О вариационности некоторых ДУЧП с отклоняющимися аргументами

Современные качественные исследования устойчивости

О вариационности некоторых ДУЧП

с отклоняющимися аргументами

И.А. Колесникова Российский университет дружбы народов

117 198, Россия, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

тел.: (095) 952−35−83, e-mail Vsavchin@mx.pfu.edu.ru

Исследована задача существования вариационных принципов для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами вида

1. Постановка задачи. Пусть N — оператор, заданный в области D (N) линейного нормированного пространства U над полем действительных чисел R, а область значений R (N) принадлежит линейному нормированному пространству V над полем R, т. е.

В дальнейшем всюду предполагается, что в каждой точке

существует производная Гато оператора N, определяемая формулой

(1)

Решается задача существования вариационных принципов для заданных ДУЧП с отклоняющимися аргументами вида

(2)

гдеограниченная область в, с кусочногладкой границей

в предположении достаточной гладкости всех рассматриваемых функций.

Зададим область определения оператора N равенством

(3)

Здесь — заданные функции, — неизвестная функция. Числа зависят соответственно от. Если — четны, то При нечетном полагаем

Обозначим

Введем классическую билинейную форму вида где (4)

Будем говорить, что уравнение (2) допускает прямую вариационную формулировку на множестве D (N), относительно билинейной формы (4), если существует функционал F_N: D(F_N)=D (N)—>R такой, что

Функционал F_N называется потенциалом оператора N, а N — градиентом функционала F_N. Записывают N=grad_фF_N. Оператор N называется потенциальным на множестве D (N) относительно Ф.

Обозначая через замыкание области, будем предполагать, что — выпуклое множество,, для любых фиксированных элементов функция

Как известно [2., стр.15], необходимым и достаточным условием потенциальности оператора N на множестве D (N) относительно заданной формы является условие симметричности Искомый функционал в этом случае имеет вид:

где F₀ произвольный фиксированный элемент из R.

Для уравнения вида (2) устанавливается, что существует вариационный принцип в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда справедлива

Теорема 1. Для потенциальности оператора (2) на множестве (3) относительно билинейной формы (4) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Современные качественные исследования устойчивости Доказательство теоремы может быть проведено по схеме изложенной в работе [1, стр.43].

2.Примеры.

А. Рассматривается дифференциальное уравнение с отклоняющимися аргументами вида (частный случай уравнения (2))

с граничными условиями Для решения вопроса о вариационности задачи (7),(8) воспользуемся теоремой 1. Из условий (6) получим Отсюда заключаем, что в случае потенциальности рассматриваемого оператора коэффициенты a_-1, a _{0 ,}a ₁ могут зависеть только от x, а b_-1, b₀, b₁ — только от t.

С учетом условий (9), уравнение (7) может быть записано в виде Таким образом, уравнение (7') c граничными условиями (8) допускает вариационную формулировку.

Соответствующий функционал имеет вид

В. Рассматривается уравнение где a, b — const, u — неизвестная функция с граничными условиями Для оператора задачи (10),(11) условия (6) не выполняются. В этой связи рассматривается следующая задача.

Найти функцию М=М(x, t, u, u_i) в Щ для любого u из D (N) и соответствующий функционал F[u] так, что

Используя условия (6), находим вариационный множитель М=е^{u (x, t)}. Тогда получим, что оператор вида

является потенциальным.

Соответствующее эквивалентное уравнение будет иметь вид:

Таким образом, задача (13'), (11) допускает вариационную формулировку с функционалом

[1] Савчин В.М. Условия потенциальности Гельмгольца для ДУЧП с отклоняющимися аргументами.// XXXII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук. Тезисы докладов.1996г.С. 25.

[2] Филиппов В.М., Савчин В. М., Шорохов С. Г., Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 40.М.1992.