Математические модели сложных колебаний балок в условиях знакопеременных и ударных нагрузок

краткий исторический обзор исследований по теме и основное содержание работы).

В связи с появлением сложных инженерных и технических сооружений и последние десятилетия к вопросам динамики конструкций проявляется особый интерес. Спектр применения балочных конструкций также продолжает активно расширяться. Так, развитие авиационной, строительной и морской техники выдвинуло в число наиболее актуальных задач изучение поведения балок, их динамики и устойчивости при воздействии внешних нагрузок. В различных областях техники (строительство мостов, зданийжелезнодорожных путей), используются балочные конструкции, работающие под действием динамических и ударных нагрузок. Стержни и балки широко применяются и в машиностроении (строительство валов, барабанных аппаратов и т. п.). Резко возрастают требования к оценкам прочности и экономичности различных конструкций. Одним из факторов, ограничивающим прочность, является потеря устойчивости ее элементов, то есть изменение их формы, а не полное разрушение материала.

Теоретические исследования по изгибу деформированных стержней пе были опубликованы, пока Якоб Бернулли не получил необходимые соотношения для кривизны при изгибе и дифференциальное уравнение статического изгиба (1695), которое потом исследовал и интегрировал Леонард Эйлер (1744). Так было получепо дифференциальное уравнение поперечных колебаний балки Эйлера-Бернулли [1].

Свой значительный вклад в изучение колебаний балок и стержней в XVIII веке внесли такие ученые, как: Лагранж, Юнг, Навье, Клапейрон, Сен — Венан.

Исследованием изгибных колебаний и волн в стержне занимались Ж. Фурье [2] и Ж. Буссинеск [3, 4] уже в XIX веке. Тогда же русская школа механики занимает очень серьезные позиции в мировой науке. Ярким ее представителем был.

Дмитрий Иванович Журавский [5], ставший одним из основателей науки о сопротивлении материалов и конструкций. Исследователь Н. Л. Белелюбский [6| занимался расчетами мостов. Так же необходимо отметить труды таких ученых, как Н. П. Петров [71, Д. К. Бобылев [8, 9], В. Л. Кирпичев [10], Ф. С. Ясинский [ 11, 12], которые занимались изучением балок. Н. Г1. Петров исследовал проблемы прочности и колебаний рельсов. В. Л. Кирпичев известен своими работами по строительной механике. Феликс Станиславович Ясинский (1856 — 1899) составил ряд проектов железнодорожных мостов и других сооружений, впервые обосновал значение устойчивости сжатых стержней. Д. К. Бобылев создал курс аналитической механики. Таким образом, постепенно формируется школа теоретической механики.

В начале XX века, в результате известных исторических событий, многие ученые, не приняв революцию, покинули Россию. Среди них был и С. П. Тимошенко. Обобщение классической теории поперечных колебаний стержней, основанное на учете влияния инерции вращения элементов стержня и деформации поперечного сдвига, было получено С. П. Тимошенко в 1916 г. [13], что более известно по английской публикации 1921 г. Его работы «О продольном изгибе стержней в упругой среде» [14], «Устойчивость стержней, пластин и оболочек» [15] и многие другие и в настоящий момент представляют огромный интерес для исследователей этого класса задач. СЛТ. Тимошенко общепризнанно считается автором этой уточненной теории, хотя учет инерции вращения был сделай ранее Дж. Рслеем (1877), и впоследствии было обнаружено, что аналогичный способ учета инерции вращения и сдвига был известен еще ранее Жану Брессу.

Что же касается тех ученых, кто остался в России, они стали основоположниками советской школы механики. Хочется отметить такую сс характерную черту: исследования балок вплоть до первой половины 70-х годов прошлого века были неразрывно связаны с исследованием пластин и оболочек, причем первоначально в основном рассматривались задачи статики. В этот период все явления рассматривались учеными разных стран в рамках теории малых упругопластических деформаций, т. е. соотношения между деформациями и перемещениями, с одной стороны, и между деформациями и усилиями, с другой, следовало полагать линейными. Постепенно возникает практическая необходимость учитывать большие прогибы. Появляются современные материалы, упругие свойства которых не позволяют применять классический закон Гука. Эти факторы, а также потребность в исследованиях конструкций, имеющих различного вида нарушения и неоднородности в структуре, привели к необходимости рассмотрения нелинейных соотношений между деформациями и перемещениями (геометрическая нелинейность), а также деформациями и усилиями (физическая нелинейность). Можно отметить огромный вклад в развитие теории таких ученых, как: В. В. Новожилов [16, 17], В. 3. Власов [18], А. С. Вольмир [19−201, X. М. Муштари и К. 3. Галимов [21], вВ. Болотин [22−23], М. С. Корнишип [241, П. М. Огибалов и М. А. Колтунов [25], А. Л. Гольденвейзер [26], Э. И. Григолюк, В. В. Кабанов [27|, А. А. Илыошин [28], К. Ф. Черных [29, 30].

Следует отмстить, работы таких ученых, как И. А. Цурпал и Н. А. Шульга [311, которые вывели основные уравнения теории тонких пологих оболочек с уче том физической нелинейности. Исследования Н. И. Дедова, М. С. Корпишипа и II. II. Столярова [32], которыми были получены дифференциальные уравнения больших прогибов прямоугольных в плане пологих оболочек из нелинейного упруго сжимаемого материала (т.е. учтено совместное влияние геометрической и физической нелинейностей). А также работу В. А. Крысько [33], в которой рассматривается теория неоднородных гибких оболочек с учетом поперечных сдвигов. В монографии К. Васидзу [34], с единых позиций излагается построение вариационных принципов в теории упругости и пластичности, причем рассмотрено их приложение к конкретным задачам. Следует упомянуть также работы В. А. Крысько и А. А. Сопенко [35], Менга, Ванга и Ли [36], Л. А. Аголовяна [37], До гаки и Пека [38].

Особый раздел теории колебаний представляет собой исследование нелинейных колебаний, имеющих важные специфические свойства. Такого рода движения могут возникать в пластинах, оболочках и балках при больших перемещениях, когда деформации и перемещения связаны нелинейными соотношениями. С другой стороны, деформации могут лежать за пределами применимости закона Гука, и нелинейно зависеть от усилий.

Одними из первых публикаций в этом направлении являются книги Л. С. Вольмира [39], Б. Я. Кантора [40], в которых авторы интересуются именно нелинейными колебаниями пластин и оболочек. Эта область представляет одну из частей общей нелинейной механики твердых деформируемых тел, или, в более широких рамках, нелинейной механики сплошных сред. Одним из важных практических приложений в этом направлении является вопрос о поведении пластин и оболочек при импульсных воздействиях. Так же этому вопросу посвящены работы А. М. Варыгина [41], и А. В. Лапшина [42]. В то же время при рассмотрении периодических колебаний может идти речь о некотором установившемся движении системы. В задачах о динамическом пагружеиии наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе — перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению. Подобное явление особенно характерно для оболочек и носит название хлопка или прощелкивания. Хлопок оболочки сопровождается, как правило, значительными перемещениями. Поэтому изучение поведения пластин и оболочек при импульсных воздействиях будет достаточно полным лишь в том случае, если оно проводится для больших прогибов, с позиций нелинейной теории.

Что же касается непосредственно теории балочных конструкций, то, начиная с 70-х годов прошлого века, она снова начинает активно развиваться, выделяясь постепенно в отдельную область исследований. Здесь можно отмстить работы X. Н. Эйбрамсона, X. Дж. Пласса, Э. А. Риппергера [43], Л. Коллатца [44]. Следует выделить работу Шпехта и Крампа [45], в которой подробно рассмотрен вопрос влияния показателей свободных колебаний на несущую способность балок. Интересными являются работы и Лакшмикумаран и Викерта [46], Ванга и Липа [47], первая из которых посвящена изучению вопроса потери устойчивости узких полос из различных материалов из-за несовершенства устройств транспортировки путем протяжки, вторая — систематическому анализу точного решения задач в строительной механике балочных конструкций различного назначения. В своей статье Редди [48] сделал краткий критический обзор различных моделей для анализа показателей напряженно-деформированного состояния балок Тимошенко. Были обсуждены динамические версии этих моделей, представлены результаты расчета собственных частот поперечных колебаний свободно-опертых упругих балок для разных моделей. Книга А. А. Ананенко и К. Л. Комарова [49] посвящена рассмотрению вопросов жесткои упруго-пластического анализа поведения балок под воздействием динамических нагрузок, превышающих статически допустимые. Приведено большое число примеров, исследуется область применимости моделей жестко — или упруго-пластических сред.

Широкий спектр практического применения балок приводит к тому, что реальные экспериментальные исследования играют важную роль при их изучении. Из экспериментов последних лет можно отметить опыты А. К. Зуева [50] с топкой стальной лентой, Кулькарни и Шаха [51] по испытанию на поперечный изгиб свободно опертых железобетонных балок при различных скоростях нагружепия. Интерес также представляют проведенные Брюнером [52] исследования по определению несущей способности при растяжении, сжатии и поперечном изгибе деревянных балок, а также балок со стальными накладками, прямоугольного и двухтаврового сечения с учетом пластических деформаций. Эти, а также многие другие опыты дают экспериментально накопленный материал, необходимый для проверки и подтверждения вычислительных экспериментов, с помощью которых появляется возможность изучения все более сложных случаев.

Вообще, следует отметить, что ко второй половине 60-х годов ХХ-го века были разработаны и систематизированы методы составления физико-математических моделей механических систем, такие, например, как метод Бубпова-Галеркина J53], [54]- метод Власова-Канторовича [33]- вариационные принципы [55], [34] и некоторые другие. В частности, по аналогии с разработанным В. М. Федоровым, А. В. Кривцовым и Е. К. Сурниной [56] алгоритмом для расчета плит па упругом основании с учетом накопления повреждений, появились алгоритмы для исследования балок с учетом расслоений и трещин. Кроме этого было обосновано применение методов вычислительной математики для проведения численных экспериментов, например, метода Рупге-Кутта [57], [58]- разностных схем [59]- ме тодов векторной алгебры [36] и некоторых других.

В работе [60] P. J. Holmes, J. Marsden используют метод Мельникова для исследования хаотических колебаний балки при внешнем иагружеиии. С помощью метода малых возмущений и спектра Ляпуновских показателей хаотические колебания эластичной балки под действием периодической внешней силы исследованы в работе [61] A. Maewal. Необходимо отметить работы Луо [62,63], где выведены условия существования хаоса в недиссипативпой среде. В работе Тапга и Довела [64] рассмотрено хаотическое поведение балки под действием внешней силы. В работах Я. Аврсйцевича, В. А. Крысько, А. В. Крысько и А. Ф. Вакакиса [6570] широко рассмотрены вопросы нелинейных колебаний пластин и оболочек. Существование и единственность решения динамической задачи для оболочек типа Тимошенко исследовано в [71,72]. В работе [73] построены геометрически нелинейные физико-математические модели для анализа показателей напряженно-деформированного состояния при поперечном изгибе упругих и упругопластических балок, претерпевающих малые деформации и умеренные вращения. На базе применения вариационного принципа виртуальных работ для упругих балок и использования вариационной формулировки Нила для упругопластических балок в случае одномерной задачи выведена система из четырех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений равновесия с соответствующими граничными условиями. Численное решение последних получено итерационным методом без введения ограничений типа Бсрпулли. Изложенный вариационный подход применим также к расчету упругих и упругопластических балок с переменным поперечным сечением. Что касается исследований, посвященных хаотическим состояниям системы, можно отмстить работы [74, 75], в которых представлены результаты исследования глобальных бифуркаций и хаотической динамики в нелинейных нсплоских колебаниях консольной балки под действием оссвых гармонических возбуждений и поперечных возбуждений на свободном конце балки. Получены основные уравнения задачи. Методом Бубнова-Галеркина получена нелинейная система с двумя степенями свободы. В исследовании системы использован метод пертурбаций. В нелинейных колебаниях обнаружено хаотическое движение. Численное исследование уточняет аналитические предсказания. А также исследуется динамическое поведение нелинейно-упругой балки при большом отклонении. Путем варьирования размеров и параметров нагрузки получены два тина нелинейных динамических уравнений. Хаотические критические условия заданы функцией Мельникова для модели с одной модой. Исследовано хаотическое движение. Проведено сравнение моделей с однократной и двойной модами. Показано, что использование моделей только с одной модой ведет в некоторых случаях к неверным выводам. Проанализированы условия применимости метода с одной модой.

Вопросу компьютерного моделирования упругих тел при больших деформациях посвящена работа [76], где подчеркивается недостаточность обоснования и проверки численных формулировок при постановках таких задач. Приводится пример обоснованной постановки задачи в абсолютной узловой координатной формулировке. Найденные результаты сопоставляются с опытными данными испытаний консольной балки при использовании высокоскоростной камеры и системы сбора и обработки данных.

Однако, несмотря на то, что в последнее время много внимания уделяется хаотическим колебаниям таких сложных детерминированных систем, как пластины, конические, сферические и цилиндрические оболочки [77−79], стохастические колебания диссипативпых, геометрически нелинейных балок Эйлера-Берпулли мало изучены. Необходимо отметить работы [80−83], которые посвящены исследованиям нелинейных колебаний балок, также и при продольном ударе. Методы семейства Рунге-Кутта, изложены в [84]. Математические модели сложных нелинейных колебаний балок при наличии ограничений на прогиб, изучены в диссертационной работе О. Н. Киреевой [85].

Я. Аврейцевич, В. А. Крысько и А. В. Крысько [86] изучали общие механизмы перехода к хаосу в диссипативных пластинчатых конструкциях. В. А. Крысько, Т. В. Вахлаева и А. В. Крысько [87] детально описали механизмы возникновения хаоса в случае вынужденных колебаний пластин. Переход к хаосу по сценарию Фейгепбаума в динамике пластин проанализирован в работе Я. Аврсйцевича и В. А. Крысько [651. П. С. Ланда [88] рассматривал модель голосовых связок человека в виде двух пластин, прикрепленных пружинами к стенкам трубы, и установил, что под действием потока воздуха происходит возбуждение хаотических колебаний пластин.

В работе [89] Ю. Лепик пытался выяснить возможность хаотических реакций в осесиммстричпых колебаниях упруго — пластических цилиндрических оболочек. В большинстве проведенных компьютерных экспериментов установившиеся колебания имели регулярный характер. Хаи, Ху и Япг [90] провели анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки вращения и нашли критические условия возникновения хаотического движения. Маэстрелло, Френди и Браун [91] изучали нелинейные колебания типовой панели фюзеляжа самолета. Для выбранного диапазона частот найдены линейные, квазилинейные при удвоении периода колебаний и хаотические динамические реакции панели при увеличении уровня акустического движения звуковой нагрузки. Сценарий перехода к хаотическим колебаниям для консервативных и диссипативных систем в теории гибких цилиндрических панелей при действии знакопеременных продольных нагрузок рассматривали А. В. Крысько, С. А. Мицкевич и Ю. В. Чеботарсвский [92]. Хаотические движения квадратной в плане оболочки под действием импульсной периодической нагрузки исследовали В. А. Крысько и А. В. Кириченко [93]. Сделана попытка объяснить явление динамической потери устойчивости с позиций качественной теории дифференциальных уравнений.

Пособие А. В. Крысько и М. В. Жигалова [94] посвящено изучению математических моделей распределенных систем в виде балок и построению методов исследования их сложных колебаний.

Па основании приведенного обзора публикаций, можно сделать следующие выводы.

1. Значительное внимание уделяется изучению хаотических колебаний пластин, оболочек и цилиндрических панелей. Выявлены новые сценарии перехода от гармонических колебаний к хаотическим для данного класса задач. В то время, как исследованию нелинейной динамики балок уделено не значительное внимание.

2. В основном, в применении к пластинам, оболочкам и цилиндрическим панелям, рассматривается математическая модель Эйлсра-Берпулли.

3. Математические модели гибких балок С. П. Тимошенко и Пелеха-Шереметьева практически не представлены в изученной литературе.

Исследованию сложных колебаний неклассических распределенных механических систем в виде балок с учетом кинематических моделей Эйлера-Бернулли, С. П. Тимошенко и Пелеха-Шереметьева методами конечных разностей и конечных элементов посвящена данная работа, так как в известной нам литературе эти вопросы не достаточно освещены.

Целью работы является построение математических моделей нелинейных колебаний сложных механических систем в виде балок с учетом гипотез Эйлера-Бериулли, С. Г1. Тимошенко, Пелеха-Шереметьева. Для достижения этой цели необходимо решение следующих задач:

1. Разработка математических моделей для сложных колебаний гибких балок по гипотезам Эйлера-Бернулли, С. П. Тимошенко, Пелеха-Шереметьева для некоторых типов граничных условий под действием знакопеременной и ударной нагрузок.

2. Изучение сценариев перехода от гармонических колебаний к хаотическим для различных гипотез с учетом некоторых управляющих параметров.

3. Разработка алгоритма и комплекса программ па ПЭВМ для качественного исследования сложных колебаний диссипативпых систем в виде упругих балок с учетом различных гипотез при произвольных граничных условиях.

4. Качественное исследование динамики гибких балок на основе нелинейной динамики в зависимости от изменения следующих параметров: краевых условий, амплитуды и частоты равномерно распределенной поперечной и продольной знакопеременных нагрузок, ударных нагрузок, величины диссипативных членов, угла поворота и искривления нормали. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка.

Выводы по главе.

1. Построена общая теория сложных колебаний гибких балок Пелсха-Шереметьсва.

2. Показана эквивалентность сведения бесконечномерной задачи к конечномерной по пространственной координате методов конечных разностей с аппроксимацией 0(с2) и конечных элементов в форме Бубпова-Галеркина.

3. Обеспечена достоверность получаемых численных результатов.

4. Выявлены сценарии перехода системы от гармонических колебаний к хаотическим.

5. На примере решения статической и динамической задач с помощью метода установления показана сходимость моделей Эйлсра-Бернулли, С. П. Тимошенко, Пелеха-Шереметьева при увеличении геометрического параметра Я.

6. Построены карты зависимости характера колебаний балки от управляющих параметров {д0,сор} для различных граничных условий. Сделан вывод о существенном влиянии граничных условий на динамическое поведение балки.

7. Проведено сравнение качественных результатов для математических моделей балки Эйлера-Бернулли, С. П. Тимошенко и Пелеха-Шереметьева при помощи сопоставления карт зависимости режимов колебаний от управляющих параметров {д0, со}.

8. Отмечена схожесть численных результатов, для математических моделей С. П. Тимошенко и Пелеха-Шереметьева.

Заключение

.

Полученные результаты подтверждают перспективность исследования задач механики с точки зрения нелинейной динамики, путем построения и изучения математических моделей сложных механических систем. Исследование систем с большим числом степеней свободы дало нам возможность обнаружить новые явления, ранее пе наблюдавшиеся в других областях нелинейной динамики.

Реализация различных численных методов дает возможность утверждать, что получаемые результаты достоверны и являются свойством изучаемой системы, а пе реализованной численной схемы.

В заключении, можно сделать следующие основные выводы по диссертации:

1. Построены общие теории и математические модели сложных колебаний гибких балок Эйлера-Бернулли, С. П. Тимошепко, Пелеха-Шереметьева, проведен качественный анализ динамического поведения рассматриваемых систем.

2. Предложен эффективный алгоритм решения поставленных задач. Разработан и реализован комплекс программ анализа хаотических колебаний балок с некоторыми краевыми условиями, находящихся под действием поперечной знакопеременной и ударной нагрузок.

3. Разработан комплекс программ для качественного исследования сложных колебаний балок с помощью метода конечных разностей с аппроксимацией и метода конечных элементов с аппроксимацией по Бубпову-Галеркипу.

4. Обоснован выбор типа метода конечных разностей для сведения уравнений в частных производных к задаче Коши.

5. Проведено исследование сходимости метода конечных разностей в зависимости от числа разбиений по пространственной координате для балок Эйлсра-Берпулли при действии поперечной знакопеременной нагрузки.

6. Выявлены области сценария Фейгенбаума па картах {д0,сор} для консольной балки Эйлера-Берпулли при действии ударной нагрузки грузом массой Мм, где происходило до 4 бифуркаций Хопфа, что позволило вычислить константу Фсйгенбаума с относительной погрешностью 0.005.

7. Дается сопоставление решений, полученных методом конечных разностей и методом конечных элементов для каждой из моделей при действии поперечной знакопеременной нагрузки.

8. Рассмотрено влияние некоторых типов трения (кулоновское, нелинейное, линейное) па балку Эйлера-Бернулли и исследовано поведение балок Эй л ер а-Бернулли на упругих основаниях Винклера и В. З. Власова.

9. В соответствии с известными сценариями перехода колебаний балочных конструкций в хаос проведена классификация колебаний балок, находящихся под действием поперечной знакопеременной и продольной ударной нагрузки. Выявлены и исследованы сценарии Фейгенбаума, Рюэля, Такенса,. Р1ыохауза, модифицированные Рюэля, Такепса, Ныохауза, Помо-Манневиля, характерные для колебаний исследуемых систем, и выявлены их области на картах динамических режимов.

10. Для каждой рассматриваемой модели были отмечены явления динамической потери устойчивости при действии знакопеременной поперечной нагрузки, что подтверждается резким увеличением максимального прогиба при малом изменении амплитуды вынуждающих колебаний.

11. Исследовано влияние геометрического параметра X на характер поведения балки для каждой математической модели. Выявлено, что по мере увеличения геометрического параметра X результаты, получаемые по моделям Эйлера-Бернулли, С. П. Тимошенко, Пелеха-Шереметьева сходятся.

12. Проведено качественное сравнение результатов, полученных для каждой математической модели, что позволило сделать вывод о пределах применимости каждой модели в зависимости от геометрических параметров балки, это позволит при расчете конструкций избегать ситуаций потери устойчивости системы.