Некоторые задачи осреднения периодически микронеоднородных сред

Проблема осреднения, понимаемая как проблема поиска быстро-осциллирующих решений некоторых уравнений или решения большого числа примерно одинаковых уравнений, имеет длительную историю. Сюда можно отнести рассмотрение еще И. Ньютоном колебаний струны при помощи периодически расположенных, упруго связанных между собой шаров, что, по сути дела, являлось изучением простейшей модели микронеоднородной дисхфетной среды. Впоследствии многие авторы неоднократно возвращались и возвращаются к этой и подобным ей моделям (см., например, /30, 44, 63/). Примерами теорий, получаемых в результате осреднения, являются также классическая термодинамика, лучевая оптика, теория оболочек и пластин, теория турбулентности, интенсивно развиваемая в последнее время механика композитных материалов (см. /4, 5, II, 43, 46, 47, 67/). В результате осреднения, как правило, возникают качественно новые эффекты: анизотропия, дисперсия, фильтрация высоких частот, появление новых внутренних степеней свободы, нелокальность, необратимость и т. д. Проблема осреднения возникает также при каждом переходе от одного, более простого, вида движения материи к другому, более сложному: аналитическая механика — термодинамика и механика сплошных средхимия — биология — социология. Этот ряд, по-видимому, продолжается как влево, так и вправо, и, кроме того, имеет большое число внутренних переходов-осреднений. Настоящая работа относится к той части проблемы осреднения, в которой рассматривается осреднение периодически неоднородных сплошных сред, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями. Под осреднением здесь понимается следующее.

Пусть некоторая среда описывается дифференциальными уравнениями с периодическими с периодом? коэффициентами. Если? много меньше характерных размеров области, в которой решается задача, то численный расчет, как правило, затруднен из-за быстрой осцилляции искомых функций. Способы решения таких задач основаны на построении некоторых новых, легче решаемых уравнений с постоянными коэффициентами, по решению которых можно с достаточной степенью точности определить искомые функции исходной задачи. Построенные для такой цели уравнения с постоянными коэффициентами называются осредненными, а процесс их построения — осреднением.

Одним из истоков такой постановки проблемы осреднения явилось рассмотрение волн в слоистых средах в конце прошлого — начале настоящего века, когда было обнаружено, что длинные волны в слоистой среде ведут себя так, как если бы они проходили через однородную, но анизотропную среду с некоторыми эффективными характеристиками. В работах того времени, как правило, рассматривались точные решения вида.

Г. IС к-5сcot) для уравнений электромагнитных и акустических волн в периодически кусочно-однородных средах. Здесь функция у) предполагается периодической с периодом I по своему аргументу, X координаты, ~t — время (частные решения такого вида в теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами называют волнами Блоха-Флоке). Изучалась зависимость частоты со от волнового вектора к., называемая дисперсионным соотношением, и вычислялись скорости длинных волн.

Впервые интерпретация вычисления скоростей длинных волн как построение осредненной теории появилась, по-видимому, в работе Ю. В. Ризниченко /64/ (1949). Он рассматривал слоистую упругую структуру, которая после осреднения становилась однородной орто-тропной средой. Ю. В. Ризниченко вычислил четыре из пяти постоянных, которыми характеризуются упругие свойства ортотропной среды. Аналогичное осреднение для электромагнитных свойств слоистой среды было проведено С. М. Рытовым /66/ в 1955 г. Им же в работе /65/ (1956) путем разложения при малых к. и со дисперсионного соотношения для волн Блоха-Флоке в слоистой среде были подтверждены результаты Ю. В. Ризниченко и сделана попытка вычисления пятой постоянной (неудачная из-за арифметической ошибки в громоздких выкладках). Впервые правильные значения всех пяти постоянных были получены в работе Э. Беренса /82/ в 1967 г., несколько другим методом, основу которого по-прежнему составляло изучение распространения длинных волн, но позволявшим уже осреднять и периодически неоднородные среды с непрерывным распределением характеристик.

Итак, от первых идей до первых правильных результатов в теории осреднения упругих и электромагнитных свойств слоистых сред прошло довольно много времени (в приводимом обзоре не упоминается ряд работ, которые оказались ошибочными). Приблизительно то же самое наблюдалось с осреднением и в других областях механики. Это, по-видимому, связано с-тем, что в то время еще не существовало общего подхода или регулярной процедуры решения подобных задач.

Таким общим регулярным методом построения осредненных уравнений оказался асимптотический анализ, использующий в качестве малого параметра период неоднородности среды?. Общая схема такого подхода к осреднению периодических структур была сформулирована около десяти лет назад в работах Н. С. Бахвалова /6−8/. Основная идея асимптотического метода состоит в следующем.

Так же, как и в теории Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского осреднения обыкновенных дифференциальных уравнений, вводится понятие быстрых переменных у =. Предполагается, что искомые функции зависят от двух групп аргументов, быстрых у и медленных х, а также от параметра 6, по которому производится разложение в ряды. Далее, как правило, все сводится к двум задачам для функций, зависящих уже только от медленного или только от быстрого аргумента. Первая из них есть осредненная задача, а вторая называется задачей на ячейке периодичности^: Ценность такого разделения состоит в том, что задача на ячейке периодичности оказывается зависящей только от геометрии ячейки и от физических свойств среды, в то время как геометрия внешней границы, краевые и начальные данные входят в формулировку оередненной задачи.

В теории композитных материалов такое разделение позволяет конструировать среды с заданными осредненными характеристиками (см., например, /49−52/).

Помимо асимптотического, широко распространен метод самосогласованного поля (см., например, /31−33, 44/). В работах же /29, 54, 86/ задача осреднения решается на основе исследования некоторой формулы для общего решения исходных уравнений. Развиты также обобщения на почти периодические /38, 39/ и на случайные струкруры /10, 32, 33, 40, 41/.

В последнее время многие работы посвящены обоснованию асимптотического метода /6−8, 27, 28, 58, 59, 83, 93/ (см. также обзор литературы в /28/). В частности, во многих случаях доказана сходимость по некоторой норме решения точного уравнения к решению осредненного при ?-+ о.

Однако, несмотря на доказанную при ?-* о близость решений точной и осредненной задач, при малых, но конечных, встречающихся в приложениях значениях в могут наблюдаться качественные различия этих решений. Так, например, если возбуждать микронеоднородную среду гармоническими колебаниями с частотой со в каком-нибудь месте границы, то при некоторых значениях со искомые функции экспоненциально затухают с расстоянием от места возмущения. Это явление наблюдается при достаточно больших значениях со и называется эффектом фильтрации частот.

Кроме того, осредненная система первого приближения не обладает дисперсией, хотя диспергирование волн является отличительной чертой микронеоднородных структур.

Причину возникновения этих эффектов можно понять из рассмотрения типичной дисперсионной картины для волн Блоха-Флоке, приведенной в приложении на рис. I.I. Видно наличие диапазонов частот со, которым соответствуют только комплексные значения волнового числа к. Эти диапазоны называются фильтрами. Особенностью обсуждаемой дисперсионной картины является также нелинейная зависимость частоты со от волнового числа К., приводящая к диспергированию волн. В то же время дисперсионная картина осредненных по асимптотической теории уравнений не имеет фильтров и дает линейную зависимость со от К., совпадающую с зависимостью со от к. для точных уравнений лишь при малых значениях со и к.. Область совпадения этих зависимостей растет при уменьшении? , чем и объясняется сближение осредненного и точного решений. Однако качественное различие этих дисперсионных картин в некоторых задачах, как уже говорилось, приводит к потере важных эффектов.

Предложено несколько выходов из этого положения. Можно, например, просто учесть следующее приближение по? , как это сделано в работе /84/ (см. также /43/). В работе /91/ вводятся в рассмотрение внутренние степени свободы, использование которых позволяет уточнить дисперсионное соотношение. В статье /80/ осредненная среда феноменологически моделируется при помощи теории смесей. В работах /29, 86/ исходная микронеоднородная среда заменяется дискретной, которая в свою очередь тоже осредняется. В приложении к работе /13/ при помощи асимптотического исследования функционала энергии построены уравнения, описывающие эффект фильтрации длинных волн на высоких частотах.

Во всех этих работах уточняются дисперсионные кривые в области длинных волн. Однако осредненные системы часто оказываются негиперболическими /13, 84, 86/ или не описывают эффекта фильтрации волн /80, 91/. Для системы из работы /29/ затруднительно поставить задачу Коши, кроме того результаты этой работы не обобщаются на неодномерный случай. В математическом отношении наиболее последовательной является работа /13/. Возникшую там негиперболичность, казалось бы, можно исправить добавлением малых членов, не влияющих на асимптотику длинных волн, по аналогии с тем, как это было сделано при построении теории высокочастотных колебаний оболочек /15, 16/. Сделать это, однако, не удается, что, по-видимому, означает невозможность корректного описания дисперсии и фильтрации волн в классе систем дифференциальных (локальных) уравнений. Первая глава настоящей работы посвящена решению этой проблемы.

Основным результатом является точная переформулировка систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами в терминах медленно меняющихся на расстояниях порядка? функций. Теорию, содержащую только медленно меняющиеся функции, можно рассматривать как осредненную теорию. Идею этой переформулировки в общих чертах можно пояснить следующим образом.

Прежде всего формализуется понятие медленно меняющихся на расстояниях порядка? функций — под ними понимаются функции, преобразование Фурье которых содержит только гармоники с полудлиной волны большей, чем 6, т. е. функции 4(х) «предста-вимые в виде.

— ж/е.

Далее, взяв интегральную сумму частных решений типа волн Блоха-Флоке по всем допустимым парам со и К-, связанных дисперсионным соотношением, можно получить любое решение исходных уравнений /45/. В частности, такое выражение для общего решения задачи Коши для волнового уравнения с периодическими коэффициентами можно записать в виде.

Т. ioiK) t ~-i<2JK){W iA0LKXrj ь, u (x, i)=Z (As («)e s +Bs («)e s) r$U>*)e.

Здесь cosCk.) — пронумерованные в порядке возрастания возможные значения частоты со при фиксированном к., У (, к} - соответствующие им периодические по з:/£ функции f волн Блоха-Флоке, и — произвольные функции от К. .

Воспользовавшись тем, что значения со^(к) при отличающихся на 2.3Z/S. значениях К. равны между собой, а соответствующие функции % отличаются множителем В 1 27ГХ1£ ^ интегралы по бесконечному промежутку переменной ц можно свести к интегралам по отрезку [-Я/б, я/е] • Получится:. Г? Ж/£ LCO iK) t «-tCD (K)t, 1,/Х lkz ,.

Щ"Л)*1 f (асюе *'+es («)e *)%(т, к) е.

Теперь вводятся медленно меняющиеся функции UsC*, t) f^dico С к) t. lkx.

U (x, t) ^ J (а^е" *" ** gs (K)e s) е сСк?

— т которые и интерпретируются как осредненные характеристики.

Оказывается, что они удовлетворяют дифференциально-разностным уравнениям.

Ъги Z. -72-=L U v (x+nej).

Ъ-f- — sm * где L — постоянные коэффициенты. Система этих уравнений sm составляет осредненную теорию. Зная все функции tcs (jc, t), нетрудно вычислить точное решение исходной задачи. Поэтому такое осреднение можно назвать точным. Из построения видно, что оно является в некотором смысле аналогом метода Фурье решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Из-за счетности числа осредненных характеристик, несмотря на их медленную изменяемость, нахождение решения задачи по точной осредненной теории не проще, чем по исходной теории. Осредненная задача существенно упрощается, если ограничиться только несколькими первыми функциями гс (x, i) при S= О, I,. , и.

Выбрасывание большого числа осредненных характеристик не влияет на точность определения оставшихся, так как уравнения для них независимы.

Кроме того, как нетрудно заметить, каждая из функций us в основном отвечает за колебания среды в некотором диапазоне частот, причем чем больше номер S, тем выше соответствующие значения частот. Известно, что на очень высоких частотах исходная теория, как правило, теряет адекватность среде, которую она призвана описывать. Это служит некоторым оправданием выкидывания осредненных характеристик с большими номерами S.

Построенная таким образом осредненная теория правильно описывает эффекты дисперсии и фильтрации волн в периодически неоднородных средах в разумном диапазоне частот.

Вторая глава диссертации посвящена несколько другой стороне теории осреднения, а именно осреднению нелинейных структур в статике. В качестве исследуемого объекта взята витая пружина, поведение которой описывается системой уравнений Кирхгофа-Клебша /37/.

Хотя общая схема осреднения нелинейных сред, основанная на асимптотических разложениях, хорошо разработана /7, 9, II, 12, 14/, примеров ее реализации очень мало. С другой стороны, давно назрела необходимость создания нелинейной теории пружин /60, 61, 74−76/.

Первый патент на пружину («Новую стальную подушку») был получен в 1688 г., а первое упоминание о пружинах в теоретических публикациях, по-видимому, относится к 1867 г.: в трактате Томсона и Тета /94/ было получено точное решение системы уравнений Кирхгофа в задаче о растяжении-кручении правильной цилиндрической пружины, свитой из круглой проволоки. Затем пружины изучались большей частью инженерами-прикладниками, которые, работая методами сопромата, развили линейную теорию. Здесь следует отметить Л. Лекорна, Ж. Перри, Ф. Рело, Л. Цахариуса, именами которых названы некоторые формулы в линейной теории пружин (см. /26, 48, 53, 60,.

61, 71, 72, 74/).

Идею перехода к эквивалентному брусу, т. е. идею осреднения, впервые выдвинул в 1925 г. Р.Зиглер. Его подход, встреченный поначалу с большой осторожностью, впоследствии оказался очень плодотворным. Модель эквивалентного бруса строилась следующим образом. Известно, что в линейной теории стержней задача в напряжениях легко решается. Зная это решение, нетрудно, используя принцип Кастилиано, найти линейную зависимость между приложенной силой и перемещением конца пружины. Сравнивая эту зависимость с аналогичной зависимостью в решении для прямого стержня, можно определить упругие характеристики эквивалентного бруса. Однако при таком построении остается открытым вопрос о связи между перемещениями внутренних точек пружины и точек эквивалентного бруса.

Вывод линейной теории эквивалентного бруса при помощи асимптотического исследования функционала энергии был проведен в работе автора /69/, где в качестве малого параметра использовалось отношение длины витка пружины к длине всей пружины. Зная решение задачи об эквивалентном стержне, при помощи соотношений из /69/ уже можно найти перемещения и напряжения во всех точках пружины.

В нелинейной теории пружин к настоящему моменту времени имелся только набор частных точных и приближенных решений /34, 35, 85, 94/.

В диссертации при помощи асимптотического исследования функционала энергии построена нелинейная модель эквивалентного стержня пружины. Эта модель обладает качественно новыми свойствами, так как она помимо обычных в теории стержней искомых функций содержит дополнительную степень свободы ф, которая входит в энергию без производных и невыпуклым образом, что делает возможным образование фазовых преходов, в которых играет роль параметра порядка Л. Д. Ландау /47/.

Получен класс точных решений теории эквивалентного стержня, которые оказались также и новыми точными решениями системы уравнений Кирхгофа-Клебша. Обнаруженный класс решений является обобщением известного в теории пружин решения, впервые найденного Кирхгофом, Томсоном и Тетом /37, 94/ (см. также /53, 75, 76/). Он описывает стержень в форме винтовой линии, меняющей свои геометрические характеристики при деформациях. При этом оказывается, что в одних и тех же внешних условиях может существовать несколько положений равновесия винтовой линии. Проведено исследование количества и типов этих состояний в зависимости от приложенных нагрузок методами теории особенностей дифференцируемых отображений. Построены соответствующие бифуркационные множества.

Все .основные результаты диссертации опубликованы в работах /18, 20, 68, 69/ и доложены на У Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике /19/ (Алма-Ата, 1981), на Международном симпозиуме ИЮТАМ «Нелинейные волны деформации» /17/ (Таллин, 1982), на I Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур /70/ (Львов, 1983).

— 108 -Заключение.

В диссертации исследованы две задачи — проблема построения осредненных уравнений в динамике периодических структур и проблема построения модели эквивалентного стержня в нелинейной теории пружин.

В первой задаче показано, что линейные дифференциальные операторы с периодическими коэффициентами допускают для неограниченных сред эквивалентную переформулировку в терминах медленно меняющихся функций — осредненных характеристик решения. При этом осредненные уравнения получились нелокальными по пространственным переменным и переходят в известные уравнения в длинноволновом приближении. Осредненные уравнения учитывают эффект фильтрации и дисперсии волн.

Во второй задаче при помощи асимптотического исследования функционала энергии построена модель эквивалентного стержня в нелинейной теории пружин. Это один из первых результатов по осреднению нелинейных периодических структур, который имеет не только теоретическое, но и практическое значение. Построенная модель содержит внутреннюю степень свободы и обладает рядом нетривиальных свойств, в частности, из-за невыпуклости энергии в рамках этой модели возможны деформации типа фазовых переходов. Кроме того, автором найден новый класс точных решений нелинейной теории нерастяжимых стержней, являющийся обобщением известного решения Кирхгофа-Томсона-Тета для круглого прутка, свитого в винтовую линию. Полученный класс решений исследован методами теории особенностей дифференцируемых отображений.