Задача соединения упругих пластин в пакет вдоль кривых

Во многих областях техники и строительства используются различные инженерные конструкции, составленные из тонких упругих пластин, среди которых особый класс составляют пакеты пластин, соединенных между собой вдоль узких полос и в отдельных точках посредством заклепок, склеивания, сварки, шурупов и т. д. В практических расчетах на прочность с позиций механики разрушения эти полосы в определенных рамках можно заменить линиями. Так же можно поступать и в случае, когда пластины соединены между собой в близко расположенных друг к другу точках вдоль некоторых линий.

В связи с этим являются актуальными исследование напряженного состояния пакетов пластин, соединенных вдоль кривых, а также в отдельных точках, и разработка, аналитических методов решения соответствующих задач теории упругости. Изучению указанных проблем и посвящена данная диссертационная работа.

В математической постановке задачи теории упругости для мно-голистных пластинчатых конструкций, к которым относятся и пакеты пластин, изучаются сравнительно недавно, хотя метод многолистных римановых поверхностей для решения задач теории упругости и других разделов механики сплошной среды применяется давно [9, 18, 70−73]. Непосредственно относящиеся к теме данной диссертационной работы пакеты пластин, соединенных между собой только в отдельных точках или только вдоль кривых изучаются в работах [37 39, 46, 47, 53, 64−66, 69].

В монографии Г. П. Черепанова [69] изучается пакет из двух бесконечных пластин, вообще говоря, из различных упругих материалов, соединенных между собой заклепками в двух точках. При заданных на бесконечности в каждой из пластин напряжениях, действующих в плоскостях пластин, посредством инвариантных Г-интегралов находятся силы реакции в заклепках и исследуется влияние размеров заклепок на их величину. Аналогичная задача рассматривается в данной диссертации во второй главе.

В работах Л. С. Рыбакова и Н. В. Лукашиной [37−39] изучаются пакеты двух и трех бесконечных пластин, соединенных между собой периодическими рядами заклепок. С использованием комплексных потенциалов Колосова-Мухелишвили нахождение сил реакции в заклепках сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с коэффициентами, зависящими от разности индексов. Решение системы находится методом преобразования Лорана.

В работах В. В. Сильвестрова и Г. Е. Чекмарева [46, 47, 53, 64−66] изучаются пакеты тонких бесконечных упругих пластин, соединенных между собой вдоль коллинеарных отрезков или вдоль дуг одной окружности. При заданных, вообще говоря, разных нагрузках на бесконечности каждой из пластин, исследуется напряженное состояние, мало отличающееся в каждой пластине от обобщенного плоского, и изгиб пластиннаходятся коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) вблизи концов отрезков и дуг соединения. Исследования основаны на использовании комплексных потенциалов К о ло с ова Мусхе лишви ли и матричной краевой задачи Римана. Этот лее метод будет использоваться в данной диссертационной работе для изучения пакета пластин, соединенных между собой только вдоль одной окружности или вдоль окружности и в отдельной точке.

Указанными авторами метод краевой задачи Римана в сочетании с другими методами используется также для исследования напряженного состояния и решения соответствующих задач теории упругости для других типов многолистных пластинчатых конструкций (поверхностей): многолистной римановой поверхности с разрезами, соединяющими ее точки ветвления, берега которой принадлежат крайним листам [42−45, 48]- конструкции со сквозными разрезами вдоль коллинеарных отрезков, образованной из нескольких пластин с одинаковыми разрезами путем наложения их друг на друга и соединения между собой отдельно верхних берегов соответствующих разрезов всех пластин и отдельно нижних берегов [49, 52, 67] - конструкции, образованные из нескольких пластин с одинаковыми коллинеарными разрезами, которые наложены друг на друга и соединены между собой только вдоль верхних берегов соответствующих разрезов (при этом нижние берега разрезов всех пластин никаким образом не контактируют между собой) [45, 63, 67]- слабоизогнутой винтовой поверхности [51].

В работе В. В. Сильвестрова [82] изучается многолистная пластинчатая конструкция со сквозным криволинейным разрезом, образованная путем наложения друг на друга нескольких одинаковых тонких однородных пластин с разрезами, одноименные берега которых соединены между собой. На берегах разреза задаются внешние усилия, а на бесконечности каждой пластины — напряжения, вращение и сосредоточенная сила, которые действуют в плоскостях пластин так, что все листы конструкции находятся в напряженном состоянии, мало отличающемся от обобщенного плоского. Методом интегральных уравнений устанавливается асимптотика напряжений вблизи концов разреза и находятся инварин-тные Г-интегралы Черепанова. В отличие от одной отдельной пластины с разрезом, вблизи вершины которого интенсивность напряжений, имеющих степенную особенность порядка ½, зависит от двух действительных КИН, на рассматриваемой конструкции вблизи вершины разреза напряжения, хотя и имеют степенную особенность порядка ½, но их интенсивность зависит от четырех КИН. В работе [50] указанным методом устанавливается порядок особенности напряжений вблизи вершины криволинейной щели в конструкции, образованной из двух бесконечных пластин, одна из которых разрезана вдоль заданной кривой, затем наложена и присоединена вдоль одного из берегов разреза к другой сплошной пластине.

В работе Ю. И. Кудишина и Б. В. Калашникова [15] исследуется напряженное состояние конструкции из двух однородных изотропных пластин, пересекающихся под прямым углом. Одна из пластин занимает всю плоскость, а другая — полуплоскость. Пластины равномерно растянуты на бесконечности-на части границы полуплоскости, симметричной относительно другой пластины, заданы нормальные постоянные усилия. С помощью комплексных потенциалов КолосоваМусхелишвили задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, решение которого строится приближенно через интерполяционные многочлены Лагранжа. Аналогичным образом этими же авторами ранее был изучен случай взаимодействия бесконечной пластины с полубесконечной полосой [14].

В работе Б. М. Нуллера [25] предложена методика, позволяющая свести некоторые статические и динамические задачи для конструкций, составленных из нескольких упругих полуплоскостей, соединенных между собой вдоль произвольных участков границ, к краевым задачам Римана-Гильберта на многолистных римановых поверхностях. Рассматриваемые конструкции представляют собой одну из симметричных половинок соответствующей римановой поверхности.

В работе G.G.Adams [77] изучается Т-образное соединение под прямым углом упругой полуполосы вдоль торца с упругой полосой. Полуполоса вдавливается в полосу, но система остается в равновесии, благодаря наличию двух симметрично расположенных сосредоточенных сил, приложенных к полосе. Решение соответствующей задачи теории упругости строится путем сопряжения решений для полосы и полуполосы, удовлетворяющих заданным граничным условиям. Условие непрерывности напряжений и смещений вдоль линии соединения полуполосы с полосой приводит к системе трех сингулярных интегральных уравнений, которая с учетом характера особенностей искомых функций в угловых точках линии соединения решается численно. Аналогичная задача Т-образного соединения полубесконечной пластины с бесконечной заклепками в двух точках изучается в книге [69]. Решение строится методами ТФКП.

Напряженное состояние различных конструкций, составленных из прямоугольных и круговых пластин при различных способах соединения между собой, изучается в работах [33, 78−81]. Используются методы конечных элементов, тригонометрических рядов и другие. Технологические проблемы, связанные с проектированием различных тонкостенных пластинчатых конструкций, и проблемы их прочности изучаются в книгах [20, 62]. Большинство из описанных выше конструкций исследуются с позиций механики разрушения, основные положения которой изложены в работах В. В. Панасюка, М. П. Саврука, Л. Т. Бережницкого, Н. Г. Стащука, А. П. Дацышин, А. Е. Андрейкив [3, 26 28. 41], В. В. Партона, Е. М. Морозова [29, 30], Г. П. Черепанова [68, 69], Ю. Н. Работнова [35, 36], Д. Д. Ивлева [И], Н. Ф. Морозова [22], Д. Броека [4]. Т. Екобори [8], К. Хеллана [61] и других. Рассматриваемые в данной диссертационной работе пакеты пластин также изучаются с позиций механики разрушения. Для исследования их напряженного состояния и решении соответствующей задачи теории упругости в зависимости от вида кривой, вдоль которой пластины соединены между собой в пакет, используются методы матричной краевой задачи Римана, степенных рядов и интегральных уравнений. Суть этих методов применительно к классическим задачам теории упругости изложена в монографиях Н. И. Мусхелишвили [23], А. И. Каландия [12], А. С. Космодамианского [13], Г. Я. Попова [34], В. З. Партона и П. И. Перлина [31, 32], В. В. Панасюка, М. П. Саврука, А. П. Дацышин [28, 40], С.М.Бело-носова [2], Л. А. Толоконникова и В. Б. Пенькова [60], С. А. Кулиева [16] и других.

По своему характеру и методам исследований решаемая в данной диссертационной работе задача относится к классу плоских задач теории упругости. В ней решается следующая задача.

Конечное число тонких упругих однородных изотропных пластин Е, Е2, • • •, Еп, занимающих всю плоскость каждая, наложены друг на друга и соединены друг с другом вдоль конечного числа определенных кривых (одной окружности, системы концентрических окружностей, одной или нескольких разомкнутых кривых) или вдоль окружности и еще в отдельной точке (конечной или бесконечной). Пластина Ек имеет толщину модуль сдвига ¡-1к и коэффициент Пуассона ик. В точке оо пластины Е/, в расчете на единицу толщины пластины действуют расположенные в плоскости пластины заданные напряжения (п, ч),. (т^)к и сосредоточенная сила Рк = Хк + г? к вращение на оспластины Ек равно Никакие другие внешние усилия к пластинам не приложены. Поверхности пластин между собой не касаются или касаются без тренияпередача усилий с одной пластины в другую происходит только через линии и точки соединения.

Требуется найти напряженное состояние каждой из пластин и параметры, характеризующие устойчивость пакета к разрушению (КИН вблизи концов линий соединения, силы реакции в точках соединения).

Несмотря на то, что рассматриваемый пакет пластин не имеет границы, тем не менее линии соединения пластин играют роль особых линий, на которых напряжения терпят разрыв, в то время как смещения непрерывны. На них должны выполняться условия и + гь) I = (и + гу)1, к = 1, п, (и + ¡-у)^ = (и + гу)^+1, к = 1, п-1, (1) п п.

1 к=I где (ад, у) к — компоненты вектора смещения точек пластины Ек- (ТУ, Т) к нормальное и касательное напряжения в точках пластины Ек в расчете на единицу толщины пластины, а верхние и нижние индексы «плюс» и «минус» означают значения того или иного выражения на линии соединения слева и справа соответственно.

При указанных выше нагрузках в пластинах реализуется напряженное состояние, мало отличающееся от обобщенного плоского и определяемое в каждой из них известными формулами Колосова-Мусхелишвили [23] через две функции комплексного переменного г = х + г-у, аналитические во всей плоскости, кроме линий и точек соединения, и имеющие определенное поведение в окрестности оо. В диссертации, в зависимости от вида линий соединения, испльзуются различные формулы.

В первой главе исследуются пакеты пластин, соединенных друг с другом только вдоль одной окружности или вдоль конечного числа концентрических окружностей.

В случае соединения пластин только вдоль одной окружности Ь: г = 1 поставленная выше задача, на основе формул Колосова. Мусхелишвили для плоскости с разрезами по дугам окружности Ь и. условий (1), сводится в § 1 к нахождению 2п кусочно-голоморфных функции ФДг), к = 1, п, с линией разрыва Ь из однородной матричной краевой задачи Римана с постоянной коэффициент-матрицей и из определенных условий в точках 0 и оо. Решение этой задачи и функции Фь ик находятся явно в § 2. На основании найденных функций и формул Колосова-Мусхелишвили в § 3 получены формулы для напряжений внутри и вне окружности Ь, исследовано их распределение на окружности. Для пакетов из двух и трех пластин при конкретных значениях исходных данных рассчитаны значения напряжений на окружности Ь изнутри и извне.

В §§ 4−6 решается задача соединения конечного числа пластин в пакет вдоль концентрических окружностей ½,., Ьт с центром в начале координат и радиусов гь г2,., гт (г2 < г2 <. < гт) соответственно. Она методом степенных рядов сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов рядов, определяемых комплексные потенциалы Колосова Мусхелишвили в областях, на которые разбивается плоскость окружностями Ьк. Эту систему удалось свести к отдельным конечным системам и найти ее решение явно. На основании этих решений найдены явно комплексные потенциалы и получены формулы для напряжений. Оказалось, что в данном случае задача соединения пластин в пакет вдоль окружностей Ь, Ь2,., Ьт равносильна задаче соединения этих же пластин в пакет только вдоль одной внешней окружности Ьт, т. е. внутренние окружности Ь, Ь2,., независимо от их количества и радиусов, никакого влияния на распределение напряжений в пластинах не оказывают, следовательно, не являются укрепляющими элементами системы. Кроме того, напряженное состояние в круге г < гт во всех пластинах не зависит также от сосредоточенных сил, приложенных в точке оооно зависит лишь от напряжении, действующих в точке оо, упругих постоянных и толщин пластин.

Вторая глава посвящена решению задачи соединения пластин в пакет вдоль одной окружности Ь: |.г| — I ив отдельной точке, которая может быть расположена внутри окружности, вне окружности или совпадать с точкой оо. Под соединением в точке оо понимается соединение пластин на большом удалении от окружности Ь вдоль кривых или по некоторым областям или частично вдоль кривых и частично по областям. При исследовании напряженного состояния эти соединения можно заменить точкой оо, а приложенные к ним нагрузки равносильными нагрузками, приложенными в точке оо. Под соединением пластин в конечной точке понимается соединение пластин по «малой» области произвольной конфигурации, содержащей эту точку и размеры которой малы по сравнению с расстоянием от ее границы до окружности Ь. Такое соединение пластин называется «заклепкой» .

Так же, как в случае соединения пластин вдоль одной окружности, для решения задачи в этой главе используется метод матричной краевой задачи Римана. В случае соединения пластин Е], ., Еп друг с другом вдоль окружности Ь ив точке оо, в которой задаются расположенные в плоскостях пластин общие для всех них напряжения а*, <7*, т*у и вращение со*, в § 2 на основании условий (и + гу) к ~ (и + п-) 1? г —>¦ сю, к = 2, гг, выражающих равенство смещений точек различных пластин при 2 оо, и соответствующих условий для комплексных потенциалов на окружности Ь доказывается, что задача соединения пластин Ек в пакет вдоль окружности Ь ив точке сю равносильна задаче соединения этих пластин в пакет только вдоль окружности Ь при условии, что на оо пластины Ек заданы нулевая: сосредоточенная сила, вращение = и* и, вообще говоря, другие напряжения, выражаемые через напряжения а*, <т*, т*у линейно по определенным формулам, приведенным в § 2. Данное утверждение справедливо также в случае соединения пластин в пакет в точке оо и вдоль любой совокупности кривых.

В случае соединения пластин Е, Е^,. ¦ ¦, Еп в пакет вдоль окружности Ь: г = 1 и в конечной точке расположенной вне Ь, рассматриваемая задача на основе формул Колосова Мусхелишвили для плоскости с разрезами по дугам окружности Ь сводится к матричной краевой задаче Римана для 2п функций Фк{г), Ик{г), к = I, п, в классе функций, имеющих заданное поведение в точках 0, оо и особенности определенного характера в точках, 2* = 1/%- Эти функции найдены явно в § 3. В их выражения входят силы реакции Рк. действующие на точку 20 со стороны пластин Ек. Они находятся из условия равновесия точки г0 и линейных условий, выражающих равенство приращений смещений в различных пластинах при переходе от фиксированной точки на окружности Ь к фиксированной точке на границе заклепки в точке 20. В эти условия, помимо исходных данных задачи, входит еще характерный линейный размер заклепки — «радиус» заклепки. Необходимость введения такого дополнительного параметра задачи объясняется тем, что смещения, определяемые по формулам Колосова Мусхелишвили посредством функций Ик. в точке обращаются в бесконечность, что не соответствует реальности. На основе построенных решений при различных конкретных значениях исходных данных и размера заклепки рассчитаны значения сил Рк и значения напряжений на окружности />- дано их сравнение со значениями напряжений, соответствующими соединению пластин в пакет только вдоль окружности Ь. На основе конкретных примеров замечено, что «радиус» заклепки Д несущественно влияет на величину сил следовательно, и на напряженное состояние в пластинах. Ранее данный факт был замечен Г. П. Черепановым [69].

В § 4 на основе решения соответствующей математической задачи для функций Ф^, показывается, что задача, соединения пластин в пакет вдоль окружности Ь ив точке, расположенной внутри Ь, как и задача соединения их вдоль концентрических окружностей, равносильна задаче соединения этих пластин только вдоль окружности Ь.

В третьей главе методом интегральных уравнений изучается задача соединения пластин Е, Е%, ¦., Еп в паке т вдоль конечного числа, разомкнутых кривых Ляпунова Ь. ., Ьт, не имеющих между собой общих точек. С помощью комплексных потенциалов Ф^(.г), взятых в интегральной форме, предложенной львовскими механиками [28, 40], рассматриваемая задача в § 2 сводится к системе п — 1 сингулярных интегральных уравнений относителььно неизвестных скачков нормальной и касательной напряжений при переходе через кривые Е^ в пластинах и конечному числу дополнительных условий, выражающих равновесие каждой пластины по отдельности и однозначность смещений при переходе от одной кривой к другой по разным пластинам. Данная система, ровно как и дополнительные условия, путем диагонализации матрицы-коэффициента при регулярной части уравнений (возможность такой операции доказывается исключительно алгебраическими методаим) сводится в § 3 к п — 1 отдельным интегральным уравнениям и дополнительным условиям для нахождения новых функций гк (1), к = 1, п — 1, связанных с функциями линейно с определенной невырожденной матрицей, элементы которой выражаются явно через упругие постоянные и толщины пластин. Полученные уравнения для нахождения функций полностью совпадают с интегральными уравнениями и условиями второй основной задачи теории упругости для отдельных, никаким образом не связанных между собой, вообще говоря, других пластин Ек с разрезами по заданным кривым Ь^ при следующих условиях: 1) пластина Е% имеет единичную толщину, модуль сдвига и, вообще говоря, новую упругую постоянную выражаемую через упругие постоянные и толщины исходных пластин по определенным формулам- 2) на берегах всех разрезов смещения равны нулю- 3) на оо пластины Ек действуют определенные, вообще говоря, иные сосредоточенная сила Рк, напряжения (сг*, сг*, и вращение определяемые поре.} исходные1 нагрузки на оо пластин.

Ек.

Тем самым, задача соединения упругих пластин Е^Е^,. • ¦, Еп в пакет вдоль конечной системы разомкнутых кривых Ь^ сведена к п — 1 задачам о напряженном состоянии отдельных, никаким образом не связанных между собой, пластин Ек с абсолютно. жесткими включениями нулевой толщины вдоль кривых Ьи новыми заданными нагрузками на ооустановлена связь между напряжениями, вращениями и КИН вблизи концов линий соединения в пластинах Ек, находящихся в составе пакета, и соответствующими им напряжениями, вращениями и КИН вблизи вершин жестких включений в пластинах Ек.

В § 4 подробно изучены случаи, когда коэффициенты Пуассона у всех пластин одинаковы или чередуются.

Все положения и выводы третьей главы остаются в силе также в случае соединения пластин Ек в пакет вдоль расположенных вне друг друга замкнутых кривых Ляпунова если считать, что в новые пластины Е впаяны абсолютно жесткие включения, занимающие внутренности кривых Ьу В частности, в § 5 на основе построенных интегральных уравнений повторно найдены решения задачи соединения пластин в пакет вдоль одной окружности и отдельно вдоль коллинеарных отрезков. В первом случае решение совпадает с решением, полученным другими методами в первой главе, а во втором: случае решением, полученным ранее В. В. Сильвестровым и Г. Е. Чекмаревым [47, 53] методом краевой задачи Римана.

В заключение приведем основные результаты, выносимые на защиту.

1. В замкнутой форме решена задача соединения тонких упругих пластин в пакет вдоль одной окружности и вдоль конечного числа концентрических окружностей. Исследовано напряженное состояние пластин и характер распределения напряжений на линиях соединения пластин.

2. Решена явно задача соединения пластин в пакет вдоль окружности и в отдельной точке. Изучено влияние точки соединения на распределение напряжений на линии соединения и обратно.

3. Разработан метод решения задачи соединения пластин в пакет вдоль разомкнутых кривых. Доказана ее эквивалентность конечному' числу задач теории упругости для отдельных, не. связанных между собой, пластин с жесткими включениями вдоль линий соединения. Установлена связь между напряжениями и КИП в пластинах, находящихся в составе пакета, и соответствующими напряжениями и КИН в отдельных. пластинах с жесткими включениями.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [54−59, 74−76, 83].

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору В. В. Сильвестрову за предложенную тему и постоянное внимание к работе.

Основная часть работы выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 94−01−207, 98−01−308, 9801−3 304).

1. Амензаде Ю. А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. 272 с.

2. Белоносов С. М. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных и двусвязных областей. Новосиб.: Изд-во СО АН СССР, 1962. 231 с.

3. Бережницкий JI.T., Панасюк В. В., Стащук Н. Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наук, думка, 1983. 288 с.

4. Броек Д. Основы механики разрушения. М.: Высшая школа, 1980.

5. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. 379 с.

6. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

7. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

8. Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов. Киев: Наук, думка, 1978. 352 с.

9. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях // Успехи математических наук. 1971. Т. 26. Вып. 1. С. 113−179.

10. Зверович Э. И. Смешанная задача теории упругости для плоскости с разрезами, лежащими на вещественной оси // Труды симпозиумапо механике сплошной среды и родственным проблемам анализа, Т. 1. Тбилисси: Мецниереба, 1973. С. 103−114.

11. Ивлев Д. Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения // Журнал прикладной механики и технической физики. 1967. N 6. С. 88−128.

12. Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. 304 с.

13. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и выступами. Киев: Вища школа, 1975. 228 с.

14. Кудишин Ю. И., Калашников Б. В. Контактная задача о пересечении бесконечной пластины с полубесконечной полосой // Инженерные проблемы прикладной механики. М. 1987. С. 51−60.

15. Кудишин Ю. И. Калашников Б.В. Напряженное состояние двух пластин, пересекающихся на полубесконечном интервале // Строительная механика и расчет сооружений. 1991. N 2. С. 55−59.

16. Кулиев С. А. Двумерные задачи теории упругости. М.: Стройиздат, 1991. 351 с.

17. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

18. Ламбин Н. В. Метод симметрии и его применение к решению краевых задач. Минск: Изд-во Белорусского ун-та, 1960. 45 с.

19. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.

20. Лизин В. Т., Пяткин В. А. Проектирование тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1976. 408 с.

21. Линьков A.M. Задачи теории упругости для плоскости с конечным числом криволинейных разрезов // Нсслед. по упругости и пластичности. 1976. Вып. И. С. 3−11.

22. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теорий трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

23. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

24. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.

25. Нуллер Б. М. Контактные задачи для системы упругих полуплоскостей // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 2. С. 302−306.

26. Панасюк В. В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наук, думка, 1991. 415 с.

27. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Партон В. З. Механика разрушения и прочность материалов: Справ, пособие. Т. 1: Основы механики разрушения материалов. Киев: Наук, думка, 1988. 487 с.

28. Панасюк В. В., Саврук М. П., Дацышин А. П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наук, думка, 1976. 444 с.

29. Партон В. З. Механика разрушения: От теории к практике. М.: Наука, 1990. 240 с.

30. Партон В. З., Морозов Е. М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1985. 504 с.

31. Партон В. З., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 312 с.

32. Партон В. З., Перлин П.й. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

33. Паутов А. Н., Толкачев И. Н. Расчет напяженно-деформированного состояния пространственных пластинчатых систем // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1983. N 23. С. 102−113.

34. Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 342 с.

35. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

36. Работнов Ю. Н.

Введение

в механику разрушения. М.: Наука, 1987. 80 с.

37. Рыбаков Л. С., Лукашина Н. В. Плоская контактная задача о дискрет-• ном взаимодействии пластин. Деп. в ВИНИТИ 24.10.80, N 4918−80Деп. М., 1980. 14 с.

38. Рыбаков Л. С., Лукашина Н. В. Растяжение двух неограниченных пластин, соединенных между собой двумя параллельными периодическими рядами заклепок. Деп. в ВИНИТИ 21.07.81, N 3645−81 Деп. М., 1981. 14 с.

39. Рыбаков Л. С., Лукашина Н. В. Равномерное растяжение симметричного пакета из трех пластин, скрепленных несколькими периодическими рядами заклепок. Деп. в ВИНИТИ 16.05.88, N 3704-В88. М., 1988. 13 с.

40. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1981. 324 с.

41. Саврук М. П. Механика разрушения и прочность материалов: Справ, пособие. Т. 2: Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Киев: Наук, думка, 1988. 566 с.

42. Сильвестров В. В. Пербая й вторая основные задачи теории упругости на двулистной риманойой поверхности // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары: йзд-во Чувашского ун-та, 1986. С.111−119.

43. Сильвестров В. В. Основная смешанная задача теории упругости на двулистной поверхности // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1989. С. 104−109.

44. Сильвестров В. В. Основные задачи теории упругости на много-листной римановой поверхности // Известия вузов. Математика. 1990. N 2. С. 89−92.

45. Сильвестров В. В. Об упругом напряженном и деформированном состоянии вблизи пространственной трещины на двулистной поверхности // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 1. С. 123−131.

46. Сильвестров В. В. Основные задачи теории упругости для плоскости и многолистных поверхностей с разрезами. Дисс.. докт. физ.-мат. наук. Чебоксары, 1991. 222 с.

47. Сильвестров В. В. Упругое взаимодействие двух тонких бесконечных пластин, соединенных вдоль отрезков прямой // Прикладная механика. 1991. Т. 27. N 9. С. 67 71.

48. Сильвестров В. В. Напряженно-деформированное состояние много-листной поверхности с разрезами // Прикладная математика и механика. 1991. Т. 55. Вып. 3. С. 493−499.

49. Сильвестров В. В. Напряженно-деформированное состояние многолистных пластинчатых конструкций // Известия РАН. Механика твердого тела. 1992. N 2. С. 124−135.

50. Сильвестров B.B. О напряжениях вблизи вершины щели с одним берегом в двулистной конструкции // Актуальные задачи математики и механики. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1995. С. 102−107.

51. Сильвестров В. В. Упругая слабоизогнутая винтовая поверхность // Известия Национальной Академии наук и искусств Чувашской Республики. 1996. N 6. С. 69 76.

52. Сильвестров В. В., Чекмарев Г. Е. Напряженнодеформированное состояние одной многолистной конструкции // Краевые задачи и их приложения. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1989. С. 109−114.

53. Сильвестров В. В., Чекмарев Г. Е. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль коллинеарных отрезков // Исследования по краевым задачам и их приложениям. Чебоксары: Изд-во Чувашскогоун-та, 1992. С. 38−42.

54. Сильвестров В. В., Шумилов A.B. Соединение упругих пластин в пакет вдоль окружности // Известия Инженерно-технологической Академии Чувашской Республики. 1996. N 1. С. 68−79.

55. Сильвестров В. В., Шумилов A.B. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль концентрических окружностей // Известия Инженерно-технологической Академии Чувашской Республики. 1996. N 3−4. С. 142−148.

56. Сильвестров В. В., Шумилов A.B. Задача соединения упругих пластин в пакет вдоль кривых // Известия РАН. Механика твердого тела. 1997. N 1. С. 165−170.

57. Сильвестров В. В., Шумилов A.B. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль окружности и в отдельной точке // Известия НАНИ Чувашской Республики. 1997. N 4. С. 118−127.

58. Сильвестров В. В., Шумилов A.B. Интегральные уравнения задачи соединения упругих пластин в пакет вдоль кривых // Алгебра и анализ. Материалы 2-й Казанской шкоды-конф. Казань. Изд-во КГУ, 1997. С. 197−198.

59. Сильвестров В. В., Шумилов A.B. Соединение упругих пластин в пакет вдоль кривых // Итоги развития механики в Туле: Тезисы докладов международной конференции. Тула: ТулГУ, 1998. С. 94−96.

60. Толоконников JI.A., Пеньков В. В. Метод граничных представлений в двумерных задачах механики. Тула: Йзд-во ТВАИУ, 1997. 378 с.

61. Хеллан К.

Введение

в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.

62. Хертель Г. Тонкостенные конструкции. М.: Машиностроение, 1965. 527 с. 63." Чекмарев Г. Е. Первая основная задача теории упругости для много-листной конструкции специального вида. Деп. в ВИНИТИ 30.07.90, N 4311-В90. Чебоксары, 1990. 11 с.

63. Чекмарев Г. Е. Упругий изгиб пакета тонких пластин, соединенных вдоль коллинеарных отрезков. Деп. в ВИНИТИ 26.05.92. N 1753-В92. Чебоксары, 1992. 10 с.

64. Чекмарев Г. Е. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль дуг окружностей // Молодые ученые — науке. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1993. С. 14−16.

65. Чекмарев Г. Е. Краевые задачи теории упругости для многолистных пластинчатых конструкций. Дис.. канд. физ.-мат. наук. Чебоксары, 1994. 95 с.

66. Чекмарев Г. Е. Упругий изгиб многолистных пластинчатых конструкций // Актуальные задачи математики и механики. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1995. С. 124−130.

67. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

68. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 296 с.

69. Чибрикова Л. И. К решению краевых задач методом симметрии // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 3. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1966. С. 202−224.

70. Чибрикова Л. Й. О методе симметрии в теории упругости // Известия вузов. Математика. 1967. N 10. С. 102−112.

71. Чибрикова Л. И. О применении римановых поверхностей при исследовании плоских краевых задач и сингулярных интегральных уравнений // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 7. Казань: Изд-воКазан, ун-та, 1970. С. 28 44.

72. Чибрикова Л. И. Граничные задачи теории аналитических функций на римановых поверхностях // Итоги науки и техники. Серия математический анализ. Т. 18. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1980. С. 3−66.

73. Шумилов A.B. Задача о напряженном состоянии пакета пластин, соединенных вдоль кривых // Естественные науки: сегодня и завтра. Тезисы докладов юбил. итог. науч. конф. Чебоксары: Изд-во ЧувГУ, 1997. С. 103−104.

74. Шумилов A.B. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль окружности // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 6-й межвуз. конф. Самара. Изд-во СамГТУ, 1996. С. 122−123.

75. Шумилов A.B. Напряженное состояние пакета тонких упругих пластин, соединенных вдоль замкнутых контуров // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 7-й межвуз. конф. Самара. Изд-во СамГТУ, 1997. С. 154−157.

76. Adams G.G. A semi-infinite elastic strip bonded to an infinite strip // Transaction of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1980. V. 47. P. 788−794.

77. Bernadou M., Fayolle S. Numerical analysis of junctions between plates // Computational Methods of Applied Mechanics and Engineering. 1989. V. 76. N 2. P. 101−118.

78. Golley B.W., Grice W.A. Prismatic folded plate analysis using finite strip-elements // Computational Methods of Applied Mechanics and Engineering. 1989. V. 76. N 2. P. 101−118.

79. Kito Fumiki. Stress analysis of two elastic annular plates, connected each other by elastic rods // Keio Science and Technology Reports. 1985. N 2. P. 15−35.

80. Negrutiu R. Elastic analysis of slab structures. Bucuresti: Dord-recht: Ed. Acad., 1987. 435 p.

81. Silvestrov V.V. Stress-strain state near a straight-through transverse crack tip in a special multi-sheet plate structure // International Journal of Fracture. 1997. V. 84. N 3. P. 229−236.

82. Silvestrov V.V., Shumilov A.V. Joining elastic plates into a package along curves // Mechanisms and Mechanics of Damage and Failure. Vol. 1. Proc. of 11th European Conference oh Fracture. West Midlands (U.K.): EMAS, 1996. P. 379−383.