Метод граничных представлений в задаче Мичелла

Решение задач линейной теории упругости, несмотря на огромное количество работ в этом направлении, остается важным как для практических целей, так и для развития фундаментальных исследований в области механики деформируемых тел и прикладной математики. Методов построения квадратурных решений для описания напряженно-деформированного состояния (НДС) трехмерного тела в общем случае не построено, так как возникающая математическая проблема очень сложна. Упрощая ее, многим авторам удалось указать пути решения частных задач имеющих практическое значение. Наиболее популярны такие приемы, как использование свойств симметрии и понижение размерности задачи.

Одним из первых в теории упругости исследовал вопрос о понижение размерности Сен-Венан, изучавший задачи о деформации цилиндрических тел (призматических стержней) с торцевыми нагрузками. Принцип, использованный им, позволил путем смягчения граничных условий на торцах тела, указанные трехмерные задачи, в последующем названные его именем, свести к определенным двумерным задачам математической физики. Все исследования в этой области были систематизированы и опубликованы Сен-Венаном в мемуарах «О кручении призм» (1855 г.) и «Об изгибе призм» (1856 г.), в которых был предложен «полуобратный метод» и принцип, названный в последствии «принципом Сен-Венана». Почти через 50 лет после работ Сен-Венана, независимо друг от друга, Мичелл (МсИеН ХН.) в 1900 г. и Альманси (А1тапз1 Е.) в 1901 г. вернулись к задачам, исследованным Сен-Венаном, но рассмотрели их с более общих позиций. Мичелл усложнил граничные условия задачи Сен-Венана, допуская действие однородной вдоль продольной оси цилиндра (призматического стержня) нагрузки. Альманси исходил из еще более общих предпосылок чем Мичелл, полагая нагрузку на боковой поверхности цилиндра полиномиальной. Мичеллом и Альманси было доказано, что задачу о деформации изотропного цилиндрического тела при выбранных ими типах нагрузки можно свести к двумерной проблеме (точнее, к последовательности двумерных задач).

Определение понятия «цилиндр», как тела, образованного поступательным движением плоской фигуры по прямой, перпендикулярной плоскости фигуры, позволяет формировать широкий класс трехмерных задач. Многие из этих задач нашли свое отражение и в современных исследованиях по механике деформируемых тел. Наиболее полный обзор трудов по этой тематике можно найти в книге Г. М. Хатиашвили [86]. Он отмечает развитие идей Альманзи и Мичелла в работах Г. Ю. Джанелидзе, Б. Л. Абрамяна, Ю. А. Амензаде, Н. Х. Арутюняна, И. И. Воровича [19, 20], Г. В. Колосова, A.C. Космодамианского [49], Г. А. Кутателадзе, С. Г. Лехницкого, В. В. Новожилова, В. К. Прокопопова, Ю. Н. Работнова, B.C. Саркисяна, В. А. Стеклова, А. Г. Угодчикова, А.Н. Узда-лева, А. Л. Хасиса, К. С. Чабаняна, А. Раду, Е. Шооше и др.

Обзор задач о цилиндрических телах можно найти также в работах А. И. Каландия [44, 45], А. И. Лурье [55], Г. Ф. Манджавидзе [57, 58], А. Я. Александрова и Ю. И. Соловьева [1], Я. С. Уфлянда [80]. Различные методы решения задач для составных цилиндрических тел изложены в монографиях Г. М. Хатиашвили [86], Н. И. Мусхелишвили [60], В. Д. Купрадзе [51, 52] и др.

Сведение задачи Сен-Венана к математической проблеме определения гармонической функции, позволило Н. И. Мусхелишвили [60 — 62] построить для нее строгое решение. Им же построены решения задачи Сен-Венана для брусьев, составленных из различных материалов.

Вопросы существования и единственности решения двумерных задач теории упругости и задач, сводящихся к ним, для составных изотропных и анизотропных тел рассмотрены в работах С. Г. Михлина, Д. И. Шермана, В. Д. Купрадзе [51, 52], М. О. Башелейшвили, Г. Фикера [81] и др.

Решение задач проводилось как методами приближенного, численного анализа (В.Д. Купрадзе, Г. И. Марчук, С. Г. Михлин, В. Л. Рвачев, A.A. Самарский, Е. С. Николаева и др.) так и различными методами построения строгих решений (А.Я. Александров, Ю. И. Соловьев, И. И. Ворович, В. А. Бабешко, B.C.

Вольперт и др.). Следует отметить, что в последнем случае, в связи со сложностью возникающей математической задачи, как правило, прибегают к упрощениям как геометрического так и механического характера. А. Я. Александров, Ю. И. Соловьев [1], Р. А. Бармак [8], М. А. Колтунов, Ю. Н. Васильев, Д.А. Пась-ко [47], М. А. Колтунов, Ю. Н. Васильев, В. А. Черных [48], Н. И. Мусхелишвили [60] рассматривали изотропные линейно-упругие цилиндрические тела, как правило, простой геометрической формы.

Развитие аппарата теории функций комплексной переменной (ТФКП) и теории интегральных уравнений в работах Н. И. Мусхелишвили [60 — 62], Н. П. Векуа [14 — 16], Ф. Д. Гахова [23 — 28, 88], М. С. Будяну, И. Ц. Гохберга [12, 13], В. С. Владимирова [17], И. Ц. Гохберга, И. А. Фельдмана [35], А. И. Каландия [44, 45], Д. А. Квеселава [46], Г. Ф. Манджавидзе [57, 58], О. И. Маричева [59], Н. М. Спитковского [73], Г. Н. Чеботарева [88], Ю. И. Черского [89], Л. И Чибри-ковой [28, 90], Биркхофа [91], Бремеркампа [92], Парна [93], Ян Минга [94] и др. позволило использовать достижения в этих областях математики для построения точных решений задач теории упругости. Отражение этого направления в прикладных задачах можно найти в трудах Г. В. Колосова, Н. И. Мусхелишвили [60], А. Я. Александрова, Ю. И. Соловьева [1], А. А. Баблояна [6, 7], А. В. Бицадзе [9], И. И Воровича [19, 20], О. М. Ленина [20], Л. А. Галина [21, 22], А. И. Каландия [45], Г. Н. Савина [69], Парна [93] и др. В этом ряду хотелось бы отметить работы ученых Тульской школы механики, которую на протяжении многих лет возглавлял Л. А. Толоконников. Л. А. Толоконниковым совместно с И. С. Султановым были рассмотрены свойства комплексных потенциалов при наличии симметрии [76], а совместно с В. Б. Пеньковым задачи плоской теории упругости как со смешанными граничными условиями [68, 77, 78], так и с сильными разрывами механических полей [74, 75, 78]. Успешное использование аппарата граничных задач теории функций комплексной переменной применительно к задачам со смешанными и неоднородными условиями было развито в работах В. Б. Пенькова [65 — 68].

Подход, использованный Л. А. Толоконниковым и В. Б. Пеньковым, оказался во многом похож на методы решения упругих задач, предложенные И. И. Воровичем [20] и В. А. Бабешко [3 — 5]. Они развивают идею приведения механической проблемы к краевой задаче Римана, апробированную еще Н. И. Мусхелишвили. В отличие от Л. А. Толоконникова и В. Б. Пенькова, И.И. Воро-вич и В. А. Бабешко рассмотрели методы факторизации для пространственных динамических задач теории упругости (частного вида), предложив по сути численную (точнее, полуаналитическую) реализацию метода решения. Прием, использованный Л. А. Толоконниковым и В. Б. Пеньковым, по своей сути похож на способ факторизации И. И. Воровича и В. А. Бабешко, но основной упор сделан на построение квадратур. В. Б. Пенькову удалось систематизировать формулировку задачи Римана для двумерных полей механических величин. На основе проведенной систематизации предложен «метод граничных представлений». Главная идея метода заключается в представлении граничного значения механической величины (компоненты тензора напряжений, тензора деформаций или вектора перемещений) линейной комбинацией от аналитических функций, из которых далее формируется матричная краевая задача Римана. Решение последней проводится методами факторизации, теорию которых можно найти в трудах Н. И. Мусхелишвили [60 — 62], Н. П. Векуа [14 — 16], Ф. Д. Гахова [23 -28, 88], И. Ц. Гохберга [12, 13, 35], Л. И. Чибриковой [90], Фельдмана [35], В. А. Бабешко [3 — 5], В. Б. Пенькова [66, 68] и др. Все авторы с сожалением признают факт, что в общем случае методов факторизации неизвестно. Более того, интересен факт, что в случае рациональных коэффициентов задача Римана в общем случае не факторизуется, необходимые условия факторизации в этом случае получены И. Ц. Гохбергом, Фельдманом [35]. В то же время в работах Л. А. Толоконникова и В. Б. Пенькова, И. И. Воровича и В. А. Бабешко механические проблемы приводятся к задачам Римана с рациональным коэффициентом и успешно решаются, и это заслуживает дополнительных исследований с целью придания математически сложным задачам смысловой, физической интерпретации, выяснению вопроса существования и единственности решения.

Сильный метод решения трехмерных задач, в том числе задач о напряженно деформированном состоянии цилиндрических тел и тел, обладающих осевой симметрией, был предложен М.М. Филоненко-Бородичем [82 — 85] и развит в работах ГТ. М Огибалова [43], В. Н. Ионова [42, 43]. Основная идея этого направления заключается в выборе в качестве объекта для описания НДС тела, тензора кинетических напряжений (введенного Леви-Чивита), с последующим разложением его компонент, подчиненным начальным и граничным условиям, условиям неразрывности, а также физическим соотношениям между деформациями (вообще говоря, нелинейными) и напряжениями, в кратные ряды по системам специальных функций. Однако, вопросы о выборе базиса таких кратных рядов и их сходимости сложны и до конца в настоящее время не решены.

Наряду с традиционными методами решения названного класса трехмерных задач (приведение к двумерным), к настоящему времени появились новые подходы. Среди них выделяются работы Ф. А. Богашова [10], в которых автор для описания НДС трехмерных тел вводит матричную комплексную переменную. Ему удалось подобрать вид новой комплексной переменной таким образом, что она обладает многими свойствами, «обычных» комплексных чисел. Однако, в этом направлении еще много вопросов на которые предстоит ответить, как с точки зрения математических обобщений, так и с позиции не единственности интерпретации получаемых моделей.

Кроме названных выше, существует целый спектр работ чисто прикладного характера, часто опирающийся на численное решение задач, например, методом конечных элементов [40, 64]. В них исследуются частные случаи названных задач. Диапазон направлений, в которых работают их авторы, огромен: строительная механика, расчеты пластин, задачи о кручении валов, расчет трубопроводов и туннелей, расчет цилиндрических оболочек, расчеты на прочность элементов двигателей на твердом топливе и т. д. Во многих случаях решения задачи о деформации упругого тела используется как промежуточный этап при описании реологических свойств материалов или динамической модели (названные выше работы В. А. Бабеижо и И.И. Воровича). Возможность такого подхода, применительно к линейной вязко-упругости, была доказана в работах A.A. Ильюшина и сформулирована им как метод решения вязко-упругих задач, названный впоследствии «Методом аппроксимаций A.A. Ильюшина». Этот факт позволяет расширить область применения решений задач упругости. Как правило, с позиции численного решения рассматриваются также задачи о массивных цилиндрических телах, оболочках, пластинах [42, 43, 47 -49, 56]. Поэтому наряду с аналитическими исследованиями автором рассматривалась возможность реализации алгоритмов на ЭВМ (например, [2]). Этому в большой степени способствовало использование современных математических пакетов, таких как MathCad, MATLAB, Maple Y [37], Mathematica [18, 38]. Эффективному использованию вычислительной техники способствовали алгоритмы решения задачи Римана и методы расчета контурных интегралов приведенные в книге В. В. Иванова [41], при построении конформных отображений использованы результаты В. И. Лаврика, В. П. Фильчаковой, A.A. Яшина [54].

В настоящей работе в результате аналитических исследований получены формулы граничного представления, приведены примеры их использования. В качестве иллюстрации метода построены квадратурные решения для задач названного класса.

Для удобства применения, формулы граничного представления разделены на группы: отображение сечения цилиндра на единичный круг рациоч нальной функцией, отображение сечения цилиндра на полуплоскость рациональной функцией, отображение сечения цилиндра при помощи интеграла Кри-стоффеля-Шварца. Решены задачи с однородными и неоднородными вдоль границы (поверхности цилиндра) условиями. В качестве тестового примера решена задача о напряженно деформированном состоянии кругового цилиндра под действием однородной и равномерной боковой нагрузки. Влияние «трехмерных эффектов» рассмотрено в случае однородных и неоднородных граничных условий. Однородные условия рассмотрены в задаче о медленном продольном движении упругого кругового цилиндра контактирующего с внешней 9 средой по всей боковой поверхности [32, 33]. Неоднородные краевые условия рассмотрены в задаче об НДС упругого кругового цилиндра, медленно движущегося в симметричной системе жестких штампов с плоскими основаниями [32]. Построены решения задачи о расклинивании упругим штампом упругого полупространства [29, 30]. Проведенный анализ выбранной методики решения упругих задач позволяет сделать вывод об эффективности метода граничных представлений как для решения чисто плоских задач, так и решения задач приводимых к плоским. В заключении рассматриваются тенденции развития идеи граничных представлений на другие классы трехмерных задач.

Основные результаты работы кратко можно охарактеризовать следующими положениями.

1. Разработан метод граничных представлений значений основных механических величин, входящих в задачу Мичелла, через краевые значения аналитических функций.

2. Подробно рассмотрен случай формирования краевой задачи Римана для протяженных цилиндрических тел, когда деформированное состояние тела вдали от торцов можно считать суперпозицией плоской и антиплоской деформаций.

3. Рассмотренные случаи смешанных граничных условий показали эффективность предложенной методики. Данный подход позволяет решать поставленную задачу в квадратурах.

4. Для многих важных практических случаев удается составить таблицы граничных представлений, формирование при помощи которых матричной краевой задачи Римана тривиально.

Оценивая перспективы метода, следует подчеркнуть, разработку. новых многомерных постановок для краевой задачи Римана, различные альтернативные методы решения, основанные на известных связях между краевыми задачами теории функций комплексной переменной, интегральными уравнениями и теориями некоторых классов операторов. Достижения в области математики за последние несколько десятилетий, позволяет ожидать в ближайшее время новых принципиальных результатов, как в теории упругости, так и в смежных областях механики сплошных сред.

Интересных результатов можно ожидать на пути использования функций нескольких комплексных переменных и теории обобщенных функций. Перспективным направлением может оказаться гибридное использование вычислительных и аналитических методов расчета.

Заключение

.