Толерантные кубические сингулярные гомологии и спектральная последовательность Лере-Серра толерантного расслоения

Методы гомологической алгебры в теории отношений впервые были применены Доукером в работе [28] 1956 года, в которой он определил группы гомологий произвольных отношений. Затем Зиман в работе [33] 1962 года определил отношения толерантности, весьма перспективные как с математической, так и с прикладной точки зрения, для которых гомологическая алгебра оказалась естественным инструментом исследования. Зиман, применяя алгебротопологические методы для моделировани работы зрительного анализатора, предложил в качестве наиболее общей математической модели понятия схожести использовать рефлексивные и симметричные бинарные отношения, которые он назвал отношениями толерантности. Пару, состоящую из множества и заданного на этом множестве отношения толерантности, Зиман назвал толерантным пространством. Типичными примерами толерантных пространств, естественно возникающих при приближенных измерениях и вычислениях, являются метрические толерантные пространства. Такие пространства состоят из множеств, на которых имеются метрики, а толерантность пары точек имеет место по определению, если они удалены друг от друга менее чем на некоторую фиксированную величину, связанную с точностью измерений или вычислений. Конечно же, метрические пространства далеко не исчерпывают все примеры и применения толерантных пространств. Так, например, особый интерес к конечным толерантным пространствам с толерантностями, не связанными с метриками, был проявлен со стороны специалистов по теории автоматов (см. работы [1], [27], [29] - [32]) и специалистов по математической лингвистике (см. [24], [25]).

В 1970 году была опубликована программная статья Зимана и Бью-немана (см. [3]). В этой статье некоторые важные и интересные вопросы, связанные с математическим моделированием в области теоретической кибернетики и биологии, были сформулированы на языке теории толерантных пространств в виде конкрентых математических задач. Однако, решение этих задач затруднялось неразвитостью гомологической теории толерантных пространств и практическим отсутствием теории толерантной гомотопии. Достаточно отметить, что к середине 80-х годов имелось несколько совершенно различных (и даже не изоморфных) способов определения групп гомологий толерантных пространств, и одновременно не было предложено ни одного способа построения фундаментальных групп толерантных пространств, не говоря уже о высших гомотопических группах. Все это, в частности, тормозило развитие теории толерантных накрытий и толерантных расслоений, которые, согласно идее Зимана и Бьюнемана [3], являются подходящим инструментом описания неоднозначности в поведении сложных систем.

Начиная с конца 80-х годов, в серии работ Небалуева С. И. (см. библиографию в [16] и [8], [10], [11], [13]) была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств, с помощью которой был решен ряд задач, в том числе и некоторые задачи, сформулированные в работе [3]. В упомянутых выше работах Небалуева, в частности, были получены стандартные точные гомологические последовательности (пары, Майера-Виеториса), формула Кюннета, были определены фундаментальная группа и высшие гомотопические группы толерантных пространств и доказаны теоремы о точных гомотопических последовательностях пары и толерантных расслоений. Была также доказана теорема Пуанкаре для толерантных пространств об изоморфизме группы 1-мерных гомологий и фактора фундаментальной группы по коммутанту. После того как были получены эти результаты, стали актуальными следующие задачи: посторение и изучение спектральных последовательностей и доказательство теоремы Гуревича для толерантных пространств о связи высших гомотопических групп с группами гомологий. В классическом алгебро-топологическом случае одной из наиболее важных спектральных последовательностей является спектральная последовательность расслоения, или спектральная последовательность JTepe-Ceppa, с помощью которой получается одно из доказательств теоремы Гуревича. Поэтому наиболее актуальной задачей описываемого направления в теории толерантных пространств стала задача построения спектральной последовательности Jlepe-Ceppa толерантного расслоения, изучения ее свойств и вычисления первых ее членов. Решение этих задач является основной целью представленной диссертации.

При построении спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения необходимо было выбрать подходящее определение групп гомологий толерантного пространства. В алгебраической топологии при классическом способе построения спектральной последовательности Лере-Серра используются кубические сингулярные гомологии (см. [22], [23]). В работе [29] был предложен вариант определения толерантных кубических сингулярных (ТКС) гомологий. Однако, эти гомологии имеют ряд серьезных недостатков: во-первых, ТКС гомологии из [29] не инвариантны относительно толерантной гомотопии, определяемой по классической схемево-вторых, они не изоморфны группам гомологий Зимана и Небалуева и, следовательно, не удовлетворяют упомянутой выше теореме Пуанкаре. Это делает группы ТКС гомологий из работы [29] непригодными для решения поставленных задач. Поэтому вторая глава диссертации полностью посвящена построению теории ТКС гомологий, подходящих для получения толерантной спектральной последовательности Лере-Серра.

При построении подходящей теории ТКС гомологий решалось две задачи: во-первых, эти гомологии должны быть естественно изоморфны гомологиям Зимана, а, во-вторых, группы таких гомологий должны порождаться пунктированными толерантными сингулярными (ТС) кубами, все вершины которых отображаются в отмеченную точку. Для этого сначала определяются группы ТКС гомологий Н®(Х) и простых ТКС гомологий HS (X) толерантного пространства (Х, т). Важность гомологий HS (X) заключается в том, что для них доказывается их естественная изоморфность гомологиям Зимана Н{Х). Недостаток гомологий HS (X) состоит в том, что пунктированные простые ТС кубы тривиальны, то есть являются постоянными отображениями. Чтобы в последствии иметь нетривиальные пунктированные ТС кубы, мы должны перейти к гомологиям Н®{Х). При этом доказывается теорема о естественной изоморф-ности HS{X) и Н®(Х). От гомологий Н®(Х) перейти к пунктированным ТКС гомологиям Н'(Х) удается с помощью конструкции полного двойного замедления ТС кубов и весьма громоздкой теоремы 2.8. Конструкция полного двойного замедления позволяет экспоненциально увеличивать размеры ТС кубов, сохраняя группы гомологий, порождаемые этими кубами. С помощью конструкции полного двойного замедления доказывается естественная изоморфность групп Н®(Х) и вспомогательных групп HW (X) замедленных ТКС гомологий. С помощью теоремы 2.8 доказывается естественная изоморфность замедленных ТКС гомологий НУ{Х) и пунктированных ТКС гомологий Н'(Х). В результате на категории толерантных пространств получаем гомологический функтор пунктированных ТКС гомологий Н'(Х), подходящий для построения толерантной спектральной последовательности Лере-Серра, и изоморфный функтору гомологии Зимана Н (Х).

Построение спектральной последовательности Лере-Серра пунктированного толерантного расслоения р: ((E, t), xq) —> ((??, т),&о) начинается с доказательств ряда важных свойств ТС кубов пространств (Е, т) и (В, г), связанных Ви Тпроекциями. Одним из следствий этих свойств является задание представления фундаментальной группы пт (В, Ь0) базы (В, т) расслоения в группе автоморфизмов AutH (F) группы гомо-логий H (F) слоя F — о), что позволяет определить важные для дальнейшего группы Н (В H (F)) гомологий базы (В, т) с локальными коэффициентами в группе гомологий слоя (F, t).

В заключительной части диссертации с помощью полученных свойств ТС кубов толерантного расслоения строится в терминах точных нар спектральная последовательность { ф? st}n^iДоказываются свойства этой последовательности, из которых следует ее сходимость. Затем вычисляется первый член этой последовательности? Sjt = СР (В) Ht{F), где СР (В) — цепной комплекс накрытых пунктированных нормализованных толерантных кубических сингулярных цепей. При этом в диссертации доказывается, что группы гомологий НР (В) комплекса СР (В) изоморфны группам гомологий Зимана Н{В). Наконец, выполняется вычисление второго члена = HS (BHt (F)). Полученные результаты имеют совершенно классический вид, что позволяет назвать последовательность { ф? stn^ 1 толерантной спектральной последовательностью s, te Z.

Jlepe-Ceppa толерантного расслоения.

Заключение

.

По аналогии с алгебро-топологической классикой построенную спектральную последовательность можно назвать спектральной последовательностью Лере-Серра толерантного расслоения. Поскольку в ее построении были использованы пунктированные ТКС гомологии, то эта спектральная последовательность пригодна для изучения гомотопических групп толерантных пространств.