Суть квантовой теории, в самых общих чертах, — это установление связей характеристик взаимодействия со спектральными данными. Ежедневной работой для миллионов физиков является предсказание динамики системы частиц, если известны силы. Например, в ядерной физике, где на уровне описания атомного ядра как совокупности взаимодействующих частиц — нуклонов, хорошим приближением служит уравнение Шредингера, рассчитывают уровни энергии связанных состояний (спектры), положение и ширины резонансов и т. д., в зависимости от задаваемых феноменологически парных взаимодействий. Иногда это называют прямой задачей (V 5), в которой потенциалы взаимодействия V определяют различные свойства квантовой системы Sданные рассеяния, спектральные параметры и пр. Обратная же задача (5 —> V) состоит в том, чтобы по наблюдаемым данным, или данным рассеяния 5, найти потенциал V системы.
Возникнув в середине XX столетия, обратная задача (квантовомеха-ническая) привлекала и продолжает привлекать внимание многих физиков и математиков, однако для физиков она остается все еще не до конца освоеной стороной квантовой теории. Одной из причин здесь являлось то, что обратная задача является не корректно поставленной задачей — любые, сколь угодно малые вариации 6S входных параметров могут привести к не контролируемому росту 6V. Правда, эту трудность можно в значительной мере устранить, используя метод регуляризации Тихонова, — например, в DESY, Гамбург, успешно работает группа, возглавляемая профессором von Geramb’oM (см. напр. [30]), которая восстанавливает потенциалы по экспериментальным данным рассеяния с помощью алгоритмов регуляризации Тихонова. Другим препятствием служит пере определенность данных рассеяния в случае многомерных (многочастичных) квантовых систем: матрица рассеяния 5(к, к') зависит тогда от 2N — 1 независимых параметров (N — размерность системы, а единица вычитается из-за закона сохранения энергии к2 = к'2), но потенциал V (x) только от N параметров. Это приводит к «артефактам» в виде нелокальной зависимости от N — 1 переменных восстановленных потенциалов [9, 31].
Однако в формализме обратной задачи скрывается еще одна особенность, которая может помочь углубить наше понимание фундаментальных аспектов квантовой теории (связь данных рассеяния и потенциалов). Речь идет о том, что обратная задача позволяет конструировать потенциалы, спектры которых отличаются от спектров исходных (известных) потенциалов изменением произвольной конечной группы спектральных параметров, причем решения даются в виде замкнутых аналитических выражений (детали см. ниже в диссертации). Решающим обстоятельством является тот факт, что такие точно решаемые модели представляют собой полный набор, т. е. имеется возможность, в принципе, приблизиться к произвольным объектам с помощью изменения в пределе бесконечного числа спектральных параметров исходной системы, — при этом спектр изменится так, что новые спектральные данные совпадут со спектральными данными приближаемой произвольной системы.
Таким образом, обратная задача дает возможность изменять по желанию наблюдаемые величины соответствующими вариациями взамодей-ствия — а это хороший способ понять закономерности структуры микромира и процессов в нем. Вообще говоря, зачастую бавает полезно освободить себя от стесняющих ограничений рассматривать только «реальные» физические системы. Например,.
Н.Н.Боголюбову в свое время удалось описать корреляции сверхпроводящего типа с помощью метода иV преобразований, не сохраняющих постоянным число частиц в системе (атомном ядре). Однако в среднем число частиц остается неизменным, т. е. такое преобразование вводит статистический ансамбль ядер с разным числом нуклонов, распределение по которому имеет максимум (все более резкий с увеличением числа частиц) на интересующем нас ядре. Так и в нашем случае, — не ограничивая себя реальными квантовыми системами, составляющими множество меры нуль среди всех мыслимых объектов, можно навести между ними связующие мостики непрерывных переходов (точно решаемые модели).
Не вызывает сомнения, что новые, точно решаемые модели способствуют становлению единой квантовой теории. Кто-то удачно назвал их верстовыми столбами познания. Обычно физикам, знакомым в основном с прямой квантовой задачей, известно не больше десятка таких моделей: с прямоугольным, осцилляторным, кулоновским и пр. потенциалами. Кроме того, в прямой задаче затруднено направленное изменение наблюдаемых. В обратной же задаче ситуация совершенно иная, так как здесь произвольные изменения выбранной группы спектральных параметров есть точно решаемые модели, и таких моделей — полный набор, что позволяет сколь угодно точно аппроксимировать произвольную квантовую систему. При этом компьютерная визуализация точных моделей дает возможность выявлять глубокие общие связи (и их физический смысл), скрытые в математическом формализме [10, 25, 28, 26]. Знакомство с некоторыми из моделей сопровождается в настоящей диссертации наглядными иллюстрациями, дополняющими известные «книги квантовых картинок» Брандта и Дамена [19] в традиционной теории (и в случае одномерного уравнения Шредингера).
Теперь, опираясь на графические иллюстрации, можно выработать собственные качественные правила, как, уже не прибегая к компьютеру и формулам, осуществлять качественное конструирование квантовых систем «на заказ», с желаемыми спектральными свойствами, причем делать это в самом общем случае. Речь идет, таким образом, о создании новой качественной теории управления квантовыми системами — свода универсальных правил получения квантовых систем с заранее заданными спектральными характеристиками. И благодаря такой теории в значительной мере устраняется асимметрия между двумя главными составными частями нерелятивистской квантовой теории — прямой и обратной задачами., Этому и посвящена данная работа.
В 1-й части настоящей диссертации будет изложена теория квантового «дизайна» для случая одного одномерного уравнения Шредингера.
— ф" (х) + У (х)ф{х) = Еф (х), где мы положили Ъ = 2 т = 1. Будет доступно, наглядно, с удивительно простыми качественными комментариями поучительных картинок рассказано:
— как устранить из дискретного спектра произвольный уровень, не трогая остальных, или породить на заданном месте новый,.
— как сдвигать локализацию отдельных состояний в пространстве и на энергетической шкале, с помощью вспомогательных потенциальных ямок — «переносчиков» избранных состояний,.
— как изменять скорости распадов отдельных квазистационарных состояний (резонансов), пронося квазисвязанные состояния сквозь потенциальные барьеры, управляя тем самым ширинами резонансов,.
— как аналогично управлять переходами между дискретными состояниями, меняя интегралы перекрытия,.
— как управлять прозрачностью в обычных пространствах и зонной структурой периодических потенциалов.
— как при сближении (вырождении) соседних уровней связанных состояний происходит «аннигиляция» этих уровней — волновые функции соответствующих состояний становятся отличными от нуля только в ограниченных областях действия специфических притягивающих потенциальных ямок, которые при вырождении уходят на бесконечность. Эти результаты позднее составили основу книги [5].
Вторая часть посвящена перестройке спектров в случае многоканальных квантовых систем. Реальный мир неизмеримо богаче и сложнее случаев, описываемых одним одномерным уравнением Шредингера. Здесь мы имеем уже многомерные и многочастичные объекты. И метод сильной связи каналов Фешбаха как раз является одним из универсальных способов описания ядерных, атомных и других квантовых систем со многими степенями свободы. Он интенсивно развивался в подходе прямой задачи (см. [3]). Позднее была написана и многоканальная обратная задача. Здесь тоже есть полный набор алгортмов направленных спектральных сдвигов. В диссертации приводятся примеры перестройки многоканальных систем при выборочной вариации спектральных весовых векторов (параметров, характеризующих поведение мультиканальной волновой функции на краю системы). Поняты особенности формы многоканальных потенциальных матриц не дающих отраженных волн при любых энергиях. Удивительно, что возникающие в потенциальные барьеры не портят прозрачности! Как ни парадоксально, они даже необходимы для 100-процентной проницаемости. И это не при отдельных значениях энергии, как в резонансном туннелировании, а во всем непрерывном спектре (!).
Таким образом, появилась возможность просто объяснить многое из того, что еще недавно скрывалось в черном ящике квантовых загадок. Хотя все это демонстрируется на точных моделях, но качественно верно и в общем случае. Так что дальше легко предсказывать многие результаты без формул и компьютеров.
Наконец, часть диссертации посвящена обобщению теории преобразования суперсимметрии (Дарбу) на многоканальный случай. Эта теория была развита для обычного уравнения Шредингера и, частично, для многоканального случая в работах [1, 17, 20, 36, 2, 40, 42, 43]. Преобразованием супер симметрии называется преобразование гамильтонина, которое получается путем его факторизации на два дифференциальных оператора первого порядка, сохраняющее спектральную структуру, за исключением одного уровня связанного состояния, добавляемого или устраняемого из спектра системы при данном преобразовании. Сами по себе эти преобразования не являются новыми — они восходят еще к работам Дарбу, Имшенецкого и даже Эйлера. Но, начиная с работы Witten (1981) [42], где был впервые рассмотрен пример супер симметричной системы (движение нерелятивистской частицы со спином ½ в одном измерении), которая вообще уже не имела отношения к теории поля, вводится термин «суперсимметричная квантовая механика». Этот термин используется для описания систем, формальная математическая структура которых задается (или выводится из) алгеброй суперсимметрии, аналогичной таковой в полевой теории. Эти формально суперсимметричные квантовые системы представляют собой комбинацию (или «прямую сумму») обычных шредингеровских систем, переход между которыми осуществляется как раз при помощи преобразований Дарбу. В этом смысле название «суперсимметрия» есть имя собственное, оно сложилось исторически, и уже является вполне устоявшимся в литературе термином. Поэтому и мы пользуемся им только в этом смысле, и в дальнейшем, при повторном упоминании преобразования суперсимметрии, мы будем всегда подразумевать именно это толкование термина.
В диссертации даются иллюстрированные примеры преобразования многоканальной супер симметрии для случая всей оси, демонстрируются соответствующие алгоритмы, в полном виде нигде ранее не упоминавшиеся в литературе, сравниваются эти трансформации и преобразования, получаемые в подходе обратной задачи. Оказывается, что итоговые формулы для двойного преобразования супер симметрии совпадают с таковыми в подходе обратной задачи. Но имеется и множество случаев, когда супер симметрия дает новые, отличные от обратной задачи, трансформации потенциалов. А это пополняет наш арсенал точно решаемых моделей, что, в свою очередь, делает более широкими перспективы квантового «управления» .
Трудно переоценить значение квантового управления для современной микроэлектроники, лазерной техники, квантовой оптики и др. И дело не столько в перспективах практических приложений, сколько в переходе на новый уровень понимания закономерностей квантового мира. В процессе интенсивного развития квантовой теории («перманентная революция») идет не только накопление массы новых данных, но и сокращается разрыв между новейшими достижениями и тем, что известно широкому кругу специалистов и что преподается в вузах. В конечном счете цель всякой науки — сконцентрировать знания о природе в квинтэссенцию, своего рода интуицию, максимально экономную в смысле занимаемой памяти и необходимым усилиям при использовании в приложениях. Такая интуиция облегчит продвижение в океане нерешенных еще проблем ядерной, атомной и молекулярной физики. Каждому, кто имеет какое-то отношение к квантовой физике, полезно хотя бы раз взглянуть на приводимые здесь результаты и «квантовые» картинки.
I. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА.
8 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В настоящей диссертации получены следующие результаты, выносимые на защиту.
• Найдены правила преобразования потенциалов исходных систем при выборочном удалении из дискретного спектра произвольного уровня, без изменения положения других уровней, или при порождении на заданном месте нового уровня связанного состояния.
• Установлены алгоритмы сдвига локализации отдельных состояний в пространстве и на энергетической шкале, с помощью вспомогательных потенциальных ямок — «переносчиков» избранных состояний.
• Выяснены качественные аспекты управления скоростями распадов отдельных квазистационарных состояний (резонансов), пронося квазисвязанные состояния сквозь потенциальные барьеры, изменяя тем самым ширины резонансов.
• Сформулированы аналогичные правила управления переходами между дискретными состояниями, меняя величины интегралов перекрытия.
• Выявлены некоторые эвристические аспекты одноканальной прозрачности (аппроксимация произвольных потенциальных ям прозрачными ямами солитонного типа).
• Открыт эффект «переворота» потенциалов (изменение знака исходного потенциала) при преобразовании супер симметрии. На примере некоторых модельных периодических потенциалов продемонстрированы преобразования, порождающие уровень связанного состояния и нарушающие периодичность исходного потенциала, но сохраняющие неизменной зонную структуру спектра.
• Открыт эффект «аннигиляции» при сближении (вырождении) соседних уровней связанных состояний: распределение плотности вероятности каждого из уровней вырождаемого дублета становится отличным от нуля только в ограниченных областях действия — «разрывается» на две части, которые при вырождении уносятся на бесконечность специфическими притягивающими потенциальными ямками.
• Продемонстрированы примеры перестройки многоканальных систем при выборочной вариации спектральных весовых векторов (параметров, характеризующих поведение мультиканальной волновой функции на краю системы).
• Построены многоканальные квантовые системы (на всей оси), имеющие связанные состояния и не дающие отраженных волн при любых энергиях непрерывного спектра. Дано объяснение появлению в Vij (x) потенциальных барьеров, которые не портят прозрачности. Удивительно, что они даже необходимы для полной проницаемости.
• Обобщено на многоканальный случай преобразование суперсимметрии с полным изложением соответствующих алгоритмов. По сравнению с подходом обратной задачи это преобразование дает более широкий класс моделей. В диссертации приведен, в частности, пример абсолютно прозрачной 2-х канальной системы на всей оси без связанных состояний, которую невозможно построить в рамках формализма обратной задачи. Это открывает новые возможности для продолжения исследований в области многоканального квантового «дизайна» .
Полученные результаты докладывались на семинарах ЛТФ ОИЯИ, многочисленных научных центров нашей страны и за рубежом (МФТИ, МИФИ, МГУ, Тв. ГУ, ФИАН, Курчат, центр, ИФВЭ, университет в Зигене и т. д.), на ряде международных конференций (напр. конференция по обратной задаче в Замарди, оз. Балатон, Венгрия — 1996, международные конференции по мат. физике в Париже — 1995, Брисбейне, Австралия — 1997). Содержание диссертации основывается на работах [7, 10, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28].
Выражаю благодарность моему научному руководителю Б. Н. За-харьеву за радости плодотворного научного сотрудничества и стимулирующие дискуссии, а также сотрудников ЛТФ ОИЯИ за благожелательный интерес, проявленный ими при обсуждении результатов, вошедших в настоящую диссертацию, и РФФИ за финансовую поддержку.
