Задачи с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных гиперболических уравнений

Рассматриваемые в диссертации задачи связаны с уравнением д" и дхх. дхг пи), (0.1) где дифференциальный оператор общего вида порядка п-1, содержащий лишь производные от искомой функции, получаемые из левой части этого уравнения путем отбрасывания, по крайней мере, одного дифференцирования, и саму функцию. В соответствии с классификацией из [1, с. 15−16] «данное уравнение относится к гиперболическому типу. При п = 2 это есть хорошо известное в математической физике уравнение иху=/(х, у, и, их, иу). (0.2).

Уравнения вида (0.1) с линейным оператором Г используются при изучении процессов вибрации и других ситуаций из механики и математической физики, а также играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений [3, с. 63,109].

Первыми исследователями линейного варианта уравнения (0.1) являются Л. Бианки [64] и О. Никколетти [66], предложившие распространение на случай любого п метода решения задачи Коши, разработанного в свое время Б. Риманом для уравнения иху = а (х, у) их + Ь (х, у) иу + с (х, у)11 + /(х, у). (0.3).

Этот же метод потом разрабатывали Е. Лаэ [65] и М. К. Фаге [54]-[56], в том числе в связи с операторно-аналитическими функциями и проблемой эквивалентности дифференциальных операторов. Различные вопросы, относящиеся к линейному уравнению вида (0.1), изучались также С. С. Харибегашвили [57]-[63], В. Ф. Волкодавовым, И. Н. Родио-новой, А. В. Дорофеевым, Н. Я. Николаевым, В. Н. Захаровым [5] - [8], О. М. Джохадзе [9].

Начиная с 1990 года, тематика, связанная с линейным вариантом уравнения (0.1), развивается в работах В. И. Жегалова и его учеников В. А. Севастьянова, Н. А. Миронова, Е. А. Уткиной, М. П. Котухова, О. А. Кощеевой, Е. А. Сайгушевой ([10]-[26], [30], [31], [38]-[41], [4446], [49], [51], [52], [67]-[69] и др.). Результаты, опубликованные до 2004 года, отражены в монографии [19] и обзорной статье [22].

Предлагаемая диссертация посвящена исследованию вопросов разрешимости задач, в граничных условиях которых участвуют нормальные производные от искомой функции. При этом уравнение (0.1) является нелинейным, а рассматриваемая область образована характеристиками данного уравнения (подобные задачи называют обычно характеристическими).

Отметим, что нелинейные уравнения вида (0.1) встречаются при исследовании многочисленных процессов и явлений. Только в коллективной монографии [4, с. 6,33] для синус-уравнения Гордона (СГуравнение) ия-ии=!апи (0.4) указываются такие области его приложений: дислокации в кристаллах, джозефсоновские контакты, спиновые возбуждения в жидком гелии, наносекундные и более короткие резонансные оптические импульсы, волны зарядовой плотности в одномерных органических проводниках, модели теории поля, двумерные вихревые модели в статистический механике. Известны также двойное СГ-уравнение [4, с. 124] и&bdquo- - и&bdquo- = ±-(5шС/ + - Шп — и) (0.5) и тройное [4, с. 125].

Ua — U" = SinU + +1Sin|U, (0.6) которые описывают распространение строго резонансных пиков оптических импульсов сквозь невозбужденную поглощающую среду. Уравнения типа (0.5) встречаются также [4, с. 125] в квазиодномерной конденсатной теории волн плотности заряда. Левые части уравнений.

0.4)-(0.6) в преобразованных переменных? = > Л — ~~~ записываются в форме U^, то есть все эти уравнения приобретают вид.

0.2). Поэтому некоторые авторы СГ-уравнением называют (см., например [1, с. 323]) соотношение.

Uxy=SinU. (0.7).

Рассматриваемые граничные условия представляют собой значения нормальных производных на границе области. Такие задачи соотносятся с условиями задачи Гурса подобно тому, как в теории эллиптических уравнений условия задачи Неймана соотносятся с условиями задачи Дирихле. В математической физике принято еще называть условия задач Дирихле и Неймана условиями первого и второго рода соответственно [48, с.41]. Вероятно, первая задача с нормальной производной в граничном условии для уравнения (0.3) встречается в работе [42]. При этом основной является задача для уравнения смешанного типа, а ситуация с нормальной производной на характеристике носит вспомогательный характер и рассматривается лишь в той мере, в которой это необходимо для основной задачи. В публикациях [57]-[63] для уравнения (0.3), в том числе векторно-матричного, изучаются в характеристических и нехарактеристических областях задачи с граничным соотношением вида aUx+pUy+7U = f. (0.8).

Очевидно, если это соотношение задано на характеристике х = const и, а = 1, Р = у = 0, то мы имеем граничное условие обсуждаемого вида, представляющее собой как бы предельный случай формулы (0.8). В [57]-[63] применяются методы функционального анализа и выделяются лишь случаи однозначной разрешимости в определенном функциональном классе. В работах же [11], [18], [40], [69] используется другой подход, и выясняется, что характер разрешимости рассматриваемых задач существенно зависит от коэффициентов уравнения: решение может быть не только единственным, но и содержать в себе определенный произвол.

Именно в связи с работами [11], [18], [40], [69] и возникла тема данной диссертации: мы изучаем возможности распространения результатов этих работ на случаи нелинейных уравнений вида (0.1). Таким образом, содержание предлагаемой диссертации можно рассматривать как дальнейшее развитие результатов, полученных в последние годы другими авторами для линейных уравнений.

В процессе проводимых в диссертации рассуждений просматриваются определенные аналогии с результатами из [11], [18], [40], [69] (см. также [19, гл. 2]). Как и в указанных работах, исследование основано на редукции изучаемых ситуаций к задачам Гурса. Поэтому первая глава, носящая вспомогательный характер, посвящена изложению в удобной для дальнейшего использования форме результатов, относящихся к задаче Гурса для уравнения (0.1) с нелинейным оператором F (U). Для искомой функции и правой части уравнения (0.1) в рассуждениях требуется определенная гладкость.

В связи с этим будем через С (а'.0 обозначать класс функций с.

3А±+А, непрерывными производными ——— для всех 0<�рк<�ак, к =, п. В дх{' .дх&bdquoнаиболее простом случае п = 2 задача Гурса рассматриваемая в области ?) = {х0 < х < х1, у0 < у < ух}, заключается в отыскании функции х,^)бС (и)(?))ПС (М)(/)), являющейся в Б решением уравнения (0.2) и удовлетворяющей условиям и{х, у0) = срх{х), х е [х0,х,], и (х0,у) = <�р2(у), уе[у0,ух]. (0.9).

В силу непрерывности 17(х, у) в В должно выполняться равенство <РхЫ = <�р2(у0).

Функция в (0.2) определена в ВхТ, где.

Т = {-оо < гк < +оо, к = 1,2,3}. Путем линейной замены переменных х = х0 + у = у0+т],(к= (к0 +вк (к = 1,2,3) можно привести (0.2) к аналогичному уравнению в переменных^, г, дх, вг, въ. Поэтому далее мы ограничимся случаем х0 = у0 = =0 (к = 1,2,3). Граничные же условия (0.9) приобретают вид и (х, 0) = ъ (х), и (0,у) = <�р2(у), ъ (Р) = ъ (0). (0.10).

В случае, когда / линейна по, то есть уравнение (0.2) имеет вид иху (*> у) = у) их (х, у) + Ъ{х, ууи у {х, у) + с (х, у) Ц (х, у) + g (x, у), задача ранее изучена методом последовательных приближений [48, с. 122]. При этом приближения равномерно сходятся к единственному решению, определяемому во всей области Б.

В [50, с. 205] этот же метод применен в случае нелинейной функции /, удовлетворяющей в «ячейке».

0<�х<�х, 0<�у<�ух, р<�Ь, рх<�Л + Ь', иу<�Л + Ь" (0.11) условию Липшица.

IДх, у, ии-, и-)~лх, у, и~, w-, и-) <

Щи>-и" +и—и-'+и- -w-). (0.12).

При этом Я= max (1^,'Ur/?'I), b, b', b" ~ любые положительные числа, А.

0,*,][0,у,] некоторая положительная постоянная. Получаемое при этом решение строится в прямоугольнике R, определяемом неравенствами.

0<�у<�к, h = mm (x,^~, Ь =), к = тт (ух,^-, Ь =), м 2л/Я2 +ЬМ м 2лЫ + ЬМ.

М — верхняя граница ]/] в ячейке (0.11). Как мы видим, решение получается здесь в прямоугольнике, который может совпадать с D лишь в случае достаточно больших b, b', b", но в остальном эти константы остаются неопределенными. Это обстоятельство не позволяет нам применить данный результат к исследованию более сложных задач во второй главе. В § 1 главы 1 доказано, что метод последовательных приближений все же позволяет получить нужный результат, если функция / задана на множестве DxT с неограниченными компонентами tx, t2, t2 А именно, имеет место.

Теорема 1.1. Если (рх еС'[0,х], фг еС1[0,у], а функция f (x, y, tx, t2, t3) непрерывна в D по (х, у) и ограничена на мноэюестве DxT, где Т -{-оо.

Приведены примеры, показывающие, что при нарушениях условий этой теоремы решение может быть не единственным, или процесс последовательных приближений не сходится.

В §§ 2−3 показывается, каким образом теорема 1.1 может быть распространена на случай любого конечного п.

Автор не претендует на новизну сформулированных в первой главе результатов, поскольку нет уверенности в том, что они не были получены ранее: ведь рассматривается очень известная задача. С другой стороны, без этих результатов рассуждения из следующей (второй) главы не могут быть обоснованы.

Во второй главе формулируются и исследуются задачи для уравнений вида (0.1) с граничными условиями, предусмотренными в названии диссертации. При этом наложенных на ^(17) в первой главе условий оказывается недостаточно: оператор ^(?7) должен допускать выделение линейной части, а остающееся нелинейное слагаемое имеет заданную структуру по производным от искомой функции. Характер разрешимости задач зависит от коэффициентов линейной части, а в схеме рассуждений появляется для каждого случая необходимость в неоднократном применении метода последовательных приближений.

В случае двух независимых переменных вводятся функции а (х, у), Р (х, у)<�аС (Ц), с помощью которых рассматриваемое уравнение должно представляться в виде иху+аих +Ьиу +си = Дх, у, и, аих,/Зиу). (0.13).

Если считать х0 =у0=0 (это не нарушает общности рассуждений), то требуется еще, чтобы выполнялись условия а (х, 0) = 0, хе[0,Х1], /3(0,У) = 0, ^[0,^]. (0.14).

Функция /(х, у, г,) непрерывна в ?> по х, у, определена и ограничена при любых значениях ??(? = 1,3) из интервала (-оо,+оо), а ткаже удовлетворяет по ^ условию Липшица.

Задача 2.1 заключается в отыскании решения уравнения (0.13) по граничным условиям, получающимся путем замены в (0.10) хотя бы одного из значений искомой функции значением ее нормальной производной из набора иу (х, 0) = ^(х), хе[0,х, 1 их (0,у) = у2(у), у^[0,у{]. (0.15).

Если условия типа (0.9) обозначить через Г, а типа (0.15) — через Ы, то в сформулированной задачи содержатся три варианта: ГЫ, КПГ и NN. Поэтому для редукции к задаче Гурса (ГГ) нужно уметь по соотношениям (0.15) отыскивать функции <р1 (х), (р2 О). Это делается с помощью исследования интегральных уравнений, которые являются нелинейными и могут быть при соответствующих условиях решены методом последовательных приближений. Указанные условия имеют вид:

6(0,^*0, у<=[0,уг]- (0.16) а (л, 0)*0, х е [0,*,]- (0.17).

6(0,.у) = 0, с (0,у)Ф0, ^шт|с (0,^)|<15 у.е.[0,ух], (0.18) ф-, 0) = 0, с (х, 0) Ф 0, А тт|с (х, 0)| < 1, ^[О,^], (0.19).

0) + 6(0,0)^! (0) = (0) + а (0,0)у/2 (0). (0.20).

В результате выведена.

Теорема 2.1. Варианты ГЫ и ЫГ однозначно разрешимы при условиях (0.16) и (0.17) соответственно. Вариант NN разрешим с точностью до одной произвольной постоянной при условиях (0.16), (0.17). Этот же вариант разрешим однозначно либо при (0.16), (0.19), либо при (0.17), (0.18), а однозначная разрешимость при дополнительном условии (0.20) имеет место, если выполняются соотношения (0.18), (0.19).

Далее в этой главе рассматриваются случаи, относящиеся к п>Ъ. В случаях и = 3,4 аналоги уравнения (0.13) имеют соответственно вид u^ +oUxy + bUxy+cUy2+dUx+eUy+gUz+hU = f{x, у, z, U, Wx, MUy, vUz, aUxy tfiU"tjU^. (0.21).

Uxyzt + aUxyz + bUxyl + cUX2t + dUyzl + eUxy + 1UXZ + gUxl + + hUyz + kUyl + sUzl + mUx + nUy + pU z + qU, + rU =.

0.22) /(*> y, z, t, U, axUx, a2Uy, aJJ z, aAUn a5Uxy, a6Uxz, anUxt,.

8 Uy, a9 U yt, al0Uzt, au Uxyz, a12 Uxyt, auUxzt, au Uyzl).

Функции X, fi, v, a, p, y, ak, aks^C{0,m{D) и удовлетворяют условиям, обобщающим (0.14).

Для любого конечного «аналогом (0.21) — (0.22) будет уравнение ихл. х» +L (U)= f (Xl,., x", V), (0.23) где.

L (U) = aUXi Xi[ +аих^л +. + almUXi^ + a]UХх ^ г + a22U +. + a2mUX}^ +. + arlUXi +a" 2-lUXi +. +.

В случае п = 3 решение отыскивается в области ?> = {0 < * < л, 0<.y1,0.

Uх (0, у, z) = у/ъ (у, z), ?/(x, 0, z) = <р2 (х, z), Щх, .у, 0) = <р, (х, у), (0.24).

Ux (0,y, z) = y/^y, z), Uy (x, 0, z) = i/2{x, z), U (x, y,0) =.

Для отыскания <рх, ср2, сръ здесь получаются интегральные уравнения на гранях х = 0, у = О, 2 = 0. На грани х = 0 условия, играющие роль (0.16)-(0.19) (с добавленными к ним соотношениями, обобщающими (0.14)), имеют вид.

1) у (0,у, г) = 0, с (0,у, г)*0.

2) у (0,у, г) = 0, ^(0,у, 2) = 0> У (0,у, г) = 0, с (0,у, г) = 8{0,у, 2) = 0, е (0,у, г)*0. (0.27).

3) у (0,у, г) = 0> /л (0,у, г)-0, у (0,у, 2) = 0, с (0, у, г) = е (0, у, 2) = 0, ^(О, .у, 2) * 0.

4) у (0,у, г) = 0, М (0,у, г) = 0, у (Р, у, г) = 0, с (0,у, 2) = е (0,у, г) = ^(О,* г) = 0, /2(0,у, 2)*0, Лтш|й (0,у,?) < 1. Для у = 0, 2 = 0 записываются аналоги 1) — 4).

Наиболее простым является вариант №Т. Здесь достаточно (0.27) и верна.

Теорема 2.2. Если <рх еС (и)(?), р2 еС (и)(7), ^еС^Й, у (0,у, 2) = 0, /л{0,у, г) = 0, у/(0,>", г) = 0, а функция / удовлетворяет условию Липшица, то в области й решение задачи ИГГ при всех вариантах условий 1) — 4) определяется однозначно. При этом в случае 1) требуется выполнение условий согласования (рх (0, у) = <р3 (0, у), сръ (0, г) = (р2 (0, г).

В варианте ЫЫГ требуется комбинировать варианты 1) — 4) при х = 0 и у = 0. Всего их восемь: 11, 12, 13, 14, 22, 24, 33, 44 (пишем номера вариантов подряд без скобок и отбрасываем комбинации, получающиеся переменой ролей соответствующих случаев на X, У. Отметим особо, что есть неосуществимые варианты, например, в случае 23 ^(0, у, г) = 0 и g (x, Q,2)*:Q. Каждый из реализуемых вариантов 11, ., 44 характеризует наличие произвольных функций и условий согласования при редукции к задаче Гурса. Выпишем комбинации, характеризующие случаи 11,., 44, в виде таблицы.

Комбинации Произвольные функции Условия согласования.

11 <Рг (0,г) Ч> (0,>0 = Рэ 4>г О, 0) — <рх (х, 0), (р3(0,г) = <р2 (0, х).

12 <�р2(0,г).

13 <Рг (°>2) (0, >0 = <Ръ (0, У), (р2 (х, 0) = <р, (х, 0), <�р3(0,г) = <�р2(0,г).

14 (р2{ 0,2) <Рх (0>У) = <Рз <�р3(0,г) = <�р2(0,г).

22 <р2 (0,г) <�р3(0,г) = <�р2(0,г).

24 Отсутствуют.

33 Однозначная редукция <Р (0) У) — <Ръ у), (р2(х, 0) = <р1 (х, 0),.

44 Однозначная редукция Отсутствуют.

Таким образом, верна.

Теорема 2.3. Если р, еС{и)(2), у/2 е С (1Л)(Г), г3еС (и)(Х), /?(х, 0, г) = 0, Л (х, 0, г) = 0, г) = 0, а функция / удовлетворяет условию Липшица, то в области Б в случаях 33, 44 решение задачи NN. Г определяется однозначно. В варианте 24 решение определяется с точностью до произвольной функции <ръ{0,z), в остальных случаях с точностью до произвольной функции cp2{Q, z). Условия согласования отсутствуют в комбинациях 24, 44. Одно такое условие — в 22- по два — 12, 14, 33- три- 11, 13.

Для варианта NNN с помощью кодирования, аналогичного использованному в теореме 2.3 (здесь оно трехзначное), формулируется.

Теорема 2.4. Если угх еC (U)(Z), еС (и)(7),^3еС (1Л)(Х), а (х, у,0) = 0, Я (х, у, 0) = 0, /и (х,^, 0) = 0, а функция / удовлетворяет условию Липшица, то в области D в случае 444 решение задачи NNN определяется однозначно. В вариантах 122, 144, 334 решение определяется с точностью до двух произвольных функций (<�рхф, у), (p3(0,z) — в 122, 124- #>,((), х), «6 334). В остальных случаях с точностью до трех произвольных функций срх (0, у), (р2 (х, 0), (ръ (0, z). Условия согласования отсутствуют в комбинациях 334, 444. Два таких условия — в 122, 134, 144- три-111, 112, 113, 114, 133.

В пространстве четырех переменных ситуация еще более усложняется, но все можно просчитать подобно тому, как это делается для п = 3. При этом появляются еще произвольные функции, зависящие от двух независимых функций (в различных сочетаниях). В случае конечного п излагаются лишь краткие сведения относительно схемы рассуждений и получаемых результатов. Добавим к сказанному, что после редукции каждого варианта рассматриваемых задач к задачам Гурса, эти последние опять, в соответствии с результатами первой главы, приходится сводить к интегральным уравнениям и применять к ним метод последовательных приближений.

К числу основных в математической физике относится еще задача с.

QJJ граничным условием вида — + hU =.

3 мы на ней не останавливаемся.

Наконец, в третьей главе рассматривается уравнение Лиувилля.

Uxy = kexpU, к = const > 0. (0.28).

При — оо < и < +оо правая часть здесь неограниченна и условие Липшица для нее тоже не выполняется. Следовательно, условиям теорем из предыдущих глав это уравнение не подчиняется. Но мы здесь не используем метод последовательных приближений, а на основе известного [1, с. 321] представления решений ехри Л PWOO (0.29) строим решение рассматриваемых задач в явном виде. Функции у/, ср в (0.25) являются произвольными, но мы еще предполагаем, что р (0) = ^(0) = 1. (0.30).

В прямоугольнике D = {Q < х < а, 0 < у <Ь} рассмотрены следующие задачи.

Задача 3.1 (Гурса) с условиями.

U (x, 0) = М (х), * б Р = [0,а], U (0, у) = v (y), у = [0,6], ^(0) = v (0). (0.31) Задача 3.2 с условиями, получаемыми заменой в (0.31) по крайней мере одного значения искомой функции значением ее нормальной производной из набора.

Uy (x, 0) = хеР, Ux (0,y) = v, 00, (0−32).

Задача 3.3 об отыскании решения уравнения (0.28) по условию U (0,0) = 0 и соотношениям.

Uy (x, 0) + (х)expU (х, 0) = сох (х), /г,(jc) е С[0,а], /*,(*) > О,.

0.33).

Ux (0,y) + h2(y)expU (0,y) = a>2(y), Щу) е С[0,6], h2(y)> 0. Задача 3.4, где решение должно быть получено по условиям, получаемым из (0.31) заменой по крайней мере одного значения искомой функции значением второй нормальной производной из набора.

U}y (x, 0) = M2(x), хеР, U^(0,у) = и2(у), yeQ. (0.34).

Последнюю задачу можно рассматривать как определенное продолжение исследований Е. А. Уткиной [53]. Решение задачи 1 построено в виде exp U (х, >>) =-+ -? ^.

2expt/0 — Aj" [exp//(?)]i/? J[expv (77)]t/^}2 о о где U0 = U (0,0). Очевидно, и0 известно из (0.31). При этом для к предполагается выполнение неравенства, а Ь к |[ехр//(Ш? J[exp v{r?)]drj < 2 exp U0. (0.36) о о.

Для задач 3.2, 3.4 по аналогии с предыдущей главой рассматриваются варианты FN, NT, NN и выводятся решения, например, в случае ГК задачи 2 этим решением является ехР —-(037) к{2 ехр МО) — [v, (у) — У, т][ехрр (?)т* 0.

При этом выполняется неравенство у, (b)-vx (0)] J[exp №№ < 2 exp //(0), (0.38) о играющее роль (0.36).

Заметим, что, в отличие от главы 2, здесь произвольные постоянные в решениях задач 3.2, 3.3 не появляются, решение же задачи 3.4 оказалось неединственным.

В заключение кратко перечислим основные результаты работы.

1. В пространствах различного числа измерений получены условия на правые части уравнений вида (0.1), позволяющие исследовать вопросы разрешимости рассматриваемых задач.

2. Разработан способ редукции этих задач к задачам Гурса.

3. Построена картина их разрешимости, оказавшаяся многовариантной.

4. Для уравнения Лиувилля построены в явном виде решения задач с граничными условиями первого, второго и третьего рода.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях [25], [27], [28], [32] - [37].

Результаты, по мере их получения, докладывались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета и на конференциях: Международная молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2002», Казань 28.1101.12.2002; Шестая Казанская международная школа — конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань 27.0604.07.2003; Седьмая Казанская международная школа — конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань 27.0604.07.2005; Четвертая молодежная научная школа — конференция «Лобачевские чтения — 2005», Казань 16.12−18.12.2005 посвященная 100-летию со дня рождения профессора Б. Л. ЛаптеваПятая молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения — 2006», Казань 28.1102.12.2006; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». — Самара, 2007 г.

1. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1982.-336с.

2. Бондаренко Б. А., Саидкаримова Г. У. Задача Гурса для уравнений Манжерона и ее связь с задачей Гурса для обыкновенных дифференциальных уравнений // Качественная теория сложных систем. -Л., 1986.-С. 102−108.

3. Бондаренко Б. А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. — Ташкент: Фан, 1987. 146с.

4. Буллаф Р., Кодри Ф. и др. Солитоны. М.: Мир, 1983. — 408с.

5. Волкодавов В. Ф., Родионова И. Н. Основные краевые задачи для одного уравнения третьего порядка в трехмерной области специального вида // Дифференц. уравнения. 1993. — Т. 29, № 8.-С. 1459−1461.

6. Волкодавов В. Ф. Дорофеев А. В. Задача Коши для одного вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 1993. — № 11. С. 6−8.

7. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я., Быстрова О. К., Захаров В. Н. Функции Римана для некоторых дифференциальных уравнений в 11-мерном евклидовом пространстве и их применения. Самара: «Самарский университет», 1995. — 76 с.

8. Волкодавов В. Ф., Захаров В. Н. Функция Римана для одного класса дифференциальных уравнений в трехмерном пространстве и ее применения. — Самара, 1996. — 52с.

9. Джохадзе О. М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных //Дифференц. уравнения. 2004. — Т. 40, № 1. — С. 58−68.

10. ЖегаловВ. И. Трехмерный аналог задачи Гурса //Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа — Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР 1990. — С. 94−98.

11. Жегалов В. И. Связь граничных значений задачи Гурса с нормальными производными // Тез. докл. всесоюзной конф. «Условно-корректные задачи матем. физики и анализа». Новосибирск, 1992. -С. 192.

12. Жегалов В. И., Севастьянов В. А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 10. С. 1429−1430.

13. Жегалов В. И. Структура решений одного уравнения в частных производных // Дифференц. уравнения. — 1997, Т. 33. № 2. -С. 1704−1705.

14. Жегалов В. И., Севастьянов В. А. Задача Гурса в п-мерном пространстве // Редакция Сиб. матем. журнал Новисибирск, 1997.— Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, № 2290-В97. — 4с.

15. Жегалов В. И. О трехмерной функции Римана // Сиб. матем. журнал 1997.-Т. 38, № 5.-С. 1074−1079.

16. Жегалов В. И., Малышев Ю. В. О структуре решений некоторых уравнений в частных производных // Тезисы докл. научн. школы-конф., поев. 100-летию Б. М. Гагаева. Казань, 1997. — С. 92−93.

17. Жегалов В. И., КотуховМ. П. Об интегральных уравнениях для функции Римана // Изв. вузов Математика. 1998. — № 1: — С. 26−30.

18. Жегалов В. И., МироновА. Н. Трехмерные характеристические задачи с нормальными производными в граничных условиях// Дифференц. уравнения. 2000. — Т. 36, № 6. — С. 833−836.

19. Жегалов В. И., МироновА. Н. Дифференциальные уравнения состаршими частными производными.-Казань: Казанское матем. о-во., -2001. -226с.

20. Жегалов В. И., Баринова Н. В. Каскадное интегрирование в трехмерном пространстве // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2001. — № 11. — С. 90−92.

21. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка с тремя независимыми переменными // Дифференц. уравнения. 2002. — Т.38. — № 1. — С.93−97.

22. Жегалов В. И. Об одном направлении развития метода Римана // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Серия математическая. -2004.-Вып. 31.-С. 9−18.

23. Жегалов В. И., Кощеева О. А. Понижение порядка одного класса уравнений с частными производными // Докл. РАН. 2006. — Т. 406, № 5. -С. 593−596.

24. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Трехмерная нелокальная задача с нормальными производными в граничных условиях // Изв. РАЕН. Дифференц. уравнения.- 2006. № 11. С. 86−87.

25. Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. Построение решения задачи Гурса для уравнения Лиувилля // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2006. Т.34.-С.96−100.

26. Жегалов В. И., Сайгушева Е. А. Об одном классе линейных неоднородных уравнений с частными производными // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2007. — Т. 36. — С. 79−80.

27. Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. Три задачи для уравнения Лиувилля // Тез. докл. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения. Самара, 2007. — С. 49−52.

28. Жегалов В. И., Кунгурцев А. А. О характеристических граничных задачах для уравнения Лиувилля // Изв. вузов. Математика.2008.-№ 11. С. 40−47.

29. Карташов А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисл. — М.: Наука, 1986.-272с.

30. КотуховМ. П. О некоторых дифференциальных свойствах решений одного уравнения в частных производных // Изв. вузов. Математика. -1996.-№ 5.-С. 59−62.

31. Кощеева О. А. Один случай построения функции Римана для уравнения Бианки // Тез. докл. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Самара, 2007. — С. 68−70.

32. Кунгурцев А. А. Характеристическая задача с нормальными производными для квазилинейного гиперболического уравнения // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2002. Т.18.-С.49−51.

33. Кунгурцев А. А. Характеристические задачи с нормальными производными для одного трехмерного гиперболического уравнения // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2003. Т. 19.-е. 137−138.

34. Кунгурцев А. А. Характеристические задачи с нормальными производными для одного четырехмерного гиперболического уравнения //Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2005.-Т.ЗО.-с.91−93.

35. Кунгурцев А. А. Об одном п-мерном варианте задачиГурса //Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского Казань, 2005. Т.31.-е.83−85.

36. Кунгурцев А. А. Об одном гиперболическом уравнении в трехмерном пространстве // Изв. вузов. Математика. 2006. — № 3. — С. 76−80.

37. Кунгурцев А. А. О характеристических граничных задачах для квазилинейного аналога уравнения Бианки в четырехмерном пространстве // Казанский ун-т. Казань, 2007. — 25с. — деп. в ВИНИТИ 27.06.2007, № 681-В2007.

38. Миронов А. Н. О построении функции Римана для одного уравнения в n-мерном пространстве // Изв. вузов. Математика. 1999. — № 7. — С. 78−80.

39. Миронов А. Н. О связи граничных значений задачи Гурса с нормальными производными третьего порядка // Изв. вузов. Математика. -1999.-№Ю.-С. 23−26.

40. Миронов А. Н. Задачи типа Гурса с нормальными производными в краевых условиях. Дисс. .канд. физ.-мат. наук. -Казанск. ун-т, 1999. 148 с.

41. Миронов А. Н. Метод Римана для уравнений со старшей частной производной в R" ll Сибирский матем. журнал.-2006. Т.47. — № 3. -С. 584−594.

42. Невоструев Л. М. Задача Неймана для общего уравнения Лаврентьева Бицадзе // Дифференц. уравнения. — 1973. — Т. 9, № 2. -С. 320−324.

43. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: ГИФМЛ, 1961.-311с.

44. Севастьянов В. А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика. — 1997. № 5. -С. 69−73.

45. Севастьянов В. А. Вариант метода Римана для одного дифференциального уравнения в n-мерном евклидовом пространстве. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казанск. ун-т, 1997. — 127 с.

46. Севастьянов В. А. Об одном случае задачи Коши // Дифференц. уравнения. 1998. — Т. 34, № 12. — С. 1706−1707.

47. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. -М.: ГИФМЛ, 1959.-368с.

48. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. — 735 с.

49. Тихонова (Кощеева) О. А. О конструктивном решении одной задачи Коши // Тр. матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2007. — Т. 36.-С. 216−218.

50. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. -М.: ИЛ, 1957.— 443с. (Второе стереотипное издание: М.: Ком. Книга, 2007 г.).

51. Уткина Е. А. Об одном дифференциальном уравнении со старшей частной производной в трехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. 2005. — Т.41. — № 5. — С.697−701.

52. Уткина Е. А. К общему случаю задачи Гурса // Изв. вузов. Математика. 2005. — № 8. — С. 57−62.

53. Уткина Е. А. Новые варианты характеристических задач для псевдопараболических уравнений//Дисс. .канд. физ.-мат. наук. Казань, 1999.-140 с.

54. Фаге М. К. Дифференциальные уравнения с чистосмешанными производными и главным членом // Докл. РАН. 1956. — Т. 108, № 5. С. 780−783.

55. Фаге М. К. Задача Коши для уравнения Бианки // Матем. сб. 1958.Т. 451 (87), № 3. — С. 281−322.

56. Фаге М. К., Нагнибида Н. И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов. — Новосибирск: Наука, 1987.-290с.

57. Харибегашвили С. С. Задачи Гурса для одного класса гиперболических систем // Дифференц. уравнения. 1981. — Т. 17, № 1. — С. 157−164.

58. Харибегашвили С. С. О задачах типа Гурса для одного класса систем уравнений гиперболического типа второго порядка // Дифференц.уравнения. 1982. — T. 18, № 1. — С. 152−166.

59. Харибегашвилли С. С. О разрешимости задачи Гурса для нормально гиперболических систем второго порядка с переменными коэффициентами//Диф ференц. уравнения. 1983. — Т19, № 1.-С. 134−135.

60. Харибегашвили С. С. Об одной граничной задаче для нормально гиперболических систем второго порядка // Дифференц. уравнения. 1984. — Т. 20, № 2. — С. 269−272.

61. Харибегашвили С. С. Об одной граничной задаче для гиперболического уравнения второго порядка // ДАН СССР. — 1985. Т. 280, № 6.-С. 1313−1316.

62. Харибегашвили С. С. Об одной граничной задаче для нормально гиперболических систем второго порядка с переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1985. — Т. 21, № 1. — С. 149−155.

63. Харибегашвили С. С. Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического типа. Автореферат дисс.. д-ра физ.-мат. наук. — Тбилиси, 1986. — 31 с.

64. Bianchi L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineare alle derivate parziali d’ordine superiore //Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. Sc. fis, mat. e nature. 1895. — Yol. IV, 1 sem. — P. 89−99, 133−142.

65. LahayeE. La metode de Riemann applique a la resolution d’une categorie d’equations lineares de troisieme ordre // Bull. cl. sei. Acad. Roy. de Belg. 1946. — 5 serie. — V. 31. — P. 479−494.

66. Niccoletti O. Suif estensione del metodo di Riemann alie equazioni lineare a derivate parziali d’ordine superiore // Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. Sc. fis, mat. e nature. 1895. — 1 sem. — P. 330−337.

67. Utkina E. A. On a partial differential equation in 4 dimensional Eucliden space // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2005. — V.18. -P.151−175.