Математическое моделирование гидродинамических фильтрационных течений к горизонтальным скважинам при нелинейных законах сопротивления среды

Рассматривая различные вопросы прикладной математики и физики, постоянно приходится иметь дело с математическими моделями физических явлений. Получение всякого рода результатов в технических науках часто предполагает их численное представление. Математическая модель явления и призвана обеспечить такое представление результатов.

Большое количество математических моделей, с которыми оперирует естествознание, основано на описании явления с помощью дифференциальных уравнений. Таким образом, исследования в тех или иных областях физики могут бьггь основаны на решениях дифференциальных уравнений. Это могут быть как уравнения в частных производных, так и обыкновенные дифференциальные уравнения различного порядка, линейные и нелинейные. Как известно, в течение долгого времени для получения решений дифференциальных уравнений создавался специальный аппарат, который продолжает совершенствоваться и в наши дни. Этот аппарат чрезвычайно разнообразен и включает достижения многих других разделов математики помимо собственно теории дифференциальных уравнений. Эффективность применения того или иного метода к решению практических задач неразрывно связана с кругом этих задач, то есть возникновение новых классов проблем, порождает необходимость совершенствования старых методов решения или создание новых, более совершенных методов. В то же время необходимо отмстить, что многие классические методы решения дифференциальных уравнений, созданные еще в XIX веке, успешно применяются и до сегодняшнего дня и обеспечивают получение необходимых результатов. Однако, в настоящее время приближенные и численные методы развиваются очень быстро и, поэтому сейчас все большее внимание уделяется численному исследованию задач с нелинейными уравнениями и построению конечно-разностных схем для решения этих уравнений. В связи с этим, иногда задаются даже вопросом, насколько нужны точные решения дифференциальных уравнений, полученные классическими методами. Ведь это связано, обычно, с большими трудозатратами, в то время как построение разностных аналогов дифференциальных уравнений представляется работой, гораздо быстрее приводящей к цели и дающей наглядное представление о процессе или явлении. Нам представляется, что построение точных решений и, в связи с этим, совершенствование математического аппарата, нужного для получения этих решений, совершенно необходимо. Для этого есть ряд причин. Во-первых, всякое точное решение ценно уже потому, что оно — точное. Приближенное или численное решение в будущем может бьггь изменено, модифицировано или усовершенствованно. Иное дело точное решение. Будучи когда-то и кем-то найденным, точное решение уже не подлежит каким-либо изменениям, модификациям или усовершенствованиям. Оно получено навсегда. В математике есть ясное понятие дифференциального уравнения и его классического решения, а также четкая связь, устанавливаемая между этими понятиями, то есть при подстановке решения в дифференциальное уравнение должно получиться тождество. Различного рода обобщенные решения, которые строятся на основании точных, могут не давать возможности исследовать локальные свойства моделируемых процессов и явлений, описываемых классическими решениями. Но следует заметить, что главные вопросы о нужности точных решений возникают, как правило, не со стороны чистой математики, а именно со стороны технических наук, где важно число, а не формула. Здесь представляется необходимым заметить следующее. Если построение математической модели является, так сказать, «аппроксимацией» природы, несколько упрощающей и схематизирующей то, что происходит в действительности, то ясно, что точные дифференциальные уравнения и точные решения позволяют сделать эту аппроксимацию точнее и тоньше, нежели разностные схемы, сами аппроксимирующие вышеупомянутые дифференциальные уравнения. В этом смысле, именно точные решения могут являться оценкой точности разностной аппроксимации. Говоря иными словами, нахождение точных решений дифференциальных уравнений часто представляет собой аппроксимацию природы более высокого порядка, нежели исследование задач для конечно-разностных уравнений. Таким образом, необходимость построения точных решений связана с выбором наиболее адекватной из возможных разностных схем, описывающих изучаемое явление.

В настоящее время наблюдается постоянно растущий интерес к изучению явлений описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако известно, насколько трудно бывает получить точные решения таких уравнений. В ряде случаев, как например, для системы уравнений Навье-Стокса, это превращается в глобальную проблему, от решения которой предпочитают отказаться в силу непреодолимых пока аналитических трудностей. Следует заметить, что, обращаясь к исследованию нелинейных математических моделей, не следует пренебрегать также и линейными дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. Большой класс физических явлений описывается именно такими уравнениями. Более того, существующие способы линеаризации нелинейных уравнений приводят, как правило, к уравнениям с переменными коэффициентами, а иногда, просто к уравнениям с постоянными коэффициентами, что также повышает важность изучения этого класса задач. Одним из таких классов задач, где достаточно активно применяются различные способы линеаризации дифференциальных уравнений, являются задачи теории нелинейной фильтрации.

В данной работе мы рассмотрим модели нелинейной фильтрации несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальным скважинам, в которых возникают как чрезвычайно сложные нелинейные уравнения, так и линейные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами, причем мы будем иметь дело с этими последними, которые возникают после применения к нелинейным уравнениям в частных производных классического преобразования годографа.

Метод годографа является на сегодняшний день, пожалуй, одним из эффективных способов построения точных решений нелинейных уравнений в частных производных. Как известно, свое начало этот метод берет в работе выдающегося русского механика С. А. Чаплыгина. [1]. Методом годографа Чаплыгину удалось получить точные решения некоторых задач установившегося течения идеальной жидкости, как, например, задачи истечения из сосуда или задачи об обтекании пластинки, расположенной перпендикулярно к струе конечной толщины [1]. Эффективное применение метода годографа к задачам газовой динамики требовало некоторых ограничений на рассматриваемые задачи, вследствие того, что граничные условия для этих задач должны были бьггь достаточно простыми, чтобы обеспечить переход к переменным годографа [2]. Поэтому дальнейшее развитие метода годографа было в немалой степени связано с расширением его области применения к задачам иного типа. В этой связи следует упомянуть работы С. В. Фальковича [3], связанные с применением метода годографа к задачам о струях в более сложных областях, чем рассматривались ранее. Отметим, также, что Л. С. Лейбензон впервые осуществил преобразование уравнений газовой динамики в плоскости годографа скорости к каноническому виду, что оказывается удобным в ряде вопросов [4]. Именно работы Л. С. Лейбензона, а также, особенно, С. А. Христиановича сыграли основополагающую роль в применении преобразования годографа к задачам теории фильтрации. Остановимся на этом несколько подробнее.

Известно, что уравнения описывающие фильтрацию жидкостей в пористых средах с различными законами сопротивления среды являются, как правило, нелинейными. Это, естественно, затрудняет нахождение решений многих важных задач известными методами математической физики и заставляет обращаться к приближенным моделям. Поэтому применение С. А. Христиановичем преобразования уравнений фильтрации грунтовых вод, не подчиняющихся линейному закону Дарси, к новым переменным годографа, что позволило линеаризовать эти уравнения и, таким образом, значительно расширить класс задач, для которых могут быть построены точные решения [5] было принципиальным шагом в направлении построения точных решений задач подземной гидромеханики. В новых переменных была получена система уравнений, которая оказывалась инвариантной относительно произвольных конформных отображений [5]. Преобразования, рассмотренные в [5] аналогичны тем, которые были использованы С. А. Чаплыгиным в его работе [1], посвященной исследованию газовых струй, где им было применено преобразование годографа к решению задач газовой динамики. На эту аналогию обращает внимание и сам С. А. Христианович [5]. Заметим, что для решения задач теории фильтрации также может бьггь применено преобразование годографа. Это преобразование будет использоваться в настоящей работе. Кроме того, упомянем, что одним из первых на важность применения этого преобразования к теории фильтрации указал Ф. Энгелунд в работе [6]. Следует также отметить, что в работе [6] были рассмотрены некоторые вопросы фильтрации жидкости при двучленном нелинейном законе фильтрации, однако задачи, которые были рассмотрены в этой работе, носят, в некоторой степени, модельный характер и решения их получены при дополнительных предположениях о симметрии течения.

Обращаясь непосредственно к работе [5] можно сказать, что рассматриваемое преобразование годографа линеаризует нелинейные уравнения теории фильтрации, также как и другое преобразование, также предложенное С. А. Христиановичем и представляющее систему уравнений теории фильтрации в каноническом виде, аналогичном тому, который был получен Л. С. Лейбензоном для задач газовой динамики. Таким образом, отличие состоит в том, что преобразование в [5] дополнительно представляет систему уравнений, описывающих движение фильтрующегося флюида в каноническом виде. Однако для наших целей совсем не обязательно приводить уравнения к каноническому виду и поэтому мы воспользуемся более наглядным преобразованием непосредственно к переменным годографа.

Обратимся теперь к характеристике тех моделей нелинейной стационарной фильтрации, которые мы предполагаем рассмотреть в данной работе. Сначала опишем такой важнейший объект для нашей работы, как горизонтальная скважина, а затем остановимся на характеристике тех нелинейных законов фильтрации, которые возникают в подземной гидромеханике при моделировании притока флюида к горизонтальной' скважине.

Известно, что нефть, природный газ, а также подземные воды часто залегают в пористых пластах, имеющих непроницаемую кровлю и подошву. Ранее для извлечения их всегда использовалась технология бурения вертикальных скважин, причем продуктивный пласт может быть вскрыт как на всю толщину и при этом скважина называется совершенной, так и не полностью. В последнем случае ее называют несовершенной. Следует заметить, что при добыче, скажем, нефти или газа, постоянно возникает проблема более полной выработки вскрытого пласта. Невозможность обеспечить приемлемый уровень выработки приводит к тому, что в пласте может остаться более половины флюида. Для решения этой задачи применяются различные методы, основанные на тщательной геологической разведке пласта, а также на применении вспомогательных нагнетательных скважин. В последние десятилетия, как в нашей стране, так и за рубежом активно развивается технология бурения горизонтальных скважин. Преимущества горизонтальных скважин перед обычными достаточно очевидны. Горизонтальная скважина имеет гораздо большую область дренирования. Это становится особенно актуальным в случае, когда пласт имеет малую продуктивную толщину, что в случае вертикального бурения приводит к необходимости использовать большое количество обычных вертикальных скважин. Кроме того, применение горизонтальных скважин позволяет в ряде случаев значительно повысить продуктивность выработки скважин. Общий выигрыш в производительности может бьггь в 3−5 раз [7]. Кроме того, следует упомянуть такие важные аспекты применения горизонтальных скважин, как бурение в тех местах, где применение обычных вертикальных скважин попросту невозможно, например, если нефтяной пласт находится под природным заповедником или верхние слои над пластом чрезвычайно трудны для бурения. Горизонтальные скважины могут быть также использованы на месторождениях ранее уже разработанных вертикальными скважинами и не дающих приемлемых дебитов, а вследствие этого просто оставленных. Кстати, в этом случае ситуация дополнительно облегчается тем, что нередко имеется возможность бурения горизонтальной скважины начиная не с поверхности земли, а пользуясь уже пробуренными и не использующимися вертикальными скважинами. В этом случае осуществляется бурение просто горизонтальных стволов из вертикальных скважин, причем ясно, что их можно бурить несколько, на разных высотах и в различных направлениях.

В связи с вышесказанным, то внимание, которое уделяется горизонтальным скважинам в нефтегазовой отрасли, как нашей страны, так и иностранных государств представляется вполне естественным. Осуществление горизонтального бурения является. сложной технической проблемой, возможность полноценного решения которой была достигнута лишь в последнее время, что и обеспечило интенсивный рост интереса к горизонтальным скважинам. Нельзя, однако, сказать, что горизонтальные скважины не использовались в подземной гидромеханике в начале — середине прошлого столетия. Одна из первых глубоких работ, связанных с применением горизонтальных скважин для систем водопроводных фильтров принадлежит П. Я. Полубариновой-Кочиной [8]. В работе [8] рассмотрены как горизонтальные, так и наклонные скважины конечной длины и получены приближенные решения задач фильтрации в напорных и безнапорных пластах.

Естественно, что для исследования течений флюидов вблизи горизонтальных скважин активно используются и численные методы. Возникающие при этом проблемы связаны с построением адекватной схемы вблизи скважины, ибо при разбиении области течения сеткой на отдельные элементы нужно, чтобы это разбиение было достаточно крупным и скважина, которая имеет конечный диаметр, попала бы внутрь одного из элементов. В дальнейшем, возникает — задача нахождения давления именно в этом элементе. Кроме того, поскольку реальные нефтяные пласты имеют, как правило, большую протяженность, то их разработка производится обычно большим количеством скважин. При этом, в окрестности каждой скважины возникает одна и та же задача построения расчетной сетки адекватно описывающей течение вблизи скважины. Измельчение сетки оказывается слишком неэффективной процедурой для этого, поскольку течения в прискважшшых зонах характеризуется высокими градиентами параметров, описывающих течения, что требует слишком больших затрат машинного времени и ресурсов, несмотря даже на большие мощности современных вычислительных систем. В целом, для полного расчета пласта с большим количеством скважин это оказывается неприемлемым. Поэтому предлагаются различные специальные модели течений в окрестности скважин, в которых обычные разностные соотношения заменяются другими дискретными соотношениями. Заметим, что прискважинная область может или совпадать с ячейкой сетки, содержащей скважину или выбираться отдельно, независимо от сетки. Однако в литературе нет однозначного ответа на вопрос, как следует выбирать эту прискважинную область. Обычно это делают отдельно в каждом конкретном случае в зависимости от многих факторов, таких, например, как геологическое строение пласта. В вопросе построения моделей течения в прискважинной области следует упомянуть важнейшую работу Писмена [9], в которой проведено тщательное исследование модели течения вблизи скважины. Основная идея этой работы состоит в том, что, во-первых, течение в прискважинной области предполагается радиальным, а во-вторых, что для расчета течения вблизи скважины вводится понятие эффективного радиуса [9], с помощью которого расчет ведется на основании обычных разностных соотношений. Вместо собственно давления на забое скважины используется «эффективное» давление, соответствующее указанному эффективному радиусу [9]. Позднее аналогичный подход был развит Писмеиом и для горизонтальных скважин [10]. Однако в некоторых более поздних работах [11, 12] было показано, что для горизонтальных скважин методика Писмена оказывается неприменимой в ряде практически важных случаев. Альтернативный метод моделирования был предложен Бабу в работе [13]. Здесь соотношения для прискважинной области получались из рассмотрения задачи для пласта в целом. Указанный подход развивался Бабу и далее [14], что породило даже довольно интенсивную научную дискуссию между двумя этими крупными специалистами в теории фильтрации. Обращаясь в связи с этим вновь к нашей работе заметим, что, как Писмен, так и Бабу использовали в своих работах линейный закон фильтрации Дарси, однако вблизи скважин этот закон перестает выполняться, применять его можно с некоторой условностью и, вообще говоря, следует пользоваться более сложными, нелинейными законами фильтрации. Остановимся более подробно на характеристике линейного закона фильтрации и тех нелинейных законов, которые использовались в настоящей работе.

При рассмотрении задач теории фильтрации, закон фильтрации флюида, то есть соотношение между вектором скорости фильтрации и градиентом давления, которое создается в процессе фильтрационного движения, имеет принципиальное значение. Именно сложная зависимость между вектором скорости фильтрации и величиной давления приводит к нелинейности многих важных задач. Первые исследования законов движения фильтрующихся флюидов относятся к началу XIX века. Основополагающее значение для этого имеет известный закон фильтрации, предложенный А. Дарси [15] и носящий его имя. Как известно, на основании экспериментальных данных Дарси установил линейную связь между градиентом давления и скоростью фильтрации, что позволило в дальнейшем получить решение многих задач теории фильтрации. Ключевое значение для развития теории фильтрации, а также и для нашей работы имеют исследования выдающегося советского ученого Л. С. Лейбензона. Ему принадлежат многочисленные работы в теории фильтрации, в которых и были собственно заложены теоретические основы расчета фильтрационных течений жидкостей и газов. В частности, Л. С. Лейбензоном были рассмотрены многие задачи притока жидкостей к скважинам при линейном законе фильтрации. Для нас наибольшее значение имеет его работа, посвященная построению точного решения задачи о суперпозиции источников в полосе [16]. Полученное в этой работе решение может быть применено для исследования задач о притоке к горизонтальным скважинам, потому что сам Л. С. Лейбензон не упоминал в этой работе о таком аспекте полученного им решения. Таким образом, рассматривая решение, полученное Л. С. Лейбензоном, нетрудно показать, что в соответствующей интерпретации оно представляет собой решение задачи о притоке жидкости к горизонтальной скважине в бесконечной полосе при линейном законе фильтрации Дарси. В нашей работе, основываясь на этом решении, мы рассмотрим несколько аналогичных задач, но при нелинейных законах фильтрации. Возникающие здесь аналитические трудности весьма значительны. Это видно хотя бы из того факта, что Л. С. Лейбензон не использовал в своей работе преобразования к переменным годографа, ни какого-либо другого преобразования, так как линейность задачи давала возможность построить решение непосредственно в физической плоскости.

Охарактеризуем теперь те нелинейные законы фильтрации, которые возникли уже вскоре после работ Дарси, касающихся линейного закона и которые являются, по видимому, наиболее важными для практики. Что касается линейного закона фильтрации Дарси, то он находит свое применение и поныне. Однако уже вскоре после его открытия было обнаружено, что в ряде случаев происходит отклонение от линейного закона. Основными причинами, вызывающими нарушение закона Дарси являются увеличение скорости фильтрации, а также увеличение диаметра частиц, из которых состоит пористая среда [7]. В частности, в ряде экспериментальных исследований было обнаружено, что при превышении скоростью фильтрации некоторого значения, называемого критической скоростью, наблюдаются отклонения от линейного закона [17]. Для численной характеристики границы применимости линейного закона Дарси может быть использовано число Рейнольдса, подобно тому, как оно используется в обычной гидродинамике для характеристики границы перехода ламинарной формы течения в турбулентную. Первой теоретической работой по исследованию границы применимости закона Дарси является работа Н. Н. Павловского [18]. Используя аналогию с движением жидкостей по трубам, в этой работе был установлен диапазон критических значений числа Рейнольдса 7,5 — 9 [18]. Надо заметить, что вообще определение критических значений числа Рейнольдса для движений флюида в пористой среде представляет значительные трудности. Это связано, в частности, с тем обстоятельством, что при рассмотрении числа Рейнольдса в теории фильтрации в качестве характерного размера берется эффективный диаметр песчинок, а не диаметр пор, который определить еще труднее, чем эффективный диаметр песчинок. Но и определение эффективного диаметра частиц, слагающих грунт, представляет собой также весьма сложную задачу. Существует несколько способов вычисления эффективного диаметра, которые даже для одного грунта дают иногда резко расходящиеся результаты [19]. Таким образом, получается широкий диапазон для критического значения числа Рейнольдса, который не позволяет точно установить, когда происходит переход. Сравнительно небольшой разброс значений И. е в работе [18] обусловлен тем, что в этих исследованиях были использованы лишь немного видов образцов пористых сред [7]. Большой анализ по сопоставлению различных методов определения критического числа Рейнольдса был проведен В. Н. Щелкачевым. Результатом этих исследований было установление того факта, что критические значения числа Рейнольдса, при превышении которых наблюдаются существенные отклонения от линейного закона Дарси, представляют собой целый диапазон значений и не определяются однозначно [19]. Все это связано не только с невозможностью точно определить эффективный диаметр слагающих пористую среду частиц, но и с тем обстоятельством, что значение критического числа Рейнольдса зависит от структуры порового пространства, а кроме того, и от постепенности или плавности перехода от одного режима фильтрации к другому [19].

Важность этих работ по установлению границ применимости линейного закона фильтрации для нашего исследования заключается в том, что хотя опыты показывают, что в пластах при притоке флюида к скважинам скорости фильтрации в целом не велики, то есть, может быть применен линейный закон фильтрации, но в окрестности скважин это не так, и значение числа Рейнольдса превышает критическое, а следовательно, закон фильтрации требует уточнения и будет, таким образом, уже нелинейным.

Обратим особое внимание на следующее обстоятельство. В работах первой половины XX века, то есть эпохи зарождения теории фильтрации, проводилась та мысль, что превышение числом Рейнольдса некоторого критического значения и вызываемое этим превышением отклонение закона фильтрации от линейного связано с переходом ламинарного течения в пористой среде в турбулентное, то есть так, как это объясняется, например, в трубной гидравлике. Однако позднее было установлено, что критические значения числа Рейнольдса значительно меньше тех, при которых течение становится турбулентным [19]. Отсюда следует, что объяснение отклонения закона фильтрации от линейного при больших скоростях должно быть иным. Оно заключается в том, что вследствие многочисленности и извилистости пористых каналов, слагающих породу, а кроме того, из-за меняющегося диаметра пористых каналов, при движении происходят быстрые изменения величины и направления скорости флюида, что обуславливает возникновение сил инерции, которые проявляются в увеличении гидродинамического давления. При больших скоростях фильтрации силы инерции становятся весьма значительными и начинают преобладать над силами вязкости [7]. Поэтому уже на ранних этапах развитая теории фильтрации проводились исследования, которые позволили бы установить связь между градиентом давления и скоростью фильтрации так, чтобы полученный закон был бы применим и в области больших скоростей. В этой связи особенно следует отметить степенной закон фильтрации, предложенный А. А. Краснопольским [20]. Этот закон, в силу квадратичной нелинейной зависимости градиента давления от скорости дает возможность учесть влияние сил инерции. при больших скоростях фильтрации, следовательно, он применим для изучения течений вблизи скважин, где скорости велики, а кроме того, его часто применяют для описания движения воды в трещиноватых породах [19, 20]. Кроме того, для исследования фильтрационных потоков в случае, когда нарушается закон Дарси, используют и нелинейные законы фильтрации, которые можно было бы объединить общим названием степенного закона фильтрации. В этом случае имеет место следующая зависимость между градиентом давления и скоростью фильтрации [7]:

Величина, стоящая в скобках означает отношение падения давления на длине Ь к самой длине и в пределе переходит просто в градиент давления. Величина п обычно меняется в диапазоне от 1 до 2, хотя заметим, что возможно рассмотрение и законов фильтрации, когда п принимает и другие значения, большие двух [21, 22]. В таких задачах возникают интересные эффекты нерадиальности течения в окрестности скважины, которые могут быть получены при исследовании найденных решений краевых задач. В случае, когда п= 2 получаем закон фильтрации А. А. Краснопольского.

В первой главе предлагаемой работы рассмотрена задача фильтрации несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации. В частном случае, это решение задачи фильтрации с законом А. А. Краснопольского. Важность применения степенного закона для данной задачи обусловлена уже упоминавшейся выше особенностью фильтрационных течений, в которых в окрестности высокодебитных скважин имеет место значительное увеличение скоростей фильтрации. Это приводит к отклонениям от линейного закона Дарси и здесь возникает возможность использования закона фильтрации, в который скорость входит в степени большей единицы. Задача допускает аналитическое решение в плоскости годографа скорости, которое и было получено в работе.

В качестве важных исследований в том же направлении связанных с задачами, где применен степенной закон фильтрации, укажем на работы [23, 24], в которых получены решения некоторых задач со степенным законом.

Ф Выше мы уже упоминали о том, что в случае фильтрации флюида по нелинейному закону уравнения движения оказываются достаточно сложными даже после линеаризации задачи с помощью преобразования годографа. В этом случае возникают дифференциальные уравнения в частных производных с переменными коэффициентами. Естественно, линейные уравнения проще исходных нелинейных уравнений движения в физической плоскости и для построения решений таких уравнений существует достаточно обширный набор аналитических методов. Как уже упоминалось выше, наиболее эффективными среди этих методов остаются, по-видимому, метод интегральных преобразований и метод разделения переменных. Но после применения этих методов, возникают новые трудности, связанные с построением решений уже обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром. Об этих трудностях было уже сказано выше. Вследствие этих причин возникает мысль подходить к задачам математической физики, или, как в нашем случае, теории фильтрации, с другой точки зрения. А именно, можно попытаться аппроксимировать физическое явление, в рамках уже принятой и фиксированной основной модели, таким образом, чтобы результирующие уравнения имели бы наиболее простой вид, или приводились бы к виду, допускающему применение уже развитых известных аналитических методов. В теории фильтрации эта процедура 4 может быть реализована следующим образом. Сложность задачи нелинейной фильтрации, с математической точки зрения, обусловлена тем, что результирующие уравнения, в плоскости годографа скорости, остаются все же достаточно сложными для аналитического исследования. Заметим, что в ряде задач при отображении исходной области течения на плоскость годографа, получаемая при отображении область может иметь разрезы, а также быть многоугольником. Все это увеличивает трудности, с которыми приходится сталкиваться при рассмотрении этих задач.

Следует упомянуть, что для решения таких усложненных задач, со сложной структурой области в плоскости годографа был развит приближенный численно-аналититческий метод прямых [25, 26], в котором область в плоскости годографа разрезалась на меньшие области так, чтобы в полученных областях уже не было разрезов, и граничные условия можно было бы достаточно легко сформулировать. Развитие этого метода, с целью повышения порядка точности проводилось в [27].

Однако можно рассмотреть специальным образом сконструированные законы фильтрации, которые, с одной стороны, адекватно отражали бы зависимости между физическими величинами, существующими в задаче, хотя бы на некоторых промежутках, а с другой стороны, позволяли бы свести уравнения к наиболее простым и относительно легко решаемым. Один из известных и часто встречающихся законов фильтрации такого рода был предложен В. В. Соколовским [28]. Особенностью этого закона является возможность свести уравнения в плоскости годографа к уравнению Лапласа, что позволяет применить к таким задачам развитый аппарат теории аналитических функций. Закон В. В. Соколовского применим для вязкопластических жидкостей при небольших скоростях фильтрации. Кроме того, заметим, что при некоторых модификациях этого закона, можно рассмотреть задачи, в которых скорости фильтрации велики, а уравнения также можно свести к уравнению Лапласа. Эти свойства модифицированного закона Соколовского были указаны в работе [29].

Мы будем рассматривать модифицированный закон В. В. Соколовского, который отличается от закона предложенного самим В. В. Соколовским изменением одного из знаков с минуса на плюс. В этом случае, для решения задачи применим аппарат теории аналитических функций. Во второй главе настоящей работы мы применяем модифицированный закон В. В. Соколовского для рассмотрения задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине. В процессе рассмотрения возникает краевая задача для уравнения Лапласа в неограниченной области, которая решается методами теории аналитических функций. Решение в плоскости годографа удается получить в элементарных функциях.

В связи с вышеизложенным следует также упомянуть, что построение законов фильтрации, дающих возможность упростить уравнения в плоскости годографа, не ограничивается, конечно, законом В. В. Соколовского. В этом отношении представляют интерес работы, посвященные обобщениям закона В. В. Соколовского, а также закона с предельным градиентом [30, 31]. Однако проблема, которая возникает при применении таких законов, состоит в том, что они, приводя к значительному упрощению основных уравнений, могут плохо аппроксимировать реальные законы фильтрации. В таких случаях, как уже упоминалось, логично применять эти законы не во всей области рассмотрения, а в ее частях, если, конечно, это оправдывается постановкой задачи.

Отклонения от линейного закона фильтрации Дарси обнаруживались уже на ранних этапах развития теории фильтрации. Проводились обширные экспериментальные исследования по сопоставлению между собой различных нелинейных законов, с целью получить наиболее точные аппроксимации реальных физических явлений. Особый вклад в этом направлении принадлежит Ф. Форхгеймеру, который провел многочисленные эксперименты по сопоставлению между собой различных законов фильтрации в различных средах [21]. Именно его имя носит установленный им двучленный закон фильтрации, являющийся обобщением закона Дарси на случай больших скоростей и дающий наилучшее согласие с опытом на всем диапазоне изменения скорости фильтрации. Следует, впрочем, заметить, что этот двучленный закон фильтрации был установлен несколько ранее Дюпюи [32], однако его работа не привлекла, по-видимому, такого внимания, которого бы она заслуживала. Справедливость этого закона была подтверждена и более поздними многочисленными экспериментальными исследованиями, а также наблюдениями на промысловых месторождениях. В этом направлении следует упомянуть работы Е. М. Минского [33,34].

Указанное согласие двучленного закона фильтрации с данными наблюдений вызвано тем, что в нем учтены два основных фактора, определяющих движение жидкости в пористой среде. С одной стороны, как и в линейном законе фильтрации, двучленный закон учитывает силы вязкого трения, действующие между пористой средой и флюидом. Эти силы являются доминирующими при небольших скоростях фильтрации и приводят к линейному соотношению между градиентом давления и скоростью фильтрации. С другой стороны, при возрастании скорости фильтрации возникают новые эффекты, обусловленные извилистостью поровых каналов. В результате этого происходят резкие и значительные изменения скорости фильтрации, как по величине, так и по направлению. Все это приводит к возникновению инерционных сил, которые, при достижении скоростью фильтрации некоторых значений, могут стать уже доминирующими в движении. Для инерционных сил градиент давления пропорционален квадрату скорости фильтрации. Таким образом, сочетание и учет двух этих эффектов и дает закон, который может использоваться как при малых, так и при больших значениях скорости фильтрации. Естественно, что особую актуальность данный закон приобретает в задачах о притоке флюида к скважинам, ибо здесь можно выделить области течения, где скорости малы, что бывает, например, вблизи точек торможения потока, а также области больших скоростей в окрестности скважин. В частности, все это относится и к горизонтальным скважинам. Задачи связанные с двучленным законом фильтрации представляют значительные аналитические трудности вследствие сложности получаемых уравнений даже в плоскости годографа, однако простой пример радиального течения при нелинейном законе фильтрации, показывает, что значения давления в окрестности скважины весьма близки для двучленного закона фильтрации и закона фильтрации А. А. Краснопольского, являющегося частным случаем степенного закона фильтрации. Это указывает на важность рассмотрения именно степенного закона фильтрации, хотя не следует понимать это так, что от рассмотрения задач для двучленного закона можно вообще отказаться.

Для обоих рассмотренных законов фильтрации, степенного и закона В. В. Соколовского, мы рассмотрели также вопрос о нахождении формул для напора или давления в окрестности скважины. Заметим, что это можно сделать аналитически на основании полученных точных решений для функции тока, что и было проделано в работе. Кроме того рассмотрена радиальная фильтрация несжимаемой жидкости при произвольном нелинейном законе, где получены формулы для напора. Последнее рассмотрение не является особенно трудоемким, однако позволяет сопоставить между собой решения, полученные для общего случая фильтрации к горизонтальной скважине и решения, в отсутствии ограничивающих кровли и подошвы, то есть, указывает на проявление эффекта «горизонтальности» в рассматриваемых задачах.

Заключение

.

В данной работе были построены несколько аналитических моделей процессов нелинейной установившейся фильтрации несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальной скважине и найдены точные решения задач, возникших в рамках этих моделей. Актуальность рассмотренных задач связана с интенсивным развитием использования горизонтальных скважин в современной нефте и газодобыче, что вызывает потребность в теоретическом моделировании явлений, возникающих в этой области. Кроме того, современное состояние моделирования фильтрационных течений вблизи скважин, как представляется, еще далеко от завершения. Наличие высоких градиентов основных физических параметров, описывающих течения вблизи скважин приводит к значительным затруднениям в осуществлении расчета пластов с большим количеством скважин и вызывает попытки построить различные приближенные модели течений в окрестности скважин. В нашей работе предложен аналитический подход к этим вопросам. Особый интерес для практики представляют нелинейные модели фильтрации, в силу того, что вплоть до настоящего времени продолжают широко применяться модели, описываемые линейным законом, хотя уже неоднократно отмечалось, что во многих практически важных случаях практика требует применения нелинейных законов фильтрации, что представляет собой гораздо более трудную задачу. В настоящей работе рассматривались модели исключительно с нелинейными законами фильтрации. Заметим, что построение точных решений задач нелинейной фильтрации оказывается весьма непростым. Для этого необходимо линеаризовать исходные нелинейные уравнения, что проделывалось в данной работе с помощью преобразования годографа, так как исходные уравнения для рассматриваемых задач в физической плоскости имеют нелинейную структуру. В этом смысле преобразование годографа остается весьма эффективным методом для моделирования процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных.

Подводя итог работы, скажем, что к основным новым результатам, полученным в ней можно отнести следующие.

В первой главе рассмотрена задача о притоке несжимаемой однофазной жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации. Этот закон является нелинейным и в то же время все более широко использующимся в моделях современной подземной гидромеханики, где он особенно эффективен при больших скоростях фильтрации, что происходит, например, в окрестности высокодебитных скважин. Здесь этот закон является гораздо более точным, нежели линейный закон фильтрации Дарси. В работе построена точная математическая модель притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации при произвольном, но имеющим физический смысл, показателе степени. При построении этой модели были использованы имеющиеся результаты для аналогичной задачи для линейного закона фильтрации Дарси, поэтому помимо рассмотрения собственно степенного закона, в начале был рассмотрен линейный закон фильтрации Дарси и для него был установлен ряд полезных соотношений, имеющих, впрочем, лишь вспомогательный характер. Именно, найдены выражения для функции тока и напора в переменных годографа для задачи о притоке жидкости к горизонтальной скважине по этому закону. Затем были рассмотрены формулы перехода, связывающие физическую плоскость с плоскостью годографа, и на' основании асимптотического анализа этих формул была отмечена радиальность течения при линейном законе фильтрации в окрестности горизонтальной скважины. Отметим, что задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при нелинейных законах фильтрации имеют несоизмеримую трудность, по сравнению с аналогичной задачей для линейного закона фильтрации. На основании построенной в работе модели и точного решения задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при степенном законе фильтрации получены точные и приближенные формулы для расчета напора в окрестности скважины, которые могут служить для расчета давления на забое горизонтальной скважины. Для степенного закона фильтрации в работе рассмотрено также поведение линий равного напора при больших скоростях фильтрации. Эти линии ортогональны линиям тока течения. Показано, что линии напора имеют разное поведение при различных значениях показателя степени в степенном законе фильтрации. Граничным значением показателя степени является п=3. Справа и слева от этого значения линии равного напора демонстрируют различное поведение. Физически это может бьггь связано, с возникновением подавляющего влияния сил отличных от сил вязкости и инерционных в пористой среде при п>3. Для степенного закона фильтрации проведено также сопоставление течений с линейным законом фильтрации, а также с двучленным законом фильтрации, в случае наличия радиальной симметрии.

Во второй главе настоящей работы построена модель притока несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при модифицированном законе фильтрации В. В. Соколовского. Этот закон выгодно отличается от многих других законов фильтрации тем, что исследование задач для этого закона может бьггь приведено в плоскости годографа к уравнению Лапласа. В работе построено точное решение задачи о притоке несжимаемой жидкости к горизонтальной скважине при этом законе фильтрации. Отметим, что решение этой задачи было получено в элементарных функциях. Аналогично степенному закону фильтрации, на основании построенного точного решения получены точные формулы для вычисления напора или давления в окрестности скважины или на забое, а также и в других точках, которые мог>т находиться на значительном удалении от скважины. Для случая радиального течения проведено сопоставление напоров при линейном законе фильтрации и при модифицированном законе фильтрации Соколовского.

Также во второй главе проведены расчеты по сопоставлению величин напоров для степенного закона и линейного закона фильтрации на основании аналитических соотношений полученных в предыдущей главе и проведено сравнение напоров при фильтрации к горизонтальной скважине по степенному закону и при радиальной фильтрации по степенному закону. Щ.