Криволинейные системы координат

Курсовая работа тема: «Криволинейные системы координат»

1. Общие положения

2. Коэффициенты Ламе

3. Взаимный базис

4. Полярная система координат

5. Цилиндрическая система координат

6. Сферическая система координат

7. Преобразования векторов при переходе к криволинейным координатам Список использованной литературы и источников

Введение

Во многих задачах удобнее использовать систему координат, учитывающую симметрию условий задачи. Так, в задачах, обладающих цилиндрической или сферической симметрией, вместо декартовой системы координат удобнее использовать цилиндрическую или сферическую системы. В них уравнения, описывающие различные физические процессы, обычно выглядят проще. В этой главе рассмотрим основные ортогональные системы координат: полярную, цилиндрическую и сферическую. Для определения основных геометрических характеристик, таких как длина, площадь, объем, воспользуемся коэффициентами Ламе.

1. Общие положения В декартовой системе координат положение точки определяется ее проекциями на координатные оси.

Радиус-вектор r определяется выражением

.

Введем новую систему координат, поставив в соответствие каждой тройке чисел другую тройку, которая определяется формулами

.

Решая эту систему уравнений, получим

.

Уравнения образуют поверхности, которые называют координатными поверхностями. Пересекаясь между собой, эти поверхности образуют линии, которые называют координатными линиями. На координатной линии, которая образуется при пересечении координатных плоскостей очевидно, меняется только координата, координаты же и сохраняют неизменное значение.

Вектор направлен по касательной к координатной линии .

Аналогично, векторы

и

направлены по касательным к координатным линиям и. Эти векторы образуют базис в новой криволинейной системе координат. В отличие от декартовой системы новый базис может меняться от точки к точке, а его длина, вообще говоря, отлична от единицы.

Наиболее часто используют криволинейные ортогональные координаты.

Определение 1. Система координат называется ортогональной, если координатные линии этой системы в каждой точке взаимно перпендикулярны.

Примерами ортогональных систем являются полярная, цилиндрическая, сферическая. Используются также и неортогональные системы, но в этом курсе мы их рассматривать не будем.

При переходе к новой системе координат требуется выполнять преобразования векторов и тензоров к новой системе. В курсе «Основы тензорного анализа» (ОТА) для перехода от базиса к новому базису получена формула

где числа образуют матрицу

.

Для элемента приняты обозначения: j — номер строки, i — номер столбца. Будем считать матрицу, А невырожденной, т. е. ее определитель отличен от нуля.

В ОТА показано, что компоненты вектора преобразуются по формуле

где — компоненты обратной матрицы. В дальнейшем используем эти формулы для преобразования векторов в криволинейных системах координат.

2. Коэффициенты Ламе Обозначим длину вектора через

ламе координата вектор криволинейный

.

Коэффициенты называют коэффициентами Ламе. Их геометрический смысл — длина базисных векторов. Тогда базисные векторы можно записать в виде

где — базисный вектор, коллинеарный вектору и имеющий единичную длину. Учитывая, что

можно записать

.

Если использовать обозначения тензорного анализа

где — компоненты метрического тензора, то можно записать

.

Недиагональные компоненты метрического тензора равны нулю, т.к. система координат ортогональна. Матрица метрического тензора имеет вид

.

Полагая

Получим

.

Эти формулы позволяют определить коэффициенты Ламе, если заданы формулы преобразования координат.

Рассмотрим выражения для длин, площадей и объемов, которые можно получить с помощью коэффициентов Ламе.

Длина. Запишем дифференциал

.

Учитывая, что система координат ортогональна, получим выражение для квадрата длины вектора

.

В частности, если рассматривается приращение вдоль координатной линии, то элемент длины

.

Площади. В трех координатных поверхностях можно построить три параллелограмма, образованные соответствующими отрезками координатных осей. Параллелограмм с отрезками и имеет площадь

.

Аналогичные выражения можно записать для параллелограммов, образованных в других координатных поверхностях.

.

.

Объем. Объем параллелепипеда, образованного координатными отрезками, и определяется формулой

.

Приведенные формулы для длины, площади и объема используются также для определения коэффициентов Ламе.

3. Взаимный базис Уравнение определяет координатную поверхность. Вектор направлен по нормали к этой поверхности.

Векторы образуют взаимный базис. Введем обозначения

где — длина вектора , — единичный вектор, коллинеарный вектору. Видно, что — аналоги коэффициентов Ламе во взаимном базисе. Их называют дифференциальными параметрами первого порядка.

Теорема 1. Векторы и удовлетворяют условиям

.

Доказательство. Имеем

.

Дифференциалы

.

Для определенности рассмотрим дифференциал :

.

Отсюда получим

.

Аналогично доказываются остальные соотношения.

Из полученных формул следует

.

Из последнего соотношения следует

т.е. в ортогональной системе координат единичные векторы основного и взаимного базисов совпадают.

Теорема 2. Коэффициенты и удовлетворяют условиям

.

Доказательство. Рассмотрим для определенности условие

.

Учитывая условие, получим

.

Итак, для градиента координатной поверхности получим

.

4. Полярная система координат Рассмотрим полярную систему координат, которая определяется следующими формулами Обратное преобразование

Найдем базисные векторы и коэффициенты Ламе для полярной системы координат.

Базисные векторы определяются формулами

.

В полярной системе координат,. Получим

.

Положения базисных векторов показано на рисунке Как видно из рисунка и формул, в различных точках базисные векторы имеют различные направления и длины.

Из формул для преобразования базисных векторов следует матрица преобразования

.

Нетрудно найти обратную матрицу

.

Для определения коэффициентов Ламе можно воспользоваться формулами

.

Получим Часто для коэффициентов Ламе используют индексы, содержащие обозначения соответствующих координат:

.

Запишем выражения для длины и площади элементов, используя коэффициенты Ламе.

Длина.

.

Площадь.

.

Пример 1. Найти коэффициенты Ламе для полярной системы координат, используя выражения для элементов длин сторон бесконечно малого криволинейного параллелограмма.

Решение. Сделаем рисунок.

Пример 2. Найти взаимный базис для полярной системы координат. Найти коэффициенты Ламе взаимного базиса.

Решение. Из определения взаимного базиса

Получим

.

Сравнение с формулами обычного базиса показывает, что справедливы равенства

,

т.е. по направлению прямой и взаимный базисы совпадают, а по величине являются взаимно обратными:

.

Коэффициенты Ламе взаимного базиса определяются формулами

.

Пример 3. Записать метрический тензор для полярной системы координат.

Решение. Метрический тензор связан с коэффициентами Ламе соотношением

.

Для полярной системы координат можно записать

.

Для взаимного базиса метрический тензор имеет вид

.

Тензор является ковариантным метрическим тензором, а — контравариантный метрический тензор.

5. Цилиндрическая система координат Цилиндрическая система координат является обобщением полярной на случай пространства трех измерений. На рисунке показаны координаты и базисные векторы для цилиндрической системы.

Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими формулами Обратное преобразование Найдем базисные векторы и коэффициенты Ламе для цилиндрической системы координат.

Базисные векторы:

.

Коэффициенты Ламе:

Другие обозначения коэффициентов Ламе:

.

Из формул для преобразования базисных векторов следует матрица преобразования

.

Нетрудно найти обратную матрицу

.

Запишем выражения для длины и площади элементов, используя коэффициенты Ламе.

Длина.

.

Площади.

Объем.

.

Пример 1. Найти коэффициенты Ламе для цилиндрической системы координат, используя выражения для элементов длин ребер бесконечно малого криволинейного параллелепипеда.

Решение. Сделаем рисунок.

Пример 2. Найти взаимный базис для цилиндрической системы координат. Найти коэффициенты Ламе взаимного базиса.

Решение. Из определения взаимного базиса Получим

.

Сравнение с формулами обычного базиса показывает, что справедливы равенства

,

т.е. по направлению прямой и взаимный базисы совпадают, а по величине являются взаимно обратными:

, .

Коэффициенты Ламе взаимного базиса определяются формулами

, .

Пример 3. Записать метрический тензор в цилиндрической системе координат.

Решение. Для основного базиса

.

Для взаимного базиса получим

.

Отметим, что метрический тензор в цилиндрической системе координат отличается от метрического тензора в полярной системе наличием дополнительной размерности. При этом дополнительная ось z перпендикулярна полярной плоскости или плоскости xy.

6. Сферическая система координат Рассмотрим сферическую систему координат. Ее координаты связаны с декартовыми следующими формулами Обратное преобразование Найдем базисные векторы и коэффициенты Ламе для сферической системы координат.

Базисные векторы:

.

Коэффициенты Ламе для сферической системы координат.

Из формул для преобразования базисных векторов следует матрица преобразования

.

Нетрудно найти обратную матрицу

.

Другие обозначения коэффициентов Ламе:

.

Длина.

.

Площади.

Объем.

.

Пример 1. Найти коэффициенты Ламе для сферической системы координат, используя выражения для элементов длин ребер бесконечно малого криволинейного параллелепипеда.

Пример 2. Найти взаимный базис для сферической системы координат. Найти коэффициенты Ламе взаимного базиса.

Решение. Из определения взаимного базиса Получим Сравнение с формулами основного базиса показывает, что справедливы равенства

, ,

т.е. по направлению прямой и взаимный базисы совпадают, а по величине являются взаимно обратными:

, .

Коэффициенты Ламе взаимного базиса определяются формулами

, .

Пример 3. Записать метрический тензор в сферической системе координат для основного и взаимного базисов.

Ответ. Для основного базиса

.

Для взаимного базиса

.

7. Преобразования векторов при переходе к криволинейным координатам При вычислениях в криволинейных системах координат нередко возникает необходимость преобразования векторов и тензоров, заданных в декартовой системе, к криволинейной системе координат. В более общей постановке это задача изменения компонент векторов и тензоров при преобразованиях систем координат. Для решения этой задачи используем аппарат тензорного исчисления.

Рассмотрим систему координат с базисом и новую систему с базисом. При переходе к новому базису базисные векторы преобразуются по формулам

где — компоненты матрицы преобразования.

Разложение вектора по старому и новому базисам имеет вид

причем связь между компонентами вектора определяется формулой

где

— матрица, обратная по отношению к. Рассмотрим формулы преобразования векторов при переходе от декартовой к полярной, цилиндрической и сферической системам координат.

Полярная система координат. Для полярной системы координат матрицы, А и В имеют вид

.

Если вектор в декартовой системе координат имеет вид, то его координаты в полярной системе

.

Следовательно, в полярных координатах вектор F имеет вид Цилиндрическая система координат. Для цилиндрической системы координат матрицы, А и В имеют вид

.

Если вектор в декартовой системе координат имеет вид, то его координаты в цилиндрической системе

.

Следовательно, в цилиндрической системе координат вектор F имеет вид Сферическая система координат. Для сферической системы координат матрицы, А и В имеют вид

.

Если вектор в декартовой системе координат имеет вид, то его координаты в сферической системе

.

Следовательно, в сферической системе координат вектор F имеет вид

Список использованной литературы и источников

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, М.: МГУ, 1999, 798 с.

2. Кальницкий Л. А., Добротин Д. А., Жевержев В. Ф. Специальный курс высшей математики для втузов, М.: «Высшая школа», 1976, 390 с.

3. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.: Наука, 1985, 384 с.

5. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В. С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

6. Красильников О. М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

7. Супрун И. Т., Абрамова С. С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.