференции (Екатеринбург, 2005 г.), на международной конференции &bdquo-Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2005 г.). Результаты работы докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН, на семинаре Отдела математики Коми НЦ УрО РАН, на семинаре кафедры высшей математики Сыктывкарского лесного института, на ежегодной научной конференции Сыктывкарского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы щ в работах [12], [13], [16], [17], [52].

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 18 параграфов, и списка цитированной литературы, содержащего 58 наименований. Объем диссертации составляет 81 страницу.

1. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Т. 1,2, М.: Мир, 1980.

2. Березин Ф. А.

Введение

в алгебру и анализ с антиком мутирующими переменными. М.: МГУ, 1983.

3. Блох А. Ш. Числовые системы. Минск: Вышейшая школа, 1982.

4. Бокуть Я. А., Львов И. В., Харченко В. К. Некоммутативные кольца. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 18. М. ВИНИТИ, 1988.

5. Бокуть Л. А., Колесников П. С. Базисы Гребнера-Ширшова: от зарождения до наших дней. Записки научных семинаров ПО-МИ, Т. 272, 2000, С. 26−67.

6. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985.

7. Владимиров B.C., Волович И. В. Суперанализ. I. Дифференциальное исчисление. ТМФ, 1984, Т.59, С.3−27.

8. Владимиров B.C., Волович И. В. Суперанализ. II. Интегральное исчисление, ТМФ, 1984, Т.60, С.169−198.

9. Громов Н. А. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Единый подход. Сыктывкар, 1990.

10. Громов Н. А., Костяков И. В., Куратов В. В. Квантовые группы и пространства Кэли-Клейна. Алгебра, дифференциальныеуравнения и теория вероятностей. Труды Коми научного центра УрО Российской АН, № 151, Сыктывкар, 1997. С. 3−29.

11. Громов Н. А., Костяков И. Б., Куратов В. В. Квантовые сим-плектические группы Кэли-Клейна FUN (SPq (N] j)). Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Труды Коми научного центра УрО Российской АН, № 151, Сыктывкар, 1997. С. 30−43.

12. Громов Н. А., Ефимов Д. Б. Некоммутативные деформации неполупростых унитарных групп. Международная алгебраическая конференция. Екатеринбург, 2005. Тез. докл. С. 47−49.

13. Громов Н. А., Ефимов Д. Б. Некоммутативная /i-деформация неполупростой группы SL (2,l). Международная алгебраическая конференция «Мальцевские чтения». Новосибирск, 2005. Тез. докл. (www.math.nsc.ru/conference/malmeet/05).

14. Диментберг Ф. М. Винтовое исчисление и его приложения в механике. М.: Наука, 1965.

15. Дуплий С. А. Нильпотентная механика и суперсимметрия. Про-бл. ядер, физики и косм, лучей, Вып. 30. Харьков: Выща школа, 1988. С. 41−48.

16. Ефимов Д. Б. Матричные группы над ассоциативной алгеброй с нилыютентными коммутативными образующими. Международный семинар по теории групп, Екатеринбург, 2001. С. 73−76.

17. Ефимов Д. Б. Инволюции алгебры Пименова и связанные с ними линейные группы. Алгебра, геометрия и дифференциальные уравнения. Труды Коми научного центра УрО РАН, № 174, Сыктывкар, 2003. С. 32−40.

18. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М: Мир, 1986.

19. Решетихин Н. Ю., Тахтадэюян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантование групп и алгебр Ли. Алгебра и анализ, 1989, Т1, № 1. С. 178 206.

20. Розенфелъд Б. А. Неевклидовы геометрии. М.: ГИТТЛ, 1955.

21. Сатаров Ж. С. Определяющие соотношения классических ортогональных групп над коммутативными локальными кольцами. Изв. вузов. Математика, 1994, № 10, С. 66−74.

22. Сатаров Ж. С. Определяющие соотношения классической унитарной группы над кольцом дуальных чисел. Изв. вузов. Математика, 1995, № 6, С. 74−81.

23. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.

24. Супруненко Д. А. Группы матриц. М.: Наука, 1972.

25. Хамфри Дою. Линейные алгебраические группы. М.: Наука, 1980.

26. Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментельные направления, Т. 11. М. ВИНИТИ, 1986.

27. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Т. 2. М. Наука, 1988.

28. Яглом И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М.: Наука, 1969.

29. Aghamohammadi A. The 2-parametric extension of h deformation of GL (2), and the differential calculus on its quantum plane. Modern Physics Letters, A8, (1993) 2607.

30. Manin Yu.I. Quantum groups and non-commutative geometry. Centre de Recherches Mathematiques, Universite de Monreal, 1988.

31. Study E. Geometry der Dynamen. Leipzig, 1901, 1903.

32. Woronovich S.L. Compact matrix pseudogroups. Com. Math. Phys., 1987, Vol. 11, P. 613−665.

33. Zakrzewski S. A Hopf star-algebra of polynomials on the quantum SL (2, R) for 'unitary' Д-matrix. Lett. Math. Phys. V. 22, C. 287 289. 1991.