Характеристики нерегулярных колебаний в автономных, неавтономных и взаимодействующих системах
Н (!регуля|)11ые колебания предоАавляют собой ннгроко ])аснростра-ненный тин колебательного поведения нелинейных систем. К ним можно отнести как динамические (детерминтрованные) апериодические колебательные режимы, так и колебания, индуцироваппые нтумом. Нерегулярные детерминированные колебания и соответствуюн1, ие им аттракторы диссинативных динамических систем, в свою оче1) едь, могут… Читать ещё >
Характеристики нерегулярных колебаний в автономных, неавтономных и взаимодействующих системах (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Содержание
В нелинейных динамических системах кроме простых (регулярных колебаний, к которым можно отнести периодические и квазипериодические, пн1роко распространены так называемые нерегулярные колебания. Нерегулярные колебания могут порождаться непосредственно самой динамической системой без каких либо случайных воздействий на нее. Хороню известным (но не единственным) примером нерегулярных колебаний служит динамических хаос — колебательньп'! режим, ншроко распространенный в сильно нелинейных системах с размерностью фазового пространства N > 2. Возможность сун1, ествовапия сложных, нерегулярных движений в детерминированных системах конечной размергюсти предсказывалась математиками еп1, е начиная с работ А. Пуанкаре [1, 2, 3]. Подобного рода колебания наблюдалис1> и в некоторых экспериментах с радиотехническими цепями [4]. Однако, нерегулярные колебательные режимы по-настоящему оказались в центре внимания ученых, работаюи1, их в самых различных отраслях пауки, только 15 гюследней четверти XX века. Причиной этому стало раз-штгие вьпшслительной техники, сделавнтее возможной визуализацию нерегулярных колебаний. Компьютерное моделирование нелинейных процессов, начиная с известной работы Э. Лоренца [5], выяви. по типичность нерегулярных колебаний, что послужило стимулом для дальпей-П1ИХ теоретических исследований. В работах математиков [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19] были заложены основы теории динамических систем с нетривиальным поведением фазовых траекторий. Широкое использование методов компьютерного моделирования во взаимодействии с натурными экспериментами и теоретическими подходами, способствовало возникновению таких новых направлений в науке, как теория динамического хаоса, синергетика и теория диссипативных структур [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 .
Математическим образом установившегося режима в диссипатив-ных системах (автономных, или сводимых к автономным) является притягивающее предельное множество траекторий в фазовом пространстве, называемое аттрактором. Большую роль в развитии теории колебаний в первой половине XX века сыграло понятие предельного цикла Андронова -Пуанкаре — предельного множества, соответствующего периодическим автоколебаниям [34]. На плоскости предельный цикл является единственным аттрактором, соответствующим колебательному режиму. Другим типом аттрактора в системах с регулярной динамикой служит тороидальная поверхность (в общем случае гиперповерхность), являющаяся образом квазипериодических колебаний. С открытием динамического хаоса в диссипативных системах было введено понятие странного аттрактора [11], названного так из-за сложной структуры предельного множества. Однако строгое общепринятое определегше того, что следует называть странным аттрактором до настоян1, его времени отсутствует. Имеется некоторая разница в понимании и применении этого термина у разных научных школ.
Истинным хаосом с точки зрения строгой теории, является так наи и и и и зываемый грубый гиперболический хаос, обладающий однородной топологически устойчивой структурой. Условия грубой гиперболичности означают, что касателыюе подпространство в каждой точке рассматриваемого множества можно разложить на гладкие инвариантные многообразия одной и той же размерности, одно из которых соответствует направлениям экспоненциального схождения, а другое -направлениям экспоненциального разбегания. Эти условия могут вы- - полняться во всех точках фазового пространства (У-системы Аносова) [8, 12, 35] или же на так называемых базовых множествах (системы, удовлетворяющие аксиоме А) [6, 7, 36, 37]. Притягивающие предельные множества, обладающие свойством грубой гиперболичности, как раз и были первоначально названы странными аттракторами или аттракторами Смейла. Однако, большинство «странных аттракторов», наблюдаемых в конкретных моделях не являются таковыми в строгом смысле этого слова, так как не обладают свойствами грубой гиперболичности [37, 38, 39, 40]. Кроме того, у разных авторов «странность» аттрактора может указывать как на фрактальную геометрическую структуру, так и на неустойчивое поведение траекторий на аттракторе. Однако исследования последних лет показали, что взаимосвязь между геометрическими свойствами аттрактора и характером устойчивости траекторий не всегда однозначна [41, 42 .
Будем называть аттракторы, соответствующие нерегулярным колебаниям диссипативных динамических систем, нерегулярными аттракторами, и рассмотрим классификацию аттракторов с точки зрения современных представлений не-шнейной динамики. Странные аттракторы (СЛ) — это притягиваюнще предельные множества траекторий в фазовом пространстве динамических систем, имеющие фрактальную структуру и дробную метрическую размерность. Иначе говоря, С, А не является ни совокупностью конечного числа точек ни кусочно- дифференцируемым множеством [41] Хаотические аттракторы (ХА) — это притягивающие предельные множества, характеризующиеся экспонени и 1 и хт и циальной неустойчивостью фазовых траекторий. Чаще всего свойства «странности» и «хаотичности» сопутствуют друг другу. В этом случае можно говорить о странных хаотических аттракторах (СХА). Однако возможны нерегулярные аттракторы, обладающие только одним из этих свойств. Известны странные нехаотические аттракторы (СНА), представляющие собой фрактальные множества, состоящие из устойчивых (негиперболических) траекторий, а также хаотические нестранные аттракторы (ХНА), т. е. хаотические аттракторы с целой метрической размерностью [42, 43, 44 .
В свою очередь странные хаотические аттракторы разделяют на грубые гиперболические, почти гиперболические (называемые также квазигиперболическими или псевдогиперболическими) и пегиперболи-ческие аттракторы (или квазиаттракторы) [37, 38, 39, 40, 42, 45. Грубый гиперболический аттрактор представляет собой притягивающее предельное множество, со следующей грубой структурой:
1) оно состоит из множества всюду плотных «листов» (или незамкнутых кривых), по которым близкие точки экспоненциально расходятся-
2) окрестность каждой точки аттрактора имеет одну и ту же фрактальную геометрию, определяемую произведением канторова множества на многообразие-
3) аттрактор имеет окрестность, расщепленную на «листы» или диски, вдоль которых точки притягиваются к аттрактору с экспоненциальной скоростью [39]. Все траектории на грубом гиперболическом аттракторе являются седловыми (гиперболическими), причем их устойчивые и неустойчивы многообразия всюду трансверсальны и имеют одинаковые для любой точки размерности. Таким образом, структура аттрактора однородна в любой точке. Грубый гиперболический аттрактор является скорее умозрительным понятием, таким как соленоид Смейла — Вильямса [46] или аттрактор Плыкина [47]. Существование грубого гиперболического аттрактора пока не доказано ни для одной конкретной динамической системы, кроме, может быть, некоторых сжимаюпщх площадь диффиоморфизмов на двумерном торе 37
Известен ряд примеров почти гиперболических аттракторов: аттракторы Лоренца [48] и Мариока — Шимицу [49 в потоковых системах- аттракторы Лози [50] и Белыха [51] в дискретных отображениях и др. Почти гиперболические аттракторы не вполне однородны. Они могут включать точки или траектории, окрестность которых устроена иначе, чем окрестность других точек аттрактора. Например аттрактор Лоренца включает седловое состояние равновесия в начале координат, многообразия которого (устойчивое и неустойчивое) имеют иную размерность, чем многообразия других траекторий на аттракторе. Кроме того, почти гиперболические аттракторы не являются грубыми, так как для них характерно существование фазовых траекторий особого типа: сепаратрисиых петель и негрубых гомоклинических кривых. Однако, появление и исчезновение этих особых траекторий не связано с рождением устойчивых движений. Внутренние бифуркации в данном случае не приводят к видимым изменениям каких- либо экспериментальных характеристик хаотического режима. Как грубые гиперболические аттракторы, так и почти гиперболические аттракторы характеризуются поведением, устойчивым к малому возму-Н1,ению (вариации параметров системы или случайным воздействиям) 8, 10, 53, 54, 55, 56, 57, 58 .
Как уже отмечалось, хаотические колебания, наблюдаемьГе в большинстве реальных динамических систем и их моделей, не связаны с грубыми гиперболическими или хотя бы почти гиперболическими предельными множествами. Хаотические аттракторы в фазовом пространстве таких систем представляют собой так называемые квазиаттракторы. Квазиаттракторы — это притягивающие предельные множества, которые включают не только гиперболические траектории разного типа, но также репеллеры и устойчивые периодические орбиты. Причиной негиперболичности хаоса в динамических системах является возникновение на аттракторе негрубых гомоклинических траекторий, удовлетворяющих определенным условиям. В работах математиков [15, 16, 59, 60, 61, 62] был доказан ряд теорем, содержание которых сводится к следующему. Пусть динамическая система в точке? IQ пространства параметров имеет негрубую гомоклиническую траекторию, образовавшуюся в результате касания гладких многообразий седловых орбит или седловых точек равновесия. Тогда, при некоторых дополнительных условиях достаточно общего характера, в сколь угодно малой окрестности точки /IQ существует такая точка дх, в которой динамическая система имеет устойчивую периодическую орбиту [59] и даже счетное множество таких орбит [15, 62]. Кроме того, в окрестности fio имеется счетное множество областей, в которых всюду плотны точки гомоклинических касаний (области Ньюхауса) [16, 60, 61 .
Неоднородность негиперболического хаоса связана со множеством внутренних бифуркаций квазиаттрактора, наблюдающихся при изменении параметров. Объединения различных хаотических аттракторов в области квазиаттрактора и бифуркации связанности приводят к ощутимым в эксперименте изменениям характеристик хаоса. Больнтую роль играют встроенные в квазиаттрактор устойчивые периодические орбиты. Хотя большинство таких орбит не регистрируется даже в численных экспериментах (поскольку ширина их бассейнов притяжения сопоставима с «компьютерным шумом»), однако они существенно влияют на структуру и свойства негиперболического хаоса, что не может ни отразиться на экспериментальных характеристиках [42, 63 .
Слабое шумовое воздействие, всегда присутствующее в любой реальной системе и неизбежное при компьютерном моделировании, для негиперболического хаоса может оказаться весьма существенным. Даже малый (в том числе ограниченный по амплитуде) шум может индуцировать внутренние бифуркации и кризисы квазиаттрактора[42.
64, 65, 66, 67, 68], привести к значительным изменениям хаотических траекторий на квазиаттракторе [69, 70], что важно с точки зрения проблемы корректности компьютерного моделирования [71, 72, 73, 74, 75. Шум может повлиять на статистические характеристики негиперболического хаоса [42, 66, 76, 77]. В свете вышесказанного приобретают актуальность следующие направления исследований: разрабоггп. п методов надежной диагностики типа хаотического ре-Э1сима] анализ различий в поведении количественных характеристик различных типов хаоса- выявление влияния случайных воздействий на структуру и свойства негиперболического хаотического реэ/сима.
Локальная неустойчивость хаотических траекторий тесно связана со статистическими свойствами динамической системы. Типичные хаотические траектории сложным и нерегулярным образом распределяются по аттрактору, так, что различные траектории должны «пере-меншваться"' между собой. Это дает возможность предположить, что динамическ-1я система будет эргодической, обладающей свойством перемешивания и характеризующейся положительной энтропией Колмогорова. Действительно, для У-систем, аттракторов Смейла или почти гиперболических аттракторов справедлива эргодическая теория 10, 12, 19, 52, 56, 78, 79, 282, 81, 82]. Согласую представлениям эр-годической теории для гиперболических или почти гиперболических аттракторов можно ввести инвариантную вероятностную меру с плотностью р, непрерывной вдоль неустойчивого многообразия, в котором располагается хаотический аттрактор. Вероятностная мера является единой на всем аттракторе и сохраняется под действием оператора эволюции (поэтому она и называется инвариантной). Способ вводеиия инвариантной меры может быть различен [19]. Можно рассуждать следующим образом. Если на потоковую систему воздействует гауссов-ский 6- коррелированный шум с интенсивностью П, то в системе будет иметь место диффузионный марковский процесс, плотность вероятности которого описывается уравнением Фоккера — Планка — Колмогорова. Для нелинейных динамических систем оно как правило имеет единственное стационарное решение [83]. За плотность инвариантной вероятностной меры на хаотическом аттракторе естественно принять следующий предел: р — ИтдЛд Рв- Этот предел является непрерывным. Откуда следует, что воздействие шума малой интенсивности О слабо влияет на вероятностную меру и, следовательно, на все статистические свойства хаоса. Собственная «стохастичность» оказывается сильнее навязываемой извне [56]. Другое определение инвариантной меры основано на частоте, с которой фазовая траектория посещает различные части аттрактора. В [19] вероятностная мера, определенная таким образом, названа СРВ — мерой (т.е. мерой Синая — Рюэля — Боуэна). При этом необходимо предполагать, что почти любая фазовая траектория определяет одну и ту же инвариантную меру, т. е. имеет место свойство эргодичности. Для гиперболических и почти гиперболических аттракторов введенные указанными двумя способами вероятностные меры совпадают 19
К сожалегшю, теория инвариантной меры встречает большие сложности, если пытаться применить ее к пегиперболическим аттракторам. В силу неоднородной структуры квазиаттрактора предположение об эргодичности мягко говоря не вполне соответствует действительности. По этой причине два указанных выше способа введения инвариантной меры в общем случае приводят к разным результатам. Предел Ит?)ЛооР?> зависит от начального условия и не является непрерывным всюду на аатракторе [84, 85]. Кроме того, в окрестности устойчивых периодических орбит, всюду плотных в квазиаттракторе, отсутствует перемешивание. Соответственно, затруднительным с теоретической точки зрения оказывается введение статистических характеристик квазиаттрактора. Присутствие шума может в данной ситуации облегчить задачу статистического описания хаоса. Однако, при этом интенсивность и статистические свойства источников шума становятся важными параметрами хаотической системы и, как уже отмечалось, могут оказать существенное влияние на все ее характеристики. Имеется ряд нерешенных проблем, связанных с воздействием П1ума на пегиперболический хаос, среди которых можно выделить следующие: Существует ли единая инвариантная мера на квазиаттракторе в системах с ограниченным по амплитуде шумом? Совпадают ли вероятностные меры, определенные двумя указанными выше способами? Корректно ли предположение эргодичности, позволяющее вычислить статистические характеристики, используя усреднение по времени? Как свойства источников шума в негиперболических системах будут влиять на стационарную плотность вероятности, если она суш, ествует? и т. д. Строгая эргодическая теория в настоящее время не может дать ответов на перечисленные вопросы. В связи с этим большая роль принадлежит численному моделированию.
Одним из важных вопросов теории инвариантной меры является исследование процесса релаксации системы из некоторого начального неравновесного состояния к стационарному вероятностному распределению. Изменение плотности вероятности во времени может быть описано некоторым эволюционным уравнением. В различных случаях это может быть уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова, уравнение Чепмена- Колмогорова или Фробениуса-Перрона [22, 23, 86, 87, 88, 89
Однако, в случае, когда размерность динамической системы велика > 3), решение эволюционного уравнения трудно получить даже численными методами. Гораздо более простым во многих случаях оказывается метод, основанный на решении стохастических уравнений для большого ансамбля начальных условий. Если определенные двумя способами инвариантные меры оказываются одинаковыми, то такой метод численного эксперимента оказывается вполне корректным.
Установление инвариантной вероятностной меры в хаотической системе связано с «забыванием» начального распределения, т. е. с процессом перемешивания. Чем выше скорость перемешивания, тем быстрее релаксирует система к стационарному вероятностному распределению. Скорость перемешивания в хаотической системе принято характеризовать с одной стороны временем корреляции Гкор, а с другой — энтропией Колмогорова Як. Время корреляции определяет показатель экспоненциального убывания автокорреляционной функции Ф (т) стационарного процесса ж^) {т — /2 — ??). Энтропия Як хаотической системы может быть введена, при условии существования инвариантной вероятностной меры (т.е. для У-систем, гиперболических и почти гиперболических аттракторов). Она характеризует скорость производства системой информации и определяет время перемешивания Гпер = 78, 90, 91, 92, 93]. Для отображений, удовлетворяющих аксиоме А, доказано [9, 26, 94, 95], что ф (г) = ехр (-Нкт).
Таким образом, в данном случае время перемешивания совпадает со временем корреляции: Гпер = Ткор. В свою очередь, для строго гиперболических систем энтропия Як определяется как Як =, А[=1 '"Дб Л+, j = 1,.К- положительные ляпуновские показатели. В более общем случае справедлива оценка сверху Як < [19, 78, 93, 96 .
К сожалению, для систем с негиперболическим хаосом отсутствует строгое определение энтропии Як, и какие — либо теоретические соотношения между различными характеристиками скорости перемешивания не получены. Более того, взаимосвязь времени корреляции и положительных ляпуновских показателей в системах с непрерывным временем может быть достаточно сложной даже для случая почти гиперболического хаоса [97, 98]. Свойство перемешивания в хаотических системах определяется главным образом собственной динамикой системы. Однако, можно предположить, что в случае негиперболического хаоса, присутствуюп1, ий в системе слабый шум также может оказать влияние на характеристики перемешивания. Каково характерное время релаксации системы к стационарной плотности вероятности, от каких факторов оно зависит, какие количественные характеристики системы влияют на скорость установления. стационарной меры, какова роль игума в закономерностях эволюхщи распределения к стационарному, и каким образом процесс густановления стационарной меры связан с особенностями динамики системы? Вот далеко не полный перечень вопросов, на которые пока нет полных и ясных ответов.
Почти гиперболические хаотические аттракторы типа аттрактора Лоренца и некоторые распространенные виды квазиаттракторов, такие как спиральный и винтовой аттракторы [32, 99], аттрактор «двойная спираль» [100] и некоторые другие являются типичными автоколебательными режимами простейших хаотических систем с минимально возможной размерностью фазового пространства ТУ = 3. В нелинейных системах большей размерности не исключено существование еще более сложных нерегулярных колебательных режимов и соответствующих им аттракторов, пока не изученных в рамках нелинейной динамики. Во многих теоретических и прикладных задачах динамическая система большой размерности представляет собой совокупность взаимодействующих частей, каждая из которых может рассматриваться как отдельная нелинейная динамическая система. Взаимодействие парциальных систем, включая и случай однонаправленного воздействия одних систем на другие, может привести ко множеству различных нелинейных эффектов. При этом могут возникнуть новые типы колебаний, не наблюдавшиеся в системах в отсутствии взаимодействия. Так хорошо известно, что периодическое воздействие на диссипативный нелинейный осциллятор или автогенератор с одной степенью свободы, увеличивая на единицу размерность фазового пространства системы, приводит во многих случаях к возникновению хаотической динамики. Примерами могут служить хаотические аттракторы в нелинейных осцилляторах и автоколебательных системах [101, 102, 103, 104, 105, 106, 107] с одной степенью свободы. С другой стороны периодическое воздействие может не только усложнять режим автоколебаний, но и упрощать его. Так известен эффект подавления хаоса внешним периодическим воздействием [108, 109, 110, 111]. Аналогичные эффекты хаотизации и регуляризации автоколебаний можно наблюдать и при взаимной связи двух автогенераторов [ПО, 111, 112 .
Важным направлением в теории нелинейных колебаний является исследование новых типов нерегулярного поведения, возникающих в результате взаимодействия простых колебательных систем, а так-oice особенностей взаимодействия систем с нерегулярной динамикой.
Важнейшим фундаментальным свойством, присущим взаимодействующим автоколебательным системам можно считать явление сипхропизации [113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126 .
Изучение синхронизации хаотических систем в последние годы привлекало особое внимание исследователей [42, 127, 285, 129, 130]. Слож-П1Щ непериодический характер колебаний потребовал нового, более обп1, его определения понятия синхронизации. В самом обн1, ем смысле под синхронизацией можно понимать возникновение некоторых соот-ПКПКЧОИИ м еж ду определепн1лм образом выбранными функционалами колебательных процессов в парциальных системах [131]. Однако, такое определение является предельно обобщенным и мало что дает при решении конкретных задач. Так, в связи с различным выбором рассматриваемых функционалов хаотических колебаний, и наблюдением нескольких, вообн1, е говоря связанных между собой эс) ектов, в настоян1, ее время синхронизатщя хаоса может пониматься в нескольких различных смыслах. Различают частотную сиихрони-за'пию ПО, 111, 112, 132, 133, 134, 135], фазовую синхронизацию [136, 137, 138, 139, 140, 141, 142], полную синхронизацию [143, 144, 145, 146, 147, 148, 149], запаздывают/ую синхрон/пзацию (или lag- ошхрониза-ц1но) [150, 151, 152] и обоби/, еиную синхроиизаи, ию [145, 153, 154] хаотических колебаний. Различные эффекты хаотической синхронизации наб1нодалиеь не только при численном модеШ'1ровании, но и во многих начурных экснерименчАах, проводимых в основном на радиотехнических системах. Захват и подавление базовых частот хаотических автоколебаний экспериментально исследовались в [ПО, 111]. Захват фазы хаотических автоколебаний рассмотрен в [155]. Полная и почти полная синхронизация хаоса наблюдались в экспериментах, описанных в 145, 148, 156, 157, 158]. Экспериментальное изучение заназдываюнАей (чп1хронизации осуп1, ествлено в [159]. В экспериментах с двумя лазерами с однонаправленной связью [160] были обнаружены эффекты обобщенной, фазовой и запаздываюпЛей синхронизации хаотических режимов генерации.
Взаимодействие хаотических систем приводит к ряду новых явлений. Это, например, мультистабильность регулярных и хаотических колебаний, возникаюш, ая при взаимодействии систем со спиральным хаосом [135, 141, 142, 156, 161, 162, 163]. Рядом особенностей характеризуется разрунюние режима полной синхронизации хаоса в идентичных взаимодействующих хаотических осцилляторах. К ним относятся такие явления как хаотическая перемежаемость особого типа (оп-о?1 перемежаемость), «распухание аттрактора» (баблинг) и изренючива-1Н!е бассейнов притяжения (ридлинг) [158, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174 .
Идеи частотной и фазовой синхронизации хаоса, являются прямым развитием классической теории синхронизации периодических автоколебаний. В полной мере классические представления о синхронизации автоколебаний могут быть раепрострапены только на один определенный хаотический режим, а именно на режим спирального хаоса [32, 99|. Однако, этот хаотический режим, возникаюнщй из периодических колебаний в результате бесконечной последовательности удвоений периода, очень часто встречается на практике в самых разных динамических системах. В фазовом пространстве в этом случае образуется особого вида квазиаттракчюр, называемый спиральным аттрактором или аттрактором рёсслеровского типа. Спиральный хаос сохраняет определенные черты периодических колебаний. Так траектории на спиральном аттракторе возвращаются к секундой плоскости через почти одинаковые интервалы времени. При этом они обладают определенным свойством «фазовой когерентности» [137]. В спектре спирального хаоса присутствует четко различимый пик па частоте, соответствующей средней частоте вращения траекторий вокруг седло-фокуса. Эту частоту можно рассматривать как базовую частоту колебаний и исследовать эффект захвата или подавления базовой частоты. Впервые попытка обобщения классических представлений о синхронизации как о захвате или подавлении частот на случай взаимодействия хаотических автогенераторов была предпринята в работах 110, 111, 132, 133, 134, 135]. Обнаружено, что па плоскости параметров, управляющих степенью взаимодействия и расстройкой хаотических осцилляторов, можно выделить области синхронизации хаоса, подобные «языкам Арнольда». Хаотические колебания в этих областях (синхронный хаос) топологически отличаются от хаоса за их пределами (несинхронный хаос).
В [137, 138, 139, 140] были даны определения мгновенной фазы хаотических колебаний и введено обобщенное условие захвата (])аз, применимое для случая хаотических колебаний, основано на требовании ограниченности изменения разности мгновенных фаз во времени. Показано, что строгий захватА фаз (т.е. в течении ckojh> угодно д,]нгТеШ>но-го времени) в указанном обобпщнном смысле наблюдается во взаимодействующих системах со спиральным хаосом или при внешнем гармоническом воздействии на хаотический автогенератор указанного типа. Было также показано, что захват фаз хаотических колебаний возможен и для некоторых других хаотических режимов, но на конечных 151) еменах (эф (1)ективная фазовая синхронизагщя) [137, 175, 176, 177 Очевидно, эффекты частотного и фазового захвата в случае спирального хаоса, также как в случае периодических колебаний, тесно взаимосвязаны. По этой причине удобно использовать пазвание частотно — фазовая синхронизация или чАермин синхронизация в смысле Гюйгенса, введенный в [131]. Синхронизация хаоса в частотно — фазовом понимании может наблюдаться в системах, достаточно сильно различаю-нщхся между собой как с точки зрения математической модели, так и по своей динамике. Возможна также вынужденная частотно-фазовая синхронизация хаоса, в том числе периодическим воздействием.
При значительной частотной расстройке и больпюй амплитуде воздействия (или больнюм коэффициенте связи двух хаотических осцилляторов) наблюдается явление подавления хаотических автоколебаний 110,111,134,135]. В этом случае в области сиихропизации супЛествуют периодические режимы, а граница области соответствует бифуркации рождения тора из предельного цикла (как и в классическом случае подавления периодических автоколебаний).
Несмотря на то, что частотно — фазовая синхронизация сгпЛральпо-го хаоса известна уже дово1нЛно давно, в ее концепции остается ен1, е немало слабо исследованных сторон. К ним можно отнести следую-1цие вопросы. Каков механизм перестройки хаотического аттрактора па границе области синхрон/изации и насколько соответствуют друг другу различные критерии частотно- фазовой синхронизации? Что происходит в области синхронизации хаоса в процессе эволюции от спирального аттрактора к винтовому? Как изменятся характеристики синхронизации спирального хаоса при воздействии на систему источников Н1 у м, а ?
Для автогенераторов периодических колебаний кроме явления синхронизации типичны также эффекты затягивания частоты и ганюиия колебаний при взаимодействии с диссипативпым колебательным контуром [116, 123, 178, 179]. Возникает вопрос, ограничивается ли общность свойств периодических и хаотических автогенераторов только явлением синхронизации, или эффекты затягивания и гашения такэюе характерны для хаотических автоколебаний?
При квазипериодическом возмущении нелинейных систем кроме квазипериодических и хаотических колебаний может возникать новый тип нерегулярной динамики, соответствующий образованию в фазовом пространстве странного нехаотического аттрактора (СНА) [41]. СНА был обнаружен во многих динамических системах с квазипериодическим воздействием и исследовался в основном мстюдами численного моделирования [180, 181, 182, 183, 184,185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192. Д, 11Я анализа области СНА на плоскости параметров был применен метод ренорм- группы [193]. Имеются данные натурных экспериментов, подтверждаюпще существование странных нехаотических аттракторов в рсал1>ных системах 1194, 195 .
Главная особенность систем с квазипериодическим воздействием за-Kjno4aeTCH в том, что квазипериодическое воздействие с фиксировап-ным иррациональным соотношением частот «навязывает"системе иррациональное число вращения, не зависящее от внутренних параметров системы. Рассмотрим простейнгай случай: одна из частот во: здей-ствия совпадает с собственной частотой периодических колебаннй си-сл-емы. При этом в области синхронизации собственных колебаний на-б1иодаетея грубый квазинериодический двухчастотный режим с фик-спровагпплм значением числа вращения, которое задается извне и предполагается иррациональным. Предельное множество, соответствующее двухчастотным квазипериодическим колебаниям в системе с непрерывным временем представляет собой поверхность, топологически эквивалентную двумерному тору (для краткости пользуются термином «двумерный тор»). В отображении, порождаемом в секущей плоскости, сун1, ествует инвариантная замкнутая кривая, также являюндаяся образом двухчастотных квазипериодических колебаний. Меняя параметры системы и амплитуду воздействия можно добиться разрупюиия двумерного тора и перехода к хаосу. Обычно при квазипериодическом сценарии развития хаоса важнейшую роль играют резонансные явления, всегда предшествующие формированию хаотического множества 38, 42, 48, 196, 197, 198, 199] Милнора.
Однако, в системе с квазипериодическим воздействием имеет место разрупюпие эргодического тора и формирование хаотическотх) множества происходит особым образом. Так как на торе не возникает резонансной структуры и нет необходимости контролировать значение числа вран1, еиия, то бифуркационные механизмы разрупюиия тора и возникновения хаоса в этом случае допускают однопараметрический анализ. Пусть при некотором значении параметра, а — «о, супщствует эргодический тор с жестко фиксированным иррациональным чи-с-юм вранАения, а при, а = ai существует хаотический аттрактор СА. Исследования показали, что разрушение грубого эргодического тора п (!рвопачалыю приводит к возникновению СНА, который затем преобразуется в хаотический аттрактор [182, 184, 190, 191, 192, 200, 201. В отображении первоначально наблюдаются искажения формы инва-риаптной замкнутой кривой, ведунще к потере гладкости. Резонансный тор, как о том говорится в теореме Афраймовича- Шыльиикова
38, 48], перед разрупюпием тоже теряет гладкость. Но это происходит на копечпом множестве неподвижных точек инвариантной кривой, соответствуюпщх точкам устойчивого резонансного цикла. Такой «негладкий тор"может какое-то время существовать в фазовом пространстве динамической системы прежде чем произойдет его разрупют-ч и пие. В случае эргодического тора на инвариаитгюй кривой отсутствуют неподвижнью точки и при некотором значении, а = «cri происходит потеря гладкости инвариантной кривой одновременно на всюду плот
MOM множестве точек. В результате инвариантная кривая разрушается и возникает множество, не являющееся многообразием. Однако разрушение тора не ведет автоматически к возникновению эксноненци-альной неустойчивости движения. Хаотической, динамика становится позже, при некотором значении, а = о-сг2 > oicri- Таким образом, имеется конечная область значений параметра аАл < а < (У.СЯ-2) которой cymecTBycT СНА. Сценарий развития хаоса из режима СНА также имеет ряд особенностей [201], но в настоящее время он не достаточно изучен.
Анализ причин потери гладкости и разрушения инвариантной замкнутой кривой выявил два основных механизма, приводяпщх к СНА: 1) кр?/, з? у, с ипвариаптиои кривой] 2) постепепи, ая деформация форм, ы тора, пргьводящая к потере гладкости и разрушению тора. Кризис происходит в результате касания устойчивой инвариантной кривой и устойчивого м1Югообразия квазинериодического седла играющего роль се-паратриспой поверхности. Для одномерных моделей с квазипериодическим воздействием роль сепаратрисы играет неустойчивая игшари-антпая кривая (репеллер). Кризис может бычъ связан с обч>единением частей квазипериодического аттрактора. Де-ю в том, что в результате бифуркаций удвоения квазипериодических колебаний по одному из 1юриодов, инвариантная кривая будет состоять из 2А частей, посепщ-емых изображающей точкой в строго определенном порядке и разде--юнных сепаратрисной поверхностью. Для одномерных моделей сепаратрисой является гюустойчивая ипвариаптпая кривая. При касании сепаратрисы происходит разрушение квазипериодического режима с одновременным объединением частей аттрактора [186]. Именно такой механизм ограничивает последовательность бифуркаций удвоения эр-годического тора, которая в типичном случае конечна. Кризис тора может быть также связан с объединением двух различных квазипериодических аттракторов [190, 191]. Возможна ситуация, когда кризис не связан с объединением квазипериодических аттракторов или частей одного аттрактора. Такая ситуация особенно типична для резонанса на трехмерном торе ТА, одно из чисел вращения которого имеет фиксированное иррациональное значение, а второе произвольно меняется. В результате искажения формы инвариантных кривых в сечении устойчивого и неустойчивого двумерных торов на Тл, на границе области синхронизации вместо касательной бифуркации может произойти кризис касания в отдельных точках. Такой кризис был обнаружен и исследован в 189
Потеря гладкости и разрунтение эргодического тора можсуг происходить и без нелокальных бифуркаций, связанных с касанием сепаратрис. В этом случае с изменением управля1он], его параметра, а постепенно происходит искажение формы инвариантной кривой в сечении тора, приводящее к росту фазовой чувствительности. В критической точке, а — aAri производ1нле динамических переменных по начальной фазе перестают быть ограниченными. АппроксимируюнАее множество в этом случае не может быть гладким, однако ляпуновский показатель при п —> оо еще сходится к отрицачАельному значению, что сооччзетствует существованию СНА в пределах некоторого интервала (Acri < < асг2- Такой эволюционный механизм образования СНА наблюдался в [190, 191, 192, 200 .
По-видимому в некоторых случаях возмож1нл и другие механизмы разрунюния квазипериодического аттрактора, приводящие к возникновению СНА. Так, например, в [202] рассматривается возникновение СНА в результате бифуркации «прорыва» (blowout bifurcation). В [203 показано, что возникновение СНА может происходить в результате касательной бифуркации квазипериодических аттракторов, и сопровождаться явлением перемежаемости I рода.
В целом вопрос о формировании СНА недостаточно изучен. Механизмы образования странного нехаотического множества нуждаются в дальнейшем анализе. Для лучшего понимания природы этого режима необходимо сравнить поведение различных характеристик странного пехаотического аттрактора при различнмх сценариях его формирования. Например, полезную информацию о структуре аттрактора может дать мера положительных значений локальных ляпуновских показателей. Мало изучены вопросы устойчив ли режим СНА к действию на систему шума и каковы особенности хаотического peoicu-.ма, возникающего при дальнейшей эволюции СНА ?
4.4 Выводы.
Исследование цепочек, составленных из различных колебательных элементов, таких как квазигармонические автогенераторы, генераторы спирального хаоса и стохастические бистабильные осцилляторы, выявило много общего в их поведении. Основным явлением во всех рассмотренных случаях была синхронизация характерных частот элементов цепочки, сонровождаюнщяся согласованием фаз колебапий. В каждой из поставленных задач были исследованы определенные аспекты явления синхропизации и сделан ряд выводов, основные из которых перечислены ниже.
1. Частотные кластеры в неоднородной цепочке квазигармонических автогенераторов с диффузионной связью весьма устойчивы по отнонюнию к некоррелированным гауссовским флуктуациям. Значительное разрушение кластерной структуры наблюдается только при больпшх иптенсивностях Н1ума. Кластерную синхронизацию осцилляторов цепочки при наличие флуктуации следует понимать в смысле эффективной синхронизации и характеризовать коэффигщентом эффективной диффузии.
2. Синхронизацией элементов цепочки, образованием и разрушением частотных кластеров можно управлять с помощью точечных внешних воздействий на соответствующим образом выбранных частотах. При этом заданная структура кластеров может быть получена в однородной цепочке с помощью внепншх воздействий на определенные элементы.
3. Учет амплитудных соотношений может оказаться существенным с точки зрения пространственно — временной динамики ансамбля квазигармонических осцилляторов. В частности амплитудные соотношения существенно влияют на структуру частотных кластеров в цепочке неоднородных квазигармонических осцилляторов с диффузионной связью. Моделирование цепочки с помощью одних только фазовых уравнений позволяет наблюдать кластерную синхронизацию, но в значительно более узкой области значений параметра связи. Кроме того, кластерная структура в этом случае оказывается менее устойчивой к действию слабых флуктуации.
4. В случае локального внешнего воздействия на цепочку квазигармонических осцилляторов прингщпиальную роль играет характер связи элементов цепочки. Наличие потоковой составляющей связи делает возможной глобальную синхронизацию цепочки произвольной длины. При этом случайно заданная неоднородность параметров цепочки может как увеличить, так и уменьшить порог глобальной синхронизации. Выявлены два сценария перехода цепочки квазигармонических осцилляторов в режим глобальной вынужденной синхропизации. Один из них соответствует одновременному захвату частот всех автогенераторов, а второй — образованию группы осцилляторов, синхронизованных на частоте воздействия, с последующим возрастанием числа элементов этой группы.
5. Был установлен эффект вынужденной частотно — фазовой синхронизации цепочки генераторов спирального хаоса локальным периодическим воздействием. Показана полная аналогия с вынужденной синхронизацией цепочки квазигармонических осцилляторов. Показана возможность управления частотными характеристиками динамического режима цепочки с помощью локального периодического воздействия. Установлено существование области глобального фазового • захвата цепочки произвольной длины на плоскости управляюпщх параметров «частота воздействия — коэффициент связи» .
— 249.
6. Показано существование явления, подобного синхронизации, в моделях одномерных бистабильных сред, управляемых внеп1ними источниками шума. Наблюдались следующие эффекты, связанные со стохастической синхронизацией осцилляторов цепочки: частичный захват средних частот переключений парциальных осциллятороввоз-иикновение синфазного или противофазного порядка переключенийобразование «стоячих» и «бегуищх» волн, соответственно, при взаимной и однонаправленной связи осцилляторов. Также был обнаружен эффект «торможения» переключений, наблюдающийся в цепочках из большого числа бистабильных стохастических осцилляторов со взаимной связью. В этом случае при увеличении параметра связи индивидуальные частот1л переключений становятся близкими к нулю. В тоже время, при однонаправленном взаимодействии элементов цепочки, индивидуалынле частоты с ростом параметра связи приближаются к частоте первого осциллятора.
Заключение
.
Н (!регуля|)11ые колебания предоАавляют собой ннгроко ])аснростра-ненный тин колебательного поведения нелинейных систем. К ним можно отнести как динамические (детерминтрованные) апериодические колебательные режимы, так и колебания, индуцироваппые нтумом. Нерегулярные детерминированные колебания и соответствуюн1, ие им аттракторы диссинативных динамических систем, в свою оче1) едь, могут подразделяться на различ[Н51е типы, согласно классификации, изложенной во введении. Взаимное воздействие нелипейных систем и разХШЧпые впепнпре воздействия супщственно распшряют множество 1|ер (>гулярных колебатсльп1лх режимов, приводит к возникновению но-1и>1х ти[К)в ат'1'рак'1'оров. Особе1Н10сти взаимо/1,ействия пелине|'нн.1х сп-<-тем во многом определяются типом колебательного режима. Однако, можно подчеркнуть общность колебательных явлений, о чем свиде-'1'ел]>ствуют, например, эффекачз! сгн1хронизации, характерп1>1е не тоШ5-ко для периодических и хаотических автоко-к/)аний, но даже для колебаний, возникаюпц1Х в результате действия случайных еиДГ В диссертационной работе, в соответствии с поставЖчпн>1ми задачами, осуществлено пшрокое исследование нелинейных нерегулярных коЖ1батс. пь-ных режимов различного типа. Анализируются эффекты, С15язанные с р, Ш! янием регулярных и случайных впенннАх сил, а также особенности взаимодействия ко-юбательпых систем различного типа: хао’ГЧЧ-ческнх, стохастических и демонстрируюнц1х нерегулярную нехаслчпе-скук) динамику. Проведенные исследования, основанные на методах чис-кзпного эксперимента и представлениях гюлинейпой динамики и статистической радиофизики, позволили получить следуюнцю остюв-1пяе результатьг.
1. Одной из важнейших черт динамического хаоса 5нзляе'1'ся свойство гинерболичности хаотических траекторий. Вьшолнение этого свойства во всех точках траектории или его локальное нарунюние определяют тип хаотического аттрактора и его основные характеристики. Расчет угла ф между устойчивым и неустойчивым направле1шями возмупения хаотической траектории позволяет определить тип хаотического атт1) актора. Алгоритм расчета угла может быть применен не только к обратимым двумерным отображениям и нелинейным хао-'1'ическим осцилляторам с гармоническим возбуждением, но н к трехмерным хаотическим автоколебательным системам. Характер распре-дсиения угХШ ф сохраняется устойчиылм по отношегшю к воздействию на систему случайных сил. Кроме того, в прнсутстчзии П1ума сохраня-(>тся неоднородность свойств растяжения и сжатия, характерная для нсмчнкЛрболического хаотического ап’рактора. Таким образом 1 5 Присутствии Н1ума сохраняются некоторые важные черты, присунц-ю хао-тиче (ч<�ому атт1) актору, определяюпЦ’Ю его тип.
2. Воздейс'1Ч5ие П1ума па киазиат'1'рактор может приводить к очень существенным изменениям его свойств. Усредненные количест15еппые харак'1'ерист1жи режима на негиперболическом аттракторе в 1) езуШ>-ч'ите действия Н1ума становятся менее чувствительны к изменениям ун1) ав. ляюпц1х параметров. С точки зрения слабой чуветвите1плюети к пзменепиям параметров пегипе])бо1пЛчеекий хаос в присуТЧУ]Ч5ии слу-чайп1>1×1503муЩ (чгий стапо15ится в больгией степени похож на гчшербо-.(Н'Шеский хаос. Присунщя квазиаграктору мультистабильная структура может исчезггуть при добавлении в систему источ[н-1ков п[ума с соо'1'-15етствуюнщми статистическими характеристиками. Если па систему 150здействует ограниченный, но максимальной величине Н1ум, то с ростом е[ю интенсивности происходят кризисы обтединения разШ1чп! Дх предельных множеств. В случае слабого ограниченного по величине П1умово1'о 1юздействия сосугцествованне нескольких притягиваюн1, их множеств в области квазиаттрактора может сохраниться. Ес-и1 иггген-сивность ограниченного П1ума достаточно велика, то в фазовом про-страистве негиперболической хаотической системы, на которую ока—лявается н1умовое воздействие, возникает стационарное расг11) еделение пероятностс!!, независянще от пачал1>ного распределения.
З.С типом хаотического аттрактора тесно связаны особенгюсти процесса установления стационарного рает1реде1юния вероятности и ско-рост!) переменнрвания, определяемая характером корреляционной функ-ци!1 процесса. В случае почти гиперболического хаоса (прим (31)ом которого служит аттрактор Лорепца) скорость процесса релаксации па-ча.льного 1зероятностного распределения к сч’ационаргюму состояГШЮ и скорость расншенления корреляций хороню согласуются меж/1,у собой н, также как старший положительный показатель Ляпунова, практически не за1П1сят от иитенсивнос']'и нгума. Такое же поведение бьию установлено для негипербо-шческого хаотического аттрактора, пазы-15аемого винтовым. В то же время сун1, ествует класс пегипербо. пических аттракторов (пазьшаемых спиральными), для которых пгум оказьнзает суп1, ественное влияние на характеристики скорости установления ста-1и1онарного распределения и время корреляции, практически не изменяя С1юйств локальной неустойчивости хаотических траекторий. Было показано, что скорость процесса перемс1пива1шя на хаотическом ал-тракторе в потоковой системе определяется не только по-южителын:. 1-ми ляпугювскими показателями, но и эффективной диффузией мгновенной фазы хаотических колебаний. Последняя, в случае спирального ((1)азово когерентного) хаоса, супщственпо воз1) астает с ростом интенсивности источников шума, так как шум приводит к возннкновегшю сбоев фазы. Коэффициент э (})фективиой диффузии мгиовеииой фазы 15 режиме спирального хаоса мал (порядка 10″ 'а) и резко возрастает с переходом к режиму винтового хаоса. В случае аттракторов с нерегулярным поведением мгновенной (разы, коэофициент эс :1Сэ ективиои диффузии фазы слабо зависит от интенсивности шума.
4. Динамика автоколебательной системы в режиме спирал1) ПОго хаоса характеризуется значительной упорядоченностью и в силу этого обладает многими чертами, присунщми н е р и о д и ч е с к и м колебаниям. Так для автоколебательных систем в режиме спиральпого хаоса характерно явление взаимной и вьп 1ужденпой синхронизации, имеюп1, ее много общих черт с синхронизацией периодических автоколебаний. За-Х1!ат мгповенгюй фазы имеет место в течении сколь у1Х) дпо дли'1чин>по-го интервала времени. На границе области синхронизации один из ля-нуновских показателей обрапщется в ноль. На плоскости параметров, упра15ляюпц1х расстройкой частот и степенью взаимодействия, сун1, е-ст15 у.е.т об-ш-сть синхронизации конечгюй нн-трины, имеюпцгя характерную (})орму клюва. Шум влияет на синхронизацию спирального хаоса и периодических автоколеба1И (й аналогичным образом: при СравнптеХП:.-110 небо. пьп1()й интенсивности Н1ума можно говорит!) об эффективной С1Н1хронизацнис ростом интенсивности Н1ума эс|)фекты захвата мгно-15(П11сй фазы и средней частоты исчезают. Аналогичное разрунюние (:1Н1хрони:5ацни паб1нодастся в случае преобразования спиралп>ного ач'-трактора 15 винтовой.
5. Кроме явления частотно — фазовой синхропизации автогенераторам спирального хаоса присущи эффекты затягивания и гапшния колебаний при взаимодействии с пассивной колебательной системой. В этом снова проявляется сходство их сходство с, а вто геператорами периодических сигналов.
6. Однонаправленное взаимодействие нелинейной системы с несколькими независимыми нериодическими автогеператорами (т.е. квазипериодическое воздействие) может привести не только к хаотической динамике, но и к особому режиму нерегулярных колебаний, связанному с так называемым странным нехаотическим аттрактором. В системах с квазипериодическим воздействием развитию хаоса всегда предшествует появление СНА. Кроме механизмов возникновения СНА, связанных с кризисами квазипериодических аттракторов, возможен пе-р (?ход к режиму СНА в результате постепенного искажения формы эргодического квазипериодического аттрактора. Основные характеристики режима СНА устойчивы к Н1уму. Более того, добавление нгума 15 (чютему с квазипериодическим воздействием может вызвал’ь переход от хаотического поведения к режиму СНА.
7. При взаимодействии осцилляторов в режиме СНА, разрунюние режима полной синхронизации протекает по сцепарию, сходному со сц (-нарием ])азру 1 нения полной синхронизации хаотических ко, лебанпй. В некоторой области значений управляющих параметров синхронньпЛ (:тра1пп>1й н (Лхаотический атт1) актор может обладать чертами ал-грак-'1'ора Милнора и иметь изреп1ечен (пчй бассейн притяжения.
8.В распределенных системах с потоковым взаимодействием эво-.пюция квазинериодических колебапий вдоль потока может порождал’ь нерегулярную пехаотическую динамику, сооч’ветствующую образованию СНА. Исследование модели среды, представляюп1, ей собой цепочку однонаправленно связанных отображений окружности п ()3ВО|Н'Шо у (л'а1ювить некоторые особенности развития 1) ежима СНА в пространстве. Квазинериодический режим в первых звеньях цепочки сменяется в последуюн 1, их элементах, начиная с некоторого номера ], 1ХЛжимом СНА, характерным для пшрокой области вариации параметров.
9.Исследование цепочек, составленных из различных колебательных элемегп’ов, таких как квази гармонические автогенераторы, генераторы спирального хаоса и стохастические бистабильные осцилляторы, выявило много общего в их поведении. Основным явлением во всех рассмотренных случаях была синхронизация характерных частот элементов цепочки, проявляющаяся в согласованием средних частот и мгновенных фаз колебаний. Частотно — фазовая синхронизация коле-багпн 1 отделььН)1х элементов порождает самоорганизованное кооперативное поведение ансамбля в целом, выражающееся в формнрованни пространственных структур и возникновении фазовых волн.
Ю.Сипхропизация средних частот колебаний порождает часлютные кластер!)! в ! 1еоднородной н, епочке квазигармонических ав'1Ч)1'енерато-рс)!з. Б!)1ло г! оказано, что структура кластеро?! в цепочке с ди (1)фузи-()1Н1ой связью 1 юсьма устойчив]Л! по отногпению к 1 1екоррелирова! Н1 !)!м |'ауссо1зскпм источникам гнума. Кластерную синхрониза1Ц1Ю ос1щлля-'1Ч)ров цепочки при наличие флуктуации следует понимать 15 смысле.
Э ()(!ктивпои синхрониза1Ц' 1и и характеризовать коэосрициентом эс)-()(м<�ти!И!ой диффузии. Образованисм и разрушением частотных кла,-с'1Ч!ров можно у11ра! злять с помо11Ц) Ю точечных гармонических внешних воздействий.
11.Для адекватного описания просл’ранствснно — временного поведения квазига1) М011ических осцилляторов одной только фазовой модели может оказал’ься недостаточно. Так динамика мгновеншях амплитуд в неоднородной цепочке автогенераторов с диффузионной связью. су1це-ствеппо влияет па структуру кластеров и их устойчивость к действию шума.
12.Возможность вынужденной си1 1хрониза1щи цепочки квази1Ла1) мо-нических осцилляторов на ча (тоЛге гармонической внешней силы, приложенпой к одному элементу цепочки существенно зависит от характе-1)а связи элементов цепочки. Наличие потоковой составляюпщй связи делает возможной глобальную синхронизацию цепочки произвольной длины. При этом случайно заданная неоднородность параметров может как уве1ннп1ть, так и уменьшить порог глобальной синхро1шзации. Выявлены два сценария перехода цепочки квазигармонических осцил-лято1)ов в режим глобальной вьн1ужде1нюй синхронизации. Один из них соответствует одиовремепгюму захвату частот всех авто1'енерато-ров, а второй — образованию группы осцилляторов, синхронизованных па частоте в ()здейст1П1я, с последуюпщм возрастанием числа элементов этой группы.
13.Эффект вынужденной ча. стотно — фазо1Юй синхро1Н1зацн1 1 цепочки генераторов спирального хаоса локальным периодическим 1юздей-СТИЮМ находится в по-нюй аналогии с вынужденной синхронизацией цепочки квазигармонических осцилляторов. Установлено сун1, сст1юва-1н-1(з области 1'лобального фазового захвата цепочки произвольной длины на плоскости управляюнцАх параметров «частота воздействия — ко.
Э ()фициент связи .
14.В моделях одномерных бистабиШзНых сред, управляем1>1х внепь.
1ми источниками Н1ума наб-нодаются явления, подобные Э (1Х зектам синхронизации: частичный захват средних частот переключений парциальных осциллятороввозникновение синфазного или нротиво (1)аз-пого порядка переключенийобразовагше «стоячих» и «бегунц1х» волн, соответственно, при взаимной и однонаправленной связи осциллято-ро1з. Кроме того для длинных цепочек со взаимной связью ха1) актерен Э ()ект «торможения» стохастических переключений. В этом случае 1ри увеличении параметра связи индивидуальные частоты переклю-ютт становятся близкими к нулю.
1. О кривых, определяемых дифферегнЛиальными уравнениями. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947.
2. Bowen R. Markov partition for Axiom A diffeomorphisms // Amer. J. Math. 1970. Vol. 92, N3. P.724−747.
3. Bowcn R. Symbolic dynamics for hyperbolic flows // Amer. J. Math. 1973. Vol.95, N2. P.429−460.
4. Ruelle D., Takens F. On the natnre of turbulence // Commun. Math. Phys. 1971. Vol.20. P.1G7−192.
5. Синай Я. Г. Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы // ФункционалынэШ анализ и его приложения. 1968. Т.2, N1. С.64−89.
6. Шильппков Л. П. Об одной задаче Пуанкаре Биркгофа // Мат. сб. 1967. Т.74, N1. С.378−397.
7. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциал ьпых уравнений. -М.: Наука, 1978.18| Guck (4ih (nm (UJ., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Sec.2.2. New York: Springer, 1983.
8. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attrac-tors // Rev. Mod. Phys. 1985. Vol.57, N3. P.617−656.
9. Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссинативных структур к упорядочиванию через флуктуации. М.: Мир, 1979.
10. Николис Г., Пригожий И. Познание сложгюго. М.: Мир, 1990.
11. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.
12. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самооргани-зуюнц1хся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.
13. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая меха-пика. М.: Мир, Мир, 1984.
14. Ebeling W., Klimontovich Y.L. Selforganization and turbulence in liquids. Leipzig: Tubner, 1984.2G. Заславский P.M. Стохастичпость динамических систем. М.: Наука, 1984.27| Климентович Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М.: Наука, 1990.
15. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.29| Шустер Г. Детерминированный хаос.
Введение
М.: Мир, 1988.3()| Верже П., Помо И., Вида.)Н) К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.
16. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990.
17. Анинценко B.C. Сложньш колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.
18. Лоску’гоз А.Ю., Михайлов A.C.
Введение
в синергетику.- М.: ?1а-ука, 1990.
19. Андронов A.A. Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний //В сб. Доклад])! VI Съезда русских физиков. Госуд. изд., 1928. С.23−24.
20. Shil’nikov L.P. Strange attractors and dynamical models // J. of Circuits, Systems, and Computers. 1993. Vol.3, N1. P.1−10.
21. Grebogi C, Ott E., Pelikan S., Yorke J.A. Strange attractors that are not chaotic // Physica D. 1984. Vol.13. P.261−268.
22. Аишцоико B.C., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Сарстов: Изд-во Сарато1]ского ун-та, 1999.
23. Farmer J.D., Ott E., Yorke J.A. The dimension of chaotic attractors // Physica D. 1983. VohT. P. 153−180.
24. Grebogi S., Ott E., Yorke J. L Attractors on an N-torus: qnasiperio-disity versus chaos // Physica D. 1985. VoL15. P.354−373.
25. AHHHi,(MH.
26. Пльн<�ин Р.В. 0 гиперболических аттракторах диффеоморфизмов // УМН. 1980. Т.35, N3. С.94−104.
27. Lozi Р. Un attracteur etrange du type attracteur de Hcnon // Journal de Physique. 1978. Vol.39, C5. P.9−10.
28. Кифер Ю. И. О малых случайных возму и сепиях неко'1'ор1>1х г.-а.д-ких динамических систем // Изв. АН СССР. Математика. 1974. Т.38, N5. С.1091−1115.54| Kifer, Yu. Attractors via random transformations // Commun. Math. Phys. 1989. Vol.121. P.445−455.
29. Гав1) илов H.K., ihhjhjhhkob Л.П. 0 трехмерп>1Х динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Часть I. Матем. сб. 1972. Т.88, N8. С.475−492- Част П. Матем. сб. 1973. Т.90, N1. С. 139−156.
30. СО. Robinson С. Bifurcation to infinitely many sinks // Commun. Math. Phys. 1983. Vol.90. P.433−459.
31. Gl| Гончеико СВ., Шильников Л. П., Тураев Д. В. О моделях со структурно неустойчивой гомоклинической кривой Пуа1и<�аре // Успехи матем. наук. 1992. Т.44, N 2. С.422−426.
32. Гонченко СВ., Шильников Л. П. О моделях систем со структурно неустойчивой гомоклинической кривой Пуанкаре // ДАН: Математика. 1993. Т.47, N 3. С.410−415.
33. Anishchenko V.S., Strelkova G.I. Irregular attractors // Dyscret Dynamics in Nature and Society. 1998. Vol.2, N1. P.53−72.
34. G4j Horstliemke, W., Lefever, R. Noise-indnced transitions. Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo: Springer-Verlag, 1984.
35. G5| Анипцепко B.C., Сафонова M.A. Бифуркации аттракторов в присутствии флуктуации // ЖТФ. 1988. Т.58, вьш.4. С.641−651.
36. АнищенЕю B.C., Сафонова М. А. Время корреляции и энтропия хаоса при обратных бифуркациях удвое1тя периода // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14, вып. 16. С.1470−1474.
37. G7. Анинценко B.C., Сафонова М. А., Тучин В. В. Бифуркации и ин-дуци})ова1П1ая впеннтм п1умом стохастичность в лазере с nejni-нейным поглощением // Квант, электрон. 1988. Т. 15, N9. С. 18 851 894.
38. G8. Sonnnerer J. С, Ott Е., Grebogi С. Scaling law for cliar-u-teristic times of noise-induced crescs // Phys. Rev. A. 1991. Vol.43. P.1754−1769.
39. Grebogi C, Hammel S.M., Yorke J.A., Saner T. Shadowing of physical trajectories in chaotic dynamics: containment and refinement // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol.65. P.1527−1530.
40. Dowson S.P., Grebogi C, Saner Т., Yorke J.A. Obstructions to shadowing when a Lyapunov exponent fluctuates about zero // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol.73, N14. P. 1927;1930.
41. Dowson S.P. Strange nonattracting chaotic sets, crises, and fluctuating Lyapunov exponents // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol.76, N 23. P.4348−4351.
42. Saner Т., Grebogi G., Yorke J.A. How long do numerical chaotic solutions remain valid ?// Phys. Rev. Lett. 1997. Vol.79, N 1. P.5962.
43. Синай Я. Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН CCCR 1959. Т.124, N4. С.768−771.
44. Bowen R., Ruelle D. The ergodic theory of Axiom A flows // Inven-tiones Math. 1975. Vol.29. P. 181−202.
45. Ruelle D. A mesure associated with Axiom A attractors // Am. J. Math. 1976. Vol.98. P.619.
46. Ruelle D. Ergodic theory of differentiable dynamical systems // Phys. Math. IHES. 1979. Vol.50. P.275.
47. Буиимович Л^., Синай Я. Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца // В сб. Нелинейные волны / иод ред.А.В. Гапонова-Грскова, М.: Наука. 1980. С.212−226.
48. BeKrugJ^ А.Д., Фрейдлин М. И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмунцений М.: Наука. 1979.
49. Graham R., Hamm A., Tel T. Nonequilibrium potentials for dynamical systems with fractal attractors or repellcrs // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol.66, N24. P.3089−3092.8C. Тихонов В. И., Миронов ALA. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.
50. Ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. -М.: Выспгая школа, 1990.
51. Гардипер К. В. Стохастические методы в естественных науках. -М.: Мир, 1986.
52. KojiMoi’opoB A.H. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН. 1959. Т. 124, N4. С.754−755.92| Billingsley Р. Ergodic theory and information. Wiley, New York, 1965.
53. HecHH Я. Б. Характеристические показатели Ляпуно1за и гладкая эргодическая теория // УМН. 1977. Т.32, N4. С. 55−112.
54. Кузнецов Ю. А., Ланда П. С, Ольховой А. Ф., Перминов СМ. Амплитудный порог сипхрогн4зации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах // ДАН СССР. 1985. Т.281, вып.2. С. 1164−1169.
55. G. Теодорчик К. Ф. Автоколебательные системы. М.: Гостехиздат, 1952.
56. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 19С8.
57. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.
58. Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981.
59. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математические модели в биофизике.- М.: Наука, 1975.
60. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984.
61. Демьянченко А. Г. Синхронизация генераторов гармонических колебаний. М.: Энергия, 197С.
62. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободьг М.: Наука, 1980.
63. Pikovsky А., Rosenblum М., Kurths J. Synchronization. А universal concept in nonlinear sciences. Cambridge University Press, 2001.
64. Апип1, епко B.C., Вадивасова Т. Е. Синхронизация автоколебаний и колебаний, индуцированных н1умом // Радиотехника и элек-тро1шка. 2002. Т.47, N2. С. 1−33.
65. Nijmeiier Н., Blekhman Fradkov A.L., Pogromsky A.Y. Selfsyn-chronization and controlled synchronization // In: Proceeedings of the 1st Int. Conference on Control of Osscillations and Chaos, St. Petersbnrg, 1997. Vol.1. P.34−41.
66. Аннпценко B.C., Постнов Д. Э. Эффект захвата базовой частоты хаотич (!Ских автоколебаний. Синхронизация странных а'1лч)акт ()-ров // Письма в ЖТФ. 1988. Т.14, вып.6. С.569−573.
67. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E. Synchronization of chaos // In proc: First International Conference on Applyed Syn-erg (4,ic and Synergetic Engeneering, June 21−23, Erlangen, Germany, !984. P.200−206.
68. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V., Wn C.W., Chua L.O. Dinamics of the nonautononious Chua’s circuit // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. Vol.5, N6. P. 15 251 540.
69. Anishchenko, V.S., Astschov, V.V., Vadivasova, Т.Е., Sosnovtseva, O.V., Wu, C.W. and Chua, L.O. Dynamics of two coupled Chua’scircuits // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. Vol.5, N6. P.1C77−1699.
70. Pikovsky A., Osipov C, Rosenblnm M., Zaks M., Kurths J. AttractorrcApeller collision and eyelet intermittency at the transition to phase synchronization // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol.79. P.47−50.
71. Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Balanov A.G., Astakhov V.V. Phase multistability of synchronous chaotic oscillations // Discret Dynamics in Nature and Society, Special Issue on Synchronization. 2000. Vol.4. P.231−243.
72. Fujisaka Н., Yamada Y. Stability theory of synchronized motions in coupled oscillatory syatems // Progr. Tlieor. Phys. 1983. Vol.09. P.32−46.
73. Pikovsky A.S. On the interaction of starange attractors // Z. Phys. B. 1984. Vol.55. P.149−154.
74. Rnl’kov N.F., Volkovskii A.R., Rodriguez-Lozano A., Del-Rio E., Velarde M.G. Mutual synchronization of chaotic self-oscilla.tors with dissipativii coupling // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1992, Vol.2, N3. P. G69−67C.
75. Chua L., Itoh M., Kocarev L., Eckert K. Chaotic synchronization in Chua’s circuit // In: Chua’s Circuits: A Paradigma for Chaos / cd by R.N. Madaii. Singapore: World Ecientific, 1993. P.309−324.
76. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol.78. P.4193−419C.
77. Sosnovtseva O.V., Balanov A.G., Vadivasova Т.Е., Astakhov V. V., Mosekilde E. Loss of lag synchronization in coupled chaotic systems // Phys. Rev. E. 1999. Volo.60, N6. P.6560−6565.
78. Kocarev L., Parlitz U. Generalizedsynchronization, predictability, and equivalence of unidirectionally coupled dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol.76, N11. P.1816−1819.
79. Parliz U., Junge L., Lauterborn W., Kokarev L. Experimental observation of phase synchronization // Phys. R.ev. E. 1996. Vol.54, N2. P.2115−2117.
80. AcTaxoii B.B., Безручко В. П., Ерастова Е. Н., Селезнёв Е. П. Виды колебаний и их эволюция в диссинатитю связанных (])ейгенбау-мовских системах // ЖТФ. 1990. Т.60, вын.Ю. С.19−26.
81. DeLRio E., Velarde M.G., Rodrigues-Lozano A. et al. Experimental evidence for synchronous behavior of cdiaotic ninlinear oscillators with unidirectional or mutual driving // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1994. Vol.4, N4. P.1003−1009.
82. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. From attractor to chaotic saddle: tale of transverse instability // Nonlinearity. 1994. Vol.9. P.703−737.
83. Ott E., Sommerer J.C. Blowout bifurcation in chaotic dynamical systems // Phys. Lett. A. 1994. Vol.188. P.39−47.
84. Heagi J.P., Caroll T.L., Pecora L.M. Synchronous chaos in coupled oscillator systems // Phys. R, ev. E. 1994. Vol.50, N 3. P.1874−1885.
85. Lai Y-Ch., Grebogi C, Yorke J.A., Venkataramani S.C. Ridling bifurcation in chaotic dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol.77, N1. P.55−58.
86. Rulkov N.F., Suschik M.M. Experimental observation of synchronized chaos wiyh frequency ratio 1:2 // Phys. Lett. A. 1996. Vol.214, N 3−4. P.145−150.
87. Anishchenko V.S., Silchenko A.N., Khovanov I.A. Synchronization of switching processes in coupled Lorenz systems // Phys. Rev. E. 1998. Vol.57. P.316−322.
88. Ding M., Grebogi C, Ott E. Evolution of attractors in quasiperiodically forced systems: From quasiperiodic to strange nonchaotic to chaotic // Phys. Rev. A. 1989. Vol.39, N5. P.2593−2601.
89. Ding M., Grebogi C, Ott E. Dimension of strange nonchaotic attractors // Phys. Lett. A. 1989. Vol.137. P.167−174.
90. Kapitaniak Т., Ponce E., Wojewoda J. R. out to chaos via strange nonchaotic attractors // J.Phys. A. 1990. Vol.23. P. L383.
91. Kapitaniak T. Generating strange nonchaotic trajectories // Phys. Rev. E. 1993. Vol.49, N2. P.1408−1410.186| Heagy J.F.and Hammel S.M. The birth of strange nonchaotic attractors // Physica D. 1994. Vol.70. P.140−153.
92. Pikovsky A.S., Feiulel U. Correlations and spectra of strange non-chaotic attractors // J.Phys.A. 1994. Vol.27. P.5209−5219.
93. Pikovsky A.S., Feudel U. Characterizing strange nonchaotic attractors // Chaos. 1995. Vol.5. P.253.
94. ПНД. 1995. Т. З, N3. С.34−43.191| Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V. Mechanisms of ergodic torus destruction and appearance of strange nonchaotic attractor // Pliys.Rev.E. 1996. Vol.53, N5. P.4451−4457.
95. Aranson D.G., Chori М.А., Hall G.R., McGenehe R.R. Bifurcations from an invariant circle for twoparameter families of maps of the plane: a computerassisted study // Comm. Math. Phys. 1982. Vol.83. P.303−354. Тоже о разрунтении тора (1982).
96. Pikovsky A.S. Spatial development of chaos // in: Proceedings of the 1st Experimental Chaos Conference, Arlington, 1991 / ed. by S. Vohra, M. Spano, M. Shlesinger, L. Pecora, W.Ditto. World Scientific, 1991. P.382−388.
97. Strogatz S.H., Mirollo R.E. Phase-locking and critical phenomena in lattices of coupled nonlinear oscillators with random intrinsic frequencies // Physica D. 1988. V.31. P.143−168.
98. Strogatz S.H., Mirollo R.E. Collectiv synchronisation in lattices of nonlinear oscillators with randomness // J. Phys. A. 1988. V.21. P. L699-L705.
99. Wiesenfeld K., Hadley P. Attractor crowding in oscillator arrays // Phys. Rev. Lett. 1989. Vol.62. P. 1335−1338.
100. Belykh V.N., Verichev N.N., Kocarev L.J. Chua L.O. On chaotic synchronization in a hnear array of Chua’s cirquits // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1993. Vol.3, N2. P.579−589.
101. Braiman Y., hinder J.F., Ditto W.L. Taming spatiotemporal chaos with disorder // Nature. 1995. Vol.378. P.465−467.
102. Kuramoto Y. Cooperative Dynamics of Oscillator Community // Progr. Theor. Phys. 1984 Vol.79. P.212−240.
103. Murray J.D. Mathematical Biology. Heidelberg: Springer, 1989.219| Modelling the Dynamics of Biological Systems/ ed. by E. Mosekilde and O.G. Mouritsen, Berlin: Springer, 1995.
104. Principles of brian functioning. Berlin: Springer, 1996.
105. Малафеев В. М., Полякова М. С, Романовский Ю. М. О процессе синхронизации в цепочке автогенераторов, связанных через проводимость // Изв. вузов. Радиофизика. 1970. Т. 13, вып.О. С936−940.
106. Осипов Г. В., Сущик M.M. Синхронизация и управление в цепочках связанных автогенераторов // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика синхронизация и хаос — II. 1997. С.5−23.
107. Osipov Qv., Sushchik M.M. Synchronized clusters and multistabih ity in arrays of oscillators with different natural frequencies // Phys. Rev. E. 1998. Vol.58, N6, pP.7198−7207.
108. Yamaguchi Y., Shimizu H. Theory of self-synchronization in the presence of native frequency distribution and external noises // Physica D. 1984. V. ll. P.212−226.
109. Ermentrout G.B., Troy W.C. Phaselocking in a reaction-diffusion system with a linear frequency gradient // SI AM J. Appl. Math. 1986. Vol.39. P.623−660.
110. Ermentrout G.B. Oscillator death in populations of «all to all» coupled nonlinear oscillators // Physica D. 1990. Vol.41. P.219−231.
111. Matthews P.O., Strogatz S.H. Phase diagram for the collective behavior of limit-cycle oscillators // Phys. R.ev. Lett. 1990. Vol.65. P.1701−1704.
112. Pikovsky A.S., R. osenblum M.G., Knrtlis J. Synchronization in a population of globally coupled chaotic oscillators // Europhys. Lett. 1996. Vol.34, N3. P.165−170.
113. Osipov G. V., Pikovsky A.S., R. osenblum M. G., Kurths J. Phase synchronization effects in a lattice of nonidentical Rossler oscillators Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55. P.2353−2361.
114. Kaneko К. Spatio-temporal chaos in oneand two-dimensional con-pled map lattices // Physica D. 1989. Vol.37. P.60−82.
115. Rudzick 0., Pikovsky A. Unidirectionally coupled map lattice as a model for open flow systems // Phys. Rev. E. 1996. Vol.54, N5. P.5107−5115.
116. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Velarde M.G. Clastering in a chain of bistable nonisochronous oscillators // Phys. Rev. E. 1998. Vol.58, N 5. P.5742−5747.
117. Гапопов-Грехов A.В., Рабинович М. И., Старобинец И. М. Динамическая модель пространственного развития турбулентности// Письма в ЖЭТФ. 1984. Т.39, вып.12. С.561−563.
118. Hu C, Xiao J., Yang J., Xie P., Qu Z. Synchronization of spatiotemporal chaos and its applications // Phys. Rev. E. 1997. Vol.56, N3. P.2738−2746.
119. Grassberger P. Synchronization of coupled systems with spatiotemporal chaos // Phys Rev. E. 1999. Vol.59, N3. P. R2520-R2522.
120. Kazantsev V.B., Nekorkin V.I., Artyuhin D.V. Synchronization, reentry, and failyre of spiral waves in a two-layer discrete excitable system // Phys. Rev. E. 2000. Vol.63. P.1 6212(1−9).
121. Lorenzo M.N., Perez-Munuzuri V. Influence of low intensity noise on assrmblies of diffusively coupled chaotic cells // Chaos. 2001. Vol.11, N 2. P.371−376.
122. Ашпцеико B.C., Неймаи A.B., Mocc Ф., Шимаиский-Гаер Л. Стохастический резонанс: индуцированный н]умом порядок // УФН. 1999. Т.42, N1. С.7−36.
123. Han S.K., Yim T.G., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V. Interacting coherence resonance oscillators // PHys. Rev. Lett. 1999. Vol.83, N 9. P. 1771−1774. Han (1999).
124. Lindii (3r J.F., Meadows B.K., Ditto W.L., Incliiosa M.E., Bulsara A.R. Array enhansed stochastic resonance and spatiotemporal synchronization // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol.75. P.3−6.
125. Pei X., Wilkens L., Moss F. Noise-mediated spike timing precision from aperiodic stimuli in an array of Hodgkin-Huxley-type neurons.
126. Phys. Rev. Lett. 1996. Vol.77, N 2. P.4679−4682.
127. Gailey P.C., Neiman A., Collins J.J., Moss F. Stochastic resonance in ensembles of non-dynamical elements. The role of internal noise. // Phys. R, ev. Lett. 1997. Vol.79. P.4701−4704.
128. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I., Kopeikin A.S. Chaotic Attractors of 2D invertible maps // Discrete Dynamics in Nature and Society. 1998. Vol.2, N4. P.249−256.
129. Копейкин A.C., Вадивасова Т. Е., Анипщпко B.C. Особенности процесса установления вероятностной меры на хаотических аттракторах в системах Лоренца и Ресслера с учетом флуктуагцАй.
130. Изв.вузов. ПНД. 2000. N.8, N6. С.65−77.
131. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные п1умом переходы. -М.: Мир, 1987.281| Eckmann J.-P, Procaccia I. Fluctuations of dynamical scaling indices in nonlinear systems // Phys. Rev. A. 1986. Vol.34, N 1. P.659−661.
132. Ruelle D. A measure associated with Axiom A attractors // Am. J. Math. 1976. Voh98. P. G19−628.
133. Балаиов А. Р., Вадивасова Т. Е., Постнов Д. Е., Сосновцева О. В. Бифуркация синхронизации хаоса в осцилляторе Рёссле1) а с гармоническим воздействием // Изв. вузов. ПНД. 1997. Т.5, N5. С.31−42.
134. Анинщнко B.C., Астахов В. В., Летчфорд Т. Е. Многочастотшяе и стохастические автоколебания в генераторе с инерционнойнелииейностыо // Радиотехника и электроника. 1982. Т.27, N10. С1972;1978.
135. Вадивасова Т. Е., Сосновцева О. В., Балапов А. Р. Фазовая мул1>-THCTa6Hjn>ncTb в системах с квазипериодическим воздействием // Письма в ЖТФ. 1999. Т.25, вып.22. С.49−57.
136. Sosnovtseva O.V., Vadivasova Т.Е., Anishchenko V.S. Evolution of complex oscillations in a quasiperiodically forced chain // Phys. Rev. E. 1998. Vol.57, N1. P.282−287.
137. Nonchaotic attractors with highly fluctuating finite-time Lyapunov exponents // Phys. Rev. E. 1998. Vol.57, N 5. P.5332−5336.
138. Rajasekar S. Controlling of chaotic motion by chaos and noise signals in a logistic map and Bonhoeffer van der Pol oscillator.
139. Phys. Rev. E. 1995. Vol.51, N1. P.775−778.
140. Khovanov I.A., Khovanova N.A., McClintock P.V.E., Anishchenko V.S. The effect of noise on strange nonchaotic attractors // Phys. Lett. A. 2000. Vol.268. P.315−322.
141. Piatt A.S., Spiegel E.A., Tresser C. On-off intermittency: A mechanism for bursting // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol.70. P.279−282.
142. Vankataramani S.C. Riddling bifurcation in chaotic dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol.77, N 1. P.55−58.
143. Maistrenko Yu., Kapitaniak Т., Szuminski P. Locally and globally riddled basins in two coupled picewice-linear maps // Phys. Rev. E. 1997. Vol.55. 6393−6399.
144. Kapitaniak T. On strange noncliaotic attractors and their dimensions // Chaos, Solutions and Fractals. 1991. Vol.1, N1. P.67−77.
145. Alexander J. C, Hunt B.R., Kan J., Yorke J.A. Intermingled basins for the triangle map // Erg. Theoret. Dyn. Syst. 1996. Vol.16. P.651−662.
146. Kaneko K. Lyapunov analysis and information flow in coupled map lattices // Physica D. 1986. Vol.23. P.436−447.
147. PanonoB-PpexoB A^., Рабинович М. И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей / /В сб.: Нелинейные волны / иод ред. А.В. ГаноноваГрехова и М. И. Рабиновича, М.: Ь1аука. 1987. С.7−44.
148. Pikovsky A.S. Chaotic wavefront propagation in coupled map lattices // Phys. Lett. A. 1991. Vol.156, N 5. P.223−226. Разобраться, что это.
149. Aranson I., Golomb D., Sompolinsky H. Spatial coherence and temporal chaos in macroscopic systems with assimetrical couplings // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol.68, N 24. P.3495−3498.
150. Newhouse S., Ruelle D., Takens F. Occurence of strange axiom A attractors near quasiperiodic flows on T — m, m >= 3 // Commun. Math. Phys. 1978. Vol.64. P.35−40.
151. Feiidel U., Grebogi C., Ott E. Phase-locking in quasiperiodically forced systems // Phys. Reports. 1997. Vol.290. P.11−25.
152. Rubchinsky L., Sushchik M. Disorder can eliminate oscillator death // Phys. Rev. E. 2000. Vol.62, N 5. P.6440−6446.
153. Astakhov V.V., Anishchenko V.V., Kapitaniak T., Shabnnin A.V. Synchronization of chaotic oscillators by periodic parametric perturbations // Physica D. 1997. Vol.109, N1,2. P. 11−16.
154. Paramananda P., Jiang Yu. Gontrolling localized spatiotemporal chaos in a one-dimensional coupled map lattice // Phys. Lett. A. 1997. Vol.231. P.159−163.
155. Levin J.E., Miller J.P. Broadband neural encoding in the cricket cereal sensory systaem enhanced by stochastic resonance // Nature. 1996. Vol.380. P.165−168.
156. Sosnovtseva O.V., Fomin A.A., Postnov D.E., Anishchenko V.S. Clustering of noise-induced oscillations // Phys. Rev. E. 2001. Vol.64. P.2 6204(1−4).
157. Фомин A.^, Вадивасова Т. Е. Сосновцева О.В., Анинценко B.C. Вьшужденная фазовая синхронизация цепочки хаотических осцилляторов // Изв. вузов. ПНД. 2000. Т.8, N4. С. 103−112.
158. Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I., Anisludienko V.S. Phase frequency synchronization in a chain of periodic oscillators in the presence of noise and harmonic forcings // Phys. Rev. E. 2001. Vol.63, P.3 6225(1−8).
159. Копейкин А. С, Матюнжин Д. Д., Вадивасова Т. Е., Сосновцева О. В., Анищенко B.C. Эффекты синхронизации в цепочке стохастических бистабильпых осцилляторов // Изв. вузов. ПНД. 2001. Т.9, N3. С.61−72.
160. Стратопович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуации в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.
161. Малахов А. П. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.
162. Anishchenko V.S., Nciman А.В., Silclienko A.N., Khovanov I.A. Phase synchronization of switchin stochastic and chaotic bistable systems // Dynamics and Stability of Systems. 1999. Vol.14, N 3. P.211−231.
163. Dykman LL., Mannella R., McClintock P.V.E., Moss F., Soskin S.M. Spec oral density of fluctuations of a double-well Duffing oscillator driven by white noise // Phys. Rev. A. 1988. Vol.37, N 4. P.1303−1313.
164. Kapitaniak T. Stochastic resonance in chaotically forced systems // Chaos, Solitons Fractals. 1993. Vol.3. P.405−413.
165. Kramers H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Phisica. 1940. Vol.7. P.284−312.
166. Kopeikin A.S., Sosnovtseva O.V., Khmshin A.V., Matushkin D.D. Stochastic oscillations, synchronization, and structures in lattices of- 294.
167. Schmitt triggers / / В материалах Межвузовской конференции: Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ. Саратов, 2001. С. 172−176.
168. Список публикаций по теме диссертации.
169. Статьи в реферируемых журналах.
170. Анищенко B.C., Вадивасова Т. Е., Постнов Д. Э., Сафонова М. А. Внеин1яя и взаимная синхронизация хаоса // Радиотехника и электроника. 1992. Т.36, N2. С.338−351.
171. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova М.А. Synchronization of chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1992. Vol.2, N3. P.633−644.
172. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V., Wu C.W., Chua L.O. Dynamics of the nonautonomous Chua’s circuit // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. Vol.5, N6. P.1525−1540.
173. Anishchenko V.S., Astachov V.V., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Wu C.W., Chua L.O. Dynamics of two coupled Chua’s circuits // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. Vol.5, N6. P.1677−1699.
174. Анинце1н<�о B.C., Вадивасова Т. Е., Сосновцева О. В. Механизмы возникновения странного нехаотического аттрактора в отображении кольца с квазинериодическим воздействием // Известия вузов. П14Д. 1995. Т. З, N3. С.34−43.
175. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V. Mechanisms of ergodic torus destruction and appearance of strange nonchaotic attractor // Phis.Rev.E. 1996. Vol.53, N5. P.4451−4457.
176. Вадивасова Т. Е., Сосновцева О. В., Анищенко B.C. Нерегулярная динамика цепочки отображений окружности с квазипериодическим воздействием // Письма в ЖТФ. 1997. Т.23, вып.4. С.284−288.
177. Вадивасова Т. Е., Сосновцева О. В., Динамика цепочки отображений окружности с квазипериодическим воздействием // Известия вузов ПНД. 1997. Т.5, N1. С.42−53.
178. Балаиов А. Г., Вадивасова Т. Е., Постнов Д. Е., Сосновцева О. В. Вифуркация синхронизации хаоса в осцилляторе Рёсслера с гармоническим воздействием // Изв. вузов. ПНД. 1997. Т.5, N5. С.31−42.
179. Sosnovtseva O.V., Vadivasova Т.Е., Anishchenko V.S. Evolution of complex oscillations in a quasiperiodically forced chain // Phys. Rev. E. 1998. Vol.57, N1. P.282−287.
180. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I., Kopeikin A.S. Chaotic attractors of two-dimensional invertible maps // Discret Dynamics in Nature and Society. 1998. Vol.2, N2. P.249−25G.
181. Vadivasova Т.Е., Balanov A.G., Sosnovtseva O.V., Postnov D.E. Mosek-ilde E. Synchronization in driven chaotic systems: Diagnodtics and bifurcations // Phys., Lett. A. 1999. Vol.25. P.66−74.
182. Postnov D.E., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Balanov A.G., Anishchenko V.S., Mosekilde E. Role of multistability in the transition to chaotic phase synchronization // Chaos. 1999. Vol.9, N1. P.227−232.
183. Вадщвасова Т. Е., Сосновцева О. В., Баланов А. Г. Фазовая мульти-стабильнст!) в системах с квазинериодическим воздействием // Письма в ЖТФ. 1999. Т.25, вьш.22. С.49−57.
184. Астахов В. В., Валанов А. Р., Сосновцева О. В., Вадивасова Т. Е. Потеря синхронизации в связанных системах Рёсслера // Известия вузов. ПНД. 1999. Т.7, N5. С.26−32.
185. Sosnovtseva O.V., Balanov А. С, Vadivasova Т.Е., Astakhov V.V. Mosekilde Е. Loss of lag synchronisation in coupled chaotic systems // Phis. R, ev. E. 1999. Vol.60, N6. P. G560−0565.
186. Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Balanov A.G., Astakhov V.V. Desynchronization in coupled systems with quasiperiodic driving // Phys. Rev. E. 2000. Vol.61, N4. P.4618−4621.
187. Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Balanov A.G., Astakhov V.V. Phase multistability of synchronous chaotic oscillations // Discret Dynamics in Nature and Society. Special Issue on Synchronization. 2000. Vol.4. P.231−243.
188. Фомин A.M., Вадивасова Т. Е. Сосновцева О.В., Аншценко B.C. Вынужденная фазовая синхронизация цепочки хаотических осцилляторов // Изв. вузов. ПНД. 2000. Т.8, N4. С. 103−112.
189. Anishchenko V.S., Kopeikin A.S., Kurths J., Vadivasova Т.Е., Strelko-va G.I. Studing hyperbolicity in chaotic systems // Phys. Lett. A. 2000. Vol.270. P.301−307.
190. Anishchenko V.S., Kopeikin A.S., Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I., Kurths J. Influence of noise on statistical properties of nonhyperbolic at-tractors // Phys. Rev. E. 2000. Vol.62, N6. P.7886−7893.
191. Копейкин AX, Вадивасова Т. Е., Анин1, енко B.C., Особенности процесса установления вероятностной меры на хаотических аттракторах в системах Лоренца и Рёсслера с учетом флуктуации. // Изв.вузов. ПНД. 2000. N.8, N6. С.65−77.
192. Vadivasova Т.Е., Strelkova G.I., Anishchenko V.S. Phase frequency synchronization in a chain of periodic oscillators in the presence of noise and harmonic forcings // Phys. Rev. E. 2001. Vol.63, P.3 6225(1−8).
193. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Kopeikin A.S., Kurths J., Strelkova G.I. Effect of noise on the relaxation to an invariant probability measure of nonhyperbolic chaotic attractors // Phys. Rew. Lett. 2001. Vol. 87, N5. P.4101(l-4).
194. Копейкин AX, Матюшкин Д. Д., Вадивасова Т. Е., Сосновцева О. В., Анищенко B.C. Эффекты синхронизации в цепочке стохастических би-стабильпых осцилляторов // Изв. вузов. ПНД. 2001. Т.9, N3. С.61−72.
195. Анипценко B.C., Вадивасова Т. Е. Синхронизация автоколебаний и колебаний, индугщрованных птумом // Радиотехника и электроника. 2002. Т.47, N2. С. 1−33.
196. Анищенко B.C., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-!Ю Саратовского гос. ун-та, 1999.
197. Статьи в научных сборниках.
198. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E. Synchronization of chaos // Applied Synergetic and Synergetic Engeneering: Proceedings of The First Int. Conf. Germany, 1994. P.200−200.
199. Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Anishchenko V.S. On spatial evolution from quasiperiodicity to chaos // The First Int. Conf. on Control of Oscillations and Chaos: Proceedings. Russian. St. Petersburg, 1997. Vol.2. P.347−348.
200. Вадивасова Т. Е., Апигцеико B.C. Эффекты синхронизации в цепочке квазигармонических автогенераторов в присутствии случайных п гармонических воздействий // В материалах копф.: Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ. Саратов, 2001. С.23−25.
201. Тезисы докладов на научных конс1) еренциях.
202. Vadivasova Т.Е. Synchronization of chaos // Differential equations: Bifurcations and Chaos: Book of Abstracts of The SchoolConference in Katsiveli. Ukraine. Kiev. 1994. P.107.
203. Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Anishchenko V.S. Attractors with complex structure on the surfase of three-dimensional torus // Phisics and Dynamics between Chaos, Order and Noise: Book of Abstracts of 163 WE-Heraeus-Seminar. Germany. Berlin, 1996.
204. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Kopeikin A.S., Strelkova G.I. Properties of hyperbolic and nonhyperbolic attractors // Abstracts of Int. Conf. «Stochaos». UK. Ambleside, 1999. P.40.
205. Vadivasova Т.Е. Statistic approaches to chaotic systems // Abstracts of 2nd European Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis «Euroattractor 2001». Poland, Waesaw, 2001.1. Благодарности.