Применение вариационного метода Л. М. Качанова в задачах плоского упруго-пластического изгиба стержней

Пластические свойства обнаруживают большинство материалов, используемых при проектировании современных конструкций и сооружений. Учёт этих свойств позволяет более полно оценить несущую способность, выявить дополнительные запасы прочности и приводит к рациональному использованию материальных средств.

Стержни, а также балки и болты являются основным элементом большинства строительных конструкций. Задачам упруго-пластического изгиба балок и стержней посвящены работы многих авторов, в том числе монографии: [20], [24], [58]- разделы справочной и учебной литературы: [13], [14], [43], [51], [54]- отдельные разделы специальных исследований [10],[12], [47], [59], [69].

Общие подходы к построению методов расчёта заключаются в принятии ряда положений, в том числе гипотезы плоских сечений, допущения об одноосности напряжённого состояния и схемы идеальной пластичности. Для задач чистого изгиба в упругой стадии эти допущения позволяют построить точное решение, удовлетворяющее уравнениям равновесия и совместности деформаций ([65]). За пределами упругости допущение об одноосности напряжённого состояния эквивалентно допущению о том, что коэффициент Пуассона р в упругой и пластической областях одинаков и равен 0.5, при этом учёт остальных составляющих тензора напряжений не влияет на величину изгибающего момента в сечении ([28]). При поперечном изгибе, как указывал В. В. Новожилов [48], «гипотеза плоских сечений не включает в себя никаких предположений о свойствах материала, из которого изготовлен брус». Таким образом оба допущения носят приближённый характер, и, хотя решения, построенные на этих допущениях, дают несколько преувеличенные деформации ([28], [11]), проведённые эксперименты ([81],[11], [75], [87], [82], [86], [73], [74], [79], [88], [89]) показали достаточную для практики степень точности полученных решений, а выводы элементарной теории в определении предельных нагрузок отличались не более, чем на 5−6% от экспериментальных данных. Большой обзор экспериментальных исследований для конкретных, практических задач изгиба представлен в работе [46].

При поперечном изгибе в сечениях стержня возникают касательные напряжения, уравновешивающие поперечную силу и обеспечивающие совместную деформацию всех частей стержня при изгибе. Появление касательных напряжений приводит к перераспределению нормальных напряжений и влияет на возникновение пластических деформаций. Подход к определению касательных напряжений в упруго-пластической стадии, проводимый в рамках элементарной теории изгиба, был предложен Н. И. Безуховым в [8]. Он состоит в нахождении касательных напряжений из условий равновесия элемента стержня при заданном распределении нормальных напряжений и позволяет выявить концентрацию касательных напряжений в упругом ядре сечения, оценить приложенные нагрузки из условия возникновения пластических деформаций, вызванных развитием касательных напряжений на нейтральной оси стержня. Таким способом были учтены касательные напряжения в работах [3], [19], [22], [38], [47], [58], [59]. Возможны и другие, более широкие, подходы к учёту касательных напряжений, например, рассмотрение изгиба призматических стержней как плоской задачи теории пластичности ([4], [9], [20], [25], [40], [53], [63], [70], [80], [71]) или применение вариационных методов для построения решений, удовлетворяющих условиям равновесия, совместности деформаций, краевым условиям (в интегральном смысле) и’условию текучести в сечении ([90], [91], [76]). В работе [4] при рассмотрении плоской задачи были получены прогибы оси шар-нирно опертого стержня с прямоугольным сечением и сделан вывод об уменьшении роли касательного напряжения на прогиб при приближении к предельному состоянию. Решения, полученные в указанных работах, и результаты упомянутых выше экспериментальных исследований показывают, что приближённая теория изгиба стержней применима для инженерных расчётов.

В дальнейшем обзоре ограничимся анализом работ для стержней с прямоугольным или круглым поперечным сечением, имеющим широкое применение в технике. Наибольшее внимание в проведённых исследованиях уделялось статически определимым задачам, в которых определена граница между упругой и пластическими областями. Здесь получены теоретические решения ряда задач, в основном для стержней с прямоугольным поперечным сечением, где выражение кривизны на упруго-пластических участках оси допускает вычисление квадратур при построении функции прогибов: консольного стержня с силой на торце— [69], [59], [47]- консольного стержня под действием равномерно распределённой нагрузки в случае степенной зависимости между напряжениями и деформациями: о = Аеа— [59]- шарнирно опертого стержня под действием силы посередине— решение Фриче—.

77], [47], [59]- шарнирно опертого стержня под действием равномерно распределённой нагрузки решение Прагера и Ходжа— [52], [69]- защемлённого стержня под действием силы посередине, где задача решена путём сведения к задаче о консольном стержне— [69], [47].

Для стержней с круглым поперечным сечением решение затруднено невозможностью обращения зависимости между моментом и кривизной и построением функции кривизны на упруго-пластических участках оси в замкнутом виде. Поэтому при решении тех же и других статически определимых задач в работах [1], [2], [5]-[6], [10], [36], [37], [58], [27], [67], [38], [62], [61] предлагались численные и приближённые методы, причём в [10], [58] учтено линейное упрочнение материала в упруго-пластической области. В работе [91] при решении вариационного уравнения применён метод итераций.

Менее исследованными являются статически неопределимые задачи, для которых усилия и моменты в сечениях можно найти только после определения перемещений. В этих задачах не представляется возможным заранее находить границу между упругой и пластической областями, что, в частности, осложняет применение вариационных методов расчёта. К таким задачам, в том числе, относятся задачи с продольными растягивающими или сжимающими нагрузками, где выражение изгибающего момента составлено по деформированному состоянию. В работах [10], [23], [35], [58], [59] рассмотрены различные случаи нагружения для стержней, один конец которых защемлён, а второй шарнирно оперт. В работе [35] для различных вариантов закрепления торцов определены величины предельных нагрузок на стержень. Различные виды нагрузок на защемлённый стержень рассматриваются в [10], [47], [62], [53], [58]. В [46], а также [57] получены предельные значения нагрузок для различных двухи трёхпролётных неразрезных балок. При исследовании изгиба и сжатия в [7], [41], [42] рассмотрен консольный стержень под действием продольной и поперечной сил, прогибы стержня определены методом упругих решений в форме фиктивных нагрузок. В [62] итерационный метод интегрирования уравнений изгиба, при выводе которых было учтено влияние продольной силы на величину изгибающего момента, предложен для построения функции прогибов в стержнях с прямоугольным и круглым сечением. В [2] для стержней различного сечения приведены зависимости между кривизной и моментом, учтено воздействие продольных сил. Шарнирно опертый стержнь под действием косого изгиба рассмотрен в [9], [44] и у Ю. Н. Работнова в [56], где при исследовании устойчивости для материала стержня принят закон линейного упрочнения. В [44] при произвольной степенной зависимости, а ~ е решение для стержней с прямоугольным сечением проведено методом численного интегрирования.

Таким образом, при рассмотрении изгиба и растяжения, задачи предварительного осевого напряжения круглых стержней, подверженных поперечному изгибу, исследовались мало.

Основным способом определения прогибов в некоторых статически определимых и большинстве статически неопределимых задач являются различные приближённые методы, классификация которых была предложена В. В. Новожиловым в [49] и И. А. Биргером в [16]. Следует заметить, что сходимость метода переменных параметров упругости, предложенного И. А. Биргером ([15], [17], [18]), была доказана в работах [29], [64], [66]. В работе [66] было отмечено, что метод переменных параметров упругости сходится, если начальное приближение м° находится не слишком далеко от решения.

Достоинством применения вариационных методов в задачах упруго-пластического изгиба стержней является возможность построения приближённого решения для прогиба в виде разложения по координатным функциям, удовлетворяющим геометрическим граничным условиям. Это позволяет определить в каждой точке поперечного сечения деформации, а также напряжения, с учётом принятой зависимости, а ~ б, и, в частности, находить границу между упругой и пластическими областями, что особенно важно в статически неопределимых задачах. Применение метода Ритца, однако, к задачам упруго-пластического изгиба ([21],[31]) связано с проблемой решения системы нелинейных алгебраических уравнений для коэффициентов разложения. Л. М. Качановым для модификации вариационного метода Ритца в работах [32], [33], [34], [30] была использована основная идея введения на каждом шаге приближения переменных параметров упругости, «возвращающих» напряжения в точках тела на диаграмму деформирования, что позволяет свести проблему минимизации неквадратичного функционала полной энергии к построению и минимизации последовательности квадратичных функционалов. Сходимость этого метода доказывалась в работах А. Лангенбаха [39] и С. Н. Розе [60]. Указанным подходом были получены решения ряда двумерных задач ([68]), однако решение задач упруго-пластического изгиба стержней в указанной постановке в литературе отсутствует, что и определило направление диссертационного исследования.

Следует заметить, что задачи изгиба и, особенно, изгиба предварительно напряжённых стержней в последнее время приобретают всё большее практическое значение. Современные требования к проектированию особо ответственных сооружений, эксплуатируемых в опасных или сейсмически опасных районах, предусматривают наличие в конструкции таких узлов и соединений, в которых от действия экстремальных нагрузок допустимы неупругие смещения элементов, не приводящие, однако, к их разрушению, при обычных же нагрузках эти элементы деформируются по упругой схеме. Примером такого узла, активно внедряющегося в практику отечественного и зарубежного строительства, может служить фрикционно-подвижное соединение (ФПС) ([92]- [95]), его элемента— предварительно напряжённый высокопрочный болт. В отличие от традиционных болтовых соединений, в пакете металлических листов ФПС отверстия под болты выполнены овальными вдоль направления максимального воздействия, за счёт чего допустим изгиб болта в плоскости его оси и наибольшей полуоси выреза (рис. I). Аналогичные соединения используются зарубежом. Поведению болтовых соединений в неупругой области посвящены работы [72], [78], [85]. Экспериментальный и численный анализ представлен в работах [83] и [84].

Таким образом, целью работы является постановка и решение задач упруго-пластического изгиба стержней с применением вариационного метода Ритца в форме Л. М. Качанова. Рассматриваются стержни с круглым и прямоугольным поперечным сечением без предварительного напряжения или при его наличии. Для анализа сходимости вариационного метода построены точные решения статически определимых задач, а в статически неопределимых задачах решения, полученные вариационным методом, сравниваются с решениями, полученными применением вычислительных процедур. Исследованы влияние предварительного напряжения, учёт линейного упрочнения материала, а также процессы разгрузки.

Работа состоит из трёх глав, заключения и включает два приложения.

В первой главе рассматривается задача упруго-пластического изгиба стержня с защемлёнными торцами при дейстйии поперечной сдвигающей силы на опорах. Вследствие обратной симметрии решение для половины стержня совпадает с решением задачи изгиба консольного стержня силой на свободном конце. Для прямоугольного сечения получено точное решение, аналогичное известным [59], [69]. Для круглого сечения представлены выражения, определяющие прогиб оси с учётом условий сопряжения, условий на торце и обратной симметрии задачи, при этом обращение и интегрирование зависимости между моментом и кривизной выполнено численно. И. Л. Диковичем в [24] было предложено разложение кривизны по степеням 1 — где М— момент, действующий в сечении, Мт = |сгтВ, 3— предельное значение момента, однако примеров, иллюстрирующих применение данного подхода, приведено не было. Проведённый анализ полученных решений показал практическое совпадение результатов обоих подходов.

При разработке схемы применения метода РитцаЛ.М.Качанова к задачам поперечного изгиба в качестве координатных функций выбирались функции ряда Фурье точного решения упругой задачи, при этом коэффициенты разложения упругого решения принимались в качестве начального приближения упруго-пластической задачи. Для прямоугольного сечения была показана сходимость коэффициентов, полученных применением модифицированного метода Ритца, к коэффициентам Фурье имеющегося точного решения задачи. Была исследована точность полученных значений прогибов, моментов, границ между упругой и пластическими областями при изменении нагрузки фо в интервале от (?^ < (¡-}о < (¿-т, где <3т— нагрузка, вызывающая появление пластических деформаций, (¡-)-с— предельное значение нагрузки, полученное без учёта касательных напряжений. Для круглого сечения сходимость и точность полученного вариационным методом решения была показана сопоставлением численного и приближённых решений на каждом шаге итерационного процесса при различном числе удержанных членов ряда.

В работе [24], ?1 ТсИОКС [7], [10], [12], [20], [69] была рассмотрена разгрузка для стержней с прямоугольным сечением. Было показано отсутствие зон вторичных пластических деформаций при полной разгрузке. В главе I отсутствие вторичных пластических зон в рассматриваемой задаче установлено для стержня круглого сечения, приведены формы остаточных прогибов.

Заключение

.

В завершение исследования конспективно изложим основные результаты работы.

1. Для задач поперечного изгиба стержней с круглым и прямоугольным поперечным сечением разработана схема применения вариационного метода Ритца в форме Л. М. Качанова. Для стержней с прямоугольным сечением исследована сходимость коэффициентов Ритца к коэффициентам разложения имеющегося точного решения по выбранной системе координатных функций, в задачах изгиба стержней с круглым поперечным сечением решения вариационного метода сравниваются с решениями, полученными применением численных процедур при построении функции прогибов. Установлено, что при нагрузке фо < Ят для 5 удержанных членов ряда 3−4 итерации приводят к погрешности в определении прогибов, не превышающей 1%.

3. Проведён анализ напряжённо-деформированного состояния и построены численные решения задачи изгиба предварительно напряжённых стержней с учётом вклада продольной силы в выражение изгибающего момента. Исследовано влияние величины предварительного напряжения на несущую способность и деформируемость стержня в упруго-пластической стадии. Выявлена область изменения величин предварительного напряжения, которым соответствуют наибольшие значения изгибающих моментов и приложенной поперечной нагрузки фо, при этом для значения <то = 0.25<гт— в стержне прямоугольного сечения— и а0 = 0.3<тх— круглого— имеет место максимум приложенной нагрузки и изгибающего момента.

4. Для задач изгиба предварительно напряжённых стержней разработана схема применения метода Л. М. Качанова и получены приближённые решения, проведён анализ их сходимости и точности. Показано, что использование полученных значений прогибов в выражении моментов, составленного с учётом вклада продольной силы при изгибе стержня, приведёт к высокой точности результатов для изгибающих моментов.

5. Для задач поперечного изгиба стержней с линейно упрочняющимя материалом путём сравнения с решениями для идеально упруго-пластического материала исследовано влияние упрочнения. Установлено, что учёт даже незначительного упрочнения = 0.03), отвечающего свойствам реальных сталей и сплавов, приводит к улучшению сходимости и точности приближённых решений, полученных применением метода Л. М. Качанова.

6. Для рассмотренных задач упруго-пластического изгиба исследованы процессы разгрузки. Найдены оценки величины предварительного напряжения, для которых разгрузка происходит без образования вторичных пластических зон, при этом полученные величины остаточных моментов |Р0^ост| пренебрежимо малы по сравнению с действующими моментами.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Фёдорова М. Ю. Расчёт несущей способности высокопрочного болта за пределами упругости.//ЭИ, серия «Сейсмостойкое строительство» ВНИИНТПИ, Москва, вып. 2 «Проектирование и строительство сейсмостойких зданий и сооружений», 1995; С.37−44.

2. Фёдорова М. Ю. Критическое смещение высокопрочного болта.// В межвуз. сб. «Прикладная механика», вып. 10, «К 90-летию со дня рождения профессора Н.Н.Поляхова», изд-во СПб Университета, 1997; С.93−98.

3. Фёдорова М. Ю. Прикладные вопросы теории фрикционно-подвижных соединений на высокопрочных болтах.// Сб. тезисов докладов международной конференции «Вторые Савиновские чтения», СПб, 1997; С.38−39.

4. Павилайнен В. Я., Фёдорова М. Ю. Поперечный плоский изгиб высокопрочных болтов фрикционно-подвижных соединений.//ЭИ «Сейсмостойкое строительство» ВНИИНТПИ Госстроя России, Москва, вып.2, 1998; С.25−29.

5. Tatiana A. Belash Alexander M. Uzdin Andrey A. Nikitin Inna O. Kuznetsova Mariya Yu. Fedorova Juriy V. Gordeev Angeliqua A.Dolgaya. Damping Devices Analysis for Base Isolated Structure.//PVP-Vol. 379, Seismic, Shock, and Vibration Isolation, ASME 1998; P.123−126.

6. Мазовер С. И. Фёдорова М.Ю. Реализация численного метода при моделировании структуры нелинейной технической системы.// Научно-метод. сб. «Новые технологии в образовательном процессе», СПб: СПб ВМИ, вып. 6, 1999;С.92−97.

7. Фёдорова М. Ю. Моделирование параметров нелинейных систем по методу Л. М. Качанова.// Там же, С.105−107.