Зависимость генерации магнитного поля тепловой конвекцией в плоском горизонтальном слое жидкости от скорости вращения

Физические явления геомагнитной природы известны человечеству с древних времен: плавающая металлическая игла, использовавшаяся в навигационных целях с XII века, служила первым компасом. Жизнь на Земле защищена магнитным полем от потоков заряженных частиц — солнечного ветра, чье взаимодействие с магнитосферой проявляется в виде полярного сияния. Магнитные поля также обнаружены у внеземных объектов, например, темные пятна на поверхности Солнца (солнечные пятна) — это зоны пониженной температуры вследствие сильной магнитной активностиЮпитер обладает самым сильным магнитным полем среди планет солнечной системы, его поле приблизительно в десять раз сильнее земногослабые магнитные поля обнаружены также у галактик и кластеров галактик. Все эти наблюдения приводят к вопросу: какова природа магнитных полей космических объектов, таких как звезды, планеты и галактики?

Период свободного затухания магнитного поля Земли порядка 104 лет, однако палеомагнитные наблюдения указывают на то, что поле существует по крайней мере 10° лет [127], поэтому оно не было наведено извне во время формирования планеты, и необходим механизм его самоподдержания. Земной магнетизм не может поддерживаться только постоянной намагниченностью по двум причинам: (1) температура внутри планеты существенно выше точки Кюри (500 — 800°С), при достижении которой ферромагнитные минералы теряют свою намагниченность [16] и (п) геомагнитное поле меняется на масштабах времени от секунд до миллионов лет [20]. Одно из интересных динамических свойств в главном дипольного земного магнитного поля это хаотическая (во времени) смена его полярности — магнитные инверсии они происходят на временных масштабах порядка 105 — 106 лет), периоды смены полярности занимают несколько тысяч лет [127]. Объяснение природы магнитного поля обычно дается в рамках теории динамо.

Магнитные поля звезд и планет часто связывают с движением проводящей расплавленной среды в их недрах [19, 23, 83, 124, 128, 155], которое поддерживается композиционной или тепловой конвекцией. Движение проводящей жидкости (например, во внешнем ядре Земли или в солнечной конвективной зоне) в присутствии магнитного поля согласно закону Фара-дея индуцирует электродвижущую силу, порождающую электрические токипо закону Био-Савара пространственное распределение электрического тока возбуждает магнитное поле, которое может усиливать начальное. Этот механизм, известный как магнитное динамо, был впервые предложен в [121].

Возможность генерации магнитного поля (вынужденными) течениями расплавленных металлов была подтверждена в лабораторных экспериментах. В эксперименте в Карлсруэ (Германия) жидкий натрий прокачивался по трубам с направляющими пластинами, предназначенными для создания спирального течения (схожего с течением Дж.О. Робертса [146]), что вызывало усиление естественного геомагнитного поля. В рижском эксперименте (Институт физики, Саласпилс, Латвия) [88−90] использовано течение, предложенное в [22]- расплавленный натрий, приводимый в движение пропеллером в соосных трубах, усиливал наложенное магнитное поле. Эксперименты в Кадараше (Франция) [39−41, 130, 131] показали возможность генерации магнитного поля течением жидкости, приводимой в движение вращающимся диском в покоящемся цилиндрическом контейнере, т. е. без какого-либо наложения сложной искусственной крупномасштабной структуры на геометрию течения. В Мэриленде и Мэдисоне (США) проводят динамо-эксперименты в сферическом слое и шаре, соответственно. Группа в Перми изучает генерацию магнитного поля нестационарным (неустановившимся) течением жидкости в торе, возникающим после его резкой остановки [85, 160]. (Упомянутые эксперименты описаны в обзорах [51, 80, 87] и в специальном выпуске журнала «Ма§ пе^Ьу^о (1упа1шсз'', том 38, выпуски 1−2, 2002). Также ответим, что особое внимание уделялось исследованию возможности усиления: :гч/Юл?нитного поля течениями жидких металлов в ядерных реакторах как в теоретических, так и в экспериментальных [35] работах (см. также исторические замечания и ссылки в [143]).

Конвективное динамо планет и звезд, в принципе, можно мо, о-е:гшровать непосредственным интегрированием уравнений, описывающих тепловые и электромагнитные процессы: уравнения Навье-Стокса, теплопроводности и магнитной индукции. Однако величины параметров, отвечающие астрофизическим объектам, требуют огромного количества вычислений, которые не могут быть выполнены даже на самых современных параллельных комщЕ"ютерах в разумное время. Более того, эти величины (такие как вязкость, коэффициент тепловой диффузии, электропроводность и др.) известны недостаточно точно. Поэтому необходимо изучать зависимость решений от величин параметровв частности, должны быть идентифицированы точки биф>з^ркаций.

Магнитное поле в проводящей жидкости описывается уравнение: зч^г магнитной индукции — линейным (по магнитному полю) параболические з^равнени-ем в частных производных. Влиягоге магнитного поля на течение^{жидкости} осуществляется посредством силы Лоренца, квадратичной по магнитному полю, и, поэтому, если магнитное поле мало, силой Лоренца в уравнении движения жидкости можно пренебречь. Таким образом, можно рассзч^са/гривать задачу о влиянии заданного течения проводящей жидкости на слабое магнитное поле как задачу о линейной устойчивости — т.н. задачу кинема/тического динамо [17]. В рамках этого подхода, если магнитное поле не затихает, когда время стремится к бесконечности, течение называется кинем: аттическим динамо (при заданных величинах параметров, характеризующих з^и-агнитные свойства жидкости), или течение называют способным генерировапь. магнитное поле в кинематическом (линейном) режиме. Если течение сто, хд. ионарно, то задача кинематического динамо сводится к изучению спектра, оператора магнитной индукции: заданное течение является кинематически:!^ динамо, если доминирующее (с максимальной действительной частью) собственное значение оператора магнитной индукции положительно. В теории кинематического динамо сформулированы условия для" полей скорости течений, гарантирующие отсутствие генерации в линейном режиме — они известны как антидинамо-теоремы (см. [17]). Например, доказано, что плоское течение (течение V называется плоским, если существует постоянный вектор р такой, что V • р = 0) не может быть кинематическим динамо [12]. Если течение является кинематическим динамо, магнитное поле не обязательно генерируется и в последующем нелинейном режиме. После того, как магнитное поле становится достаточно сильным, течение изменяется под действием силы Лоренца. Если измененное течение не может генерировать магнитное поле, то в устоявшемся режиме поле затухает (если только слабость магнитного поля не приводит к дальнейшим изменениям течения, приводящим к восстановлению способности генерировать). Это возможно, например, в конвективной системе, обладающей несколькими аттракторами, часть которых — кинематические динамо. Такое поведение действительно наблюдается в конвекции (см., например, [125]).

Согласно современным научным представлениям, земное и солнечное магнитные поля генерируются течением проводящей жидкости в расплавленном внешнем ядре и нижней конвективной зоне, соответственно. Поэтому естественно проводить вычисления в сферическом слое (для жидкости, заключенной между двумя вложенными сферами). Также часто рассматривается плоский слой (для жидкости, заключенной между двумя плоскостями), который можно рассматривать как сегмент сферического слояэто вычислительно существенно менее сложная задача.

Некоторые конвективные течения в плоском слое, от очень простых [125] до сложных турбулентных [52, 126], могут генерировать магнитное поле (см. также [107]). При моделировании динамо в жидком ядре Земли [96, 148], было найдено магнитное поле приблизительно верной величины, которое имеет форму диполя и испытывает инверсии, похожие на естественные. Динамо в сферических слоях также изучено в [101, 105, 165] и другими авторами.

В электропроводной жидкости в присутствии магнитного поля тепловая конвекция характеризуется в безразмерной форме числами Рэлея В. (характеризует амплитуду силы Архимеда), Прандтля Р (отношение кинематической вязкости и коэффициента тепловой диффузии), магнитным Прандтля Рт (отношение кинематической вязкости и коэффициента магнитной диффузии), и Тейлора Та (пропорционально скорости вращения). Обычно рассматривают условие прилипания на границах или свободные границы, идеально электропроводные или изолирующие, при постоянной температуре или с постоянным потоком теплаэто определяет граничные условия для скорости, магнитного поля и температуры, соответственно.

Как генерация магнитного поля конвективными течениями зависит от значений параметров системы, полностью не исследовано. Большие числа Рэлея предпочтительны для генерации (критическое Рт монотонно убывает с увеличением Щ в сферических слоях [46]. В [140] найдена аналогичная зависимость для плоского слоя при увеличении Я до некоторого критического значения, но при Я выше этого порогового значения поведение критического Рт перестает быть монотонным. Также исследовано влияние числа Прандтля [141].

Вращение, присущее большинству астрофизических объектов, может также способствовать генерации магнитного поля. Вращение Земли относительно быстрое. Считается, что геодинамо действует во внешнем ядре в магни-тострофическом режиме, в котором величина силы Кориолиса сравнима с величинами сил Лоренца, Архимеда и давления. Вращение — также важный фактор физики солнечной тахоклины [65], где, согласно современным представлениям, генерируется солнечное магнитное поле. Дифференциальное вращение приводит к возникновению т.н. о-—эффекта [17]. Хотя динамо, в основе которых лежит со—эффект, — обычно медленные (считается, что динамо в звездах быстрые), этот механизм ключевой в динамо Солнца [167]. При быстром вращении динамику процессов планетарного динамо определяют пограничные слои и сдвиговые течения [48]. Поэтому вопрос о том, как скорость вращения влияет на генерацию, представляет интерес для астрофизических приложений.

Зависимость магнитного поля от скорости вращения изучали в следующих работах. В [126] обнаружено, что вращение может способствовать генерации в нелинейном режиме — критическое значение магнитного числа Рей-нольдса уменьшается и отношение магнитной к кинетической энергии возрастает, если жидкость вращается. Напротив, в [53] найдено, что вращение не является существенным фактором: сообщается о «сходных инкрементах роста и сходных уровнях насыщения» в конвекции во вращающейся и невра-щающейся жидкости. Результаты только нескольких расчетов представлены в указанных работах, и поэтому какие-либо заключения малоубедительны. Тогда как турбулентные конвективные динамо не требуют вращения, вблизи установления конвекции в плоском слое вращение существенно как для кинематического [125], так и для нелинейного динамо [74] - в обоих режимах, рассмотренных этими авторами, динамо не было при отсутствии вращения. Численные исследования [166] генерации магнитного поля турбулентной тепловой конвекцией с числом Рэлея, зависящим от глубины, (названной авторами «проникающей» ввиду некоторой аналогии с моделями солнечного динамо) показали, что вращение «значительно увеличивает отношение магнитной энергии [мелкомасштабного поля] к кинетической», но существенного влияния вращения на генерацию крупномасштабного поля найдено не было. Крупномасштабное динамо (с зависящим от глубины числом Рэлея), приводимое в действие турбулентными конвективными течениями сжимаемой жидкости, было недавно обнаружено в [111, 112], где вращение играло решающую роль: крупномасштабное поле (генерируемое в присутствии турбулентного су-эффекта) присутствовало в устоявшемся режиме только при достаточно быстром вращении.

Диссертация посвящена исследованию зависимости генерации магнитного поля от числа Тейлора в идеализированной постановке. Жидкость в плоском слое, вращающемся вокруг вертикальной оси и подогреваемом снизу, рассмотрена в приближении Буссинеска — в нем силу Архимеда считают линейно зависящей от температуры и вариациями плотности в уравнении для течения жидкости пренебрегают везде, кроме слагаемого, отвечающего силе Архимеда (это конвекция Рэлея-Бенара [8, 34, 54, 77, 115, 129]). Считаем, что горизонтальные границы слоя идеально электропроводны и поддерживаются при постоянной температуре. Приняты условия периодичности в горизонтальных направлениях с одним и тем же периодом L для всех полей.

Конвекция Рэлея-Бенара в плоском слое в отсутствии вращения, а также при быстром и медленном вращении хорошо изучена. При малой величине R жидкость находится в покое. При увеличении числа Рэлея выше критического значения Rc (это значение не зависит от Р) жидкость приходит в движение. В большом диапазоне величин параметров течения как вращающейся, так и невращающейся жидкости имеют форму стационарных валов (возникающих при монотонной неустойчивости), в отсутствие вращения течение плоское. При Та = 0 устойчивость в пространстве (R, Р, к), где кгоризонтальный волновой вектор, изучена для свободных изотермических горизонтальных границ в [42, 47, 54]. Если жидкость вращается, то также возможна т.н. колебательная неустойчивостьтогда первичные течения в определенном диапазоне величин Р и Та — стоячие и бегущие волны [54, 66, 114]. При достаточно быстром вращении имеет место неустойчивость Кюпперса-Лортца [49, 118], т. е. стационарные валы становятся неустойчивыми к валам с другим направлением, и в фазовом пространстве возникает гетероклинный цикл. В пределе больших Та к задаче применимы асимптотические методы [38, 103, 109, 110, 170, 171]. Обзор современных исследований в конвекции Рэлея-Бенара приведен в сборнике статей [77] и в [34].

Мы фиксируем значения всех параметров за исключением числа Тейлора, и численно изучаем аттракторы системы при Та, возрастающем от нуля, а также идентифицируем бифуркации, ограничивающие ветви этих аттракторов. Мы изучаем усредненную по времени магнитную Еь и кинетическую Ev энергии режимов, из которых состоят ветви, а также их отношение Eb/Evпоследняя величина — мера эффективности динамо, представляющая интерес для астрофизических приложений (хотя мы, очевидно, рассматриваем не характерный для астрофизики диапазон величин параметров). Система также представляет интерес с точки зрения эквивариантной теории динамических систем, поскольку обладает большой группой симметрий.

Какие величины параметров оптимальны для такого исследования? Естественно рассмотреть величины параметров, при которых система не слишком сложна. Поведение динамической системы, которая описывает reoили астрофизический процесс, возникает в результате большого числа бифуркаций тривиального стационарного состояния, и поэтому чрезмерно сложна, чтобы служить естественной отправной точкой нашего исследования. Приблизиться к сложным режимам, возникающим в reoи астрофизических системах, можно будет на последующих стадиях исследования, путем продолжения по параметрам, значения которых начинаются с величин, для которых структура аттракторов динамической системы относительно проста. Также, мы не можем начинать со слишком малых значений Рт, потому что для них только турбулентные течения могут генерировать магнитное поле: для установления в конвективной МГД системе турбулентности должно произойти много бифуркаций, и, следовательно, для таких значений параметров система также весьма сложна. В противоположность этому, для относительно больших Рт уже ламинарные конвективные течения простой структуры способны генерировать магнитное полеболее того, если значение Рт не слишком велико, то магнитное поле не настолько сильно, чтобы сила Лоренца дестабилизировала конвективные течения. Такие значения параметров удобны для наших целей.

Бифуркации в системах с симметриями — предмет эквивариантной теории динамических систем [64, 82, 98, 99, 152]. Результаты этой теории используют, например, в биологии [161], неврологии [106], при изучении формирования структур [79, 104], в механике жидкости и газа [62, 71] и теории динамо.

63, 78]. В диссертации идентифицированы бифуркации ветвей аттракторов конвективной гидродинамической системы и стационарных МГД состояний: для каждой бифуркации были вычислены собственные значения и соответствующие им собственные подпространства оператора линеаризации системы уравнений, описывающих режимы, и таким образом установлены размерность и действие групп симметрии стационарных состояний на собственном подпространстве, что необходимо для использования эквивариантной теории бифуркаций.

В вычислениях мы приняли те же величины параметров, что и в [140]: Р = 1, Рт = 8, R = 2300 и L = 2/2 (это период, при котором при отсутствии вращения состояние покоя становится неустойчивым при минимальном R). Число Рэлея близко ко критическому значению для установления конвекции, поэтому конвективные аттракторы имеют простую структуру системы параллельных валовэто упрощает детальное изучение аттракторов и их бифуркаций. Согласно линейной теории устойчивости [54], конвективное движение жидкости подавляется вращением вблизи Та = 2000. Значение Рт достаточно близко ко критическому для установления генерации магнитного поля конвективными аттракторами, поэтому магнитные поля относительно малы, и течения жидкости в МГД аттракторах (когда динамо действует) качественно схожи с гидродинамическими аттракторами. Рассматриваемые величины не отвечают величинам параметров в reoи астрофизическим системах. Хотя эти величины выбраны из соображений вычислительного и математического удобства, они реализуются в природных объектах: в аккреционных дисках магнитные числа Прандтля Рт порядка единицы [145], Рт > 1 типично для межзвездного и межгалактического газов [45, 154]. Эксперимент с плазмой, предложенный в [157] для изучения астрофизических динамо, характеризуется величинами 3 • Ю-4 < Рт < 5. Также отметим, что обычно галактики — тонкие диски [24], и потому некоторые особенности постановки задачи, рассмотренной в диссертации (бесконечный плоский слой со свободными граничными условиями), могут быть перенесены в модели нелинейных галактических динамо. Тем не менее, в настоящей работе мы не преследовали цель моделировать непосредственно геоили астрофизические системы. Ниже приведены оценки величин параметров гидромагнитной конвекции во внешнем ядре Земли:

Р и 1.4, R ~ Ю30, Та ~ Ю30 and Рт «6×1(Г7.

102],.

Р ~ 10~2 — 10- R ~ 1025 — 1035, Та ~ Ю30 and Рт ~ 10~6 [36] и в конвективной зоне Солнца:

Р ~ Ю-7, Л ~ Ю20, Та ~ 1026 and Рт ~ 10~3.

137, 172].

В диссертации изучена гидромагнитная конвекция в определенном диапазоне величин параметров и обнаружено большое разнообразие МГД режимов (при различных величинах Та). Некоторые из них (обладающие подходящими симметриями) особенно интересны с точки зрения анализа устойчивости к возмущениям с большими пространственными масштабами. В работах, цитированных выше, предполагалась пространственная периодичность, с периодом по горизонтальным направлениям того же порядка, что и высота слоя. Можно также рассматривать длин ном асштабные возмущения, чей пространственный масштаб по горизонтали много больше, чем период возмущаемых мелкомасштабных МГД состояний [11]. Отношение этих масштабов — малый параметр. Для МГД состояний, обладающих центральной симметрией или симметрией относительно вертикальной оси, уравнения для среднего длин-номасштабного возмущения включают линейный дифференциальный оператор второго порядка, описывающий вихревую диффузию (используют также термин «вихревая вязкость»). Если он имеет собственные значения с положительной действительной частью, то говорят об отрицательной вихревой диффузии [25]. Соответственно, МГД система линейно неустойчива к длинномас-штабным возмущениям. Усредненные (homogenised) уравнения были использованы при анализе линейной устойчивости гидродинамических режимов [76] и в задаче кинематической генерации магнитного поля такими течениями.

37]. Отрицательная вихревая вязкость численно найдена в некоторых стационарных течениях [92, 168, 169], отрицательная магнитная диффузия — в стационарных и периодических по времени течениях [175, 179, 180]. Уравнения, описывающие эволюцию слабо нелинейного возмущения (усредненного по малым масштабам) МГД режимов, возникающих в конвекции во вращающемся плоском слое, были выведены в [11, 176]. В дальнейшей работе представляется естественным изучить, используя эту теорию, длинномасштабные возмущения стационарные и периодических по времени МГД состояний, описанных в Главе 3, центрально-симметричных или имеющих симметрию относительно вертикальной оси.

Цель работы состояла в численном изучении влияния скорости вращения на генерацию магнитного поля в идеализированной постановке — конвекцией в плоском слое проводящей жидкости (в приближении Буссинеска), вращающейся вокруг вертикальной оси. Для этого было необходимо численно изучить аттракторы конвективной МГД системы при числах Тейлора Та, возрастающих от нуля до максимальной величины, при которой вращение еще не подавляет течение, при фиксированных величинах остальных параметров системы, а также идентифицировать бифуркации, ограничивающие ветви этих аттракторов. Особый интерес представляли МГД режимы, центрально-симметричные или симметричные относительно вертикальной оси, поскольку действие а—эффекта на возмущения с большими пространственными и временньши масштабами в главном порядке несущественно, и возможно появление эффекта отрицательной вихревой вязкости.

Цель работы определила постановку задач:

— вычисление при выбранных величинах, параметров аттракторов гидродинамической системы (в отсутствие магнитного поля) и идентификация бифуркаций стационарных состояний;

— решение задачи кинематического динамо для найденных гидродинамических аттракторов;

— вычисление аттракторов МГД системы и идентификация бифуркаций стационарных состояний при тех же величинах параметров.

Актуальность работы. Согласно современным научным представлениям, магнитные поля многих астрофизических объектов генерируются конвективными течениями в их недрах. Величины параметров, отвечающих условиям внутри Земли и астрофизических объектов, и реологические соотношения известны неточно. Поэтому необходимо изучать режимы поведения решений системы уравнений, описывающей конвекцию и генерацию ею магнитного поля, в определенных областях параметров, а также идентифицировать бифуркации режимов поведения этой физической системы. Численное решение этих уравнений для таких величин параметров невозможно ввиду огромного объема вычислений. Соответственно, актуальны изучение модельных задач магнитогидродинамики в областях с простой геометрией (например, в плоском горизонтальном слое) и анализ бифуркаций режимов конвективных МГД систем, когда величины параметров не сильно отличны от критических, при которых устанавливается конвективное движение и начинается генерация магнитного поля. Особый интерес представляет изучение влияния скорости вращения жидкости на генерацию магнитного поля, поскольку вращение — один из важнейших факторов динамики Земли, и оно присуще большинству астрофизических объектов.

Научная новизна. Хотя в литературе приведены результаты расчетов генерации магнитного поля конвективными течениями для некоторых изолированных величин параметров, детального анализа МГД режимов в полном интервале изменения скорости вращения жидкости, при котором конвективные течения не затухают, до сих пор никем в мире проведено не было.

В диссертации впервые:

— исследованы аттракторы МГД системы в интервале чисел Тейлора от Та = 0 (нет вращения) до Та — 2000 (сила Кориолиса подавляет течение жидкости) при фиксированных величинах остальных параметров;

— показано, что влияние вращения на генерацию магнитного поля тепловой конвекцией немонотонно и не носит простой характер;

— обнаружены два новых типа глобальных бифуркаций в системах с сим-метриями.

Практическая значимость работы. Изучение влияния скорости вращения на генерацию магнитного поля конвективными течениями в плоском горизонтальном слое имеет важное теоретическое значение для понимания процессов генерации магнитного поля конвективными течениями. Вычисленные в настоящей работе аттракторы МГД системы будут использованы для изучения влияния других параметров на систему (методом продолжения по параметру), а стационарные и периодические по времени режимы конвективной МГД системы, симметричные относительно вертикальной оси или центрально-симметричные, — для численного изучения их устойчивости к длин-номасштабным возмущениям.

Создан комплекс параллельных программ (для многопроцессорных систем с общей памятью) численного интегрирования уравнений конвекции в присутствии магнитного поля (написан на языке ФОРТРАН 90). Для преодоления жесткости системы уравнений Фурье-Галеркина для этой системы уравнений в частных производных автором диссертации предложен метод типа Адамеа-Башфорта 4-го порядка точности с автоматическим выбором шага интегрирования. Достигнута высокая эффективность программ благодаря тщательной оптимизации на уровне и математических алгоритмов, и программирования.

Достоверность результатов. Использованный в работе комплекс программ численного интегрирования конвективной МГД системы тщательно оттестирован. Результаты проведенных методических расчетов находятся в согласии как с аналитическими, так и с численными результатами других авторов (см. Приложение к диссертации). Проверено, что характер возникающих в бифуркациях конвективных МГД режимов соответствует тому, сколько и какие собственные значения оператора линеаризации пересекают в точке бифуркации действительную ось. Для проверки достаточности пространственного разрешения (43×43×22 гармоник Фурье) некоторые нелинейные режимы (в том числе, по крайней мере один аттрактор на каждой ветви) были вычислены с большим разрешением — 127×127×65 гармоник Фурьеотличия в решениях с указанными разрешениями несущественны (различия в кинетической и магнитной энергиях составляют менее 0.001%).

Личный вклад автора. Автор принимал участие в анализе результатов расчетов совместно с соавторами статей, опубликованных по теме диссертации [5, 6, 59]. Разработка программного обеспечения для этих расчетов, его тестирование и вся вычислительная работа выполнены автором единолично. Использованный метод [30] интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений разработан автором диссертации. Созданное автором диссертации программное обеспечение также использовано для решения задачи о генерации магнитного поля конвективными течениями проводящего раствора в плоском слое [4].

Структура работы. Диссертация объемом 137 стр. состоит из Введения, трех глав, Заключения, Списка литературы (180 работ) и Приложенияв диссертации 8 таблиц и 29 рисунков. В Главе 1 обсуждена постановка задачи и использованные численные методы. Глава 2 посвящена изучению аттракторов конвективной системы в отсутствие магнитного поля и их бифуркацийдля этих аттракторов решена задача кинематического динамо. В Главе 3 рассмотрены режимы нелинейной генерации магнитного поля и идентифицированы их бифуркации. В Заключении кратко суммированы результаты проделанной работы и указаны возможные направления ее продолжения. В Приложении описано тестирование использованных в работе программ.

Результаты работы показывают, что влияние вращения на генерацию магнитного поля тепловой конвекцией нельзя описать в виде простых законов. Его природу можно изучить только путем детального исследования генезиса аттракторов конвективной МГД системы и их бифуркаций. Даже вблизи критического значения числа Тейлора установления конвективного течения бифуркационная диаграмма весьма сложная. В нескольких интервалах изменения параметра сосуществуют 2 или 3 конвективных МГД аттрактора (иногда один из них — негенерирующий, т. е. гидродинамический).

Общий характер влияния скорости вращения на генерацию магнитного поля конвективными течениями соответствует известным представлениям: увеличение скорости вращения от нуля до некоторого критического значения способствует генерации магнитного поля в линейном и нелинейном режимах, но при дальнейшем увеличении скорости вращения энергия генерируемого магнитного поля Еь постепенно уменьшается (максимум магнитной энергии в наших расчетах Еь = 32.30 достигается для режима Б?'1 при Та = 216) вплоть до прекращения генерациипри дальнейшем увеличении скорости вращения, сила Кориолиса подавляет движение жидкости. Однако наличие многих ветвей режимов и окон нелинейного динамо (например, между стационарными МГД состояниями и Б⁰) накладывает на эту картину сложную «мелкомасштабную структуру», на некоторых интервалах Та даже меняя указанную тенденцию на противоположную. Так, например, увеличение скорости вращения от нуля подавляет генерацию магнитного поля в периодическом режиме вместо ее усиления.

Предположение о том, что увеличение числа Тейлора сначала способствует, потом препятствует и, наконец, прекращает генерацию, математически не доказано, но, по-видимому, выполнено при всех величинах других параметров (если число Рэлея достаточно велико). В конвективной МГД системе может происходить субкритическая потеря устойчивости тривиального стационарного состояния (жидкость в покое), что может привести к расширению (по сравнению с интервалом существования конвективных режимов в отсутствие магнитного поля) интервала чисел Тейлора, в котором конвективные МГД состояния продолжают существовать при заданных других параметрах системы. Однако, по-видимому, этот интервал конечен даже при Рт Р, поскольку, с физической точки зрения, генерация невозможна без переноса магнитного поля течением жидкости, а не наоборот. Этот вопрос требует дальнейшего изучения.

Численно идентифицированы несколько интересных бифуркаций, из них две — глобальные бифуркации в системе с симметрией — обнаружены в этой работе впервые в мире. Они аналогичны седловой бифуркации на инвариантной окружности БШС. В этих брхфуркациях (при Та та 506.07 и Та та 718.16) периодическая орбита ограничена не гомоклинным (как в БШС), а гетеро-клинным циклом. Из более известных, но достаточно редко встречающихся в физических динамических системах, найдены неполная последовательность Фейгенбаума бифуркаций удвоения периода тора Р&trade- (происходит между Та = 57 и 80), и последовательность перемежающихся хаотических и квазипериодических режимов Csw (при 78 < Та < 126), в которой наличие квазипериодических режимов может быть связано с захватом частоты (frequency locking).

Другой необычный набор бифуркаций обнаружен в окрестности бифуркации коразмерности 2 при 216 < Та < 224. Численное исследование собственных значений оператора линеаризации уравнений МГД конвекции в окрестности стационарного состояния S¹ (согласно нашим результатам, эта бифуркация происходит именно в этом семействе) показало, что эта бифуркация не типа Такенса-Богданова (но она может быть возмущением бифуркации Такенса-Богданова).

Обнаружены ветви стационарных конвективных МГД состояний, имеющих симметрии rs2 (центрально-симметричные) или rs2 (симметрия относительно вертикальной оси). Некоторые периодические по времени режимы (например, из семейства FTW при Та — 57, и из FTW при Та = 123) не симметричны в каждый момент времени, но обладают соответствующей симметрией со сдвигом по времени на половину временного периода. Наличие таких сим-метрий — важное свойство аттракторов, поскольку в конвективной МГД системе с такой симметрией отсутствует существенный глобальный см—эффект. (При наличии существенного о:—эффекта режим неустойчив к длинномас-штабным возмущениям, а при его отсутствии неустойчивость, если она есть, развивается на временных масштабах большего порядка.) Поведение длинно-масштабных возмущений, усредненных по малым масштабам, можно тогда описать системой нелинейных уравнений в частных производных второго и третьего порядков [176]- на длинномасштабные возмущения действуют такие физические эффекты, как комбинированная вихревая диффузия и вихревая адвекция. Автор диссертации планирует провести численное исследование этих эффектов.

Другое естественное продолжение проведенных исследований — изучение зависимости найденных ветвей аттракторов от других параметров. Оно даст более ясное представление о математических и физических свойствах конвективного динамо (т.е. о геометрии ветвей аттракторов в пространстве параметров задачи). Это направление исследований вычислительно затратно, но, по мнению автора, такой подход предпочтительнее для понимания конвективных МГД систем, чем анализ отдельных расчетов с экстремальными величинами параметров, практикуемый многими авторами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации изучена генерация магнитного поля конвективными течениями в плоском слое при различных скоростях вращения. В определенном диапазоне значений числа Тейлора Та = 0 — 2000 (при Ь = 2уД, Я = 2300, Р = 1) вычислены режимы конвекции (в отсутствие магнитного поля), идентифицированы их бифуркации и для этих гидродинамических конвективных аттракторов решена задача кинематического динамо (при Рт = 8). При тех же величинах параметров решена задача нелинейного динамо — найдены аттракторы конвективной МГД системы и идентифицированы бифуркации стационарных состояний.