Тождества алгебр и их представлений

Содержание

• Глава 0. Вспомогательные сведения и утверждения
  • 1. Ассоциативно-лиевы пары, тождества пар, многообразия пар. Связь с многообразиями представлений алгебр Ли
    • 1. 1. Категория ассоциативно-лиевых пар. Тождества пар
    • 1. 2. Категория представлений алгебр Ли в ассоциативных алгебрах
    • 1. 3. Категория представлений алгебр Ли в линейных пространствах
  • 2. Центральное замыкание для полупервичных алгебр
    • 2. 1. Построение центрального замыкания
    • 2. 2. Простейшие свойства центрального замыкания
    • 2. 3. Центрально-замкнутые первичные алгебры, достаточные условия замкнутости
  • 3. Тождества Капелли и теорема о ранге
  • 4. Изоморфизм центрально-первичных ассоциативно-лиевых пар над алгебраически замкнутым полем, имеющих одни и те лее тождества
• Глава I. -функция на 2-словах и выделяемые ею многообразия представлений алгебр Ли
  • 5. Понятие о* -функции на 2-словах
  • 6. Многообразие пар, задаваемое ы -функцией
  • 7. Построение о*-функции по любому представлению конечномерной алгебры Ли, обладающей невырожденной инвариантной симметрической билинейной формой
  • 8. Соответствие между рщеалами слабых тождеств и идеалами коммутативной алгебры, задаваемое о^-функцией
  • 9. Общий подход и постановка задачи исследования многообразий пар в методе 2-слов
• Глава 2. оI -функции, связанные с формой Киллинга и неприводимыми представлениями полупростых алгебр Ли. Центральные полиномы неприводимых представлений редуктивных алгебр Ли
  • 10. Формулировка основных результатов главы
  • 11. Несколько замечаний об обертывающих алгебрах полупростых алгебр Ли
  • 12. Существование центральных полиномов в простых обертывающих алгебрах
  • 13. Многообразия трехосновных алгебр VCl t (К,
  • 14. Вспомогательная трехосновная алгебра {T0f^, f^) и продолжение оС -функции о^ на пространство обобщенных 2-элементов
  • 15. Доказательство теоремы 14. I для конечномерной алгебры V
  • 16. Доказательство теоремы 10. I
  • 17. Доказательство теоремы 14 Л в общем случае
  • 18. Некоторые следствия теорем 10. I и 14. I III
  • 19. Доказательство теоремы
• Глава 3. ol -функция, связанная с полными матричными алгебрами. Тождества со следом и центральные полиномы полных матричных алгебр М^ и матричных супералгебр М ГЦ к
  • 20. Основные результаты главы
    • 20. 1. Основные обозначения
    • 20. 2. Основные результаты
  • 21. Вычисление ot -функции и алгебры
• • 22. Алгебра полиномов со следом. Основные понятия
  • 23. Вспомогательная алгебра со следом
    • 23. 1. Алгебра
    • 23. 2. Алгебра U (tf)
    • 23. 3. Расширение области определения oL -функции oi- В —> К t ЗГ^
    • 23. 4. Билинейное спаривание t
    • 23. 5. Замыкания, ^ и их связь с^, ^
    • 23. 6. Свойства билинейной формы в: Те®Тг — Ktfl
    • 23. 7. Задание структуры групповой алгебры на Tg
  • 24. Классификация над полдали нулевой характеристики
• -замкнутых идеалов и идеалов тождеств со следом V, для которых VOT^ - двусторонний идеал в Те
  • 25. Описание тождеств со следом в полных матричных алгебрах М^ и супералгебрах
    • 25. 1. Тождество со следом Гамильтона — Кэли и тождества со следом алгебры М ^
    • 25. 2. Модельные алгебры для идеалов тождеств со следом Yd
  • 26. Tpvi леммы
    • 26. 1. Лемма о ветвлении
    • 26. 2. Полные матричные алгебры над полем в многообразии Vdl М к
    • 26. 3. Матричные супералгебры в многообразии тг М^ к
  • 27. С-дуальные множества в алгебрах М Л «
  • 28. Тождества со следом супералгебры М^ к
    • 28. 1. Алгебра В п к
    • 28. 2. Доказательство теоремы
  • 29. Центральные полиномы в алгебрах М^, М^ к
    • 29. 1. Слабые тождества в алгебрах и критерий существования центральных полиномов в
    • 29. 2. Существование полилинейных существенно слабых тождеств в алгебрах М^ «над полями положительной характеристики
    • 29. 3. Построение полиномиальных С-дуальных множеств и центральных полиномов для алгебры МЛ к для полей положительной характеристики
    • 29. 4. Существование полилинейных существенно слабых тождеств для алгебр Мгцк наД полями нулевой характеристики
    • 29. 5. Построение полиномиальных С -дуальных множеств и центральных полиномов для полей нулевой характеристики
  • 30. Описание решетки ^ -замкнутых идеалов в К[у]
  • 31. Следствия из классификации -замкнутых идеалов тождеств со следом, относящиеся к многообразиям ассоциативных ниль-алгебр
    • 31. 1. Многообразия ниль-алгебр над полями нулевой характеристики
• • 31. 2. Примеры неразрешимых р~1 -энгелевых многообразий ассоциативных алгебр
• Глава 4. оС-функция, связанная с представлениями простой трехмерной алгебры Ли^, и ее
• приложения к многообразиям групп и ассоциативных алгебр
  • 32. Сводка результатов главы
  • 33. Вычисление -функции ¿.В
• и алгебры
• • 33. 1. Некоторые тождества трехосновной алгебры И пары (и^,^)
  • 33. 2. Вспомогательная трехосновная алгебра
• С %, 11, Р£)
  • 33. 3. Вспомогательные ассоциативные алгебры
• Аф> АФ
  • 33. 4. Билинейное спаривание (г л «^
  • 33. 5. ^ -замкнутые идеалы алгебре
• • 34. Базис тождеств для алгебры Ли $
  • 35. Конечная базируемость тояществ подмногообразий пар в над полями нулевой характеристики 229 35.1. Условие минимальности для подмногообразий в Ш г (Уу
• Й5.2. Конечная базируемость тождеств пары
  • 36. Неразрешимые р-2-энгелевы алгебры Ли над полями характеристики р ^
  • 37. Неразрешимость многообразий локально-конечных групп экспоненты 4 и простой экспоненты р при р ^
  • 38. Базис тождеств полной матричной алгебры второго порядка

I. Выделение классов объектов исследования с помощью тождеств является хорошо известным и давно используемым в математике алгебраическим приемом при изучении различных математических структур. Таким образом определяются ставшие классическими классы алгебраических объектов: класс групп, класс ассоциативных алгебр, класс алгебр Ли, классы альтернативных и йордановых алгебр. За массами универсальных алгебр, задаваемых тождественными соотношениями, в настоящее время в литературе закрепилось два названия: «многообразие алгебр» (Г.Биркгофф, Б. Нейман), «примитивный класс алгебр» (А.И.Мальцев).

Еще в основополагающей работе Г. Биркгоффа 1935-го года по универсальным алгебрам Г841 было отмечено, что каждый класс универсальных алгебр, заданный тождественными соотношениями, замкнут относительно трех операций над алгебрами из этого класса: а) операции взятия полных декартовых произведений, б) операции взятия подалгебр, в) операции взятия гомоморфных образов- более того, им было доказано, что это свойство класса является характеристическим, то есть любой класс универсальных алгебр, замкнутый относительно этих трех операций может быть задан своими тождествами. Утверждение Г. Биркгоффа сделало достаточно наглядным понятие многообразия, указало в универсальной алгебре явно соотношение между аксиоматическим и модельным подходом при изучении примитивных классов алгебр и закрепило два способа задания таких классов:

1-ый способ. Многообразие задается явно своими тождествами.

2-ой способ. Многообразие исследуемых алгебр задается конкретными алгебрами, порождающими это многообразие относительно указанных выше трех операций.

Наличие этик двух способов и дальнейшее осмысление проблемы эффективности построения объектов в математике с неизбежностью привело к постановке общих задач о взаимоотношении этих двух способов. При первом способе определения многообразия при помощи конкретной перечислимой системы тождеств естественно возникает вопрос: можно ли данное многообразие породить относительно указанных трех операций эффективно заданными алгебрами, например, алгебрами с разрешимой проблемой равенства. Частным случаем этой задачи является разрешимость проблемы равенства в свободной алгебре произвольного конечного ранга так заданного многообразия. Второй способ задания многообразия рано или поздно приводит к вопросу о возможности эффективного описания тождеств, определяющих заданное многообразие, в частности, к вопросу о возможности задания этого многообразия конечным числом тождеств.

Как правило, второй способ задания исследуемого класса алгебраических объектов предшествует первому. Конкретные примеры новых однотипных алгебр появляются на более раннем этапе исследования. Только на следующем этапе возникает вопрос об отыскании общих свойств введенных объектов, которые обеспечивают те или иные теоремы и результаты об этих объектах. В частности, это приводит к описанию тождеств алгебр и тех свойств алгебр, которые этими тождествами определяются. При этом далеко не всегда удается получить все определяющие тождества первоначально заданных алгебр- по большей части, оказывается достаточно только тех из них, которые обеспечивают формальную выводимость большинства нужных исследователю свойств алгебр, близких к свойствам первоначальных объектов. В этом случае примитивный масс изучаемых алгебр неявно расширяется и в рассмотрение вводится многообразие алгебр, заданное найденными тождествами. Примером такого введения многообразия является примитивный класс йордановых алгебр, для которого первичными объектами исследо

— 9 вания были специальные йордановы алгебры.

Разумеется, язык тождеств и многообразий очень беден. Многие интересные классы алгебр нельзя задать только тождествами. Более того, обычно даже внутри многообразия свойства конкретных классов алгебр, например, простых алгебр не удается вывести только из тождественных соотношений. Во многом этих недостатков оказалась лишенной другая теория, использующая весь аппарат математической логики, — теория моделей, берущая свое начало от работ А. Тарского 1936 года по теории множеств с заданной на них системой отношений. Страстным пропагандистом идей этой теории в СССР стал А. И. Мальцев, который в своей работе 1936 года указал на возможность реального использования аппарата математической логики в алгебраических исследованиях как по теории универсальных алгебр, так и в классическом разделе алгебры — теории групп. Дальнейшее внедрение в алгебраические исследования понятий и методов математической логики привело к основанию А. И. Мальцевым теории алгебраических систем, расположенной на стыке алгебры и логики, и последующему исследованию аксиоматизируемых классов алгебраических систем.

Тем не менее интерес к изучению тождеств и многообразий со стороны алгебраистов постепенно нарастал. В первую очередь это объяснялось, тем, что трудные задачи теории конкретных многообразий понемногу набирали вес, становились все более привычными широкому кругу алгебраистов и решение их приобретало престижный характер.

Здесь следует отметить большую роль, которую сыграли первоначальные работы Б. Неймана по теории подмногообразий многообразия групп и последующие работы австралийских алгебраистов по этой тематике. Итоги этой работы были подведены в монографии X. Нейман «Многообразия групп» (1967 год), переведенной на русский язык в 1969 году. В этой книге приведен очень удачный подбор задач, которые были поставлены в результате 30-летнего исследования многообразий групп и которые определили направления исследований этой теории на последующее пятнадцатилетие. Эти же задачи нашли свое отражение в теории многообразий ассоциативных, лиевых, йордановых и альтернативных алгебр.

Центральной задачей этой теории оказалась проблема конечной базируемости тождеств конкретных многообразий. Примеры многообразий групп, не допускающих конечного базиса тождеств, были приведены в 1969 году А. Ю. Ольшанским, а затем почти одновременно С.И.Адя-ном и Вон-Ли (см. Ц91, [11, [107]). Это дало отрицательное решение общей проблемы конечной базируемости подмногообразий в многообразии всех групп. В работах С. И. Адяна и Вон-Ли многообразия были заданы явно независимыми системами тождеств.

Большое влияние на последующие исследования многообразий и тождеств оказала работа 1964 года Ш. Оуэтс и М. Пауэлла (см. [100]), доказавших конечную базируемость тождеств любого подмногообразия многообразия групп, порожденного конечной группой. В дальнейшем аналог этого результата был получен в многообразиях ассоциативных колец (И.В.Львов, 1969 год, см. [39]), лиевых колец (Ю.А.Бахту-рин и Ольшанский А. Ю., 1975 год, см. ?31), альтернативных колец (И.В.Львов, 1977 год, см. [4 0]), йордановых алгебр (Ю.А.Медведев, 1979 год, см. [45]), представлений групп (С.М.Вовси, 1979 год, см. [6]).

Пример конечной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств, был построен в 1974 году С. В. Полиным (см. [511). Этот пример очертил в классе всех алгебр границы, в которых следовало искать аналоги теоремы Ш. Оуэтс и М.Пауэлла.

Первостепенную роль в переориентации и привлечении алгебраистов к задачам о тождествах сыграли проблемы бернсайдовского типа. Переломными в этой переориентации стали 40 — 50 -е годы, когда была решена большая часть этих задач.

Для групп такой задачей оказалась проблема Бернсайда о локальной конечности групп ограниченной экспоненты. В 1958 году П. С. Новиковым для достаточно большого нечетного числа И был найден алгоритм равенства в свободной группе, заданной тождеством {, из которого последовало отрицательное решение проблемы Бернсайда для таких групп (краткая заметка об этом была опубликована П. С. Новиковым в 1959 году, см. 14 71, подробная публикация для 4381 была сделана П. С. Новиковым и С. И. Адяном в 1968 году, см. дальнейшее улучшение: М^ 665 — содержится в монографии С. И. Адяна [21).

Для ассоциативных алгебр важной оказалась работа Дж. Левицкого 1946 года, в которой было дано положительное решение ограниченной проблемы А. Г. Куроша о локальной нильпотентности алгебр, удовлетворяющих тождеству Xй" ~0, и локальной конечности алгебраических алгебр ограниченной степени (см. [961). Вместе с работой 1948 года И. Капланского (см. [941) о строении примитивных ассоциативных алгебр, удовлетворяющих нетривиальному полиномиальному тождеству, работа Дж. Левицкого положила начало последующим исследованиям ассоциативных алгебр, удовлетворяющих нетривиальному полиномиальному тождеству (так называемых Р1 -алгебр), и изучению тождеств ассоциативных алгебр.

Из результатов 50-х годов в этом направлении в первую очередь следует отметить теоремы Ш. Амицура 1957 года о локальной нильпотентности радикала Джекобсона в конечно порожденной рг -алгебре и совпадении радикала Джекобсона в относительно свободной Р1 -алгебре с идеалом тождеств некоторой полной матричной алгебры над полем (см. [#03), а также теорему А. И. Ширшова 1957 года о высоте (см. 1781), которая дала конструктивное решение ограниченной проблемы А. Г. Куроша.

В том же 1957 году И. Капланский опубликовал заметку (см. [93]? а также [92]) с серией задач, которые оказались полезными для 19 дальнейшего развития теории Р1 -алгебр и последующих исследований тождественных соотношений ассоциативных алгебр. Из работ 70-х годов по этой проблематике необходимо отметить результаты 1972 года Э. Формэнека [Ш и автора диссертации [561, которые дали положительный ответ на вопрос И. Капланского о существовании центрального полилинейного полинома для полных матричных алгебр над произвольным коммутативным кольцом с единицей, теоремы А. Регева 1972 года о тензорном произведении Р1 -алгебр и об экспоненциальном росте размерностей пространств полилинейных полиномов от Я переменных в любой свободной Р1 -алгебре над полем нулевой характеристики (см. С1041), теорему автора 1974 года о нильпотентности радикала Джекобсона конечно порожденной Р1 -алгебры, в которой выполняются все тождества некоторой полной матричной алгебры над полем произвольной характеристики или все тождества Капелли некоторого порядка над полем характеристики нуль (см. [6 3]).

В этот же период не ослабевал интерес к проблеме конечной ба-зируемости тождеств в многообразиях ассоциативных алгебр. Этой проблематике были посвящены статьи В. Н. Латышева (см. [34−371). Достаточно общие условия для конечной базируемости тождеств некоторого многообразия ассоциативных алгебр и всех его подмногообразий (такие многообразия были названы В. Н. Латышевым шпехто-выми) были найдены независимо в работах В. Н. Латышева [37] и Г. К. Генова [41. Из их результатов, в частности, следует шпехтовость многообразия, порожденного алгебрами треугольных матриц произвольного порядка над полем характеристики нуль.

80-е годы ознаменовались тем, что были подведены итоги более чем 35-летней деятельности алгебраистов по уточнению и усилению выше упомянутых результатов Дж. Левицкого и Ш. Амицура. В работах автора, А. Р. Кемера, А. Брауна (см. [521, ШЗ) была доказана нильпотентность радикала Джекобсона в произвольной конечно порожденной PI -алгебре. (Автор диссертации доказал, что над полем нулевой характеристики радикал Джекобсона в конечно порожденной PI -алгебре нильпотентен тогда и только тогда, когда в ней выполняется тождество алгебраичности некоторого порядка (см. [S21). А. Р. Кемер показал, что из результатов А. Регева об экспоненциальном росте любого нетривиального многообразия ассоциативных алгебр вытекает выполнимость в любом многообразии PI -алгебр тождества алгебраичности достаточно большой степени (см. НА]). Это дало решение задачи для PI -алгебр над полями нулевой характеристики. А. Брауну удалось свести проблему о нильпотентности радикала Джекобсона для PI -алгебр произвольной характеристики к выше упомянутому результату автора о нильпотентности радикала конечно порожденной pi -алгебры, в которой выполняются все тождества некоторой полной матричной алгебры над полем.) Очень сильный результат о конечной базируемости тождеств полной матричной алгебры произвольного порядка был доложен на Щ-й Всесоюзной алгебраической конференции в Минске А. В. Яковлевым в 1983 году.

На изучение тождеств алгебр Ли и их представлений сильное влияние оказала ослабленная проблема Бернсайда об ограниченности порядков всех конечных груш с заданным числом образующих и тождеством X и цикл работ 50-х годов А. И. Кострикина по энгелевым алгебрам Ли. Уже в начале 50-х годов было известно, что для любого простого числа р эта проблема решается положительно, если любая р-1 -энгелева алгебра Ли над полем из р элементов локально конечна. Работы А. И. Кострикина (см. 127], [28]) не только обосновали локальную нильпотентность энгелевых алгебр Ли и дали решение старой и хорошо известной задачи — ослабленной проблемы Бернсайда для групп простого периода р -, но и дали толчок к дальнейшему изучению тождественных соотношений в алгебрах Ли и представлениях алгебр Ли. По существу в этих работах впервые было введено понятие тождества ассоциативно-лиевой пары (Ау L) (L — алгебра Ли, Д — ее ассоциативная обертывающая алгебра) как такой формулы |(? 1 ??)= 0 (| - ассоциативный полином от некоммутирующих переменных, t?,. ,), которая обращается в верное равенство в алгебре, А при подстановке вместо «любых элементов алгебры Ли L. Это понятие органично соединило в себе понятие тождества ассоциативной алгебры (для этого достаточно ограничиться рассмотрением тождеств ассоциативно-лиевых пар (a, l), для которых l совпадает с д ') и понятие тождества алгебры Ли ^ (для этого достаточно ограничиться рассмотрением тождеств ассоциативно- лиевой пары (A}L), где L-= udoj? д — ассоциативная подалгебра в ettcl^ UJ, порожденная acl). В свою очередь это сделало возможным изучение тождеств ассоциативных алгебр и алгебр Ли с единых позиций при помощи ассоциативно-лиевых пар и предопределило дальнейшее вычленение теории многообразий ассоциативно-лиевых пар и их тождеств в предмет самостоятельного исследования.

2. Данная диссертация посвящена изучению тождеств ассоциативных алгебр, алгебр Ли и их представлений. Основным объектом изучения являются тождественные соотношения ассоциативно-лиевых пар. Главным методом исследования тождеств в диссертации является метод 2-слов, фундаментом для которого служит всесторонне разработанная теория конечномерных редуктивных алгебр Ли над полями нулевой характеристики и теория представлений таких алгебр.

Метод 2-слов возник в результате решения ряда конкретных задач, относящихся к теории многообразий алгебр Ли, ассоциативных алгебр и групп. Понятие 2-слова возникло в работе автора С59] в 1970 году при решении задачи о ненильпотентности p~í--энге левых алгебр Ли над полем характеристики поставленной А. И. Кострикиным в 1959 году. В зачаточном состоянии понятие ©-¿-функции на 2-словах было использовано в работе автора [5?1 для явного конструктивного построения ненильпотентного (р~2) -энгелевого многообразия алгебр Ли, у которого любое собственное подмногообразие нильпотентно, и построения локально конечного почти-кроссова неразрешимого многообразия групп экспоненты р. Предложенная в работах автора С583, [59] конструкция ненильпотентной р~2-энге-левой алгебры Ли и почти-кроссова многообразия была естественной только для случая 3-энгелевой алгебры Ли над полем характеристики р = 5, а для р>5 выглядела как чисто технический прием, который вряд ли мог быть использован в других задачах.

Важное для возникновения метода 2-слов наблюдение было сделано в 1971 году. Было замечено, что построенная в работах [581, [5*9] функция на 2-словах может быть получена естественным способом по двумерному представлению простой трехмерной алгебры Ли. Этот факт, значительно упростивший доказательство ненильпотентности р-2-энгелевой алгебры Ли и в известном смысле объяснивший существование таких алгебр Ли над полями характеристики р? 5, был отмечен автором в работе [561 в 1972 году.

Это наблюдение дало толчок к исследованию в двух взаимосвязанных направлениях.

Во-первых, построение функции на 2-словах для двумерного неприводимого представления простой трехмерной алгебры Ли допускало обобщение на случай любого неприводимого представления произвольной полупростой алгебры Ли ^ в конечномерном линейном пространстве V. Уже в частном случае для

Ц эта конструкция дала полное описание всех центральных полиномов полной матричной алгебры над полем М^ и привела к решению задачи о существовании центральных полиномов для алгебры М ^

-16 — *) см. С561), поставленной И. Капланским в 1957 году.

Во-вторых, функция оС на 2-словах, построенная по двумерному представлению простой трехмерной алгебры Ли позволяла применить идеи работы автора [5Я] для формального изучения тождественных соотношений этого представления и алгебры Ли, минуя модельные соображения. Эта часть работы была завершена в начале 1973 года в работе [60], в которой была доказана конечная базируемость и построены базисы тождеств для алгебры Ли $еи, ю, алгебры кватернионов и полной матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль. 8то дало решение проблемы, поставленной Ш. Амицуром.

Важный шаг для становления метода 2-слов был сделан в 1973 году. Было замечено, что по любому неприводимому модулю V над конечномерной алгеброй Ли, имеющей инвариантную симметрическую билинейную форму, может быть естественным способом построена функция на 2-словах со значениями в алгебраически замкнутом поле к, обладающая такими свойствами, которые позволяют определить многообразие ассоциативно-лиевых пар, исходя только из этой функции. При этом ^ Ъй-Ч (Епс^У,) и равенство могло не достигаться. Эта конструкция была применена для алгебры Ли М^-^^К) и ее И-мерного неприводимого представления в пространстве «v». (В этом случае — ИкХ М^), Из алгоритма вычисления этой конкретной функции следовало, что а) значения этой функции на любом 2-слове является многочленом от параметра И, б) сам алгоритм вычисления функции с/ требует расширения сигнатуры ассоциативной алгебры при помощи добавления унарной операции «след». Это привело с За решение задач А. И. Кострикина и И. Капланского автору была присуждена премия Московского математического общества за 1972 г. Эти два результата составили содержание его кандидатской диссертации. одной стороны к постановке задачи о тождествах со следом для полной матричной алгебры М^ и доказательству теоремы о том, что все тождества со следом в Н^ равносильны одному тождеству со следом, выражающему теорему Гамильтона-Кэли, а с другой стороны, и это было значительно более важным, впервые дало постановку задачи о самой

-функции. Конечно, эта задача была сформулирована только в частном случае, а именно, только для рассматриваемой функции оС, принимающей значения в кольце многочленов от одной переменной. Но налицо были все основные моменты: расширение сигнатуры, кольцо коэффициентов для Ы. -функции, описание всех идеалов коммутативного кольца, которым соответствуют нетривиальные идеалы тождеств со следом, описание тождеств со следом, задаваемых этими идеалами. Все эти результа ты были опубликованы в 1974 году в работе автора [6 51.

Концептуальное становление метода 2-слов было в основном завершено к концу 1976 года и базисные понятия и основная задача этого метода были сформулированы автором диссертации в докладе «Неразрешимость многообразия групп экспоненты 4» на Международной конференции по теории колец в Бельгии в 1978 году.

Метод 2-слов позволил автору с единых позиций оценить полученные им до этого результаты, упростить их доказательство и самое главное значительно углубить старые и получить новые результаты о тождествах алгебр и их представлений.

Вот основные новые результаты, которые были получены методом 2-слов после 1976 года.

Используя о*-функцию для трехмерного неприводимого представления простой трехмерной алгебры Ли, автор построил неразрешимую группу экспоненты 4 (см. С6 2]), что дало ответ на проблему, поставленную Ф. Холлом и Г. Хигменом в 1950 году. Была исследована с* -функция на 2-словах, построенная по любому представлению трехмерной простой алгебры Ли 0|, что привело к решению задачи о шпех-товости многообразия ассоциативно-лиевых пар, порожденного парой, где Уу — универсальная обертьшающая алгебра алгебры ^ (см. 153]), и отысканию конечных базисов любого неприводимого представления алгебры Ли О/ над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль (см. [72]). Изучение свойств Ы -функции оI на 2-словах, строящейся для произвольного неприводимого представления v полупростой алгебры Ли % над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, дало равенство ИМ- (V), где

V — простая обертывающая алгебры, имеющая тот же центральный характер, что и ^ -модуль V. Это равенство привело, во-первых, к построению центральных полиномов специального вида для почти всех неприводимых представлений редуктивных алгебр Ли, и, во-вторых, к построению ассоциативного полинома, позволяющего конструктивно восстанавливать алгебру бесконечно дифференцируемых функций на гладком многообразии по алгебре Ли всех векторных полей этого многообразия (см. [67]). Неожиданное дальнейшее

приложение получила классификация идеалов тождеств со следом из уже упомянутой работы 1974 года 165], которая была дана в рамках метода 2-слов для серий представлений алгебр Ли ^ц— м ^ в

И -мерных пространствах. Оказалось, что все найденные в этой работе идеалы тождеств со следом допускают естественную интерпретацию через идеалы тождеств со следом ассоциативных матричных супералгебр Ма к, на которых в качестве операции «след» следует взять суперслед. Это дало конечную базируемость и полное описание тождеств со следом во всех матричных супералгебрах М^ц (см. 166]).

Все выше упомянутые результаты, полученные методом 2-слов, включены в диссертацию.

3. Диссертация состоит из пяти глав.

Нулевая глава является вводной и состоит из четырех параграфов. В первом из них дан анализ трех имеющихся в настоящее время подходов к понятию тождества представления алгебры Ли. В нем даны определения ассоциативно-лиевой пары, тождества пары, многообразия ассоциативно-лиевых пар и определены все основные термины из общей теории многообразий ассоциативно-лиевых пар, которые используются в дальнейшем. Во втором параграфе приведена одна из возможных конструкций центрального замыкания и центроида Мартиндейла для полупервичной алгебры, описаны простейшие свойства этого замыкания и указаны достаточные условия центральной первичности алгебры (центральной замкнутости первичной алгебры). Основные результаты главы, имеющие самостоятельное значение, содержатся в

§§ 3, 4 (см. теоремы 3.1, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4). В третьем параграфе введено понятие тождественных соотношений типа Капелли, при их помощи определено понятие ранга произвольного подпространства алгебры и в случае первичной алгебры доказано, что размерность подпространства над центроидом Мартиндейла меньше на единицу, чем ранг этого подпространства (см. теорему ЗЛ). Весь четвертый параграф посвящен изучению различных достаточно общих условий для определяемости алгебры и представления алгебры своими тождествами. Эти условия сформулированы в теоремах 4.2, 4.3, 4.4. Из них применительно к алгебрам Ли и тождествам представлений алгебр Ли получены следующие утверждения.

Теорема

4.1. Пусть основное поле К алгебраически замкнуто. Пусть, ^ «точные неприводимые представления конечномерных к -алгебр Ли в линейных (не обязательно конечномерных) к -пространствах аг^ > соответственно. Обозначим через (? = 1,2) ассоциативную подалгебру в Епс1^ «порожденную алгеброй Ли. Тогда если в ассоциативнолиевых парах ^г) выполняются одни и те же тождества, то эти пары изоморфны.

Следствие. Над алгебраически замкнутым полем произвольной характеристики любая конечномерная полупростая алгебра Ли, имеющая единственный минимальный идеал, полностью определяется своими тождествами.

Эти утверждения являются чрезвычайно важными для общей теории тождественных соотношений. Они показывают, что язык тождеств достаточно богат, например, на нем возможно дать классификацию простых конечномерных алгебр Ли с точностью до изоморфизма.

Первая глава самая короткая в диссертации. Она является введением в метод 2-слов и составляет концептуальную основу всей диссертации. В ней даются основные определения и постановка основной задачи в методе 2-слов об ol -функции и задаваемых ею многообразиях ассоциативно-лиевых пар.

В этой главе пять параграфов:

§§ 5−9. Е

§ 5 вводятся понятие 2-слова, линейного пространства 2-элементов В над полем К и для произвольной коммутативной К -алгебры ^ указываются три свойства, выделяющие подмножество Ы -функций в множестве всех К-линейных отображений оГ. В —*? — затем в рассмотрение вводится категория о* -функций

ALPHA. В

§ 6 для любой ol -функции S и абсолютно свободной ассоциативной алгебры Н со счетным числом свободных образующих^, ^, - строится билинейное спаривание ^-у^в^Нд-* б, где V, А, Л — конечные подмножества множества^zt- ^ > «Частный случай этой теоремы, когда поле К имеет нулевую характеристику, У i f У] z «расщепляемые полупростые конечномерные алгебры Ли, V±, V^ - конечномерные линейные К-пространства, был получен А. Х. Кушкулеем и был выведен им из теоремы 4.2, впервые полученной автором диссертации (см. [31], [611). а Н ^ (или у НЛ) — подпространство в И полиоднородных полиномов степени 1 по каждой переменной из, А, степени 2 по каждой переменной из Л (или V) и степени 0 по всем остальным переменным. Используя это билинейное спаривание, каждой такой -функции в алгебре Н сопоставляется идеал слабых тождеств ЗГ^ и многообразиеассоциативно-лиевых пар Зэ^, однозначно определяемое идеалом ^^. Седьмой параграф посвящен построению по любому представлению ^ А алгебры Ли У, обладающей невырожденной билинейной симметрической инвариантной формой, в ассоциативной алгебре, А -функции с^- В ^

§, где В — центр подалгебры V, порожденной в, А подпространством f. В частности, при Епс1к у это позволяет строить оI -функцию по любому представлению такой алгебры Ли ^ в линейном пространстве V, а при, А = V }^{строить} о1 -функцию по ассоциативно-лиевой паре (1/? О/). Это дает естественные модели оI -функций (для них многообразие содержится в многообразии ассоциативно-лиевых пар К&Т (II} 0 $), порожденном парой (1Г))). В

§ 8 для фиксированной -функции & естественно вводятся отображения Ф^ и, позволяющие каждому идеалу слабых тождеств <л алгебры п сопоставить идеал алгебры о, а каждому идеалу I алгебры & сопоставить идеал слабых тождеств Кь = (I). Предложения 8.1, 8.2 показывают, что отображение

6 ЭД о Ф задает замыкание на множестве всех идеалов * и слабых тождеств алгебры П и все С^ -замкнутые идеалы образуют полную подполурешетку в полурешетке всех идеалов слабых тождеств относительно операции пересечения идеалов, аналогично, отображение ^ = задает замыкание на множестве всех идеалов алгебры

§ и все ^ -замкнутые идеалы образуют полную подполурешетку в полурешетке всех идеалов алгебры

§ относительно операции сложения идеалов, при этом отображения

* ^ - являются взаимно обратными.

В девятом параграфе дается постановка основной задачи об -функции ! В

§, которая разбивается на шесть содержательных подзадач об отображениях, ^^, , ^ и полурешетках,. Важным неформальным моментом в этом параграфе является то, что эту задачу предлагается решать не в общем случае для абстрактной о^ -функции, а для -функции В 8, которая однозначно определяется по некоторому выбираемому самим исследователем множеству 3 точных неприводимых представлений ^ ' редуктивных алгебр Ли 0/$ над алгебраически замкнутым полем К нулевой характеристики в К -линейных пространствах. Это приводит к дополнительным вопросам о строении этой конкретной К -алгебры $ и алгоритме вычисления -функции В-* & и к вопросу о том, чем следует руководствоваться при выборе множества Б

Следующие три главы диссертации связаны с решением поставленной в

§ 9 задачи для трех конкретных множеств 3 неприводимых представлений редуктивных алгебр Ли. Их назначение — наполнить реальным алгебраическим содержанием те формальные общие положения, которые были изложены в главе I и показать, как метод 2-слов позволяет получать далеко нетривиальные результаты о тождествах алгебр и их представлений, которые были упомянуты выше (см. страницы 14−18). В каждом из этих конкретных случаев полученные результаты об о^ -функции удается проинтерпретировать таким образом, что получаемая из них информация о тождествах ассоциативных алгебр, алгебр Ли и представлений алгебр дает решение известных задач о тождественных соотношениях, причем сама Ы -функция в окончательных формулировках этих утверждений не присутствует.

Во второй главе рассмотрен случай, когда множество $ состоит из одного элемента — точного неприводимого представления полупростой алгебры Ли С^ над алгебраически замкнутым полем К нулевой характеристики в линейном пространстве V". В этом случае Ы -функция с^! В ~~*

§ - К'1 строится, используя билинейную форму Киллинга (см.

§ 7).

Глава 2. содержит

§§ 10 — 19. Подробное расположение материала в этих параграфах дано в

§ 10. Поэтому упомянем здесь только главные результаты этой главы — теоремы 14.1, ЮЛ, 10.2.

Обозначим через

V — ассоциативную подалгебру в Еас1&bdquo- V порожденную ~ У Теорема 14.1 по существу утверждает, что многообразие ассоциативно-лиевых пар ^г^, заданное рассматриваемой -функцией оГ, 1 почти всегда совпадает с многообразием S0lX Точнее, включение Зу^? 15Ы (1/, ^) выполняется для любого представления^, а равенство достигается тогда и только тогда, когда 17 — простая алгебра и центр ее отличен от нуля. Следующее утверждение фактически равносильно теореме 14.1. В нем через к обозначено множество всех полилинейных ассоциативных полиномов вида ?211 —" ^¿т) — >^кт. К кососимметричных относительно ??1, ., ¿¿щ при любом? е11>., К}. Центральным полиномом для пары («ЬГ,^) называется ассоциативный полином |? Н, все значения которого на алгебре Ли О/ лежат в центре алгебры У», и тождество | = 0 не выполняется в паре Ш,^).

Теорема ЮЛ. Пусть полупростая конечномерная алгебра Ли ^ над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики имеет размерность Ш. Пусть ее обертывающая алгебра I/ проста и ее центр отличен от нуля. Тогда для некоторого натурального числа К в множестве полиномов к существует центральный полином для пары

Частный случай этой теоремы при ^ = $?(4, К), Ц~~ И ^ -полная матричная алгебра порядка И дает существование центральных полиномов для алгебры М^ и решает проблему Й. Капланского в случае нулевой характеристики основного поля. Другим следствием теоремы 14.1 является