Сильно эллиптические функционально-дифференциальные уравнения

1. В настоящей диссертации изучаются сильно эллиптические функционально-дифференциальные уравнения и их применение к исследованию нелокальных краевых задач. Первый результат о сильной эллиптичности для систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами был получен М. И. Ви-шиком [5]. Для получения достаточных условий сильной эллиптичности дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами Л. Гординг [37] использовал разбиение единицы и «замораживание» коэффициентов. Другие результаты о сильной эллиптичности можно найти в [31,36]. Сильно эллиптические дифференциально-разностные операторы рассматривались А. Л. Скубачевским [45]. Для дифференциально-разностных уравнений А. Л. Скубачевский взял выполнение неравенства типа Гор-динга в качестве определения сильной эллиптичности. Нахождение необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности в алгебраической форме для дифференциально-разностных уравнений оказалось непростой задачей. Им, в частности, было показано, что неотрицательность символа дифференциально-разностного оператора не влечет за собой сильную эл— 5 -липтичность (как в случае дифференциальных операторов в частных производных). Это связано, в частности, с тем фактом, что преобразование сдвига не отображает ограниченную область на себя. В случае соизмеримых сдвигов А. Л. Скубачевский получил необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для дифференциально-разностных уравнений в терминах положительной определенности некоторых матриц. Используя аппарат банаховых алгебр, Л. Е. Россовский [19] получил необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для функционально-дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами с преобразованиями растяжения и сжатия аргумента. Полученные им условия записывались в виде положительности некоторой функции, которую он назвал символом функционально-дифференциального оператора. В диссертационной работе рассматриваются функционально-дифференциальные уравнения с произвольными преобразованиями аргумента. Рассматриваемые преобразования принадлежат некоторой группе преобразований, которая, вообще говоря, не отображает область на себя. Целью работы является изучение следующих взаимосвязанных вопросов: 1. нахождение необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности для достаточно широкого класса функционально-дифференциальных уравнений с произвольными преобразованиями аргумента- 2. исследование разрешимости сильно эллиптических функционально-диф— 6 -ференциальных уравнений- 3. применение сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений для исследования нелокальных эллиптических краевых задач.2. Диссертация состоит из введения и трех глав. В главе 1 диссертации изучаются функциональные операторы в ограниченных областях. Так как функциональные операторы, вообще говоря, нелокальные, то нельзя рассматривать функционально-дифференциальные уравнения в окрестности какой-либо одной точки области. Необходимо рассматривать их также в окрестностях точек, связанных с исходной точкой отношением эквивалентности 1Z (которое строится в работе). Раздел 1.1 посвящен связи группы преобразований W1 и алгебре функциональных операторов. В разделе 1.2 строится алгебра функций, коммутирующих с функциональными операторами. Далее в разделе 1.3 строится отношением эквивалентности 1Z и соответствующее фактор-пространство. В разделе 1.4 показывается, что построенное фактор-пространство гомеоморфно пространству максимальных идеалов алгебры функций, коммутирующих с функциональными операторами. Это позволяет использовать теорию Гельфанда—Наймарка. И, наконец, в разделе 1.5 строится разбиение единицы для функциональных операторов. В главе 2 диссертации исследуются необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности для функционально-дифференциальных операторов, а также свойства решений краевых задач для сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов. В разделе 2.1 — 7 -вводятся основные обозначения и определение сильной эллиптичности. В разделе 2.2 строится разбиение единицы для функционально-дифференциальных операторов и доказывается теорема о «локализации». Эта теорема позволяет исследовать сильную эллиптичность для модельных задач. Одна из модельных задач изучается в разделе 2.3. Рассматривается некоторый класс эквивалентности, состоящий из конечного числа точек, и преобразования из группы не содержат ни одну из точек в этом классе в качестве неподвижных (аналогичная ситуация возникала в случае преобразований сдвигов). Для такой модельной задачи получены необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнений. В случае, когда рассматриваемый класс эквивалентности не пересекает границу области, найденные условия совпадают. Другая модельная задача изучается в разделе 2.4. Она является, в некотором смысле, противоположной первой. Рассматривается класс эквивалентности, состоящий из одной точки и конечная группа преобразований, для которой рассматриваемая точка является неподвижной. Для такой модельной задачи получены достаточные условия сильной эллиптичности в алгебраической форме для рассматриваемых функционально-дифференциальных уравнений. В случае, когда группа является топологически свободной найденные достаточные условия являются также и необходимыми. В разделе 2.5 вводится определение обобщенного решения краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения. В разделе 2.6 — 8 -изучается вопрос о разрешимости и спектре такой задачи. В главе 3 диссертации исследуются нелокальные краевые задачи с помощью сведения к краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения. В разделе 3.1 дается постановка нелокальной краевой задачи. В разделе 3.2 изучается вопрос о возможности сведения такой нелокальной краевой задачи к функционально-дифференциальному уравнению. Получены необходимые и достаточные условия возможности такого сведения. Раздел 3.3 посвящен формально сопряженным задачам, а в разделе 3.4 исследуется вопрос о связи формально сопряженных задач и функционально-дифференциальных уравнений. В разделе 3.5 получены достаточные условия однозначной разрешимости нелокальных краевых задач в двугранных углах.3. Результаты диссертации опубликованы в работах [21−25,42,43]. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДН под руководством профессора А. Л. Скубачевского. Результаты диссертации докладывались также на Четвертой и Пятой Международных конференциях по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, Москва, 2005, 2008; Воронежской зимней математической школе, Воронеж, 2004; Крымских осенних математических школах-симпозиумах, Симферополь, 2004, 2008; XLII, XLIII и XLIV Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, 2006, 2007, 2008.

1. Антоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения: операторный подход. — Минск: Университетское, 1988.

2. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// ДАН СССР. — 1969. — Т. 185. С. 739−740.

3. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — М.: Физмат-лит, 1958.

4. Вентцель А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов// Теория вероятн. и ее примен. — 1959. — Т. 4. — С. 172−185.

5. Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений// Мат. сб. 1951. — Т. 29 (71), № 3. — С. 615−676.

6. Гуревич П. JI. Нелокальные эллиптические задачи в двугранных углах и формула Грина// Докл. РАН. 2001. — Т. 379. — С. 735−738.

7. Гуревич П. J1. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в двугранных углах// Мат. заметки. — 2002. — Т. 72. — С. 178−197.

8. Гущин А. К., Михайлов В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка// Мат. сб. — 1994. — Т. 185, № 1. С. 121−160.

9. Иванова Е. П., Скубачевский А. Л. Нелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка// Депонировано в ВИНИТИ, № 3646−81, 1981.

10. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Априорная оценка решения задачи, опря-женной к нелокальной краевой задаче первого рода// Дифф. ур-я. — 1988. Т. 24, № 5. — С. 795−804.

11. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

12. Келли Дж. JI. Общая топология. — М.: Физматлит, 1968.

13. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками// Тр. ММО. — 1967. Т. 16. — С. 209−292.

14. Маслов В. П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973.

15. Мазья В. ГПламеневский Б. А. L^-оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами // Тр. ММО. — 1978. — Т. 37. — С. 49−93.

16. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Наука, 1991.

17. Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968.

18. Ройтберг Я. А., Шефтель 3. Г. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем// Сиб. мат. журнал. — 1972. — Т. 13, № 1. С. 165−181.

19. Россовский Л. Е. Коэрцитивность функционально-дифференциальных уравнений// Мат. заметки. — 1996. — Т. 59, № 1. — С. 103−113.

20. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.

21. Скубачевский A. JI. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// ДАН СССР. 1989. — Т. 307, № 2. — С. 287−291.

22. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Мат. сб. -1986. -Т. 129(Т. 171), № 2. — С. 279−302.

23. Скубачевский A. JI. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах// Дифф. ур-я. — 1990. — Т. 26. С. 119−131.

24. Скубачевский Л. <77. О методе срезающих функций в теории нелокальных задач// Дифф. ур-я. 1991. — Т. 27. — С. 128−139.

25. Скубачевский A. JI. О собственных значениях и собственных функциях некоторых нелокальных краевых задач// Дифф. ур-я. — 1989. — Т. 25, № 1. С. 127−136.

26. Agmon S. The coerciveness problem for integro-differential forms// J. Analyse Math. 1958. — T. 6. — C. 183−223.

27. Bensoussan A., Lions J.-L. Impulse control and quasi-variational inequalities. — Paris: Gauthier-Villars, 1984.

28. Carleman T. Sur la theorie des equations integrates et ses applications// Verhandlungen des Internat, Math. Kongr., Zurich. — 1932. — Т. 1. — C. 132−151.

29. Feller W. Diffusion processes in one dimension// Trans. Am. Math. Soc. 1954. — T. 77. — C. 1−30.

30. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semigroups of transformations// Ann. Math. — 1952. — T. 55. — C. 468−519.

31. Figueiredo D. G. The coerciveness problem for forms over vector-valued functions// Comm. Pure Appl. Math. 1963. — T. 16. — C. 63−94.

32. Garding L. Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations// Math. Scand. 1953. — Т. 1. — C. 55−72.

33. Galakhov E., Skubachevskii A. L. On Feller semigroups generated by elliptic operators with integro-differential boundary conditions// J. Differ. Equations. 2001. — T. 176. — C. 315−355.

34. Gurevich P. L. Solvability of the boundary-value problem for some differential-difference equations// Funct. Differ. Equ. — 1998. — T. 5, № 1−2. C. 139−157.

35. Gurevich P. L. Nonlocal problems for elliptic equations in dihedral angles and the Green formula// Mitt. Math. Semin. Giessen. — 2001. — T. 247. C. 1−74.

36. Sato K., Ueno T. Multi-dimensional diffusion and the Markov process on the boundary// J. Math. Kyoto Univ. 1965. — T. 4. — C. 529−605.

37. Skryabin M. A. Unique solvability of some nonlocal boundary-value problems in dihedral angles// Abstracts. The Fourth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Russia, August 14−21, 2005. C. 75−76.

38. Skryabin M. A. Strongly Elliptic Functional Differential Operators with Rotations// Abstracts. The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Russia, August 17−24, 2008.-C. 70.

39. Skubachevskii A. L. Nonlocal elliptic problems and multidimensional diffusion processes// Rus. J. Math. Physics. — 1995. — T. 3, № 3. — C. 327−360.applications. — Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1997.

40. Taira K. Diffusion Processes and Partial Differential Equations. — New York—London: Academic Press, 1988.